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SOLDADO E BOMBEIRO
POLÍCIA
MILITAR
APOSTILA
PREPARATÓRIA
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MATEMÁTICA
PROFESSOR
Altevir Rossi
Formado em Matemática pela Universidade Est a-
dual do Oest e do Paraná – UNIOESTE. Especialist a em 
Ensino da Matemática pela Universidade Paranaense 
– UNIPAR. Mest rando em Educação pela Universidade 
Est adual do Oest e do Paraná – UNIOESTE Professor de 
Matemática, Matemática Financeira, Est atíst ica e Ra-
ciocínio Lógico, atua desde 1998 em cursos preparató-
rios para concursos e pré-vest ibulares.
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SUMÁRIO
03
SUMÁRIO
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS, FRACIONÁRIOS E DECIMAIS. FRAÇÕES 
ORDINÁRIAS E DECIMAIS ....................................................................................................................................................................05
Conjunto dos Números Naturais (ℕ) .................................................................................................................................................................................................. 05
Mínimo Múltiplo Comum (mmc) ......................................................................................................................................................................................................... 06
Máximo Divisor Comum (mdc) ............................................................................................................................................................................................................ 07
Conjunto dos Números Inteiros (ℤ) .................................................................................................................................................................................................... 07
Conjunto dos Números Racionais (ℚ) ................................................................................................................................................................................................ 09
Frações ........................................................................................................................................................................................................................................................... 10
Conjunto dos Números Racionais (ℚ) ................................................................................................................................................................................................ 13
Conjunto dos Números Irracionais (ℚ’ ou 𝕀) ................................................................................................................................................................................... 14
Conjunto dos números reais (ℝ) .......................................................................................................................................................................................................... 1 5
Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 1 5
2. TEORIA DOS CONJUNTOS ................................................................................................................................................................ 20
Introdução ..................................................................................................................................................................................................................................................... 20
Conjunto ......................................................................................................................................................................................................................................................... 20
Listagem dos Elementos .......................................................................................................................................................................................................................... 20
Diagrama de Euler–Venn ........................................................................................................................................................................................................................ 20
Subconjuntos................................................................................................................................................................................................................................................ 21
Operações com Conjuntos ...................................................................................................................................................................................................................... 22
Leis de Morgan na Teoria dos Conjuntos ......................................................................................................................................................................................... 22
Problemas com Dois Conjutos .............................................................................................................................................................................................................. 23
Problemas com Três Conjuntos ........................................................................................................................................................................................................... 23
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 24
3. FUNÇÕES ..................................................................................................................................................................................................27
A Ideia de Função ...................................................................................................................................................................................................................................... 27
Definição de Função .................................................................................................................................................................................................................................. 27
Gráfico Cartesiano ..................................................................................................................................................................................................................................... 28
Notação das Funções ................................................................................................................................................................................................................................ 28
Classificação das Funções ...................................................................................................................................................................................................................... 29
Função Do 1º Grau ..................................................................................................................................................................................................................................... 30
Função Do 2º Grau .....................................................................................................................................................................................................................................31
Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 31
4. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS, PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA .................................34
Sequências Numéricas ............................................................................................................................................................................................................................ 34
Progressão Aritmética (PA) .................................................................................................................................................................................................................... 34
Progressão Geométrica (PG) .................................................................................................................................................................................................................. 34
Fórmula da Soma dos Termos da PG Finita .................................................................................................................................................................................... 35
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 35
5. EXPONENCIAIS E LOGARITMOS ...................................................................................................................................................39
Equações Exponenciais ........................................................................................................................................................................................................................... 39
Função Exponencial .................................................................................................................................................................................................................................. 40
Inequação Exponencial ........................................................................................................................................................................................................................... 40
Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 41
Logaritmos .................................................................................................................................................................................................................................................... 41
Definição de logaritmo ............................................................................................................................................................................................................................ 41
Cologaritmo .................................................................................................................................................................................................................................................. 41
6. RAZÃO, PROPORÇÃO, GRANDEZAS PROPORCIONAIS E REGRA DE TRÊS ...............................................................42
Razão e proporção ..................................................................................................................................................................................................................................... 42
Grandezas Diretamente Proporcionais e Grandezas Inversamente Proporcionais ....................................................................................................... 43
Regra de Três ............................................................................................................................................................................................................................................... 43
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 44
7. PORCENTAGEM, JUROS SIMPLES E COMPOSTOS .................................................................................................................47
Porcentagem................................................................................................................................................................................................................................................. 47
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 47
Juros................................................................................................................................................................................................................................................................. 49
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 49
8. EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU .......................................................................................50
Equações do 1º grau .................................................................................................................................................................................................................................. 50
Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 5 1
Sistemas de Equações do 1º Grau ........................................................................................................................................................................................................ 5 1
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 52
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 53
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04
SUMÁRIO
9. GRANDEZAS E UNIDADES DE MEDIDA .....................................................................................................................................54
Tipos de Grandezas Físicas .................................................................................................................................................................................................................. 54
Medidas de Comprimento ...................................................................................................................................................................................................................... 54
Medidas de Superfície .............................................................................................................................................................................................................................55
Medidas Agrárias ....................................................................................................................................................................................................................................... 56
Medidas de Volume ................................................................................................................................................................................................................................... 56
Medidas de Capacidade ........................................................................................................................................................................................................................... 57
Medidas de Massa...................................................................................................................................................................................................................................... 57
Medidas de Tempo ..................................................................................................................................................................................................................................... 59
Sistema Monetário..................................................................................................................................................................................................................................... 59
Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 60
Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo .................................................................................................................................................................... 62
10.GEOMETRIA PLANA ...........................................................................................................................................................................63
Conceitos Iniciais ....................................................................................................................................................................................................................................... 63
Ângulos .......................................................................................................................................................................................................................................................... 64
Alguns Ângulos Notáveis ........................................................................................................................................................................................................................ 64
Polígonos ........................................................................................................................................................................................................................................................ 66
Polígonos Regulares .................................................................................................................................................................................................................................. 66
Triângulos ..................................................................................................................................................................................................................................................... 66
Quadriláteros ............................................................................................................................................................................................................................................... 67
Triângulo Retângulo ................................................................................................................................................................................................................................. 69
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 70
Perímetro dos Quadriláteros ................................................................................................................................................................................................................. 70
Polígonos Regulares .................................................................................................................................................................................................................................. 7 1
11. GEOMETRIA ESPACIAL .....................................................................................................................................................................72
Poliedros ........................................................................................................................................................................................................................................................ 72
Prismas ........................................................................................................................................................................................................................................................... 74
Paralelepípedo Retângulo....................................................................................................................................................................................................................... 75
Cubo ................................................................................................................................................................................................................................................................. 75
Cilindros Circulares .................................................................................................................................................................................................................................. 76
Pirâmides ...................................................................................................................................................................................................................................................... 76
Cones Circulares ........................................................................................................................................................................................................................................ 78
Esferas ............................................................................................................................................................................................................................................................ 79
12. PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO .......................................................................................................................................................80
Associação Lógica ...................................................................................................................................................................................................................................... 80
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 80
Verdades e Mentiras .................................................................................................................................................................................................................................82
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 83
Sequências Lógicas ................................................................................................................................................................................................................................... 84
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 85
13. LÓGICA PROPOSICIONAL ...............................................................................................................................................................89
Proposição Simples ................................................................................................................................................................................................................................... 89
Sentença Aberta ......................................................................................................................................................................................................................................... 89
Proposição Composta ............................................................................................................................................................................................................................... 89
Questões Gabaritadas............................................................................................................................................................................................................................... 90
Tabelas-Verdade ......................................................................................................................................................................................................................................... 91
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 92
Negação de Proposições Compostas .................................................................................................................................................................................................. 93
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 93
Equivalências ............................................................................................................................................................................................................................................... 94
Questões Gabaritadas .............................................................................................................................................................................................................................. 94
Argumento .................................................................................................................................................................................................................................................... 95
Questões Gabaritadas ............................................................................................................................................................................................................................. 97
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CAPÍTULO 01 - Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros, Fracionários
e Decimais. Frações Ordinárias e Decimais
05
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS 
INTEIROS, FRACIONÁRIOS 
E DECIMAIS. FRAÇÕES 
ORDINÁRIAS E DECIMAIS
A organização dos conceit os matemáticos passou por 
várias mudanças, até ch egar na forma que hoje est u-
damos. A concepção dos conjuntos numéricos recebeu 
maior rigor em sua const rução com Georg Cantor, que 
pesquisou a respeit o do número infi nit o. Cantor iniciou 
diversos est udos sobre os conjuntos numéricos, const i-
tuindo, assim, a teoria dos conjuntos.
A const rução de todos os conjuntos numéricos que 
hoje possuímos parte de números inteiros usados apenas 
para contar (números naturais) até os números comple-
xos que possuem vast a aplicabilidade nas engenharias, 
nas produções químicas, entre outras áreas.
Podemos afi rmar que um conjunto é uma coleção de 
objetos, números, enfi m, elementos com caract eríst icas 
semelhantes.
Sendo assim, os conjuntos numéricos são compre-
endidos como os conjuntos dos números que possuem 
caract eríst icas semelhantes.
Vamos est udar os seguintes conjuntos numéricos:
Conjunto dos números Naturais (ℕ);
Conjunto dos números Inteiros (ℤ);
Conjunto dos números Racionais (ℚ);
Conjunto dos números Irracionais (∥);
Conjunto dos números Reais (ℝ);
Conjunto dos Números Naturais (ℕ)
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Um subconjunto importante de N é o conjunto
ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5,...}
(o símbolo * exclui o zero do conjunto)
Podemos considerar o conjunto dos números naturais 
ordenados sobre uma reta, como most ra o gráfi co abaixo:
Operações em ℕ
Dados a, b, c, n ∊ ℕ, temos:
Adição
a + b = c
 Exemplo: 2 + 3 = 5
Subtração (com a > b)
a – b = c
 Exemplo: 7 – 4 = 3
Multiplicação
a . b = c
 Exemplo: 3 . 5 = 15
Divisão (com a múltiplo de b)
a : b = c
 Exemplo: 12 : 4 = 3
Potenciação
Exemplo: 35=3·3·3·3·3=243
Particularmente, a2 lê-se “a ao quadrado” e a3 lê-se 
“a ao cubo”.
Radiciação
Particularmente, lê-se “raiz quadrada de a” 
e, tendo resultado exato, a é ch amado quadrado perfeit o. 
Por exemplo, 49 é um quadrado perfeit o, pois 
Analogamente, lê-se “raiz cúbica de a” e, tendo 
resultado exato, a é ch amado cubo perfeit o. Por exemplo, 
27 é um cubo perfeit o, pois 
Propriedades em ℕ
Associativa da adição
Sendo a, b, c ∊ ℕ
(a + b) + c = a + (b + c)
Associativa da multiplicação
Sendo a, b, c ∊ ℕ
(a . b) . c = a . (b . c)
Comutativa da adição
Sendo a, b ∊ ℕ
a + b = b + a
Comutativa da multiplicação
Sendo a, b ∊	ℕ
a . b = b . a
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06
MATEMÁTICA
Elemento neutro da adição
Sendo a ∊ ℕ
a + 0 = 0 + a = a
Elemento neutro da multiplicação
Sendo a ∊ ℕ
a . 1 = 1 . a = a
Distributiva da multiplicação em relação à 
adição
Sendo a, b, c ∊ ℕ
a . (b + c) = a . b + a . c
Fechamento da adição
A soma de dois números naturais é sempre igual a 
um número natural.
Fechamento da multiplicação
O produto de dois números naturais é sempre igual a 
um número natural.
Números Pares e Números Ímpares
Um número natural p é dito par se p = 2.n, com n ∊ 
ℕ. São números pares: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...
Um número natural i é dito ímpar se i = 2.n + 1, com 
n ∊ ℕ. São números ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...
Resolução de Expressões Numéricas
Para resolver uma expressão numérica, devemos eli-
minar os sinais de pontuação, respeitando a ordem:
• eliminar parêntesis: ( )
• eliminar colchetes: [ ]
• eliminar chaves: { }
Resolvendo as operações de acordo com a ordem de 
prioridade:
• resolver potenciações e radiciações
• resolver multiplicações e divisões
• resolver adições e subtrações.
Como exemplo, vamos resolver a expressão numé-
rica:
NúmerosPrimos
Chamamos de primo o número que possui dois e so-
mente dois divisores: 1 e ele próprio.
Assim, são números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
Observe que:
• 1 não é primo, pois tem apenas um divisor.
• 0 não é primo, pois tem infinitos divisores.
• 2 é o único número par e primo ao mesmo 
tempo.
Números Compostos
Chamamos de compostos os números que possuem 
mais de dois divisores.
Assim, são compostos os números:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ...
Note que:
O número 1 não nem primo, nem composto.
O número 0 também não é nem primo, nem com-
posto.
Decomposição de um Número em Fatores 
Primos
Para decompor um número em fatores primos, segui-
mos o algoritmo abaixo, dividindo o número dado pelo 
seu menor divisor primo, repetindo o procedimento da 
mesma maneira com cada quociente obtido, até obter o 
quociente 1.
Por exemplo, decompondo o número 72, temos
Analogamente, decompondo o número 6000, temos
Mínimo Múltiplo Comum (mmc)
O mmc entre dois ou mais números é o menor dos 
múltiplos comuns entre os múltiplos dos números dados, 
excluíndo o zero.
Por exemplo, consideremos os números 6 e 8. Temos:
Múltiplos de 6:
M(6) = {0, 6,12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}
Múltiplos de 8:
M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...}
Podemos observar que os números 0, 24, 48, ... são 
múltiplos comuns do 6 e do 8. Daí, o mínimo múltiplo 
comum entre 6 e 8 é o número 24.
Escreve-se mmc (6, 8) = 24.
Para obter rapidamente o mmc entre dois ou mais 
números dados, basta decompor esses números em fato-
res primos, simultaneamente. O mmc será o produto dos 
fatores primos resultantes dessa decomposição.
Por exemplo, vamos obter o mmc (6, 8): 
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CAPÍTULO 01 - Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros, Fracionários
e Decimais. Frações Ordinárias e Decimais
07
Vamos agora obter o mmc (12, 15, 40):
Máximo Divisor Comum (mdc)
O MDC entre dois ou mais números é o maior dos 
divisores comuns entre os divisores dos números dados.
Por exemplo, consideremos os números 18 e 24. Te-
mos:
Divisores de 18:
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores de 24:
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Observe que os números 1, 2, 3 e 6 são divisores tanto 
do 18 quanto do 24. Daí, o máximo divisor comum entre 
18 e 24 é o número 6.
Escreve-se MDC (18, 24) = 6.
Para obter rapidamente o MDC entre dois ou mais 
números dados, faz-se a decomposição em fatores pri-
mos de cada número dado, separadamente. O MDC será 
o produto dos fatores primos que se repentes em todas 
as decomposições, tomados com o menor expoente.
Por exemplo, vamos obter o MDC (18, 24):
Vamos agora calcular o MDC (168,180):
 Importante: Se o MDC entre dois 
números for igual a 1, esses números são 
ch amados primos entre si.
Conjunto dos Números Inteiros (ℤ)
ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Note que o conjunto ℕ é subconjunto de ℤ, ist o é, ℕ 
⊂ ℤ.
Temos também outros subconjuntos de ℤ:
ℤ * = ℤ - {0}
(lembre-se que o * exclui o zero do conjunto)
ℤ + = {0,1,2,3,4,5,...}
(conjunto dos inteiros não negativos)
ℤ - = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}
(conjunto dos inteiros não posit ivos)
Observe ainda que ℤ + = ℕ.
Podemos considerar os números inteiros ordenados 
sobre uma reta, conforme most ra o gráfi co abaixo:
 Ao observar a reta numerada notamos que a ordem 
que os números inteiros obedecem é crescente da es-
querda para a direit a. Baseando-se ainda na reta nu-
merada podemos afi rmar que todos os números inteiros 
possuem um e somente um antecessor e também um e 
somente um sucessor.
Ordem e Simetria no Conjunto ℤ
O sucessor de um número inteiro é o número que 
est á imediatamente à sua direit a na reta (em ℤ) e o ante-
cessor de um número inteiro é o número que est á ime-
diatamente à sua esquerda na reta (em ℤ). Por exemplo:
• 7 é sucessor de 6 e 6 é antecessor de 7.
• –3 é antecessor de –2 e –2 é sucessor de –3.
• –5 é sucessor de –6 e –6 é antecessor de –5.
Todo número inteiro (z), exceto o zero, possui um ele-
mento denominado simétrico ou opost o (-z) e ele é carac-
terizado pelo fato geométrico que tanto z como -z est ão 
à mesma dist ância do 0 (zero), que é considerado a ori-
gem, na reta que representa o conjunto ℤ. Por exemplo:
• O opost o de ganhar é perder, logo o opost o 
de +4 é –4.
• O opost o de perder é ganhar, logo o opost o 
de –5 é 5.
Módulo de um Número Inteiro
O módulo ou valor absoluto de um número inteiro é 
defi nido como sendo o maior valor (máximo) entre esse 
número e seu opost o. É denotado pelo uso de duas barras 
verticais | |. Por exemplo:
|0| = 0
|3| = 3
|-7| = 7
Mais precisamente, podemos escrever
 Geometricamente, o módulo de um número intei-
ro corresponde à dist ância dest e número até a origem 
(zero) na reta numerada.
Operações em ℤ
Adição
Para melhor entendimento dest a operação, associa-
remos aos números inteiros posit ivos a ideia de ganhar 
(ter) e aos números inteiros negativos a ideia de perder 
(dever). Por exemplo:
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08
MATEMÁTICA
• (+3) + (+4) = (+7)
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7
• (–3) + (–4) = (–7)
perder 3 + perder 4 = perder 7
• (+8) + (–5) = (+3)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3
• (–8) + (+5) = (–3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3
• –3 + 3 = 0
• 6 + 3 = 9
• –1 + 5 = 4
Propriedades da adição em ℤ
Fech amento
O conjunto ℤ é fech ado para a adição, ist o é, a soma 
de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
Associativa
Para todos a, b, c em ℤ:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
Por exemplo,
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Comutativa
Para todos a, b em ℤ:
a + b = b + a
Por exemplo,
3 + 7 = 7 + 3
Elemento neutro
Exist e 0 em ℤ, que adicionado a cada z em ℤ, propor-
ciona o próprio z, ist o é:
z + 0 = z
Por exemplo,
7 + 0 = 7
Elemento opost o
Para todo z em ℤ, exist e (–z) em ℤ, tal que
z + (–z) = 0
Por exemplo,
9 + (–9) = 0
Multiplicação em ℤ
Para multiplicar números inteiros, deve-se proceder 
da forma usual, respeit ando a regra dos sinais.
Regra dos sinais
Sinais iguais, resultado posit ivo:
(+).(+) = (+)
(–).(–) = (+)
Sinais diferentes, resultado negativo:
(+).(–) = (–)
(–).(+) = (–)
Propriedades da multiplicação em ℤ
Fech amento
O conjunto ℤ é fech ado para a multiplicação, ist o é, o 
produto de dois números inteiros é sempre um número 
inteiro.
Associativa
Para todos a, b, c em ℤ:
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
Por exemplo,
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7
Comutativa
Para todos a, b em ℤ:
a x b = b x a
Por exemplo,
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro
Exist e 1 em ℤ, que multiplicado por todo z em ℤ, pro-
porciona o próprio z, ist o é:
z x 1 = z
Por exemplo,
5 x 1 = 5
Elemento inverso
Para todo inteiro z diferente de zero, exist e um inver-
so z-1 = 1/z em ℤ, tal que
z x z-1 = z x (1/z) = 1
Por exemplo,
9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1
Dist ributiva
Para todos a, b, c em ℤ:
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
Por exemplo,
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )
Potenciação em ℤ
Da mesma forma que em ℕ, a potência an do número 
inteiro a, é defi nida como um produto de n fatores iguais 
à a. O número a é denominado base e o número n é o 
expoente. Assim,
(a é multiplicado por a, n vezes)
Exemplos:
 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
 (-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8
 (-5)2 = (-5) x (-5) = 25
 (+5)2 = (+5) x (+5) = 25
Com os exemplos acima, podemos observar que a 
potência de todo número inteiro elevado a um expoente 
par é um número posit ivo e a potência de todo número 
inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que 
conserva o seu sinal.
Quando o expoente é n = 2, a potência a²pode ser lida 
como “a elevado ao quadrado” e quando o expoente é n = 
3, a potência a³ pode ser lida como: “a elevado ao cubo”.
