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Geometria Analítica e Álgebra Vetorial Docente: Manuela de Aviz Schulz Geometria Analítica e Álgebra Vetorial Matrizes. Determinantes. Sistemas de equações Lineares. Vetores e Operações. Espaços vetoriais. Base e Dimensão. Transformações lineares em R² e R³. Mudança de Base. Autovalores e autovetores. Estudo das Retas. Estudo dos Planos. Circunferência. Cônicas. UNIDADE 1 Matrizes e sistemas lineares TÓPICO 1 – Matrizes TÓPICO 2 – Determinantes e inversão de matrizes TÓPICO 3 – Sistemas Lineares UNIDADE 1 Matrizes e Sistemas Lineares TÓPICO 1 – MATRIZES O que é matriz? Matriz é uma organização de dados em linhas e colunas e cada ente da matriz é denominado elemento. Uma matriz é representada por uma letra maiúscula e os elementos podem estar dispostos entre parênteses ou colchetes. A ordem de uma matriz é a informação da quantidade de linhas (m) e colunas (n). Exemplo de uma matriz Matriz quadrada A de ordem 2: Tipologia das Matrizes • Matriz Transposta: Segundo Facchini (1996, p. 176), “dada uma matriz A = (aij)mxn, chamamos de matriz transposta de A (e indicamos 𝐴𝑡) a matriz do tipo nxm, que tem linhas ordenadamente iguais às colunas de A”. A transposta de A = 2 4 8 6 é a 𝐴𝑡 = 2 8 4 6 𝑎11 = 2 = 𝑎′11 𝑎21 = 8 = 𝑎′12 • Matriz Oposta: Dada uma matriz A = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛, a sua matriz oposta será definida por –A = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛. Isso significa que a matriz oposta da matriz A é aquela que possui elementos opostos correspondentes ao da matriz A. A matriz oposta de A = 2 −4 −8 6 é a –A = −2 4 8 −6 Tipologia das Matrizes Matriz Quadrada: Para Paiva (2013, p. 96), “matriz quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas”, ou seja, quando m = n, dizemos que a matriz é quadrada de ordem nxn ou simplesmente de ordem n. A = 1 2 10 −3 7 8 5 −1 6 é uma matriz quadrada de ordem 3 (m = n = 3) Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos 𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, … 𝑎𝑛𝑛 formam a diagonal principal da matriz. A outra diagonal da matriz quadrada é denominada diagonal secundária. A = 1 2 10 −3 7 8 5 −1 6 Matriz Triangular; Matriz Diagonal; Matriz Identidade; Matriz Simétrica. Diagonal principal Diagonal secundária Tipologia das Matrizes Matriz Triangular: Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos (iguais a zero), dizemos que a matriz é triangular. Matriz Diagonal: Quando todos os elementos posicionados acima e abaixo da diagonal principal são nulos, denominamos de matriz diagonal. Tipologia das Matrizes Matriz Identidade: Quando todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero, denominamos de matriz identidade e seu símbolo é In (onde n representa a ordem da matriz). Matriz Simétrica: Quando tiver o elemento aij igual ao elemento aji, a matriz é denominada de simétrica. Operações entre matrizes Adição e subtração de matrizes: só é possível somar matrizes que possuem a mesma ordem, isto é, o mesmo número de linhas e colunas. Exemplo: A + B = C, podemos operacionalizar da seguinte maneira: Para subtração de matrizes, utilizaremos a ideia de soma com a matriz oposta, ou seja, a soma da matriz A com a matriz oposta de B, isto é, A – B = A + (-B). Multiplicação de uma matriz por um número real: Operações entre matrizes Multiplicação de matrizes: Dada o produto A.B, só é possível multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da matriz A, for igual ao número de linhas da matriz B. Dessa forma o produto AB possui o número de linhas de A e o número de colunas de B. Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa, isto é, podemos ter A . B ≠ B . A para duas matrizes quaisquer A e B. UNIDADE 1 Matrizes e Sistemas Lineares TÓPICO 2 - Determinantes e inversão de matrizes Determinante de uma matriz de 𝟏𝒂 ordem: Se M = (15), então det (M) = 15 Determinante de uma matriz de 𝟐𝒂 ordem: Determinante de uma matriz de 𝟑𝒂 ordem – REGRA DE SARRUS Calcule o determinante da matriz B = 3 4 2 2 1 5 0 7 4 . Repetimos inicialmente as duas primeiras colunas após a terceira. 