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CAPÍTULO 01 - Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros, Fracionários
e Decimais. Frações Ordinárias e Decimais
09
Propriedades da Potenciação em ℤ
Sejam a, b ∊ ℤ, e n, m ∊ ℕ. Temos:
Multiplicação de potências de mesma base
an . am = an + m
Divisão de potências de mesma base
an : am = an-m
Potência de potência
(am)n=am·n
 Importante: (am)n ≠ am
n
Potência de um produto
(a .b)n = an.bn 
Potência de um quociente
 Expoente nulo
a0 = 1 (a ≠ 0)
Base nula
0n = 0 (n ≠ 0)
Base 1
1n = 1
Expoente negativo
 
Radiciação em ℤ
Sejam a e b ∊ ℤ e n ∊ ℕ. Temos:
Observações:
Se a > 0, então exist e a raiz índice n de a.
Não exist e resultado para a raiz índice 0 de 0, ist o é, 
Se a < 0 e n par, então a raiz não é um número real.
Se a < 0 e n ímpar, então a raiz exist e e será negativa.
Propriedades da Radiciação
Sejam a, b ∊	ℤ, e n, m ∊ ℕ. Respeit ando a defi nição e 
as observações anteriores, temos:
Raiz de um Produto
Raiz de um quociente
Raiz de raiz
Raiz de potência
Conjunto dos Números Racionais (ℚ)
Os números racionais são todos aqueles que po-
dem ser colocados na forma de fração (com numerador e 
denominador inteiros). Ou seja, o conjunto dos números 
racionais é a união do conjunto dos números inteiros 
com as frações posit ivas e negativas.
Exemplos: 
Note que todo número inteiro é racional, como mos-
tra o exemplo a seguir:
Assim, podemos escrever:
É importante considerar a representação decimal de 
um número racional que se obtém dividindo a por b.
Exemplos referentes aos decimais exatos ou fi nit os:
Exemplos referentes aos decimais periódicos ou 
infi nit os com repetição periódica:
 Todo decimal exato ou periódico pode ser repre-
sentada na forma de número racional.
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10
MATEMÁTICA
Frações
Se dividirmos uma unidade em partes iguais e to-
marmos algumas dessas partes, poderemos representar 
essa operação por uma fração. Por exemplo, vamos con-
siderar a fi gura abaixo:
A fi gura foi dividida em três partes iguais, das quais 
tomamos duas. Esse fato pode ser representado pela fra-
ção
 (Lemos “dois terços”)
O número que fi ca embaixo é ch amado denomina-
dor e indica em quantas partes o inteiro foi dividido.
O número que fi ca em cima é ch amado numera-
dor e indica quantas partes iguais foram consideradas 
do inteiro.
Leit ura e Classifi cações das Frações
Numa fração, lê-se, em primeiro lugar, o numerador 
e, em seguida, o denominador.
a. Quando o denominador é um número natu-
ral entre 2 e 9, a sua leit ura é feit a, por exemplo, 
do seguinte modo:
b. Quando o denominador é 10, 100, 1000 ou 
outra potência de 10, a sua leit ura é feit a usando-
-se as palavras décimo(s), centésimo(s) ou milési-
mo(s), etc. Por exemplo,
c. Quando o denominador é maior que 10 e 
não é potência de 10, lê-se o número acompanha-
do da palavra “avos”. Por exemplo,
Frações Ordinárias e Frações Decimais
As frações cujos denominadores são os números 10, 
100, 1000 ou outras potências de 10 são ch amadas fra-
ções decimais. As demais são ch amadas frações ordiná-
rias. As frações
são exemplos de frações decimais, enquanto
são exemplos de frações ordinárias.
Frações Próprias
São as frações cujo numerador é menor que o deno-
minador. Elas representam partes menores do que um 
inteiro. Por exemplo,
Frações Impróprias
São as frações cujo numerador é maior ou igual ao 
denominador. Elas representam inteiros ou partes maio-
res do que um inteiro. Por exemplo,
Frações Aparentes
São as frações cujo numerador é um múltiplo do de-
nominador, ist o é, o numerador é divisível pelo denomi-
nador. Elas sempre representam inteiros. Por exemplo,
Observe que toda fração aparente é também impró-
pria, mas nem toda fração imprópria é aparente.
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CAPÍTULO 01 - Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros, Fracionários
e Decimais. Frações Ordinárias e Decimais
11
Frações Equivalentes (Classe de Equivalência)
Duas ou mais frações são equivalentes, quando re-
presentam a mesma quantidade, porém são representa-
das por números diferentes. Por exemplo, observe que 
as frações
representam a mesma quantidade, porém, seus ter-
mos são números diferentes. Então, dizemos que elas são 
frações equivalentes.
Para obter frações equivalentes, devemos multiplicar 
ou dividir o numerador por mesmo número diferente de 
zero. Por exemplo,
O conjunto infi nit o de todas as frações equivalentes a 
uma certa fração dada é ch amado classe de equivalência 
dessa fração. Por exemplo, a classe de equivalência da 
fração 1/2 é o conjunto
 
Números Mist os
Os números mist os são representados por uma parte 
inteira e uma fração própria. A fi gura abaixo, por exem-
plo, representa 1 inteiro e 
Escrevemos e lemos “um inteiro e um meio”.
Observe que todo número mist o pode ser escrit o 
como um fração imprópria.
Para transformar um número mist o em fração 
imprópria, multiplicamos a parte inteira pelo denomi-
nador e somamos o resultado com o numerador, preser-
vando o denominador. Por exemplo, para transformar
em fração imprópria, fazemos 2 . 5 + 3 = 13 para obter 
o numerador, e preservamos o denominador. Assim,
Analogamente,
Para transformar uma fração imprópria em 
número mist o, bast a lembrar que toda fração é uma 
divisão. Então, procedemos fazendo a divisão do nume-
rador pelo denominador. A parte inteira será o quociente 
inteiro dessa divisão. A fração própria terá como nume-
rador o rest o e como denominador o divisor da operação. 
Por exemplo, para transformar a fração imprópria
e temos
Simplifi cação de Frações
Para simplifi car frações devemos dividir o numera-
dor e o denominador, por um mesmo número inteiro di-
ferente de zero.
Quando não for mais possível efetuar as divisões a 
fração est ará simplifi cada, e então é ch amada de fração 
irredutível.
Por exemplo,
Observe que a fração não pode ser mais simplifi -
cada. Portanto, ela é uma fração irredutível.
Observe ainda que em uma fração irredutível, o nu-
merador e o denominador são números primos entre si.
Redução de Fações ao Mesmo Denominador
Reduzir duas ou mais frações ao mesmo denomina-
dor signifi ca obter frações equivalentes às apresentadas 
e que tenham todas o mesmo número para denominador. 
Por exemplo, as frações 1/2, 2/3 e 3/4 são equivalentes a 
6/12, 8/12 e 9/12 respect ivamente.
Para reduzirmos duas ou mais frações ao mesmo de-
nominador, seguimos os seguintes passos:
01. Calcula-se o mmc dos denominadores das 
frações. Est e será o novo denominador.
02. Divide-se o mmc encontrado pelo deno-
minador e multiplica-se pelo numerador de cada 
fração dada. O produto encontrado é o novo nu-
merador.
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12
MATEMÁTICA
Note que esse processo fornece rapidamente frações 
equivalentes às originais, porém com denominadores 
iguais.
Exemplo:
Reduzir ao menor denominador comum as frações
Solução:
01. mmc (2, 4, 6) = 12
02. 
Assim, a solução é dada pelas frações
que são respect ivamente equivalentes à 
Compararação de Frações
Comparar duas frações signifi ca est abelecer uma re-
lação de igualdade ou desigualdade entre elas. Temos 
dois casos:
a. Frações de denominadores iguais.
Se duas frações tem denominadores iguais a maiorserá aquela que tiver maior numerador. Por exemplo,
b. Frações com denominadores diferentes.
Nesse caso, reduzimos ao mesmo denominador e de-
pois comparamos, como no primeiro caso.
Por exemplo, vamos comparar as frações 4/5 e 4/3 . 
Reduzindo as das ao mesmo denominador, temos as fra-
ções equivalentes 12/15 e 20/15, respect ivamente. Com-
parando essas últimas, temos que
de onde concluímos que
Adição e Subtração de Frações
A soma ou diferença de duas frações é outra fração, 
obtida a partir do est udo dos seguintes “casos”:
01. Frações com denominadores iguais.
Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e re-
pete-se o denominador.
Exemplos:
02. Frações com denominadores diferentes
Reduzem-se as frações ao mesmo denominador atra-
vés do mmc e procede-se como no 1º caso.
Exemplos:
03. Números Mist os
Primeiramente transformam-se os números mist os 
em frações impróprias e, em seguida, procede-se como 
nos primeiros casos.
Exemplo:
Observe que, quando for conveniente, devemos sim-
plifi car as respost as e extrair a parte inteira.
Multiplicação de Frações
Para multiplicar duas ou mais frações, devemos mul-
tiplicar os numeradores entre si e multiplicar os deno-
minadores entre si.
Numa multiplicação de frações, é possível simplifi car 
os fatores comuns ao numerador e ao denominador, an-
tes de fazer a multiplicação.
Exemplos:
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CAPÍTULO 01 - Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros, Fracionários
e Decimais. Frações Ordinárias e Decimais
13
Divisão de Frações
Para dividir duas frações, conserva-se a primeira e 
multiplica-se pelo inverso da segunda.
Exemplo:
Potenciação de Frações
Para calcular a potência de uma fração, eleva-se o 
numerador e o denominador ao expoente dado.
Exemplo:
Radiciação de Frações
Para extrair a raiz de uma fração, extrai-se a raiz do 
numerador e do denominador.
Exemplo:
Conjunto dos Números Racionais (ℚ)
Números Decimais
No conjunto dos números racionais dest aca-se um 
subconjunto representado por frações cujo denominador 
é uma potência de 10, ch amadas de frações decimais. 
São exemplos de frações decimais
entre infi nit as outras.
Sempre que for possível representar um número ra-
cional por uma fração decimal diz-se que esse número é 
decimal. Assim, o conjunto dos números decimais é um 
subconjunto dos números racionais.
Escrevendo as frações de nosso exemplo anterior na 
forma de fração decimal, temos:
Escrevendo essas frações na forma de número deci-
mal, temos:
Veja outros exemplos:
Observe que a vírgula muda da direit a para a esquer-
da, e a quantidade de casas deslocadas é a mesma quan-
tidade de zeros do denominador.
Adição e Subtração de Números Decimais
Para resolver operações de adição e subtração, mon-
tamos o algorítmo da operação deixando vírgula em bai-
xo de vírgula, e somando (ou diminuindo) as unidades de 
mesma ordem.
Exemplos:
a. 12 + 0,582 + 3,749
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14
MATEMÁTICA
b. 35,2 – 8,47
Multiplicação de Números Decimais
Para multiplicar dois números decimais, procedemos 
a multiplicação como se fossem números inteiros (des-
considerar as vírgulas). No resultado, separamos a partir 
da direit a, tantas casas decimais quantos forem os alga-
rismos decimais dos números multiplicados.
Exemplo:
a. 4,57 x 2,8
Divisão de Números Decimais
Para dividir dois números decimais, igualamos as ca-
sas decimais entre o dividento e o divisor, desconsidera-
mos as vírgulas e procemos a divisão entre dois números 
inteiros.
Exemplos:
a. 3:4
b. 8,1:2
Antes de iniciar a divisão, igualamos as casas deci-
mais e daí ignoramos as vírgulas para depois fazer a 
divisão propriamente dit a. Assim, 
 8,1 : 2 = 8,1 : 2,0 = 81 : 20
Note que os exemplos anteriores nos most ram que 
para transformar uma fração em número decimal bast a 
dividir o numerador pelo denominador.
Conjunto dos Números Irracionais (ℚ’ ou 
𝕀)
Os números irracionais são decimais infi nit os não 
periódicos, ou seja, os números que não podem ser es-
crit o na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como 
exemplo de números irracionais, temos todas as raízes 
não exatas, como:
Um número irracional bast ante conhecido é o núme-
ro pi:
Operações entre Racionais e Irracionais
As quatro operações fundamentais, quando realiza-
das entre um número racional e outro irracional, resul-
tam geralmente em um número irracional. As únicas ca-
sos em que isso não ocorre acontecem na multiplicação 
e na divisão podendo, nesses casos, ocorrer resultado ra-
cional, se, e somente se, o zero for fator da multiplicação 
ou o numerador da divisão.
São irracionais, por exemplo, os números:
Operações entre Irracionais
As quatro operações fundamentais, quando reali-
zadas entre números irracionais, podem resultar tanto 
em números racionais quanto em irracionais. Observe 
alguns exemplos:
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CAPÍTULO 01 - Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros, Fracionários
e Decimais. Frações Ordinárias e Decimais
15
Conjunto dos números reais (ℝ)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos 
irracionais (𝕀), defi nimos o conjunto dos números reais 
como:
 ℝ= ℚ	∪ 𝕀
O diagrama abaixo most ra a relação entre os conjun-
tos numéricos:
Observe que os números naturais, inteiros, racionais 
e irracionais são todos números reais. Como subconjun-
tos importantes de ℝ temos:
ℝ* = conjunto dos números reais sem o zero.
ℝ+ = conjunto dos números reais não negativos
ℝ- = conjunto dos números reais não posit ivos
 Observação: entre dois números 
inteiros exist em infi nit os números reais.
Por exemplo, entre os números 1 e 2 
exist em infi nit os números reais: 1,01 ; 1,001 
; 1,0001 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
Entre os números 5 e 6 exist em infi ni-
tos números reais: 5,01 ; 5,02 ; 5,05 ; 5,1 ; 
5,2 ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
Representação Geométrica de um Número Real
Chamamos de eixo real ou reta real, a reta orientada 
cujos pontos são associados a números reais. Cada ponto 
dessa reta corresponde a um único número real e, reci-
procamente, cada número real corresponde a um único 
ponto dessa reta.
Intervalos
Frequentemente usamos alguns subconjuntos do 
conjunto dos números reais ch amados intervalos. Os in-
tervalos podem ser escrit os de três maneiras:
01. Notação de conjunto
Por exemplo: {x∊ℝ / 3≤x<7}
02. Representação gráfi ca
 A “bolinha” ch eia ou pintada (●) na extremidade de 
um intervalo signifi ca que o número associado a essa 
extremidade pertence ao intervalo, e a “bolinha” vazia 
ou sem pintar (○) indica que o número associado a essa 
extremidade não pertence ao intervalo.
03. Notação de intervalo
Seguindo o mesmo exemplo: [3 ; 7[
O colch ete voltado para o número (para dentro) sig-
nifi ca que esse número pertence ao intervalo – o interva-
lo é fech ado nessa extremidade. O colch ete não voltado 
para o número (para fora) indica que esse número não 
pertence ao intervalo – intervalo aberto nessa extremi-
dade.
Quest ões Gabarit adas
01. CESPE - AJ TRE ES/TRE ES
Com relação a problemas arit méticos e matri-
ciais, o próximo it em apresenta uma sit uação hi-
potética, seguida de uma assertiva a ser julgada.
Se em um município que tem 2.500 eleit ores, a 
votação dura 10 horas, cada seção eleit oral possui 
apenas uma urna, todos os eleit ores votam e cada 
eleit or leva 1 minuto e meio para votar, então, 
nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 
seções eleit orais.
( )CERTO ( ) ERRADO
CESPE - AJ TRE ES/TRE ES
Internet: <www.tse.gov > (com adaptações).
Com base na tabela acima, referente às elei-
ções de 2010, que apresenta a quantidade de can-
didatos para os cargos de presidente da Repú-
blica, governador de est ado, senador, deputado 
federal e deputado est adual/dist rit al, bem como 
a quantidade de candidatos considerados aptos 
pela just iça eleit oral e o total de eleit os para cada 
cargo pretendido, julgue o it em a seguir.
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16
MATEMÁTICA
A quantidade de candidatos a deputado fede-
ral, estadual ou distrital é superior a 100 vezes a 
quantidade de candidatos ao Senado.
( ) CERTO ( ) ERRADO
TEXTO PARA AS QUESTÕES 3 A 5.
Na campanha eleitoral de determinado muni-
cípio, seis candidatos a prefeito participarão de 
um debate televisivo. Na primeira etapa, o media-
dor fará duas perguntas a cada candidato; na se-
gunda, cada candidato fará uma pergunta a cada 
um dos outros adversários; e, na terceira etapa, o 
mediador selecionará aleatoriamente dois candi-
datos e o primeiro formulará uma pergunta para 
o segundo responder. Acerca dessa situação, jul-
gue os itens seguintes.
3. CESPE - TJ TRE RJ/TRE RJ
Na terceira etapa do debate serão feitas mais 
perguntas que na primeira etapa.
( ) CERTO ( ) ERRADO
4. CESPE - TJ TRE RJ/TRE RJ
Menos de 10 perguntas serão feitas na primei-
ra etapa do debate.
( ) CERTO ( ) ERRADO
5. CESPE - TJ TRE RJ/TRE RJ
Mais de 20 perguntas serão feitas na segunda 
etapa do debate.
( ) CERTO ( ) ERRADO
TEXTO PARA AS QUESTÕES 6 E 7.
Para cada subconjunto A de Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, 10}, defina P(A) como o produto dos ele-
mentos de A e adote a convenção P(Ø) = 1. Com 
base nessa situação, julgue os itens a seguir.
6. CESPE - AJ TRE RJ/TRE RJ
Se A = {1, 3, 4, 6}, então P(A) = 72.
( ) CERTO ( ) ERRADO
7. CESPE - AJ TRE RJ/TRE RJ
Se A ⊂ Ω e se algum elemento de A é um nú-
mero ímpar, então P(A) será, necessariamente, 
um número ímpar.
( ) CERTO ( ) ERRADO
Considere o quadro abaixo para responder as 
questões 8 e 9.
CETRO - Of Transp (TJ RS)
José da Silva foi ao caixa eletrônico para re-
tirar um extrato, porém houve um problema na 
hora da impressão e não apareceu seu saldo total. 
Assinale a alternativa que apresenta o saldo de 
José no dia 6 de junho.
a. R$472,15.
b. R$485,10.
c. R$497,25.
d. R$500,10.
e. R$501,15.
9. CETRO - Of Transp (TJ RS)
Se José tivesse pagado o condomínio no dia 2 
de junho, o saldo de sua conta no dia 3 de junho 
seria igual a
a. R$62,35.
b. R$80,35.
c. R$242,35.
d. R$421,35.
e. R$612,35.
10. CETRO - Of Transp (TJ RS)
Assinale a alternativa que apresenta o número 
que dividido por 13 dá quociente 584 e resto 5.
a. 7.462.
b. 7.468.
c. 7.592.
d. 7.595.
e. 7.597.
11. CETRO - Of Transp (TJ RS)
O colégio ABC oferece supletivo de 2ª a 6ª feira 
das 18h30min às 22h. Verificando a tabela, pode-
-se afirmar que o total de horas do mês de junho 
foi
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CAPÍTULO 01 - Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros, Fracionários
e Decimais. Frações Ordinárias e Decimais
17
a. 60.
b. 65.
c. 70.
d. 75.
e. 80.
12. FGV - AuxJ II (TJ AM)
Um pequeno mercado do interior vende ovos 
em embalagens de 7 ovos para ficar de acordo com 
sua propaganda: “Coma um ovo por dia em todos 
os dias da semana”. Certa semana, o dono do mer-
cado comprou 8 dúzias de ovos e fez a transferên-
cia deles para as suas embalagens de 7 ovos. No 
final dessa operação:
a. sobrou 1 ovo.
b. sobraram 2 ovos.
c. sobraram 3 ovos.
d. sobraram 4 ovos.
e. sobraram 5 ovos.
13. FGV - AuxJ II (TJ AM)
Três caixas contêm lápis. A primeira contém 
18 lápis, a segunda contém 25 lápis e a terceira 
contém 29. O menor número de lápis que devem 
ser transferidos entre as caixas para que, no fi-
nal, as três caixas contenham o mesmo número 
de lápis é:
a. 6.
b. 7.
c. 8.
d. 9.
e. 10.
14. FCC - TJ (TJ PE)
Eram 22 horas e em uma festa estavam 243 
mulheres e 448 homens. Verificou-se que, con-
tinuadamente a cada nove minutos, metade dos 
homens ainda presentes na festa ia embora. Tam-
bém se verificou que, continuadamente a cada 15 
minutos, a terça parte das mulheres ainda pre-
sentes na festa ia embora. Desta forma, após a de-
bandada das 22 horas e 45 minutos, a diferença 
entre o número de mulheres e do número de ho-
mens é
a. 14.
b. 28.
c. 36.
d. 44.
e. 58.
15: FGV - TJ (TJ RO)
Em uma sala de arquivos há armários dispos-
tos em ordem e designados pelas letras A, B, C, 
... . Cada armário tem 5 gavetas numeradas de 1 a 
5 e cada gaveta contém 12 pastas numeradas de 
01 a 12. Cada pasta é identificada por um símbolo 
que indica o armário, a gaveta e a pasta em si. 
Por exemplo, o símbolo B307 indica a pasta 07 da 
gaveta 03 do armário B. Certo dia Celso recebeu 
a tarefa de conferir, em ordem, os conteúdos de 
todas as pastas, desde a pasta C310 até a pasta 
E202.
O número de pastas que Celso vai conferir é:
a. 77;
b. 88;
c. 92;
d. 101;
e. 112.
16: CESPE - AJ TRE ES/TRE ES
Internet: <www.tse.gov > (com adaptações).
Com base na tabela acima, referente às elei-
ções de 2010, que apresenta a quantidade de can-
didatos para os cargos de presidente da Repú-
blica, governador de estado, senador, deputado 
federal e deputado estadual/distrital, bem como 
a quantidade de candidatos considerados aptos 
pela justiça eleitoral e o total de eleitos para cada 
cargo pretendido, julgue o item a seguir.
Sabe-se que o Senado Federal é composto de 81 
senadores. Então é correto concluir que 2323 dos 
membros dessa Casa foram eleitos em 2010.
( ) CERTO ( ) ERRADO
TEXTO PARA AS QUESTÕES 17 A 19.
Ao iniciar uma sessão plenária na câmara mu-
nicipal de uma pequena cidade, apenas 1/4 dos 
assentos destinados aos vereadores foram ocupa-
dos. Com a chegada do vereador Veron, 1/3 dos 
assentos passaram a ficar ocupados.
17: CESPE - TJ TRE RJ
Nessa situação hipotética, é correto afirmar 
que menos de cinco assentos estavam ocupados 
quando o vereador Veron chegou à câmara mu-
nicipal.
( ) CERTO ( ) ERRADO
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18
MATEMÁTICA
18. CESPE - TJ TRE RJ
Nessa situação hipotética, é correto afirmar 
que os assentos destinados aos vereadores serão 
todos ocupados somente após a chegada de mais 
nove vereadores.
( ) CERTO ( ) ERRADO
19: CESPE - TJ TRE RJ
Nessa situação hipotética, é correto afirmar 
que há mais de 15 assentos destinados aos verea-
dores no plenário da câmara.
( ) CERTO ( ) ERRADO
20. CETRO - Of Transp (TJ RS)
Em uma receita de bolo, é pedido para que se 
coloque 3/4 de xícara de margarina na cobertura 
e 1/2 xícara de margarina na massa. Sendo assim, 
assinale a alternativa que apresenta o total de 
margarina utilizada para fazer esse bolo.
a. 4/6 de xícara.
b. 1 xícara.
c. 1/3 de xícara.
d. 1,5 xícara.
e. 5/4 de xícara.
21. CETRO - Of Transp (TJ RS)
Três quintos de um grupo de jovens são moças. 
Do grupo de moças, 1313 gosta de novela. Se no 
grupo tivessem 300 jovens, é correto afirmar que 
o número de moças que gosta de novela seria
a. 60.
b. 90.
c. 120.
d. 180.
e. 200.
22. FCC – 2016 - TRT - 14ª Região (RO e AC)
Carlos presta serviço de assistência técnica de 
computadores em empresas. Ele cobra R$ 12,00 
para ir até o local, mais R$ 25,00 por hora de tra-
balho até resolver o problema (também são co-
bradas as frações de horas trabalhadas). Em um 
desses serviços, Carlos resolveu o problema e co-
brou do cliente R$ 168,25, o que permite concluirque ele trabalhou nesse serviço
a. 5 horas e 45 minutos.
b. 6 horas e 15 minutos.
c. 6 horas e 25 minutos.
d. 5 horas e 25 minutos.
e. 5 horas e 15 minutos.
23. VUNESP – 2016 – MPE-SP
No aeroporto de uma pequena cidade chegam 
aviões de três companhias aéreas. Os aviões da 
companhia A chegam a cada 20 minutos, da com-
panhia B a cada 30 minutos e da companhia C 
a cada 44 minutos. Em um domingo, às 7 horas, 
chegaram aviões das três companhias ao mesmo 
tempo, situação que voltará a se repetir, nesse 
mesmo dia, às
a. 16h 30min.
b. 17h 30min.
c. 18h 30min.
d. 17 horas.
e. 18 horas.
24. CETRO - TJ TRT12
Na reta real da figura abaixo estão representa-
dos os números 0; a; 1; b e 2:
O ponto P correspondente ao número a – b en-
contra-se
a. à direita de 2.
b. entre 0 e 1.
c. entre 1 e 2.
d. à esquerda de 0.
e. entre a e b.
25. CETRO - TJ TRT12
Considere os conjuntos:
ℕ, dos números naturais.
ℤ, dos números inteiros.
ℚ, dos números racionais.
ℝ, dos números reais.
Assinale a alternativa correta.
a. a, b ∊ ℕtemos a - b ∊ ℕ
b. Existe um elemento em ℤ que é menor que 
qualquer número inteiro
c.	ℕ ⊂ ℤ	⊂ ℚ ⊂ ℝ
d. a ∊ ℤ, b ∊ ℤ e b ≠ 0 ⇒ a/b ∊ Z
e. A equação 3x - 1 = 0 não tem solução em ℚ
26. FCC - TJ TRT12
Considere uma lista de trinta números for-
mada pelos dez primeiros múltiplos naturais dos 
números 5, 10 e 15. Descarte dessa lista todos os 
números que aparecem mais de uma vez. Depois 
dos descartes, a quantidade de números que per-
manecem na lista é igual a
a. 15.
b. 10.
c. 9.
d. 11.
e. 8.
27. FCC - TJ TRT12
Sistematicamente, dois funcionários de uma 
empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 
dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sá-
bados, domingos ou feriados. Se em 15 de outu-
bro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, uma 
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CAPÍTULO 01 - Conjuntos Numéricos: Operações com Números Inteiros, Fracionários
e Decimais. Frações Ordinárias e Decimais
19
outra provável coincidência de horários das suas 
horas-extras ocorrerá em
a. 9 de dezembro de 2010.
b. 15 de dezembro de 2010.
c. 14 de janeiro de 2011.
d. 12 de fevereiro de 2011.
e. 12 de março 2011.
28. FCC - TJ TRT12
Sejam x e y números inteiros e positivos tais 
que a fração x/y seja irredutível, ou seja, o máxi-
mo divisor comum de x e y é 1. Se
então x + y é igual a
a. 53.
b. 35.
c. 26.
d. 17.
e. 8.
29. FCC - TJ TRT12
Um viajante percorreu 420 km. Desse percur-
so, 3/4 ele fez de trem, e o restante de carro e de 
bicicleta. Se o percurso feito por ele de carro cor-
respondeu a 4/15 do percurso feito de trem, en-
tão, o viajante percorreu, em km, de bicicleta
a. 63.
b. 21.
c. 15.
d. 14.
e. 49.
30. FCC - TJ TRT12
No aniversário de Clarice, seu avô queria dar 
parte de R$ 1.400,00 de presente para ela. Ele pro-
pôs as seguintes opções: ou Clarice escolhia 2/5 
dos 3/4 dos 1.400,00 reais ou escolhia 4/5 dos 3/7 
dos 1.400,00 reais. Ao escolher a opção na qual 
ganharia mais dinheiro Clarice receberia a mais 
do que na outra opção a quantia, em reais, de
a. 60,00.
b. 420,00.
c. 45,00.
d. 125,00.
e. 900,00.
31. FCC - TJ TRT11
Considere a adição abaixo, entre números do 
sistema de numeração decimal, em que símbolos 
iguais indicam um mesmo algarismo e símbolos 
diferentes indicam algarismos diferentes.
 Nessas condições, a multiplicação 
 é igual a
TEXTO PARA AS QUESTÕES 32 E 33
Considere que foram gastos R$ 1.563,00 para 
abastecer com café e açúcar a copa de um escritó-
rio de advocacia. Sabendo-se que cada pacote de 
500 g de café custou R$ 5,85 e que cada pacote 
de 5 kg de açúcar custou R$ 4,25 e ainda que as 
quantidades de pacotes de açúcar e de pacotes de 
café estão, nessa ordem, na proporção 2/3, julgue 
os itens seguintes.
32. CESPE – 2005 – TRT16
O máximo divisor comum entre os números 
que representam as quantidades de pacotes de 
café e de açúcar é superior a 50.
( ) CERTO ( ) ERRADO
33. CESPE – 2005 – TRT16
O mínimo múltiplo comum entre os números 
que representam as quantidades de pacotes de 
café e de açúcar é inferior a 300.
( ) CERTO ( ) ERRADO
34. No almoxarifado de certa repartição públi-
ca há três lotes de pastas iguais: o primeiro com 
60, o segundo com 105 e o terceiro com 135 pas-
tas. Um funcionário deve empilhá-las, colocando 
cada lote de modo que, ao final de seu trabalho, 
ele tenha obtido pilhas com igual quantidades de 
pastas. Nestas condições, o menor número de pi-
lhas que ele obterá é:
a. 10 
b. 15
c. 20 
d. 60
e. 120
35. A tabela abaixo apresenta os múltiplos po-
sitivos de 3 dispostos segundo determinado pa-
drão:
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20
MATEMÁTICA
Caso esse padrão seja mantido indefi nidamente, com 
certeza o número 462 pertencerá à
a. 1ª coluna
b. 2ª coluna
c. 3ª coluna
d. 4ª coluna
e. 5ª coluna
Gabarit o
1. Certo 2. Errado 3. Errado 4. Errado 5. Certo
6. Certo 7. Errado 8. B 9. A 10. E
11. C 12. E 13. A 14. E 15.D
16. Certo 17. Certo 18. Errado 19. Errado 20. E
21. A 22. B 23. E 24. D 25. C
26. B 27. D 28. A 29. B 30. A
31. E 32. C 33. E 34. C 35. D
2. TEORIA DOS CONJUNTOS
Introdução
A Teoria dos conjuntos é a teoria matemática 
dedicada ao est udo da associação entre objetos com 
uma mesma propriedade, elaborada no século XIX. Sua 
origem pode ser encontrada nos trabalhos do matemá-
tico russo Georg Cantor (1845-1918), os quais buscavam 
a mais primit iva e sintética defi nição de conjunto. Tal 
teoria fi cou conhecida também como “teoria ingênua” 
ou “teoria intuit iva” por causa da descoberta de vários 
paradoxos associados à ideia central da própria teoria. 
Tais paradoxos levaram a uma axiomatização das teorias 
matemáticas futuras, infl uenciando de modo indelével 
as ciências da matemática e da lógica. 
No início do século XX, a teoria original receberia 
complementos e aperfeiçoamentos feit os por outros ma-
temáticos. O conhecimento prévio de tal teoria serve 
como base para o desenvolvimento de outros temas na 
matemática, como relações, funções, análise combinató-
ria, probabilidade, etc.
Conjunto
Admit iremos que um conjunto seja uma coleção de 
objetos ch amados elementos e que cada elemento é um 
dos componentes do conjunto.
Geralmente, para dar nome aos conjuntos, usaremos 
uma letra maiúscula do nosso alfabeto, e os elementos 
por letras minúsculas.
Para a representação de um conjunto, utilizaremos 
uma das três formas seguintes:
List agem dos Elementos
Nest a representação, todos os elementos do conjunto 
são apresentados numa list a, envolvidos por um par de 
ch aves e separados por ponto-e-vírgula ou por vírgula.
 Exemplo: Conjunto dos algaris-
mos pares.
A = {0; 2; 4; 6; 8}
 Propriedade dos Elementos
Quando, pela quantidade, não for conveniente escre-
ver todos os elementos que formam o conjunto, o des-
creveremos por uma propriedade possuída por todos os 
seus elementos.
 Exemplo: Conjunto dos algaris-
mos pares.
A = { x I x é um algarismo par }
Lê-se: O conjunto A é formado pelos elementos x, tal 
que x é um algarismo par.
Diagrama de Euler–Venn
Representamos o conjunto por um recinto plano limi-
tado por uma curva fech ada.
Ex: Conjunto dos algarismos pares.
Relação de Pertinência 
A relação de pertinência indica se um determinado 
elemento pertence ou não a um determinado conjunto. 
Exemplo: considerando A = {0; 2; 4; 6; 8}, temos:
2∊A
(o elemento 2 pertence ao conjunto A)
3∉A
(o elemento 3 não pertence ao conjunto A)
Quando fazemos uso da relação de pertinência, est a-
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21
mos, necessariamente, relacionando um elemento a um 
conjunto, nesta ordem. Assim, pode acontecer:
“elemento” ∊ “conjunto” ou
“elemento” ∉ “conjunto”.
 Observação: Um elemento per-
tence a um conjunto se ele é “visível” ou 
listado no conjunto.
Relação de Inclusão
A relação de inclusão indica se um determinado con-
junto está contido ou não em um outro conjunto. Se todos 
os elementos de um conjunto pertencem a outro, então 
o primeiro conjunto está contido no segundo. Basta um 
único elemento do primeiro conjunto não pertencer ao 
segundo para que o primeiro conjunto não esteja contido 
no segundo.
Simbologia:
A ⊂ B
(O conjunto A está contido no conjunto B)
D ⊄ E
(O conjunto D não está contido no conjunto E)
B ⊃ A
(O conjunto B contém o conjunto A)
E ⊅ D
(O conjunto E não contém o conjunto D)
Quando fazemos uso da relação de inclusão estamos, 
necessariamente, relacionando um conjunto a outro con-
junto. Assim, pode acontecer:
“ conjunto” ⊂ “ conjunto” ou
“ conjunto” ⊄ “ conjunto” ou
“ conjunto” ⊃ “ conjunto” ou
“ conjunto” ⊅ “ conjunto”.
 Observação: Se um conjunto A 
está contido no conjunto B, dizemos que A 
é um subconjunto de B.
Subconjuntos
Quando todos os elementos de um conjunto A qual-
quer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que 
A é um subconjunto de B, ou seja A ⊂ B.
 Dica Focus: Sempre será verdade 
que:
1. Todo o conjunto A é subconjunto dele 
próprio, ou seja, A ⊂ A;
2. O conjunto vazio, por convenção, é 
subconjunto de qualquer conjunto, ou 
seja, ø ⊂ A.
Conjunto Vazio
O Conjunto vazio é o conjunto que não possui ele-
mentos. Para representarmos o conjunto vazio usaremos 
os símbolos: { } ou ø.
 Dica Focus: Quando os símbolos 
{ } ou ø, aparecerem listados ou visíveis, 
dentro de um conjunto, o conjunto vazio 
deverá ser tratado como elemento desse 
conjunto especificado.
 Exemplo: Seja o conjunto A = {ø; 
1; 2; 3}, é correto afirmar para o conjunto A 
listado, que ø ∊ A, pois é um elemento do 
conjunto A.
Conjunto Unitário
É o conjunto que possui apenas um elemento. 
Conjunto das Partes
O Conjunto das partes de um conjunto A, denotado 
por P(A), é o conjunto formado por todos os subconjuntos 
do conjunto A. Assim o conjunto das partes é o conjunto 
dos subconjuntos. 
 Dica Focus: Lembre-se que den-
tre os subconjuntos de um dado conjunto, 
estão o conjunto vazio e o próprio conjunto.
 Exemplo: Seja X = {a, e, i}. Então, 
P(X) = {{a}; {e}; {i}; {a, e}; {a, i}; {e, i}; {a, 
e, i}; ø}
Para indicarmos o número de elementos de um con-
junto A, usaremos a notação n(A), e o número de elemen-
tos do conjunto das partes será indicado por n[P(A)]. Daí:
n[P(A)] = 2n(A)
Assim, um conjunto com 4 elementos, terá 24 ele-
mentos o seu conjunto das partes, ou seja, o conjunto A 
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22
MATEMÁTICA
terá no total 16 subconjuntos.
Igualdade de Conjuntos 
Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresen-
tam exatamente os mesmos elementos, em qualquer or-
dem, sendo que elementos iguais, num mesmo conjunto, 
serão considerados uma única vez. Daí, podemos afi rmar 
que é verdadeira a igualdade dada por: 
A= { a; b; c} = { c; b; a} = { a; a; a; b; b; b; c; c}
Simbolicamente a igualdade entre conjuntos fi ca de-
fi nida como:
A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A
Operações com Conjuntos
União de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, defi ne-se como união dos 
conjuntos A e B ao conjunto representado por A ∪ B, 
formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, 
ou seja:
A∪ B={x | x ∈ A ou x ∈ B}
 
Intersecção de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, defi ne-se como intersecção 
dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A∩B, 
formado por todos os elementos pertencentes a A e B, 
simultaneamente, ou seja: 
A ∩ B={x | x ∈ A e x ∈ B}
Diferença de Conjuntos
Dados os conjuntos A e B, defi ne-se como diferença 
entre A e B (nest a ordem) ao conjunto representado por 
A – B, formado por todos os elementos pertencentes a A, 
mas que não pertencem a B, ou seja:
A-B={x | x ∈ A e x ∈ B}
Complemento de um Conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto 
A, denotado por C
A
B, é a diferença entre os conjuntos 
A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que 
pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto 
B. Assim,
C
A
B=A-B={x | x ∈	A e x ∈ B} 
 Quando não há dúvida sobre o universo U em que 
est amos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c 
post a como expoente no conjunto, para indicar o com-
plemento dest e conjunto. Muit as vezes usamos a palavra 
complementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc = U e Uc = Ø.
Leis de Morgan na Teoria dos Conjuntos
01. O complementar da reunião de dois con-
juntos A e B é a interseção dos complementares 
desses conjuntos.
(A∪B)c = Ac∩Bc
02. O complementar da reunião de uma cole-
ção fi nit a de conjuntos é a interseção dos comple-
mentares desses conjuntos.
(A
1
∪A
2
∪...∪A
n
)c = A
1
c∩A
2
c∩...∩A
n
c
03. O complementar da interseção de dois 
conjuntos A e B é a reunião dos complementares 
desses conjuntos.
(A∩B)c = Ac∪Bc
04. O complementar da interseção de uma co-
leção fi nit a de conjuntos é a reunião dos comple-
mentares desses conjuntos.
(A
1
∩A
2
∩...∩A
n
)c = A
1
c∪A
2
c∪...∪A
n
c
Produto Cartesiano
Dados os conjuntos A e B, ch ama-se produto carte-
siano de A por B ao conjunto A X B, formado por todos 
os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é 
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CAPÍTULO 02 - Teoria dos Conjuntos
23
elemento de B, ou seja:
A X B={(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}
 
Número de Subconjuntos de um Conjunto
Se um conjunto A possuir n elementos, então existi-
rão 2n subconjuntos de A.
Símbolos
∈ Pertence
∌ Não pertence
⊂ Está contido
⊄ Não está contido
⊃ Contém
⊅ Não contém/
 Tal que
⇒ Implica que
⇔ Se, e somente se 
∃ Existe
∄ Não existe
A
 Para todo (ou qualquer que seja)
∅ Conjunto vazio
ℕ Conjunto dos número naturais
𝕀 Conjunto dos número inteiros
ℚ Conjunto dos número racionais
ℚ’=𝕀 Conjunto dos número irracionais
ℝ Conjunto dos número reais
Problemas com Dois Conjutos
Muitos são os problemas relacionados com a noção 
de conjunto. Normalmente esses problemas ocorrem 
com dois ou três conjuntos. 
Na resolução de problemas com esses conjuntos, o 
entendimento dos diagramas é fundamental e com isso, 
faremos um estudo das possibilidades de formação com 
esses diagramas.
Passos da Resolução 
Passo 1 
Preencher o espaço “A e B” 
Passo 2
Preencher os espaços “só A” e “só B” e “nenhum” 
Passo 3 
Responder à pergunta 
 Exemplo: Em pesquisa realizada 
numa escola sobre leitura de duas revistas, 
A e B, observou- se que 90 leem a revista 
A, 50 leem a revista B, 20 leem as revistas 
A e B. quantas pessoas foram entrevista-
das? 