3 4 2 2 1 5 0 7 4 3 4 2 1 0 7 Det(B) = (3.1.4+4.5.0+2.2.7) – (2.1.0+3.5.7+4.2.4) Det(B) = (12+0+28) – (0+105+32) Det(B) = 40 – 137 Det(B) = -97 Determinante de ordem N > 3 Escalonamento de matrizes: Método de eliminação de Gauss UNIDADE 1 Matrizes e Sistemas Lineares TÓPICO 3 – Sistemas Lineares Sistemas de Equações Lineares Classificação de um Sistema Linear: Sistemas Possíveis e Determinados (SPD): Um sistema apresentar uma única solução significa que as equações que o compõem são retas concorrentes cujo ponto de intersecção é a solução do sistema. Sistemas Possíveis e Indeterminados (SPI): Nesse tipo de sistemas há infinitas possibilidades de combinações para x1, x2, x3,…, xn que satisfazem o sistema linear. Logo, este sistema é possível, mas é indeterminado, pois não há uma única e determinada solução, mas infinitas. Sistemas Impossíveis (SI): Como o próprio nome diz, são os sistemas que não têm soluções, ou seja, não há combinação possível para x1, x2, x3,…, xn de modo a satisfazer, simultaneamente, todas as m equações do sistema. Regra de Cramer: UNIDADE 2 Vetores e suas aplicações TÓPICO 1 - VETORES E SUAS OPERAÇÕES BÁSICAS TÓPICO 2 - OPERAÇÕES VETORIAIS TÓPICO 3 - DEPENDÊNCIA LINEAR TÓPICO 4 - TRANSFORMAÇÃO LINEAR, AUTOVALORES E AUTOVETORES UNIDADE 2 Vetores e suas aplicações TÓPICO 1 - VETORES E SUAS OPERAÇÕES BÁSICAS Plano Cartesiano Vetores no plano e no espaço: Nas aplicações físicas dos fenômenos naturais existem grandezas como comprimento, temperatura e tempo, que são medidas apenas pela sua intensidade e representadas por números reais. Estas grandezas são chamadas de grandezas escalares. Outras, por sua vez, para seu entendimento necessitam, além do valor de sua intensidade, uma direção e sentido. A estas damos o nome de grandezas vetoriais e, obviamente, são representadas por vetores. Operações entre vetores Soma de vetores: Multiplicação de um vetor por um escalar: UNIDADE 2 Vetores e suas aplicações TÓPICO 2 – Operações Vetoriais Módulo ou Norma do vetor Produto escalar: O produto escalar (ou produto interno) é a multiplicação entre dois vetores cujo resultado é um escalar (um número real), podendo ser denotado por: 𝑧. 𝑣 ou 𝑧, 𝑣 . Ângulo entre vetores: Para calcular o ângulo entre dois vetores, utilizamos a seguinte fórmula: 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑢 .𝑣 𝑢 . 𝑣 Produto interno dos vetores dividido pela multiplicação dos módulos. Vamos calcular o ângulo entre esses dois vetores: 𝑢 = (-2, 4, -1) e Ԧ𝑣 = (4, 3, -3). Produto vetorial UNIDADE 2 Vetores e suas aplicações TÓPICO 3 – Dependência Linear Combinações Lineares Combinações Lineares Exemplo quando não ocorre a combinação linear: Dependência e Independência Linear Exemplos: Base Base Ortogonal Base Ortonormal UNIDADE 2 Vetores e suas aplicações TÓPICO 4 – Transformações Lineares Transformação Linear Imagem de uma transformação linear Núcleo de uma transformação linear UNIDADE 3 Geometria Analítica TÓPICO 1 – A reta TÓPICO 2 – O plano TÓPICO 3 - Cônicas UNIDADE 3 Geometria Analítica TÓPICO 1 – A reta Equação vetorial da reta Equações Paramétricas da reta Equações Simétricas da reta Ângulo de duas retas Condição de paralelismo entre duas retas: é necessário um multiplicador que “afaste” uma reta da outra sem alterar sua direção (ou angulação). Dessa forma, a condição de paralelismo das retas 𝑟1 𝑒 𝑟2 é a mesma dos vetores. Condição de ortogonalidade de duas retas: é a mesma dos vetores. Distâncias Distância de um ponto a uma reta Distância entre duas retas: Para determinar a menor distância entre duas retas é necessário saber a posição relativa entre elas, isto é, classificá-las entre concorrentes, paralelas ou reversas. Resolução da distância entre duas retas UNIDADE 3 Geometria Analítica TÓPICO 2 – O plano Equação geral do Plano Ângulo entre dois planosÂngulo formado por uma reta e um plano Distância de um ponto a um plano Distância entre dois planos UNIDADE 3 Geometria Analítica TÓPICO 3 – Cônicas Cônicas Equação da circunferência Equação reduzida da circunferência Equação da parábola Equação da elipse Equação da hipérbole
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