Fórmula para Resolução
Existe ainda a opção de resolver essas questões utili-
zando uma fórmula resolutiva, que apresentamos abaixo.
N (A∪B) = N (A) + N(B) - N (A∩B)
onde:
N (A ∪ B) : significa “número de elementos de A junto 
com B – União de A com B”.
N (A) : número de elementos de A.
N (B) : número de elementos de B.
N (A ∩ B) : número de elementos de A e B ao mesmo 
tempo – Intersecção de A com B.
Vamos resolver a mesma questão utilizando a fór-
mula: 
Em pesquisa realizada numa escola sobre leitura de 
duas revistas, A e B, observou- se que 90 lêem a revista 
A, 50 lêem a revista B, 20 lêem as revistas A e B. quantas 
pessoas foram entrevistadas?Problemas com Três Conjuntos
Na resolução de problemas com três conjuntos, a uti-
lização de diagramas é fundamental. Na formação desse 
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24
MATEMÁTICA
diagrama e no seu preenchimento devemos ter muito 
cuidado. Devemos seguir os passos para evitar erros.
Passo 1 
Preencher o espaço A e B e C 
Passo 2 
Preencher os espaços “só A e B” e “só A e C” e “só B e 
C”. Descontando “A e B e C”. 
Passo 3 
Preencher “só A” e “só B” s “só C” e nenhum descon-
tando os valores já colocados. 
 Exemplo: O quadro abaixo mos-
tra o resultado de uma pesquisa realizada 
com 1.800 pessoas, entrevistadas a respeito 
da audiência de três programas favoritos 
de televisão, a saber: Esporte (E), Novela 
(N) e Humorismo (H).
Questões Gabaritadas
1) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, então 
o complementar de B em A é: 
a. { }
b. {8} 
c. {8, 9, 10} 
d. {9, 10, 11 …} 
e. {1, 5, 8} 
2) Dados os conjuntos 𝐴={𝑎,𝑏,𝑐}, 𝐵={𝑏,𝑐,𝑑}
e	 𝐶={𝑎,𝑐,𝑑,𝑒}. Determine o conjunto	
{(𝐴−𝐶)∪(𝐴∩𝐵∩𝐶)}
3) Dados os conjuntos 𝐴={1,2,3,4,5}, 𝐵={4,5,6,7},
𝐶−𝐴={7,8,9}, 𝐶−𝐵={3,8,9} e 𝐴∩𝐵∩𝐶={4}. O número 
de elementos do conjunto C é: 
a. 3 
b. 4 
c. 5 
d. 6 
e. 7 
4) Considere os conjuntos M e N tais que 
𝑀∪𝑁={1,2,3,4,5,6}, 𝑀∩𝑁={1,2} e 𝑁−𝑀={3,4}. Assi-
nale a alternativa correta: 
a.	𝑀={1,2,3}
b.	𝑀={1,2,5,6}
c.	𝑁={1,2,4}
d.	𝑁={1,2}
e.	𝑀={1,2,3,4} 
5) Se 𝐴={2,3,5,6,7,8}, B{1,2,3,6,8} e 𝐶={1,4,6,8}, 
então: 
a.	(𝐴−𝐵)∩𝐶={2}
b.	(𝐵−𝐴)∩𝐶={1}
c.	(𝐴−𝐵)∩𝐶={1}
d.	(𝐵−𝐴)∩𝐶={2}
e.	𝐴∪𝐵∪𝐶=𝐶
6) Numa pesquisa realizada, verificou-se que 
das pessoas consultadas, 100 liam a revista A, 150 
liam a revista B, 20 liam as duas revistas A e B e 
110 pessoas não liam nenhuma das duas revistas. 
Quantas pessoas foram consultadas? 
a. 340 
b. 230 
c. 320 
d. 210 
7) Feito exame de sangue em um grupo de 200 
pessoas, constatou-se que: 80 delas têm sangue 
com fator Rh negativo, 65 têm sangue tipo O e 25 
têm sangue tipo O com fator Rh negativo. O nú-
mero de pessoas diferentes de O e com fator Rh 
positivo é: 
a. 25 
b. 40 
c. 65 
d. 80 
e. 120 
8) Um grupo de estudantes resolveu fazer uma 
pesquisa sobre as preferências dos alunos quan-
to ao cardápio do Restaurante Universitário. 9 
alunos optaram por somente carne de frango, 3 
somente por peixe, 7 por carne bovina e frango, 
9 por peixe e carne bovina e 4 pelos três tipos de 
carne. Considerando que 20 alunos manifesta-
ram-se vegetarianos, 36 não optaram por carne 
bovina e 42 não optaram por peixe, assinale o nú-
mero de alunos entrevistados: 
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CAPÍTULO 02 - Teoria dos Conjuntos
25
a. 38 
b. 42 
c. 58 
d. 62 
e. 78 
9) Num grupo de pessoas detectou-se que 23 
pessoas são fumantes, 52 tomam café e todos os 
fumantes tomam café. 10 pessoas sofrem de in-
sônia porque fumam e outras 5 só porque tomam 
café. Determine o número de pessoas não fuman-
tes, consumidoras de café, que não tem proble-
mas para pegar no sono. 
Gabarito
1.E 2. {b,c} 3.C 4.C 5.C
6.A 7.E 8.C 9. 24
 
CESPE
1) Uma entrevista foi realizada com 46 empre-
gados de uma empresa, entre os quais 24 eram 
do sexo masculino e 22, do feminino. Com base 
nessas informações, julgue os itens seguintes. 
Considerando que os empregados entrevistados 
dessa empresa pratiquem tênis ou ciclismo e que, 
na entrevista, tenha sido constatado que 30 fun-
cionários gostam de praticar tênis e 28 gostam de 
ciclismo, é correto afirmar que a quantidade de 
empregados dessa empresa que gostam de prati-
car tênis e ciclismo é maior que 10. 
( ) certo ( ) errado 
Uma pesquisa realizada com um grupo de 35 
técnicos do MPU a respeito da atividade I - plane-
jamento estratégico institucional - e da atividade 
II - realizar estudos, pesquisas e levantamento de 
dados - revelou que 29 gostam da atividade I e 28 
gostam da atividade II. Com base nessas informa-
ções, julgue os itens que se seguem. 
2) A quantidade máxima de técnicos desse 
grupo que não gosta de nenhuma das duas ativi-
dades é inferior a 7. 
( ) certo ( ) errado 
3) Se 4 técnicos desse grupo não gostam de ne-
nhuma das atividades citadas, então mais de 25 
técnicos gostam das duas atividades. 
( ) certo ( ) errado 
4) infere- se dos dados que a quantidade míni-
ma de técnicos desse grupo que gostam das duas 
atividades é superior a 20.
( ) certo ( ) errado 
Em uma escola, uma pesquisa, entre seus alu-
nos, acerca de práticas esportivas de futebol, vo-
leibol e natação revelou que cada um dos entre-
vistados pratica pelo menos um desses esportes. 
As quantidades de alunos entrevistados que pra-
ticam esses esportes estão mostradas na tabela 
abaixo.
Com base nas informações e na tabela acima, 
julgue os próximos itens. 
5) Mais de 130 dos alunos praticam apenas 2 
dessas atividades esportivas
( ) certo ( ) errado 
6) Entre os alunos, 20 praticam voleibol e na-
tação, mas não jogam futebol 
( ) certo ( ) errado 
A respeito das auditorias realizadas pelos au-
ditores A1, A2 e A3 de um tribunal de contas, con-
cluiu- se que:
• A1 realizou 70 auditorias; 
• A3 realizou 75 auditorias; 
• A1 e A3 realizaram, juntos, 55 auditorias; 
• A2 e A3 realizaram, juntos, 30 auditorias; 
• A1 e A2 realizaram, juntos, 20 auditorias; 
• das auditorias que não foram realizadas por 
A1, somente 18 foram realizadas por A2;
• A1, A2 e A3 realizaram, juntos, 15 auditorias. 
Com base nessas informações, julgue os itens 
a seguir. 
7) 5 auditorias foram realizadas apenas por 
A3. 
( ) certo ( ) errado 
8) 23 auditorias não foram realizadas por A1. 
( ) certo ( ) errado 
9) Mais de 100 auditorias foram realizadas. 
( ) certo ( ) errado 
10) 20 auditorias foram realizadas apenas por 
A1. 
( ) certo ( ) errado 
O prefeito de certo município encomendou 
uma pesquisa para avaliar a adesão da população 
local às campanhas de vacinação. Uma das per-
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26
MATEMÁTICA
guntas feitas aos pais questionava quais doses 
entre as três doses da vacina tetravalente seus 
filhos tinham tomado, considerando que cada 
dose pode ser tomada independentemente da ou-
tra. O resultado da pesquisa, que obteve informa-
ções advindas de 480 crianças, apontou que: 120 
crianças tomaram as três doses; 130 tomaram a 
primeira e a segunda dose; 150 tomaram a segun-
da e a terceira dose; 170 tomaram a primeira e a 
terceira dose; 270 tomaram a primeira dose; 220 
tomaram a segunda dose; 50 não tomaram ne-
nhuma das três doses. Outra pergunta dessa mes-
ma enquete era referente à vacina BCG, cuja dose 
é única. De acordo com os dados acima, julgue os 
itens que se seguem. 
11) Na situação considerada, mais de 80 crian-
ças tomaram apenas a terceira dose da vacina te-
travalente. 
( ) certo ( ) errado
Considere que todos os 80 alunos de uma clas-
se foram levados para um piquenique em que 
foram servidos salada, cachorro-quente e fru-
tas. Entre esses alunos, 42 comeram salada e 50 
comeram frutas. Além disso, 27 alunos comeram 
cachorro-quente e salada, 22 comeram salada e 
frutas, 38 comeram cachorro-quente e frutas e 15 
comeram os três alimentos. Sabendo que cada um 
dos 80 alunos comeu pelo menos um dos três ali-
mentos, julgue os próximos itens. 
12) Sessenta alunos comeram cachorro-quen-
te. 
( ) certo ( ) errado
13) Um treinamento relativo às técnicas cien-
tíficas de investigação está sendo preparado para 
um grupo de 720 policiais pré-selecionados. Para 
um melhor aproveitamento desse treinamento 
por parte dos policiais,foi realizada uma ava-
liação para identificar as suas deficiências em 
conhecimentos básicos de matemática, física e 
química, a fim de que sejam ministrados cursos 
de nivelamento antes do treinamento. Todos os 
policiais que apresentaram deficiências deverão 
frequentar os cursos de nivelamento nas respec-
tivas áreas. A tabela a seguir mostra as frações 
dos 720 policiais que apresentaram deficiências 
em uma ou mais dessas áreas básicas
Com base nessas informações, julgue o item 
seguinte. 
O número de policiais que deverão frequentar 
o curso de nivelamento em química é inferior a 
240. 
( ) certo ( ) errado 
14) Considere que A e B sejam conjuntos fini-
tos e não-vazios e sejam s1, s2, s3, s4, s5 e s6 os 
seguintes números inteiros: 
s1: quantidade de elementos do conjunto A; 
s2: quantidade de elementos do conjunto B; 
s3: quantidade de elementos do conjunto A∪B; 
s4: quantidade de elementos do conjunto A∩B; 
s5: quantidade de elementos do conjunto A\B; 
s6: quantidade de elementos do conjunto B\A.
Com base nessas informações, é correto afir-
mar que, para quaisquer conjuntos A e B nas con-
dições especificadas, s3 = s1 + s6. 
( ) certo ( ) errado 
15) Para cada subconjunto A de Ω = {1, 2, 3, 4, 
5, 6, 7, 8, 9, 10}, defina P(A) como o produto dos 
elementos de A e adote a convenção P(Ø) = 1. Com 
base nessa situação, julgue o item a seguir. Se A e 
B são subconjuntos de Ω e A⊂B, então P(A) < P(B).
 
( ) certo ( ) errado 
16) Para o conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 
10}, se A for um subconjunto de Ω, indique por 
S(A) a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 
0. Nesse sentido, julgue o item a seguir. 
Se A e B forem subconjuntos de Ω, tais que 
A⊂B, então 0 < S(A) < S(B) < 55. 
( ) certo ( ) errado 
17) Para o conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 
10}, se A for um subconjunto de Ω, indique por 
S(A) a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 
0. Nesse sentido, julgue o item a seguir. 
Se A⊂Ω, e se Ω\A é o complementar de A em 
Ω, então S(Ω\A) = S(Ω) – S(A). 
( ) certo ( ) errado 
18) Para o conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 
10}, se A for um subconjunto de Ω, indique por 
S(A) a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 
0. Nesse sentido, julgue o item a seguir. 
É possível encontrar conjuntos A e B, subcon-
juntos de Ω, disjuntos, tais que A∪B = Ω e S(A) = 
S(B). 
( ) certo ( ) errado 
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CAPÍTULO 03 - Funções 
27
Gabarito
1-Certo 2-Certo 3-Certo 4-Certo 5-Certo
6-Errado 7-Certo 8-Certo 9-Errado 10-Errado
11-Errado 12-Certo 13-Errado 14-Certo 15-Errado
16-Errado 17-Certo 18-Errado
3. FUNÇÕES
A Ideia de Função
O conceito de função é um dos mais importantes da 
Matemática e tem lugar de destaque em outras áreas do 
conhecimento. Daí a importância do seu estudo. 
Inicialmente, estudaremos as ideias intuitivas ligadas 
à noção de função, e em seguida, iremos estudar mais 
formalmente esse importante conceito.
A ideia de função está presente quando relacionamos 
duas grandezas variáveis. Vejamos algumas situações:
1ª. Número de litros de gasolina e preço a pagar
Considere a tabela que relaciona o número de litros 
de gasolina comprados em dezembro de 2006 e o preço 
a pagar por eles.
Número de litros Preço a pagar (R$)
1 3,89
2 7,78
3 11,67
. .
20 77,80
O preço a pagar é dado em função do número de 
litros comprados, ou seja, o preço a pagar depende do 
número de litros comprados. Assim,
Preço a pagar = 3,89 vezes o número de litros 
comprados ou simplesmente, 
p = 3,89.n
2ª. Distância versus tempo
Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade 
constante de 90 km/h. Veja a tabela que relaciona o tem-
po t (em horas) e a distância d (em quilômetros):
Tempo(h) 0,5 1 1,5 2 3 t
Distância(km) 45 90 135 180 270 90t
A distância percorrida é dada em função do tempo, 
isto é, a distância percorrida depende do intervalo de 
tempo. E então, podemos escrever:
distância = 90. tempo
ou simplesmente,
d = 90t
3ª. Preço versus número de fotos reveladas
Na impressão de fotos, uma empresa calcula o preço 
a ser cobrado usando a fórmula
P = 12,00 + 0,65.n,
onde P é o preço, em reais, a ser cobrado e n o núme-
ro de fotos impressas. Esta fórmula nos permite respon-
der algumas questões, como por exemplo:
a. Quanto pagarei se forem impressas 22 fo-
tos?
b. Se paguei a quantia de R$ 33,45, quantas fo-
tos foram impressas?
As três relações que vimos anteriormente têm duas 
características em comum:
• A todos os valores da variável independente 
estão associados valores da variável dependente. 
• Para um dado valor da variável indepen-
dente está associado um único valor da variável 
dependente.
As relações que tem essas características são chama-
das funções.
Definição de Função
Dados dois conjuntos A e B, não vazios (formados 
por números reais), uma relação f de A em B recebe o 
nome de função definida em A com imagens em B se, e 
somente se, para todo x ∊ A existe um só y ∊ B tal que 
(x,y) ∊ f e y = f(x).
Escreve-se: 
f: A → B
x↦y = f(x) 
Esquema de flechas
• É necessário que todo elemento x ∊ A par-
ticipe de pelo menos um par (x,y) ∊ f, isto é, todo 
elemento de A deve servir como ponto de partida 
de flecha.
• É necessário que cada elemento x ∊ A parti-
cipe de apenas um único par (x,y) ∊ f, isto é, cada 
elemento de A deve servir como ponto de partida 
de uma única flecha.
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28
MATEMÁTICA
 Exemplos: 
Contraexemplos (não são funções)
Gráfico Cartesiano
Podemos verificar pela representação cartesiana da 
relação f de A em B se f é ou não função; basta verifi-
carmos se a reta paralela ao eixo y conduzida pelo ponto 
(x,0), em que x ∊ A, encontra sempre o gráfico em um 
só ponto.
 Exemplos: 
Contraexemplo
Notação das Funções
Toda função é uma relação binária de A em B; por-
tanto, toda função é um conjunto de pares ordenados. 
Geralmente, existe uma sentença aberta y = f(x) que ex-
pressa a lei mediante a qual, dado x ∊ A, determina-se 
y ∊ B tal que (x,y) ∊ f, então f = {(x,y)| x ∊ A, y ∊ B e y 
= f(x)}
 Exemplos: 
f: A → B tal que y = 2x
f: IR → IR tal que y = x2
Assim sendo, cada elemento x ∊ A é levado a um úni-
co elemento y ∊ B. Essa ocorrência é determinada por 
uma lei de formação. A partir dessa definição, é possível 
constatar que x é a variável independente e que y é 
a variável dependente. Isso porque, em toda função, 
para encontrar o valor de y, devemos ter inicialmente o 
valor de x.
Imagem de um Elemento
Se (a,b) ∊ f, o elemento b é chamado imagem de a 
pelo valor de f no elemento a, e indicamos
f(a) = b.
 Exemplos: 
Seja a função f: IR → IR tal que y = 2x + 1, 
então:
a) a imagem de 0 pela função f é 1, isto é: f(0) 
= 2.0+1 ⇒ f(0) = 1;
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CAPÍTULO 03 - Funções 
29
b) a imagem de -2 pela função f é -3, isto é: 
f(–2) = 2.(–2)+1 ⇒ f(–2) = –3.
Domínio e Imagem
Chamamos de domínio o conjunto D(f) dos elemen-
tos x∊A para os quais existe y∊B tal que (x,y)∊f.
Como, pela definição de função, todo elemento de A 
tem essa propriedade, temos nas funções: domínio = con-
junto de partida, isto é, D = A.
Chamamos de imagem o conjunto Im(f) dos elemen-
tos y∊B para os quais existe x∊A tal que (x,y)∊f. Portanto, 
o conjunto imagem é subconjunto do contradomínio, isto 
é, Im ⊂ B.
Notemos, que, feita a representação cartesiana da 
função f, temos que:
- o domínio de f corresponde aos valores do eixo-x 
para os quais existe a função f.
- a imagem de f corresponde aos valores do eixo-ypara os quais existe a função f.
Classificação das Funções
Função Injetora
Denominamos função injetora, a função que trans-
forma diferentes elementos do domínio (conjunto A) em 
diferentes imagens (elementos do conjunto B), ou seja, 
não existe elemento da imagem que possui correspon-
dência com mais de um elemento do domínio. Em uma 
linguagem matemática formal teríamos:
Essa definição que pode ser enunciada da seguinte 
maneira:
No Diagrama de Venn, temos:
Vejamos um exemplo de uma função não injetora, 
através do Diagrama de Venn.
Note que dois elementos do domínio possuem mes-
ma imagem.
Função Sobrejetora
Denominamos função sobrejetora a função que 
leva os elementos do conjunto A aos elementos do con-
junto B, quando qualquer elemento do conjunto B for 
imagem de algum elemento do conjunto A. Em outras 
palavras, para todo y ∈ B, existe um x ∈ A tal que f(x) = y.
De maneira simplificada, dizemos que uma função é 
sobrejetora quando todo elemento do conjunto B (contra-
domínio) for imagem de algum elemento do conjunto A, 
ou seja, Im(f) = B (O conjunto imagem da função f é igual 
ao contradomínio B).
No Diagrama de Venn, temos:
Note que todos os elementos do conjunto B possuem 
pelo menos uma seta referente a um elemento do con-
junto A. Em outras palavras, Im(f) = B; portanto, é uma 
função sobrejetora.
Vejamos um exemplo de uma função que não é so-
brejetora, observando o Diagrama de Venn:
Observe que nem todos os elementos do conjunto B 
são imagens de algum elemento do conjunto A, portanto 
não podemos afirmar que Im(f) = B. Sendo assim, esse é 
um exemplo de uma função que não é sobrejetora.
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30
MATEMÁTICA
Função Bijetora
Uma função é dita bijetora quando é ao mesmo tem-
po injetora e sobrejetora, pois, cada elemento de x rela-
ciona-se a um único elemento de f(x). Nessa função, não 
acontece de dois números distintos possuírem a mesma 
imagem, e o contradomínio e a imagem possuem a mes-
ma quantidade de elementos.
Função Inversa
O objetivo de uma função inversa é fazer o “cami-
nho contrário” de uma função dada. Uma função dada 
somente admitirá inversa se for bijetora, isto é, os pares 
ordenados da função f deverão pertencer à função inver-
sa f –1 de tal forma que, se (x,y) ∈ f então (y,x) ∈ f –1.
Vejamos um exemplo:
Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} 
e a função f: A→B dada por f(x) = x + 5, veja o diagrama 
dessa função abaixo:
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domí-
nio está ligado com um elemento diferente no conjunto 
imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser 
bijetora, admite inversa.
A sua função inversa será indicada por f–1: B→A, e 
será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x 
+ 5. Dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, 
portanto f –1(x) = x – 5. 
Veja o diagrama abaixo:
Note que o domínio na função f vira imagem na f –1(x)
e vice e versa.
Dada uma sentença de uma função y = f(x), para en-
contrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. Ob-
serve:
Função Composta
A função composta é utilizada quando é possível re-
lacionar mais de duas grandezas através de uma mesma 
função.
Vejamos o seguinte exemplo:
Um terreno foi dividido em 10 lotes, todos estes em 
forma quadrada e de mesma área. Represente a função 
da área do terreno utilizando a área dos lotes.
x = medida de cada lote
y = f(x) = área de cada lote
g(x) = área do terreno
Veja que a área de cada lote é dada pela função f(x):
Para calcular a área de todo o terreno, devemos sa-
ber a área de cada lote, área esta que é informada pela 
função f(x). Como temos 10 lotes, teremos que a área do 
terreno será dada pela função:
Veja que para chegar à área do terreno tivemos que 
utilizar a função f(x), ou seja, a função g(y) depende da 
função f(x), por isso trata-se de uma função composta.
Realizando a composição teremos que:
Sendo assim, definiremos a função composta, em 
uma linguagem matemática.
Dadas as funções f: A → B e g: B → C, a função 
composta de g com f é a função 
gof: A → C, 
definida por (gof)(x) = g(f(x)), x ∈ A.
 Exemplo: 
Função Constante
Uma função f: IR → IR é chamada de função constan-
te quando for definida por uma expressão do tipo
f (x) = k
onde k é um número real.
O gráfico de uma função constante será uma reta pa-
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CAPÍTULO 03 - Funções 
31
ralela ao eixo-x, ou seja:
Função Do 1º Grau
Uma função f: IR → IR é chamada de função do 1º 
grau quando for definida por uma expressão do tipo
f (x) = ax + b
onde a, b ∈ IR, com a ≠ 0.
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta não 
paralela ao eixo-x.
O fator a é chamado coeficiente angular e indica 
se a função é crescente ou decrescente, enquanto o ter-
mo independente b é o coeficiente linear e indica o 
ponto onde o gráfico corta o eixo-y.
Para encontrar a raiz, ponto onde a reta corta o eixo-
-x, deve-se resolver a equação f(x) = 0.
A função do 1º grau também é chamada função 
afim.
Quando a ≠ 0 e b = 0, temos o caso particular onde a 
função é chamada função linear, e seu gráfico é uma 
reta que passa pela origem.
Temos:
Função Do 2º Grau
Uma função f: IR → IR é chamada de função do 2º 
grau quando for definida por uma expressão do tipo
f (x) = ax² + bx + c
onde a, b, c ∈ IR, com a ≠ 0.
O gráfico de uma função do 2º grau será uma pará-
bola.
 Para encontrar as raízes (ou zeros) basta resolver 
a equação f(x) = 0, ou seja, ax² + bx + c = 0.
Delta (ou discriminante) da função do 2º grau é dado 
por ∆ = b² - 4ac, e indica o número de raízes da função:
∆ > 0 ⇒ x1 ≠ x2 (duas raízes reais distintas)
∆ = 0 ⇒ x1 = x2 (duas raízes reais iguais)
∆ < 0 ⇒ não existe raiz real
Vértice é o ponto extremo da parábola, dado pelas 
equações:
Questões Gabaritadas
01. Ano: 2015 / Banca: FUNCAB / Órgão: CRF-
-RO / Prova: Técnico em Informática
As coordenadas do vértice da parábola y = 2x2 
- 3x + 5 são:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
02. Ano: 2015 / Banca: FUNCAB / Órgão: CRF-
-RO / Prova: Técnico em Informática
Para que a parábola de equação y= k.x2 +p.x+8 
tenha 2 e 4 como raízes, os valores de k e p são, 
respectivamente:
a) 6 e -1.
b) 6 e 1.
c) 1 e 6.
d) -1 e -6.
e) 1 e -6.
03. Ano: 2014 / Banca: CONSULPLAN / Órgão: 
CBTU-METROREC / Prova: Advogado
Seja o gráfico de uma função do 1º grau.
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32
MATEMÁTICA
Qual dos pontos a seguir pertence ao gráfico 
dessa função?
a. (–2, 0).
b. (0, 4).
c. (2, 10).
d. (3, 11).
04. Ano: 2014 / Banca: CONSULPLAN / Órgão: 
CBTU-METROREC / Prova: Advogado
Considere a seguinte equação do 2º grau: ax2+ 
bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação 
são x’ = 6 e x’’ = –10 e que a + b = 5, então o discri-
minante dessa equação é igual a
a. 196.
b. 225.
c. 256.
d. 289.
05. Ano: 2013 / Banca: CESGRANRIO / Órgão: 
LIQUIGÁS / Prova: Nível Médio
A função f : [- 2,4 ] → R , definida por f ( x ) = - x2 
+ 2x + 3, possui seu gráfico apresentado a seguir.
O valor máximo assumido pela função f é
a. 6
b. 5
c. 4
d. 3
e. 1
06. Ano: 2012 / Banca: FAURGS / Órgão: TJ-RS 
/ Prova: Técnico Judiciário - Área Judiciária
Considere a figura abaixo. 
Assinale a alternativa que apresenta uma 
equação para a reta suporte do segmento oblíquo 
dessa figura. 
a. x + 4y – 8 = 0
b. 4y – x – 8 = 0
c. x + 2y – 8 = 0
d. x + 4y + 8 = 0
e. 4y – x + 8 = 0
07. Ano: 2012 / Banca: CESGRANRIO / Órgão: 
Transpetro
A raiz da função f(x) = 2x - 8 é também raiz da 
função quadráticag(x) = ax2 + bx + c. Se o vértice 
da parábola, gráfico da função g(x), é o ponto V(-1, 
-25), a soma a + b + c é igual a
a. - 25
b. - 24
c. - 23
d. - 22
e. - 21
08. Ano: 2011 / Banca: KLC / Órgão: Prefeitura 
de Diadema – SP / Prova: Assistente Legislativo
O número -1 é a raiz da equação 2x2 - 5x - a = 
0. Nessas condições, determine o valor do coefi-
ciente a: 
a. - 4
b. 9
c. 8
d. 7
e. 4
09. Ano: 2011 / Banca: FDC / Órgão: CREMERJ 
/ Prova: Técnico de Contabilidade
Considere uma função polinomial do segundo 
grau definida por f(x) = x2 – 4x + 3. O gráfico que 
representa essa função é uma parábola, que pos-
sui vértice V(a; b). O valor de (a+b) é igual a:
a. 4 
b. 3
c. 2 
d. 1
e. 0
10. Ano: 2010 / Banca: UFMT / Órgão: Prefeitu-
ra de Cuiabá - MT
Um medicamento auxiliar no tratamento da 
diarreia causada por um determinado micróbio é 
vendido em flaconetes contendo 5 mL do medica-
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CAPÍTULO 03 - Funções 
33
mento. Sabendo-se que cada mL contém 50 mi-
lhões de células que agem no referido tratamento, 
a expressão matemática que representa o número 
de células ingeridas y em função do número de 
flaconetes administrados x é:
a. y = 2,5 x 108 x
b. y = 5,0 x 108 x
c. y = 2,0 x 10-8 x
d. y = 50 x 106 x
11. Ano: 2009 / Banca: ESAF / Órgão: Receita Federal 
/ Prova: Auditor Fiscal da Receita Federal
Considere as inequações dadas por:
 Sabendo-se que A é o conjunto solução de f (x) e B 
o conjunto solução de g(x) , então o conjunto 
é igual a:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
12. Ano: 2008 / Banca: CESGRANRIO / Órgão: 
Petrobras / Prova: Técnico em Informática
Em um laboratório de pesquisas científicas, 
um cientista observou que a população de certa 
colônia de bactérias dobrava a cada hora. Se, após 
t horas, essa população de bactérias correspondia 
a dez vezes a população inicial, pode-se afirmar 
que t é um número que pertence ao intervalo
a. ] 1; 2 [
b. ] 2; 3 [
c. ] 3; 4 [
d. ] 4; 5 [
e. ] 5; 6 [
13. Ano: 2008 / Banca: CONESUL / Órgão: 
CMR-RO / Prova: Agente Administrativo
O produto das raízes da equação de 2º grau
a. 3 / 2.
b. 2 / 3.
c. 9.
d. 6.
e. 3.
14. Ano: 2005 / Banca: FCC / Órgão: TRE-RN / 
Prova: Técnico Judiciário - Área Administrativa
O cientista Galileu Galilei (1564-1642) estudou 
a trajetória de corpos lançados do chão sob certo 
ângulo, e percebeu que eram parabólicas. A cau-
sa disso, como sabemos, é a atração gravitacional 
da Terra agindo e puxando de volta o corpo para 
o chão. Em um lançamento desse tipo, a altura y 
atingida pelo corpo em relação ao chão variou em 
função da distância horizontal x ao ponto de lan-
çamento de acordo com a seguinte equação:
A altura máxima em relação ao chão atingida 
pelo corpo foi
a. 
b. 1,0m
c. 
d. 
e. 2,0m
15. Ano: 2003 / Banca: FCC /Órgão: TRE-AC / 
Prova: Técnico Judiciário - Área Administrativa
A análise conjunta dos dois gráficos permite 
concluir que n é igual a
a. 1/4
b. 1
c. 2
d. 5/2
e. 3
16. Ano: 2002 / Banca: FCC / Órgão: TRE-CE / 
Prova: Técnico Judiciário - Área Administrativa
Uma empresa de prestação de serviços usa a 
expressão p(x) = - X² + 80 x + 5, em que 0 < x < 80, 
para calcular o preço, em reais, a ser cobrado pela 
manutenção de x aparelhos em um mesmo local. 
Nessas condições, a quantia máxima cobrada por 
essa empresa é
a. R$ 815,00.
b. R$ 905,00.
c. R$ 1 215,00.
d. R$ 1 605,00.
e. R$ 1 825,00.
17. Ano: 2002 / Banca: FCC / Órgão: TRE-PI / 
Prova: Técnico Judiciário - Área Administrativa
O conjunto solução da inequação 
no universo ℕ dos números naturais, é:
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34
MATEMÁTICA
a. {0}
b. {2}
c. {3}
d. 
e. {4}
18. Ano: 2013 / Banca: CEPERJ / Órgão: CEDERJ 
/ Prova: Assistente Administrativo
A figura a seguir mostra o gráfico da função 
f(x) = x² – 4x + 5 e os pontos que formam o retân-
gulo ABCD, onde A é a origem do sistema carte-
siano, B é um ponto pertencente ao eixo x, C é um 
ponto da parábola e D é o ponto de interseção da 
parábola com o eixo y:
A área do retângulo ABCD é:
a. 10
b. 20
c. 30
d. 40
e. 50
19. Ano: 2014 / Banca: CETRO / Órgão: FUNDAÇÃO 
CASA / Prova: Agente de Apoio Socioeducativo
A produção de cereais de determinada região, em 
2013, variou de acordo com a função: 
f(t) = 500 + 10t - t2 onde t indica tempo e f(t) a quan-
tidade de grãos em toneladas. Assinale a alternativa que 
apresenta a quantidade máxima produzida em 2013. 
a) 850 toneladas. 
b) 735 toneladas. 
c) 700 toneladas. 
d) 665 toneladas. 
e) 525 toneladas. 
Gabarito
1-A 2-E 3-D 4-C 5-C
6-A 7-E 8-D 9-D 10-A
11-C 12-C 13-D 14-D 15-C
16-D 17-C 18-B 19-E
4. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS, 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA E 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Sequências Numéricas
São exemplos de sequências numéricas:
Números Pares
(0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...)
Números Ímpares
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...)
Números Triangulares
(1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...)
Números Quadrados (Quadrados Perfeitos)
(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...)
Sequência de Fibonacci
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)
Progressão Aritmética (PA)
É uma sequência de números reais onde cada termo, 
a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma cons-
tante (chamada razão).
Para calcularmos a razão de uma PA efetuamos a di-
ferença entre um termo qualquer e seu anterior.
Termo Geral de uma PA
Para calcularmos qualquer termo de uma PA usamos 
a fórmula do termo geral:
a
n
 = representa o termo procurado
a
1
 = representa o primeiro termo da PA
n = representa o número de termos
r = representa a razão da PA
Principais Propriedades
1ª) Sendo a, b, c três termos consecutivos de uma PA, 
dizemos que o termo b, central entre eles, é a média arit-
mética dos outros dois.
2ª) Numa PA finita, a soma de dois termos equidistan-
tes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Fórmula da Soma dos Termos da PA
S
n
 = representa a soma dos termos da PA
a
1
 = representa o primeiro termo da PA
an = representa o último termo a ser somado da PA
n = representa o número de termos somados da PA
Progressão Geométrica (PG)
Uma Progressão Geométrica é uma sequência de 
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CAPÍTULO 04 - Sequências Numéricas, Progressão Aritmética e Progressão Geométrica
35
números reais onde cada termo, a partir do segundo, é 
igual ao anterior multiplicado por uma constante (cha-
mada razão).
Fórmula do Termo Geral da PG
a
n
 = representa o termo procurado
a
1
 = representa o primeiro termo da PG
q = representa a razão da PG
n = representa o número de termos
Principais Propriedades
1ª) Se três números quaisquer x, y, z são termos con-
secutivos de uma P.G, então o termo central é média ge-
ométrica dos outros dois.
2ª) Numa PG finita, o produto de dois termos equi-
distantes dos extremos é igual ao produto dos termos 
extremos.
Fórmula da Soma dos Termos da PG 
Finita
S
n
 = representa a soma dos termos da PG
a
1
 = representa o primeiro termo da PG
a
n
 = representa o último termo a ser somado da PG
q = representa a razão da PG
Fórmula da Soma dos Termos da PG Infinita 
Convergente
S∞ = representa a soma dos infinitos termos da PG 
convergente
a
1
 = representa o primeiro termo da PG
q = representa a razão da PG
Questões Comentadas
(CESPE - 2012 – PRF)
CRIANÇA A
Idade (em anos completos) 0 1 2 3
Peso (em kg) 3,3 10,1 13,0 15,5
Estatura (em cm) 50 70 86 98
CRIANÇA B
Idade (em anos completos) 0 1 2 3
Peso (em kg) 3,9 10,6 13,4 -
Considerando as tabelas acima,que apre-
sentam, respectivamente, o peso e a estatura da 
criança A, desde o nascimento (0 ano) até o 3o ano 
de vida, bem como o peso da criança B, desde o 
nascimento (0 ano) até o 2.º ano de vida, julgue os 
itens a seguir.
Sabendo que as diferenças entre os pesos das 
crianças A e B, nos respectivos anos, estão em 
progressão aritmética, é correto afirmar que o 
peso da criança B no 3o ano de vida será igual a 
15,8 kg.
( ) certo ( ) errado 
 Comentário: Calculando as dife-
renças ano a ano, temos:
Ano 0 3,9 – 3,3 = 0,6
Ano 1 10,6 – 10,1 = 0,5
Ano 2 13,4 – 13,0 = 0,4
Daí, vem a PA (0,6 ; 0,5 ; 0,4 ; ...). O pró-
ximo termo, sem a necessidade de fórmu-
las, será igual a 0,3. Isso significa que a 
diferença entre os pesos no 3º ano deve ser 
igual a 0,3. Então, o peso da criança B deve 
ser 15,8, pois 15,8 – 15,5 = 0,3. Concluímos 
que a afirmação é certa.
Resposta: certo 
 Nota:
Questões Gabaritadas
1 - (Prova: CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás)
O gráfico abaixo apresenta o desenvolvimento 
do refino de petróleo no Brasil, de 2003 a 2009.
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36
MATEMÁTICA
Considerando que o aumento observado de 
2007 a 2009 seja linear e que assim se mantenha 
pelos próximos anos, quantos milhões de barris 
diários serão refinados em 2013?
a. 1.978 
b. 1.994 
c. 2.026 
d. 2.095 
e. 2.228 
2 - ( Prova: CEPERJ - 2011 - SEDUC-RJ) 
Em uma progressão geométrica, o segundo 
termo é 27–2, o terceiro termo é 94, e o quarto ter-
mo é 3n. O valor de n é:
a. 22 
b. 20 
c. 18 
d. 16 
e. 24 
3 - ( Prova: CESPE - 2011 - BRB) 
Considerando que, em uma progressão arit-
mética de termos a1, a2 ..., an..., razão seja positiva, 
a1= 2 e os termos a1, a3 e a11 estejam, nessa ordem, 
em progressão geométrica, julgue os itens a se-
guir.
A média aritmética de 3 termos quaisquer 
dessa progressão aritmética será sempre um nú-
mero inteiro.
( ) certo ( ) errado 
4 - ( Prova: FCC - 2011 - Banco do Brasil ) 
Considere que os termos da sequência seguin-
te foram obtidos segundo determinado critério:
Se x/y é o nono termo dessa sequência, obtido 
de acordo com esse critério, então a soma x + y é 
um número 
a. menor que 400. 
b. múltiplo de 7. 
c. ímpar. 
d. quadrado perfeito. 
e. maior que 500. 
5 - ( Prova: CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás ) 
Certo cometa, descoberto em 1760, foi nova-
mente visível da Terra por poucos dias nos anos 
de 1773, 1786, 1799, etc., tendo mantido sempre 
essa regularidade. Esse cometa será novamente 
visível no ano de
a) 2016 
b) 2017 
c) 2018 
d) 2019 
e) 2020 
6 - ( Prova: FCC - 2011 - Banco do Brasil ) 
Considere que os termos da sequência seguin-
te foram sucessivamente obtidos segundo deter-
minado padrão: (3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, ...) 
O décimo termo dessa sequência é 
a) 1537. 
b) 1929. 
c) 1945. 
d) 2047. 
e) 2319. 
7 - ( Prova: CESPE - 2011 - CBM-ES) 
Os números correspondentes à quantidade de 
bombeiros em cada um dos 3 grupos estão em 
progressão geométrica. 
( ) certo ( ) errado 
8 - ( Prova: CESPE - 2011 - CBM-ES) 
A área do triângulo retângulo mencionado no 
texto é igual a 12.150 km2. 
( ) certo ( ) errado 
9 - ( Prova: CESPE - 2011 - CBM-ES) 
A menor distância entre as 3 cidades é infe-
rior a 130 km. 
( ) certo ( ) errado 
10 - ( Prova: CESPE - 2011 - CBM-ES) 
A soma das distâncias entre as 3 cidades é 
igual a 540 km. 
( ) certo ( ) errado 
11 - ( Prova: CESPE - 2011 - PC-ES)
Se a e b são 2 termos de uma progressão geo-
métrica, de 3 termos, em que a é o menor termo 
e a razão é superior a 3, então a soma dos termos 
dessa progressão é inferior a 45.
( ) certo ( ) errado 
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CAPÍTULO 04 - Sequências Numéricas, Progressão Arit mética e Progressão Geométrica
37
12 - ( Prova: CESPE - 2011 - PC-ES) 
Se a e b são 2 termos de uma progressão arit -
mética, de 3 termos, com razão posit iva e inferior 
a 5, então o produto dos termos dessa progressão 
é superior a 81. 
( ) certo ( ) errado 
13 - ( Prova: CESGRANRIO - 2011 - Petrobrás ) 
Considere uma sequência infi nit a de retângu-
los, cada um deles com base medindo 1cm e tais 
que o primeiro tem altura 1m e, a partir do segun-
do, a altura de cada retângulo mede um décimo da 
altura do anterior. Seja Sn a soma das áreas dos n 
primeiros retângulos des- sa sequência, expressa 
em cm2 . Pode-se afi rmar que:
a. S
3
 = 110 
b. S
7
 < 111
c. exist e n natural tal que S
n
 é um número 
irracional 
d. exist e n natural tal que S
n
 = 111,1111111
e. S
n
 < 111,01 para todo natural não nulo n
14 - ( Prova: CESGRANRIO - 2012 - Petrobrás) 
Álvaro, Bento, Carlos e Danilo trabalham em 
uma mesma empresa, e os valores de seus sa-
lários mensais formam, nessa ordem, uma pro-
gressão arit mética. Danilo ganha mensalmente 
R$ 1.200,00 a mais que Álvaro, enquanto Bento e 
Carlos recebem, juntos, R$ 3.400,00 por mês. 
Qual é, em reais, o salário mensal de Carlos?
a. 1.500,00
b. 1.550,00
c. 1.700,00
d. 1.850,00
e. 1.900,00
15 - ( Prova: VUNESP - 2012 - PM-SP; ) 
Os valores das parcelas mensais est abeleci-
das em contrato para pagamento do valor total de 
compra de um imóvel const it uem uma PA cres-
cente de 5 termos. Sabendo que a1 + a3 = 60 mil 
reais, e que a1 + a5 = 100 mil reais, pode-se afi rmar 
que o valor total de compra desse imóvel foi, em 
milhares de reais, igual a
a. 200 
b. 220
c. 230 
d. 250 
e. 280
16 - ( Prova: CESGRANRIO - 2012- Transpetro ) 
Seja a progressão geométrica: 
O quarto termo dessa progressão é:
a. 0
b. 
c. 
d. 1 
e. 5
17 - ( Prova: CESGRANRIO - 2012 - EPE ) 
Os irmãos Antônio, Beatriz e Carlos comeram, 
juntos, as 36 balas que havia em um pacote. Mas 
Antônio ach ou a divisão injust a, já que Beatriz 
comeu 4 balas a mais que ele, e Carlos comeu 
mais balas do que Beatriz. 
Se as quantidades de balas que os três irmãos 
comeram formavam uma progressão arit mética, 
quantas balas Antônio comeu?
a. 4 
b. 6 
c. 8 
d. 10 
e. 12 
18 - ( Prova: CESPE - 2012 - PRF)
CRIANÇA A
Idade (em anos completos) 0 1 2 3
Peso (em kg) 3,3 10,1 13,0 15,5
Est atura (em cm) 50 70 86 98
CRIANÇA B
Idade (em anos completos) 0 1 2 3
Peso (em kg) 3,9 10,6 13,4 -
Considerando as tabelas acima, que apre-
sentam, respect ivamente, o peso e a est atura da 
criança A, desde o nascimento (0 ano) até o 3º ano 
de vida, bem como o peso da criança B, desde o 
nascimento (0 ano) até o 2º ano de vida, julgue os 
it ens a seguir.
Sabendo que as diferenças entre os pesos das 
crianças A e B, nos respect ivos anos, est ão em 
progressão arit mética, é correto afi rmar que o 
peso da criança B no 3º ano de vida será igual a 
15,8 kg.
( ) certo ( ) errado 
19 - ( Prova: PUC-PR - 2012 - DPE-PR ) 
O sexto termo de uma progressão geométrica 
é igual a 12500. Se a razão é igual a 5, assinale a 
alternativa correspondente ao terceiro termo. 
a. 100 
b. 125 
c. 150 
d. 340 
e. 300 
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38
MATEMÁTICA
20 - ( Prova: PUC-PR - 2012 - DPE-PR) 
Considere as informações para uma PA (pro-
gressão aritmética): 1º termo é igual a 2, razão 
equivale a 5. Determine o valor do 17º termo dessa 
sequência numérica. 
a. 74 
b. 53 
c. 82 
d. 18 
e. 35 
21 - ( Prova: COPESE - UFT - 2012 ) 
Os cubos da sequência a seguir são formados 
com palitos (um palito para cada aresta). 
O segundo termo desta sequência é composto 
por 2 cubos, sendo formado pelo primeiro termo 
acrescido de mais palitos. O terceiro termoé com-
posto por 3 cubos, sendo formado pelo segundo 
termo acrescido de mais palitos. Continuando a 
construção da sequência apresentada, com mais 
56 palitos, de forma que não sobrem palitos, pode 
ser construído um termo completo com o total de 
a. 6 cubos
b. 7 cubos. 
c. 10 cubos 
d. 12 cubos 
e. 14 cubos 
22 - ( Prova: UNICENTRO - 2012 ) 
Em Irati, cidade do Paraná, um grupo de se-
nhoras criou um “Clube de Leitura”. Na sede do 
clube, elas trocavam livros, liam e discutiam so-
bre o assunto de que tratavam. Uma nova mora-
dora da cidade ingressou no grupo e descobriu 
que precisaria ler 8 livros, 1600 páginas, para 
acompanhar o bate-papo literário com as novas 
amigas. Resolveu, pois, iniciar a leitura da se-
guinte maneira: leria todos os dias, sendo que, no 
1º dia, serem lidas x páginas e, a cada dia, leria 
2 páginas a mais do que as lidas no dia anterior. 
Se completou a leitura das 1600 páginas em 25 
dias, então o número de páginas lidas no 1o dia, 
foi igual a
a. 60 
b. 50 
c. 40 
d. 30 
e. 20
23 - ( Prova: ESAF - 2012 - Receita Federal ) 
Uma sequência de números k1 , k2 , k3 , k4 
,....,kn é denominada Progressão Geométrica - PG 
- de n termos quando, a partir do segundo termo, 
cada termo dividido pelo imediatamente anterior 
for igual a uma constante r denominada razão. 
Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada 
um dos termos da sequência (p - 2); p; e (p + 3) ter-
-se-á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e 
da soma dos termos da PG são, respectivamente, 
iguais a
a. (6 - p); 2/3; 21
b. (p +6); 3/2; 19
c. 6; (6 – p); 21
d. (6 - p); 3/2; 19
e. (p - 6); p; 20
24 - ( Prova: CEPERJ - 2012 - DEGASE ) 
Na progressão aritmética 3, 6, 9, 12, 15, ..., o 
próximo elemento vale:
a. 9 
b. 12 
c. 15 
d. 18 
e. 27 
25 - ( Prova: CESPE - 2012 - Banco da Amazô-
nia)
Considerando 7 × 10-3 como valor aproximado 
para e -5, julgue os próximos itens, relativos à mo-
vimentação de clientes acima descrita.
A sequência p(0), p(1), p(2), p(3), . . . é uma pro-
gressão geométrica de razão menor que 1.
( ) certo ( ) errado 
26 - ( Prova: CESGRANRIO - 2012 - Banco do 
Brasil) 
Uma sequência numérica infinita (e1, e2, e3,...., 
en....) é tal que a soma dos n2 termos iniciais é 
igual a n2 + 6n. O quarto termo dessa sequência 
é igual a
a. 9 
b. 13 
c. 17 
d. 32 
e. 40 
27 - ( Prova: FCC - 2012 - TRF ) 
Considere que os termos da sucessão seguinte 
foram obtidos segundo determinado padrão.
(20, 21, 19, 22, 18, 23, 17, ...)
Se, de acordo com o padrão estabelecido, X e 
Y são o décimo e o décimo terceiro termos dessa 
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CAPÍTULO 05 - Exponenciais e Logarit mos 
39
sucessão, então a razão é igual a
a. 44%. 
b. 48%. 
c. 56%. 
d. 58%. 
e. 64%. 
28 - ( Prova: VUNESP - 2013 - SAP-SP) 
Observe a sequência de fi guras com bolinhas.
Mantendo-se essa lei de formação, o número 
de bolinhas na 13ª posição (P13 ) será de
a. 91
b. 74
c. 63 
d. 58 
e. 89 
29 - ( Prova: CESGRANRIO - 2013 - BNDES) 
Progressões arit méticas são sequências nu-
méricas nas quais a diferença entre dois termos 
consecutivos é const ante. A sequência (5, 8, 11, 14, 
17, ..., 68, 71) é uma progressão arit mética fi nit a 
que possui
a. 67 termos 
b. 33 termos 
c. 28 termos 
d. 23 termos 
e. 21 termos 
Gabarit o
1-B 2-A 3-C 4-D 5-E
6-D 7-E 8-C 9-E 10-C
11-C 12-E 13-D 14-E 15-D
16-D 17-C 18-C 19-A 20-C
21-C 22-C 23-D 24-D 25-E
26-B 27-C 28-A 29-D
5. EXPONENCIAIS E LOGARITMOS
Equações Exponenciais
Chamamos de equação exponencial toda equação na 
qual a incógnit a aparece no expoente.
Exemplos de equações exponenciais:
a. 3x = 81
(a solução é x = 4)
b. 2x-5 = 16
(a solução é x = 9)
c. 16x - 42x-1 – 10 = 22x-1 
(a solução é x = 1)
d. 32x-1- 3x - 3x-1 + 1 = 0
(as soluções são x’ = 0 e x’’ = 1)
Para resolver equações exponenciais, devemos reali-
zar dois passos importantes:
1º) redução dos dois membros da equação a potências 
de mesma base;
2º) aplicação da propriedade: 
É importante também lembrar as propriedades da 
potenciação. Sendo a, b ∈ Z, e n, m ∈ N, temos:
Multiplicação de potências de mesma base
an . am = an+m
Divisão de potências de mesma base
an : am = an-m
Potência de potência
(am)n=am·n
Atenção:(am)n≠am
n
Potência de um produto
(a .	b)n = an . bn 
Potência de um quociente
(a : b)n = an : bn
Expoente nulo
a0 = 1 (a ≠ 0)
Base nula
0n = 0 (n ≠ 0)
Base 1
1n = 1
Expoente negativo
Quest ões Resolvidas
01. 3x=81
Resolução:
Como 81=34, podemos escrever 3x = 34
E daí, x = 4.
02. 9x = 1
Resolução:
9x = 1 ⇒ 9x = 90 ; logo x = 0.
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40
MATEMÁTICA
03. 
Resolução:
04. 
Resolução:
05. 23x-1 = 322x
 Resolução:
23x-1 = 322x ⇒ 23x-1 = (25)2x ⇒ 23x-1 = 210x 
Daí 3x – 1 = 10x, de onde x = -1/7.
06. Resolva a equação 32x–6.3x–27=0.
Resolução: 
Vamos resolver esta equação através de uma trans-
formação:
32x – 6.3x – 27 = 0
(3x)2 - 6.3x – 27 = 0
Fazendo 3x = y, obtemos:
y2 - 6y – 27 = 0
Aplicando Bhaskara encontramos
y’ = -3 e y’’ = 9
Para achar o x, devemos voltar os valores para a 
equação auxiliar 3x = y:
y’= -3 ⇒ 3x’= -3 ⇒ não existe x’, pois potência de base 
positiva é positiva.
y’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 9 ⇒ 3x’’ = 32 ⇒ x’’ = 2
Portanto a solução é x = 2.
Função Exponencial
Chamamos de função exponencial aquela na qual 
temos a variável aparecendo no expoente.
A função f:ℝ → ℝ
+
* definida por
f(x)=ax
com a ∈	ℝ e a≠1, é chamada função exponencial 
de base a. O domínio dessa função é o conjunto dos nú-
meros reais e o contradomínio é o conjunto dos números 
reais positivos.
Gráfico Cartesiano da Função Exponencial
Temos 2 casos a considerar:
• quando a > 1;
• quando 0 < a < 1.
Nos dois exemplos, podemos observar que
a. o gráfico nunca intercepta o eixo-x. Portan-
to, a função não tem raízes;
b. o gráfico corta o eixo-y no ponto (0,1);
c. os valores de y são sempre positivos, pois 
potência de base positiva é positiva. Portanto o 
conjunto imagem é Im(f)= ℝ
+
*.
Além disso, podemos estabelecer o seguinte:
• quando a > 1:
 f(x)=ax é crescente e Im(f)= ℝ
+
*
Para quaisquer x
1
 e x
2
 do domínio:
 x
2
 > x
1
 ⇒ f(x
2
) > f(y
1
)
(as desigualdades têm mesmo sentido)
• quando 0 < a < 1:
 f(x)=ax é decrescente e Im(f)= ℝ
+
*
Para quaisquer x
1
 e x
2
 do domínio:
 x
2
 > x
1
 ⇒ f(x
2
) < f(y
1
)
(as desigualdades se invertem)
Inequação Exponencial
Chamamos de inequação exponencial toda ine-
quação na qual a incógnita aparece no expoente.
Para resolver uma inequação exponencial, devemos 
realizar dois passos importantes:
1º) redução dos dois membros da inequação a potên-
cias de mesma base;
2º) aplicação da propriedade: 
 
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CAPÍTULO 05 - Exponenciais e Logaritmos 
41
• quando a > 1:
 am > an ⇒ m > n
(a desigualdade permanece com o mesmo sentido)
• quando 0 < a < 1:
 am > an ⇒ m < n
(a desigualdade inverte o seu sentido)
Questões Resolvidas
Resolva a inequação 
Resolução:
 Aplicando as propriedades da potenciação,
Multiplicando os dois membros por 4,
Multiplicando os dois membros por (-1),
 E, finalmente, como a base 4 é maior que 1, preserva-
mos a desigualdade e temos como solução x < 0.
Questões Gabaritadas
01. Resolva as equações:
02. Determine x em:
03. Resolva as equações:
04. Determine x tal que:
05. Resolva as equações:
06. Resolva as equações:
Logaritmos
O conceitode logaritmo foi introduzido pelo mate-
mático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado 
pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos 
logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de 
simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para 
a época, principalmente na área da astronomia, entre 
outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as 
operações de multiplicação em soma, de divisão em sub-
tração, entre outras transformações possíveis, facilitando 
sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logarit-
mo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logarit-
mo é uma nova denominação para expoente, conforme 
veremos a seguir. Assim, por exemplo, como sabemos 
que
4² = 16, onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, 
na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logarit-
mo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente:
log
4
16 = 2.
Definição de logaritmo
loga b=x ⟺ a
x=b
sendo b > 0, a > 0 e a ≠ 1.
Na igualdade logab=x temos:
 
• a é a base do logaritmo
• b é o logaritmando ou antilogaritmo
• x é o logaritmo
Exemplos:
01. log
2
32=5, pois 25=32
02. log
4
16=2, pois 42=16
03. log
5
1=0, pois 50=1
Consequências da Definição
Sendo b > 0, a > 0, a ≠ 1 e m um número real qual-
quer, temos a seguir algumas consequências da defini-
ção de logaritmo:
⟹logaa=1
⟹loga1=0
⟹logaam=m
	
⟹alogab=b
⟹logab=logac	⇔b=c
Propriedades Operatórias dos Logaritmos
Logaritmo do produto
loga (x∙y)=logax+logay
Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA - CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial.
42
MATEMÁTICA
(a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0)
Logarit mo do quociente
(a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0)
Logarit mo da potência
logax
m=m∙logax
(a > 0, a ≠ 1, x > 0 e m∊ℝ)
Caso particular: como temos:
Cologarit mo
Chamamos de cologarit mo de um número posit ivo b 
numa base a (a > 0, a ≠ 1) e indicamos por
cologab
o logarit mo inverso desse número b na base a. Ist o é,
(a > 0, a ≠ 1 e b > 0)
Como
podemos escrever também que
Mudança de Base
Em algumas sit uações podemos encontrar no cálcu-
lo vários logarit mos em bases diferentes. Como as pro-
priedades logarítmicas só valem para logarit mos numa 
mesma base, é necessário fazer, antes, a conversão dos 
logarit mos de bases diferentes para uma única base con-
veniente. Essa conversão ch ama-se mudança de base. 
Para fazer a mudança de uma base a para uma outra 
base b usa-se:
6. RAZÃO, PROPORÇÃO, 
GRANDEZAS PROPORCIONAIS E 
REGRA DE TRÊS
Razão e proporção
Quando escrevemos dois números na forma de 
com b ≠ 0, dizemos que temos uma razão entre eles.
Ao escrever est amos escrevendo a razão entre 
3 e 2, onde a parte de cima é ch amada de antecedente e 
a de baixo de consequente.
As razões são ch amadas de razões 
equivalentes porque representam o mesmo valor e 
é ch amada de forma irredutível porque é a forma mais 
simplifi cada possível de se escrever essa razão.
À igualdade de duas razões equivalentes damos o 
nome de proporção.
Quando escrevemos est amos escrevendo uma 
proporção que lê-se “3 est á para 5 assim como 6 est á 
para 10”.
O primeiro e o último termos são ch amados de ex-
tremos da proporção (3 e 10 são os extremos).
O segundo e o terceiro termos são ch amados de 
meios da proporção (5 e 6 são os meios).
Ao último termo de uma proporção ch amamos de 
quarta proporcional (no exemplo anterior 10 é a quar-
ta proporcional).
Quando o segundo e o terceiro termos são iguais ch a-
mamos de proporção contínua.
Por exemplo,
proporção contínuaproporção contínua
 é uma proporção contínua, e 
nesse caso o último termo (12) é ch amado de terceira 
proporcional.
Propriedades das Proporções
Em toda proporção, o produto dos meios é igual 
ao produto dos extremos.
 Exemplo: 
Uma proporção não se altera ao alternarmos os 
seus meios, ou os seus extremos.
 Exemplo:
Nesse caso, toda vez que trocarmos os termos tere-
mos uma nova proporção.
Numa proporção, a soma (ou diferença) dos 
antecedentes est á para a soma (ou diferença) dos 
consequentes assim como cada antecedente est á 
para seu respect ivo consequente.
 Exemplo:
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CAPÍTULO 06 - Razão, Proporção, Grandezas Proporcionais e Regra de Três
43
Nesse caso o resultado da soma ou da diferença é um 
número proporcional às razões dadas.
Vamos ver agora alguns exemplos de quest ões que 
envolvem o cálculo de razões e proporções:
1) Numa prova de matemática, a razão de nú-
mero de quest ões que Talit a acertou para o nú-
mero total de quest ões foi de 5 para 7. Com base 
nessa sit uação, julgue o it em:
Se a prova era compost a de 35 quest ões, então 
Talit a acertou mais de 30 quest ões.
( ) CERTO ( ) ERRADO
2) No 1º semest re houve 3 avaliações de mate-
mática, cada uma delas com quantidade diferen-
te de quest ões. A tabela most ra a quantidade de 
quest ões que 3 determinados alunos acertaram 
em cada prova. Os valores são tais que os núme-
ros de acertos foram proporcionais aos números 
de quest ões por prova. 
Aluno
Nº de 
quest ões por 
prova
Nº de 
Acertos
Meire 40 25
Fran 8 5
Luana 16 X
Com base nessa sit uação, julgue o it em:
Na 3ª prova, Luana acertou 10 quest ões.
( ) CERTO ( ) ERRADO
3) Ruy fez refresco mist urando 100 ml de suco 
concentrado e 500 ml de água. Como o refresco 
fi cou aguado, sua mãe resolveu acrescentar mais 
suco concentrado à mist ura, até que a quantida-
de de suco correspondesse a 1/5 da quantidade de 
refresco. 
Com base nessa sit uação, julgue o it em:
A mãe de Ruy precisou acrescentar mais de 40 
ml de suco concentrado na mist ura.
( ) CERTO ( ) ERRADO
Gabarit o
1-Errado 2-Certo 3-Errado
Grandezas Diretamente Proporcionais e 
Grandezas Inversamente Proporcionais
Chamamos de sequências diretamente propor-
cionais àquelas sequências numéricas nas quais a ra-
zão formada pelos seus termos correspondentes é sem-
pre const ante.
Por exemplo, as sequências {3, 6, 9, 12, 15} e {2, 4 , 6 
, 8, 10} são diretamente proporcionais, porque quando 
escrit as na forma de razão teremos sempre valores pro-
porcionais:
Quando isso acontece, temos uma sequência de 
grandezas diretamente proporcionais.
Observe que, na medida em que uma sequência au-
menta, a outra também aumenta, na mesma proporção.
Sequências inversamente proporcionais são 
aquelas na qual o produto formado pelos termos corres-
pondentes é const ante.
Por exemplo, as sequências {1, 2, 3, 5, 6} e {60, 30, 20, 
12, 10} são inversamente proporcionais porque o produto 
formado pelos seus termos correspondentes é sempre o 
mesmo:
1·60=2·30=3·20=5·12=6·10=60 (const ante)
Divisão em Partes Diretamente Proporcionais
Consideremos o seguinte problema: dividir o número 
360 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.
Divisão em Partes Inversamente Proporcionais
Agora, vamos considerar o seguinte problema: divi-
dir o número 496 em partes inversamente proporcionais 
aos números 2, 3 e 5.
Vejamos duas aplicações:
1) Na compra de um apartamento em socieda-
de, Letícia invest iu R$ 48.000,00 e Gust avo, R$ 
42.000,00. Depois de um certo tempo, venderam 
o imóvel por R$ 120.000,00. Considerando essa 
sit uação, julgue o it em.
Após a venda, Gust avo recebeu a quantia de R$ 
56.000,00.
( ) CERTO ( ) ERRADO
2) Flora tem uma pequena loja de produtos na-
turais e duas funcionárias, Joana e Carolina. No 
mês de julho Flora decidiu dividir um bônus de 
R$ 160,00 entre as duas funcionárias, de forma 
que cada uma receberia um valor inversamente 
proporcional ao número de faltas naquele mês. 
Considerando essa sit uação, julgue o it em.
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44
MATEMÁTICA
Se Carolina faltou 3 vezes e Joana faltou 2, en-
tão Joana recebeu mais de R$ 100,00.
( ) CERTO ( ) ERRADO
Gabarito
1-Certo 2-Errado
Regra de Três
Regra de três é um método para solucionar proble-
mas que contém grandezas, sendo uma grandeza algo 
que pode ser medido, como, por exemplo, distância, tem-
po, número de pessoas etc.
Quando o problema possui somente duas grandezas, 
dizemos que é uma regra de três simples e quando tiver 
três ou mais grandezas é uma regra de três composta.
A primeira coisa que devemos fazer para resolver 
um problema de regra de três é verificar se as gran-
dezas são diretamente proporcionais ou inversamente 
proporcionais.
Grandezas Diretamente Proporcionais
São aquelas que se comportam de maneiras iguais 
(à medida que uma grandeza aumenta a outra também 
aumenta).
Grandezas Inversamente Proporcionais
São aquelas que se comportam de maneiras inversas 
(à medida que uma grandeza aumenta a outra diminui).
Resolução de Problemas de Regra de Três
1) Os 33 alunos formandos de uma escola estão 
organizando a sua festa de formatura e 9 desses 
estudantes ficaram encarregados de preparar os 
convites. Esse pequeno grupo trabalhou durante 
4 horas e produziu 2.343 convites. Com base nes-
sa situação, julgue o item.
Admitindo-se que todos os estudantes sejam 
igualmente eficientes, se todos os 33 formandos 
tivessem trabalhado na produção desses convi-
tes, o número de convites que teriam produzido 
nas mesmas 4 horas seria superior a 8.000.
( ) CERTO ( ) ERRADO
2) João e Antonio têm seus passos aferidos. O 
passo de Antônio mede 0,90 m e o de João, 1,10 m. 
Para ir de A até B, um deu 60 passos a mais que o 
outro. Nessas condições, julgue o item.
A distância de A até B é maior que 300 m.
( ) CERTO ( ) ERRADO
3) Vinte funcionários de uma indústria produ-
zem 2.000 peças em 10 dias de trabalho. Nessas 
condições, julgue o item. 15 funcionários, com a 
mesma eficiência, deverão produzir 3.000 peças 
do mesmo produto em 20 dias.
( ) CERTO ( ) ERRADO
4) Uma máquina funcionando 6 horas por dia 
conclui um trabalho de perfuração fazendo 60 fu-
ros por minuto durante 10 dias. Assim, julgue o 
item a seguir. Se essa máquina for programada 
para fazer 50 furos por minuto trabalhando 4 ho-
ras por dia, a tarefa de perfuração será concluída 
em menos de 20 dias.
( ) CERTO ( ) ERRADO
Gabarito
1-Certo 2-Errado 3-Certo 4-Certo
Questões Gabaritadas
01) Ano: 2014 Banca: VUNESP Órgão: SAAE-SP 
Prova: Técnico em Informática
Um marceneiro confeccionou 350 cubos de 
madeira para uma loja de materiais educativos 
e precisa pintar todos eles antes de entregá-los. 
Certo dia, após algumas horas de trabalho, a ra-
zão entre o número de cubos pintados e o número 
de cubos sem pintura era 5/9.
O número de cubos que ainda estavam sem 
pintura era:
a. 210.
b. 225.
c. 245.
d. 260.
e. 275.
02) Ano: 2013 Banca: VUNESP Órgão: TJ-SP 
Prova: Escrevente Técnico Judiciário
Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 
2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasa-
dos, sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 
30 minutos de atraso. Sabendo que todos os de-
mais alunos chegaram no horário, pode-se afir-
mar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o 
número de alunos que chegaram com mais de 30 
minutos de atraso e o número de alunos que che-
garam no horário, nessa ordem, foi de
a. 2:3.
b. 1:3.
c. 1:6.
d. 3:4.
e. 2:5.
03) Ano: 2013 Banca: VUNESP Órgão: SEJUS-
-ES Prova: Agente Penitenciário
Em uma população carcerária de 14 400 pre-
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CAPÍTULO 06 - Razão, Proporção, Grandezas Proporcionais e Regra de Três
45
sos, há 1 mulher para cada 11 homens nessa situ-
ação. Do total das mulheres, 2⁄5 estão em regime 
provisório, correspondendo a
a. 840 mulheres.
b. 480 mulheres.
c. 1 200 mulheres. 
d. 640 mulheres.
e. 450 mulheres.
04) Ano: 2013 Banca: VUNESP Órgão: SEJUS-
-ES Prova: Agente Penitenciário
Os 250 trabalhadores de uma instituição serão 
distribuídos em frentes de trabalho, em 3 grupos 
de x, y e z pessoas. O número de trabalhadores x, 
y e z desses grupos será diretamente proporcio-
nal a 10, 15 e 25. Nesse caso, a diferença entre a 
frente com maior e a frente com menor número 
de trabalhadores será
a. 50.
b. 100.
c. 75.
d. 45.
e. 25.
05) O técnico Rubén Magnano, da seleção mas-
culina de basquete, resolveu premiar dois de seus 
jogadores com um prêmio total de R$ 17.000,00 de 
maneira diretamente proporcional ao número de 
pontos marcados em um certo jogo e inversamen-
te proporcional ao número de faltas cometidas na 
mesma partida. Leandrinho marcou 36 pontos e 
cometeu 4 faltas, enquanto que Anderson Varejão 
fez 24 pontos, cometendo apenas 3 faltas no refe-
rido jogo. Quanto recebeu o jogador Leandrinho?
a. R$ 8.000,00 
b. R$ 8.200,00 
c. R$ 8.500,00
d. $ 8.800,00
e. R$ 9.000,00
06) (TJPA 2006/CESPE-UnB) 
Alexandre, Jaime e Vítor são empregados de 
uma empresa e recebem, respectivamente, sa-
lários que são diretamente proporcionais aos 
números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 
empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa si-
tuação, após efetuar os cálculos, conclui-se cor-
retamente que:
a. a soma do salário de Alexandre com o de 
Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime.
b. Alexandre recebe salário superior a R$ 
1.200,00.
c. o salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00.
d. o salário de Vítor é 90% maior do que o de 
Alexandre.
07) Segundo uma reportagem, a razão entre o 
número total de alunos matriculados em um cur-
so e o número de alunos não concluintes desse 
curso, nessa ordem, é de 9 para 7. A reportagem 
ainda indica que são 140 os alunos concluintes 
desse curso. Com base na reportagem, pode-se 
afirmar, corretamente, que o número total de alu-
nos matriculados nesse curso é:
a. 180.
b. 260.
c. 490.
d. 520.
e. 630.
08) Em uma padaria, a razão entre o número 
de pessoas que tomam café puro e o número de 
pessoas que tomam café com leite, de manhã, é 
2/3. Se durante uma semana, 180 pessoas toma-
rem café de manhã nessa padaria, e supondo que 
essa razão permaneça a mesma, pode-se concluir 
que o número de pessoas que tomarão café puro 
será:
a. 72. 
b. 86.
c. 94. 
d. 105.
e. 112.
09) Em uma fundação, verificou-se que a razão 
entre o número de atendimentos a usuários in-
ternos e o número de atendimento total aos usu-
ários (internos e externos), em um determinado 
dia, nessa ordem, foi de. Sabendo que o número 
de usuários externos atendidos foi 140, pode-
-se concluir que, no total, o número de usuários 
atendidos foi
a. 84.
b. 100.
c. 217.
d. 280.
e. 350.
10) Em uma concessionária de veículos, a ra-
zão entre o número de carros vermelhos e o nú-
mero de carros prateados vendidos durante uma 
semana foi de 3/11. Sabendo-se que nessa semana 
o número de carros vendidos (somente vermelhos 
e prateados) foi 168, pode-se concluir que, nessa 
venda, o número de carros prateados superou o 
número de carros vermelhos em
a. 96. 
b. 112.
c. 123.
d. 132.
e. 138.
11) Ano: 2014 Banca: IESES Órgão: IGP-SC Pro-
va: Auxiliar Pericial - Criminalístico
Em 120 dias 9 pedreiros constroem uma resi-
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46
MATEMÁTICA
dência. Quantos pedreiros são necessários para 
fazer outra residência igual em 40 dias?
a. 27 pedreiros.
b. 30 pedreiros.
c. 26 pedreiros.
d. 22 pedreiros.
12) Ano: 2014 Banca: VUNESP Órgão: FUNDU-
NESP Prova: Auxiliar Administrativo
Dois sétimos de uma obra foram realizados 
por 4 trabalha¬ dores, todos com a mesmafor-
ça de trabalho, em 5 dias. No sexto dia, mais um 
trabalhador, com a mesma força de trabalho dos 
demais, foi contratado e, até o final da obra, man-
tiveram-¬se os cinco trabalhadores. Sendo assim, 
é cor¬reto afirmar que essa obra foi realizada em 
um número total de dias igual a
a. 15. 
b. 14. 
c. 11. 
d. 10. 
e. 9.
13) Ano: 2014 Banca: VUNESP Órgão: SAAE-SP 
Prova: Procurador Jurídico
O fabricante de um cartucho de tôner para 
impressora infor¬ma que este dura o suficiente 
para imprimir 2.500 folhas com texto simples, ou 
1.000 folhas com gráficos de qualidade normal. 
Após a instalação de um cartucho novo desse tipo, 
foram impressas 1.500 folhas de texto simples e 
80 folhas com gráficos de qualidade normal. Es-
pera¬-se que a impres¬sora com esse cartucho, 
com o que restou de tôner, possa imprimir ainda 
uma quantidade de folhas, com gráficos de quali-
dade normal, igual a
a. 320.
b. 350.
c. 380.
d. 400.
e. 440.
14) Ano: 2014 Banca: FGV Órgão: FUNARTE 
Prova: Assistente Administrativo
Um escritor pediu que Ana, Bruno e seus au-
xiliares, lessem um roteiro que tinha escrito. Ana 
leu 16 páginas por dia, levou 15 dias para termi-
nar a leitura, e Bruno leu apenas 10 páginas por 
dia. Para fazer a leitura do roteiro, Bruno gastou 
a mais do que Ana:
a. 6 dias;
b. 8 dias;
c. 9 dias; 
d. 10 dias; 
e. 12 dias.
15) Ano: 2013 Banca: VUNESP Órgão: SAP-SP 
Prova: Agente de Segurança Penitenciária
Uma máquina demora 1 hora para fabricar 
4 500 peças. Essa mesma máquina, mantendo o 
mesmo funcionamento, para fabricar 3 375 des-
sas mesmas peças, irá levar
a. 55 min.
b. 15 min.
c. 35 min.
d. 1h 15min.
e. 45 min.
16) Ano: 2013 Banca: VUNESP Órgão: SEJUS-
-ES Prova: Agente Penitenciário
Para ir de casa ao trabalho, de porta a porta, 
Elis percorre de bicicleta 3 600 metros a uma ve-
locidade média de 300 metros por minuto. Se esse 
mesmo percurso fosse efetuado utilizando-se 
uma moto a uma velocidade média de 30 quilô-
metros por hora, levaria a menos que de bicicleta
a. 4 min 48 s. 
b. 4 min 8 s.
c. 5 min 18 s.
d. 6 min 8 s.
e. 7 min 2 s.
17) Em certa gráfica, 5 máquinas de mesmo 
rendimento imprimem certo número de cópias 
de um folheto em 8 horas de funcionamento. Se 1 
delas quebrasse, quanto tempo de funcionamen-
to as máquinas restantes levariam para fazer o 
mesmo serviço?
a. 10 horas. 
b. 10 horas e 20 minutos.
c. 12 horas.
d. 12 horas e 33 minutos.
e. 15 horas.
18) (CFO-93) Se uma vela de 360 mm de altura, 
diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará 
para se consumir?
a. 20 minutos 
b. 30 minutos
c. 2h 36 min
d. 3h 20 min
e. 3h 18 min
19) (SESD-94) 30 operários deveriam fazer um 
serviço em 40 dias. 13 dias após o início das obras, 
15 operários deixaram o serviço. Em quantos dias 
ficará pronto o restante da obra? 
a. 53 
b. 54 
c. 56
d. 58
20) (FESP-96) Doze operários, em 90 dias, tra-
balhando 8 horas por dia, fazem 36m de certo 
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CAPÍTULO 07 - Porcentagem, Juros Simples e Compostos
47
tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12m do 
mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operá-
rios, trabalhando 6 horas por dia levarão: 
a. 90 dias
b. 80 dias
c. 12 dias
d. 36 dias
e. 64 dias
21) (Colégio Naval) Vinte operários constroem 
um muro em 45 dias, trabalhando 6 horas por dia. 
Quantos operários serão necessários para cons-
truir a terça parte desse muro em 15 dias, traba-
lhando 8 horas por dia? 
a. 10 
b. 20 
c. 15 
d. 30 
e. 6
22) (EPCAr) Um trem com a velocidade de 
45km/h, percorre certa distância em três horas e 
meia. Nas mesmas condições e com a velocidade 
de 60km/h, quanto tempo gastará para percorrer 
a mesma distância? 
a. 2h30min18s
b. 2h37min8s 
c. 2h37min30s
d. 2h30min30s
e. 2h29min28s
23) (ETFPE-91) Se 8 homens levam 12 dias 
montando 16 máquinas, então, nas mesmas con-
dições, 15 homens montam 50 máquinas em: 
a) 18 dias
b) 3 dias
c) 20 dias
d) 6 dias
e) 16 dias
24) (ESA-88) 12 pedreiros fizeram 5 barracões 
em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. O núme-
ro de horas por dia, que deverão trabalhar 18 pe-
dreiros para fazerem 10 barracões em 20 dias é: 
a. 8 
b. 9 
c. 10 
d. 12 
e. 15
Gabarito
1-B 2-C 3-B 4-C 5-E
6-A 7-E 8-A 9-E 10-A
11-A 12-A 13-A 14-C 15-E
16-A 17-A 18-D 19-B 20-E
21-C 22-C 23-C 24-D
7. PORCENTAGEM, JUROS 
SIMPLES E COMPOSTOS
Porcentagem
O que significa um por cento?
Um por cento representa uma parte em cem partes, 
ou seja quando dizemos um por cento (1%) de duzentos 
significa que devemos pegar o número duzentos e di-
vidi-lo por cem. O resultado representa 1% de duzentos 
(200:100=2), então 2 é 1% de duzentos.
No caso de 2%, deve-se pegar duas partes, ou seja, 2% 
de 200 é 4.
O cálculo de porcentagem pode ser feito de três for-
mas:
Usando Fração
Para isso deve-se escrever uma porcentagem na for-
ma de fração:
1% =1/100
2% = 2/100
20% = 20/100
Como exemplo, vamos calcular 24% de 420:
Usando Regra de Três
A maneira mais usada para o cálculo de porcenta-
gem é através de uma regra de três. Para isso deve-se 
sempre comparar um valor a uma porcentagem.
Por exemplo, vamos calcular 35% de 580.
Não se pode esquecer que o “total” de alguma coisa 
será o nosso 100%. Nesse exemplo, o nosso 100% será 
580.
Usando a Representação Decimal de uma 
Porcentagem
Ao dizer 10%, significa que estamos dividindo 10 por 
100, que dá como resultado 0,10. Assim, podemos usar 
esse número decimal para o cálculo da porcentagem.
Por exemplo, para calcular 10% de 1.200, fazemos:
0,10 . 1200 = 120
Questões Gabaritadas
1) Em 2006, foram embarcadas, no Porto de 
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48
MATEMÁTICA
Porto Velho, cerca de 19.760 toneladas de madeira 
a mais do que em 2005, totalizando 46.110 tone-
ladas. Assim, em relação a 2005, o embarque de 
madeira aumentou aproximadamente x %. Pode-
-se concluir que x é igual a:
a. 45
b. 58 
c. 65 
d. 75
e. 80
2) Em dezembro de 2005, a análise de uma 
amostra de água de um reservatório acusou um 
aumento de 18% de impurezas, em relação ao mês 
anterior. Em janeiro de 2006, analisada outra 
amostra do mesmo reservatório, observou-se que 
houve uma redução de 5% de impurezas em re-
lação às detectadas em dezembro. Relativamente 
ao mês de novembro, é correto afirmar que, em 
janeiro, as impurezas aumentaram em:
a. 13%
b. 12,5% 
c. 12,1% 
d. 12%
e. 11 ,8%
3) João constatou que, no mês de dezembro, a 
venda de garrafas de água mineral em sua mer-
cearia teve um aumento percentual de 14% com 
relação ao mês anterior. Sabendo que a mercearia 
de João vendeu 171 garrafas de água mineral em 
dezembro e que x representa o número de garra-
fas de água mineral vendidas em novembro, po-
demos afirmar que x é um número entre:
a. 132 e 139
b. 139 e 146 
c. 146 e 152 
d. 152 e 157
e. 157 e 164
4) Um comerciante aumentou o preço de um 
certo produto em 30%. Como a venda do produto 
caiu, o comerciante, arrependido, pretende dar 
um desconto no novo preço de modo a fazê-lo vol-
tar ao valor anterior ao aumento. Nesse caso, o co-
merciante deve anunciar um desconto de, aproxi-
madamente:
a. 15%
b. 19% 
c. 23% 
d. 28%
e. 30%
5) Em uma sala, 75% da área total está livre, 
isto é, sem móveis ou objetos, e nesse espaço será 
colocado um tapete de 2,4 m por 2,0 m, que ocu-
pará 40% desse espaço livre. A área total de sala 
corresponde a
a. 16 m² 
b. 14 m² 
c. 12 m²
d. 10 m² 
e. 8 m²
6) Uma loja vende seus artigos nas seguintes 
condições: à vista com 30% de desconto sobre o 
preço da tabela ou no cartão de crédito com 10% 
de acréscimo sobre o preço de tabela. Um artigo 
que àvista sai por R$ 7.000,00, no cartão sairá 
por:
a. R$ 7.700,00 
b. R$ 10.010,00 
c. R$ 13.000,00
d. R$ 11 .000,00
7) Paulo comprou um aparelho de som e o re-
vendeu com um lucro de 20% sobre o preço de 
venda. Nesse caso, o lucro que Paulo obteve sobre 
o preço de compra é de
a. 10% 
b. 20% 
c. 25% 
d. 40%
8) Uma empresa tem, em sua tabela de preços 
de venda de produtos aos clientes, o valor sem 
desconto (cheio) para pagamento à vista de seus 
produtos. No mês de janeiro de 2008, a empresa 
deu aos clientes um desconto de 50% sobre o va-
lor da tabela. Já em fevereiro, o desconto passou 
a 40%. No mês de fevereiro, comparativamente a 
janeiro, houve, em relação aos preços,
a. aumento de 20%
b. aumento de 10% 
c. redução de 10% 
d. redução de 20%
e. redução de 25%
9) Uma pequena cidade possui 10.000 habitan-
tes, dos quais 40% são produtores rurais e 60% 
são do sexo masculino. Sabe-se que 40% das mu-
lheres são produtoras rurais. Desse modo, o nú-
mero de habitantes do sexo masculino e que são 
produtores rurais é igual a:
a. 1750
b. 2400 
c. 4000
d. 3600
e. 6000
10) Em agosto de 2006, Josué gastava 20% de 
seu salário no pagamento do aluguel de sua casa. 
A partir de setembro de 2006, ele teve um aumen-
to de 8% em seu salário e o aluguel de sua casa foi 
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CAPÍTULO 07 - Porcentagem, Juros Simples e Compostos
49
reajustado em 35%. Nessas condições, para o pa-
gamento do aluguel após os reajustes, a porcen-
tagem do salário que Josué deverá desembolsar 
mensalmente é
a. 32,5%
b. 30% 
c. 27,5% 
d. 25%
e. 22,5%
11) Numa loja, o preço de um produto sofreu 
dois descontos consecutivos: o primeiro de 10% e 
o segundo de 18%. Qual a porcentagem equivalen-
te se o desconto fosse feito de uma única vez?
a. 11,82%
b. 26,2%
c. 18,8%
d. 28%
12) Paulo trabalha em uma empresa e obte-
ve uma promoção que acarretou um aumento de 
20% em seu salário. No mês seguinte, todos os 
funcionários da empresa obtiveram um aumen-
to salarial de 10%. Assim, em relação ao salário 
antes da promoção, o aumento salarial que Paulo 
obteve foi de
a. 20%.
b. 30%.
c. 32%.
d. 40%.
13) Antônio comprou um aparelho de televisão, 
cujo preço à vista é R$ 500,00. Entretanto prefe-
riu fazer o pagamento em duas parcelas iguais. A 
primeira delas foi paga no ato da compra. Nessa 
venda, o vendedor cobrou juros de 4% ao mês. En-
tão é correto afirmar que o valor de cada parcela 
foi
a. R$ 254,50
b. R$ 254,90
c. R$ 255,00
d. R$ 260,00
Gabarito
1-D 2-C 3-C 4-C 5-A
6-D 7-C 8-A 9-B 10-D
11-B 12-C 13-B
Juros
Podemos dizer que juro é o rendimento de uma apli-
cação financeira como no caso de uma caderneta de pou-
pança, ou é o valor que você paga pelo empréstimo de 
um dinheiro como no caso de uma financeira.
Temos dois tipos de juros: simples e compostos.
Juros Simples
O sistema de juro simples é aquele em que o rendi-
mento é calculado sobre o capital inicial. 
Para o cálculo de juro simples usamos a seguinte fór-
mula:
j=C∙i∙n
onde:
j: valor dos juros
C: capital ou principal (valor aplicado ou emprestado)
i: taxa de juros (sempre na forma centesimal)
n: tempo de aplicação
Nessa fórmula, a taxa de juros e o tempo deverão 
estar na mesma unidade. Por exemplo, se a taxa de juros 
for mensal o tempo tem que estar também em meses.
Montante é o valor final da aplicação, ou seja:
M=C+j
Juros Compostos
O sistema de juro composto é calculado sobre o últi-
mo montante, ou seja, ele é atualizado periodicamente.
Quando trabalhamos com o sistema composto, calcu-
lamos o montante da aplicação através da fórmula:
M=C∙(1+i)n
onde:
M: montante da aplicação
C: capital ou principal (valor aplicado ou emprestado)
i: taxa de juros (sempre na forma centesimal)
n: tempo de aplicação (número de períodos)
Como nos juros simples, para o cálculo dos juros 
compostos, a taxa e o tempo também deverão estar na 
mesma unidade.
Questões Gabaritadas
1) Aplicando-se R$ 650,00 durante quinze me-
ses a uma taxa de juros simples de 1,75% ao mês, 
ao final do período o montante será, em reais, 
igual a
a. 820,62.
b. 815,75.
c. 810,87.
d. 825,50.
e. 830,37.
2) Uma concessionária vende um automóvel 
por R$ 22.000,00 à vista. A prazo, vende por R$ 
24.975,00, sendo R$ 5.000,00 de entrada e o res-
tante daqui a 5 meses. Na venda a prazo, a taxa de 
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50
MATEMÁTICA
juros simples mensal cobrada foi de:
a. 2,5%
b. 3,0%
c. 3,5%
d. 4,0% 
3) Um certo capital foi aplicado a juro simples 
durante 8 meses, gerando um montante de R$ 
9.600,00. Esse montante foi novamente aplicado 
por mais 4 meses, à mesma taxa de juro da aplica-
ção anterior e gerou R$ 960,00 de juros. O capital 
inicialmente aplicado foi
a. R$ 7.000,00.
b. R$ 7.500,00. 
c. R$ 7.800,00. 
d. R$ 7.900,00.
e. R$ 8.000,00.
4) Uma entidade assistencial dividiu a apli-
cação de R$ 100.000,00 em duas aplicações: a 
primeira parte rendeu juros de 8% ao ano e a se-
gunda parte foi remunerada a uma taxa de 12% ao 
ano. Se, no prazo de um ano, os juros recebidos 
pelas aplicações foram iguais, o capital inicial 
referente à primeira e à segunda aplicação são, 
respectivamente, iguais a:
a. R$ 40.000,00 e R$ 60.000,00.
b. R$ 60.000,00 e R$ 40.000,00.
c. R$ 70.000,00 e R$ 30.000,00.
d. R$ 80.000,00 e R$ 20.000,00.
5) Um capital foi aplicado a juros simples da 
seguinte maneira: metade à taxa de 1% ao mês por 
um bimestre, 1/5 à taxa de 2% ao mês por um tri-
mestre e o restante à taxa de 3% ao mês durante 
um quadrimestre. O juro total arrecadado foi de 
R$ 580,00. O capital inicial era
a. R$ 5.800,00
b. R$ 8.300,00
c. R$ 10.000,00
d. R$ 10.200,00
e. R$ 10.800,00
6) Você está pensando em contrair uma dívi-
da em um banco que cobra 10% de juros mensal 
sobre o saldo devedor. Por exemplo, se você pegar 
R$ 100,00 emprestados, ao final de um mês esta-
rá devendo R$ 110,00. Se, ao final desse primeiro 
mês, você pagar apenas R$ 20,00 dos R$ 110,00, 
deverá, no mês seguinte, R$ 99,00 (os R$90,00 
que ficou devendo mais os 10% de juros). Imagine 
que você resolva tomar emprestados R$ 500,00 
e que seu plano seja pagar R$ 100,00 ao final do 
primeiro mês, R$ 100,00 ao final do segundo mês, 
R$ 100,00 ao final do terceiro mês e quitar a dívi-
da no quarto mês. Nesse caso, você terá de pagar, 
no quarto mês, a seguinte quantia, em reais:
a. 200,00
b. 265,45
c. 367,95
d. 398,90
e. 412,32
7) Se o capital for igual a 2/3 do montante e o 
prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa 
de juros simples considerada?
a. 25% a.a.
b. 16,67% a.a. 
c. 25% a.m.
d. 16,67% a.m.
e. 1,04% a.m.
8) Antônio comprou um aparelho de televisão, 
cujo preço à vista é R$ 500,00. Entretanto prefe-
riu fazer o pagamento em duas parcelas iguais. A 
primeira delas foi paga no ato da compra. Nessa 
venda, o vendedor cobrou juros de 4% ao mês. En-
tão é correto afirmar que o valor de cada parcela 
foi
a. R$ 254,50
b. R$ 254,90
c. R$ 255,00
d. R$ 260,00 
9) Qual é o montante de um capital de 
R$10.000,00, aplicado a juros compostos, durante 
3 meses, à taxa de 10% ao mês?
a. R$ 13.310,00
b. R$ 13.200,00
c. R$ 12.100,00
d. R$ 13.000,00
10) Pedro fez uma certa aplicação a juros com-
postos de 6% ao mês. No fim do primeiro trimes-
tre de aplicação, o montante era de R$ 20.000,00. 
Nesse caso, o capital investido por Pedro foi de, 
aproximadamente
a. R$ 16.400,00
b. R$ 16.792,00
c. R$ 16.989,00
d. R$ 17.012,00
Gabarito
1-A 2-C 3-E 4-B 5-C
6-C 7-A 8-B 9-A 10-B
8. EQUAÇÕES E SISTEMAS DE 
EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
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CAPÍTULO 08 - Equações e Sist emas de Equações do Primeiro Grau
51
Equações do 1º grau
Equação é toda sentença matemática aberta que ex-
prime uma relação de igualdade. A palavra equação tem 
o prefi xo equa, que em latim quer dizer “igual”.
São exemplos de equações do 1º grau:
 Exemplos: 
2x + 8 = 0
5x - 4 = 6x + 8
3a - b - c = 0
Não são equações:
 Exemplos:
4 + 8 = 7 + 5 (não é uma sentença aber-
ta)
x – 5 < 3 (não é igualdade)
5 ≠ –2 (não é sentença aberta, nem 
igualdade)
A forma geral de uma equação do primeiro grau é
ax+b=0
onde a e b são números reais conhecidos e a ≠ 0.
Para resolver uma equação do primeiro grau, bast a 
simplesmente isolar a incógnit a em um dos dois mem-
bros. A partir da equação geral, podemos escrever:
ax+b=0
(subtraindo b dos dois lados)
ax=-b
(dividindo os dois lados por a)
 
Consideremos a equação 2x – 8 = 3x – 10.
Numa equação, a letra é a incógnit a. A palavra in-
cógnit a signifi ca “desconhecida”. No exemplo acima, a 
incógnit a é x.
Tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 
1º membro, e o que sucede o sinal de igual, 2ºmembro. 
Em nosso exemplo, 2x – 8 é o 1º membro, enquanto 3x – 
10 é o segundo membro.
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um ter-
mo da equação. Assim, em nosso exemplo, 2x, –8, 3x e 
–10 são os termos da equação.
Equação do 1º grau na incógnit a x é toda equação 
que pode ser escrit a na forma ax+b=0, sendo a e b 
números reais, com a diferente de zero.
Chamamos de raízes de uma equação os números 
que, quando subst it uídos no lugar da incógnit a, tornam a 
igualdade dada pela equação uma sentença verdadeira. 
Por exemplo, o número 2 é uma raiz da equação
3x-6=0
pois, quando trocamos o x por 2 temos uma sentença 
verdadeira. Note que, nesse caso, nenhum outro número 
trocado no lugar do x tornaria a equação uma sentença 
verdadeira. Logo, o 2 é a única raiz da equação dada.
Quest ões Gabarit adas
Resolva as equações do 1º grau
Gabarit o
1- x=-10/9 2- x=-5 3- x=1 4- x=3 5- x=-2/3
6- x=5/2
Sist emas de Equações do 1º Grau
Vamos considerar o seguinte problema:
Ruy, em sua última partida de basquete, acertou x 
arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele 
acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos ar-
remessos de 3 pontos ele acertou?
Podemos traduzir essa sit uação através de duas 
equações, a saber:
x+y = 25 (total de arremessos certos)
2x+3y = 55 (total de pontos obtidos)
 
Essas equações formam um sist ema de equações. 
Cost uma-se indicar o sist ema usando uma ch ave. Assim, 
temos:
O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças 
verdadeiras, é ch amado solução do sist ema.
 
Resolução de Sist emas
 
A resolução de um sist ema de duas equações com 
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52
MATEMÁTICA
duas variáveis consist e em determinar os valores de x e 
y (par ordenado) que torne verdadeiras, ao mesmo tem-
po, essas equações.
Est udaremos a seguir alguns métodos:
Método da Subst it uição
Vamos considerar o sist ema:
Isolando x na equação (1), temos:
(x=4-y (3)
Subst it uindo o valor de x da equação (3) na equação 
(2), determinamos o valor de y:
Finalmente, subst it uindo o valor de y que encontra-
mos em (4) na equação (3), determinamos o valor de x:
Assim, a solução do sist ema é o par ordenado (3, 1), ou 
simplesmente, x = 3 e y = 1.
Método da Adição
Vamos considerar o sist ema:
Adicionando, membro a membro (por coluna), as 
equações (1) e (2), temos:
Finalmente, tomando a valor de x encontrado na 
equação (3) e subst it uindo na equação (1), temos:
Assim, por (3) e (4), temos que a solução do sist ema é 
o par ordenado (8, 2).
Quest ões Gabarit adas
Resolva os sist emas:
4) Tenho que comprar lápis e canetas. Se comprar 7 
lápis e 3 canetas, gast arei R$ 16,50. Se comprar 5 lápis e 
4 canetas, gast arei R$ 15,50. Qual o preço de cada lápis 
e cada caneta?
5) Certo dia, numa mesma casa de câmbio, Paulo tro-
cou 40 dólares e 20 euros por R$ 225,00 e Pedro trocou 
50 dólares e 40 euros por R$ 336,00. Nesse dia, 1 euro 
est ava cotado em quanto? E um dólar?
6) Em uma garagem há automóveis e motocicletas. 
Contando, exist em 17 veículos e 58 rodas. Qual o número 
de cada tipo de veículo?
7) Meu irmão é cinco anos mais velho do que eu. O 
triplo da minha idade somado ao dobro da idade dele, dá 
100 anos. Quais são nossas idades?
8) Para assist ir a um sh ow em um clube, compare-
ceram 4000 pessoas. Nesse sh ow, o número de sócios 
presentes foi 1100 a menos que o dobro do número de 
não-sócios presentes. Qual o número de sócios compa-
receu ao sh ow?
9) Uma pessoa participa de um jogo em que uma mo-
eda honest a é lançada 100 vezes. Cada vez que ocorre 
cara, ela ganha R$ 10,00 e cada vez que ocorre coroa, 
perde R$ 5,00. Se após os 100 lançamentos a pessoa teve 
um ganho líquido de R$ 25,00, quantas vezes deve ter 
ocorrido cara na moeda?
10) Numa lanch onete, 2 copos de refrigerante e 3 co-
xinhas cust am R$ 5,70. O preço de 3 copos de refrige-
rantes e 5 coxinhas é R$ 9,30. Quais os preços de cada 
coxinha e cada copo de refrigerante?
Gabarit o
1-(3, 1) 2-(1,2) 3-(2,3) 4-lápis: 
R$ 1,50; 
caneta: 
R$ 2,00
5-euro: 
R$ 3,65; 
dólar: 
R$ 3,80
6- 12 auto-
móveis e 5 
motocicle-
tas
7- eu:18 
anos; ir-
mão: 
23 anos
8- 2300 
sócios
9- 35 ve-
zes
10- coxi-
nha: R$ 
1,50; refri-
gerante: 
R$ 0,60
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CAPÍTULO 08 - Equações e Sistemas de Equações do Primeiro Grau
53
Equações do 2º Grau
De forma geral, chama-se equação do 2º grau com 
uma variável toda equação que pode ser escrita na forma
ax²+bx+c = 0
em que x é a variável e a, b e c são os coeficientes da 
equação do 2º grau.
a representa o coeficiente de x².
b representa o coeficiente de x.
c representa o termo independente.
Exemplos de equações do 2º grau.
5x² - 3x + 2 = 0
onde: a = 5, b = - 3 e c = 2 completa
x² + 6x + 9 = 0
onde: a = 1, b = 6 e c = 9 completa
-3x² + 7x + 1 = 0
onde: a = -3, b = 7 e c = 1 completa
-x² + 5x - 6 = 0
onde: a = - 1, b = 5 e c = -6 completa
3x² - 5 = 0
onde: a = 3, b = 0 e c = - 5 incompleta (b = 0)
x² + 4x = 0
onde: a = 1, b = 4 e c = 0 incompleta (c = 0)
5x² = 0
onde: a = 5, b = 0 e c = 0 incompleta (b = 0 e c = 0)
Raízes de uma Equação do 2º Grau
Dizemos que um número é raiz da equação, quando 
este torna a sentença matemática verdadeira.
Exemplos:
01. Verifique se o número 9 é raiz da equação 
x²–11x+18=0.
(substituímos a variável x por 9)
(9)² - 11(9) + 18 = 0 
81 - 99 + 18 = 0
0 = 0
(sim, 9 é raiz da equação, observe que os dois mem-
bros são iguais)
02. Verifique se 3 é raiz da equação 2x²+5x–3=0.
(substituímos a variável x por 3)
2(3)² + 5(3) - 3 = 0 
2(9) + 15 - 3 = 0
18 + 15 - 3 = 0
30 ≠ 0
(não, 3 não é raiz da equação, observe que os dois 
membros são diferentes)
Resolução de uma Equação do 2º Grau
Para resolver uma equação do 2º grau, na forma ax² + 
bx + c = 0, usamos a fórmula de Báskara, dada por:
Exemplo:
Resolva a equação x² – 8x + 12 = 0
a= 1
b= –8
c= 12 
Discriminante de uma Equação do 2º Grau
Chamamos de discriminante(∆) o valor dado por
∆=b2-4∙a∙c
Esse valor determina a quantidade de raízes reais da 
equação do 2º grau, da seguinte forma:
• Se ∆>0, existem duas raízes reais distintas;
• Se ∆=0, existe uma raiz real (duas raízes re-
ais iguais);
• Se ∆<0, não existem raízes reais (duas raí-
zes complexas);
Questões Gabaritadas
Resolva as equações do 2º grau:
1. x² - 9x +20 = 0
2. 2x² + x – 3 = 0
3. 2x² - 7x – 15 = 0
4. x² +3x + 2 = 05. x² - 4x +4 = 0
6. 4x² - 16 = 0
7. 5x² - 125 = 0
8. 3x² + 75x = 0
9. (FUNCAB - 2012 - SEAD-PB) O quociente en-
tre a soma e o produto das raízes da equação x2-
4x+1=0, é:
a. 4
b. 2
c. 1
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54
MATEMÁTICA
d. 
e. 
10. (NCE-UFRJ - 2010 - UFRJ) Antônio gast ou 
R$ 240,00 na compra de brindes iguais para dis-
tribuir no fnal de ano. Com um desconto de R$ 
2,00 em cada brinde, teria comprado 10 brindes 
a mais com os mesmos R$ 240,00. A equação cuja 
solução levará ao valor do brinde sem o desconto 
é dada por:
a. b - 2b + 48 = 0
b. b + 10b - 1200 = 0
c. b - 2b - 48 = 0
d. b - 10b + 1200 = 0
e. b + 2b - 240 = 0
11. (FIP - 2009 - CAMARA-SJC) Qual é o valor 
de m para que a equação (m - 1) x2+mx+1 = 0 ad-
mit a duas raízes reais dist intas?
a. m > 1
b. m ≠1
c. m ≠2
d. m ≤ 0
e. m=4
12. (FCC - 2002 - SEAD-AP) Em certo momen-
to, o número X de soldados em um policiamento 
ost ensivo era tal que subtraindo-se do seu qua-
drado o seu quádruplo, obtinha-se 1 845. O valor 
de X é
a. 42
b. 45
c. 48
d. 50
e. 52
 
Gabarit o
1. 4 e 5 2. 1 e 3/4 3. -3/4 e 
5/2
4. -1 e -2 5. 2
6. -2 e 2 7. -5 e 5 8. 0 e -25 9. A 10. C
11. C 12. B
9. GRANDEZAS E UNIDADES DE 
MEDIDA
Aprendemos desde cedo a medir e comparar gran-
dezas como comprimento; tempo; massa; temperatura; 
pressão e corrente elétrica. Atualmente, contamos com 
ferramentas que nos auxiliam no processo de mensu-
ração. 
A unidade é um nome particular que relacionamos 
às medidas de uma grandeza. 
Tipos de Grandezas Físicas 
Vetorial
Para sua perfeit a caract erização, esse tipo de gran-
deza necessit a, além do valor numérico, que most ra a 
intensidade, de uma representação espacial que deter-
mine a direção e o sentido. 
Aceleração, velocidade e força são exemplos de gran-
dezas vetoriais. 
Escalar
Grandeza escalar é aquela que precisa somente de 
um valor numérico e uma unidade para determinar uma 
grandeza física, um exemplo é a nossa massa corporal. 
Grandezas como massa, comprimento e tempo são 
exemplos de grandezas escalares. 
Medidas de Comprimento
Sist ema Métrico Decimal
Desde a antiguidade, os povos criaram suas unidades 
de medida. Cada um deles possuía suas próprias “unida-
des-padrão”. Com o desenvolvimento do comércio fi ca-
vam cada vez mais difíceis a troca de informações e as 
negociações com tantas medidas diferentes. Era neces-
sário que se adotasse um padrão de medida único para 
cada grandeza. 
Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, 
um grupo de representantes de vários países reuniu-se 
para discutir a adoção de um sist ema único de medidas. 
Surgia o sist ema métrico decimal.
Metro
A palavra metro vem do grego métron e signifi ca “o 
que mede”. Foi est abelecido inicialmente que a medida 
do metro seria a décima milionésima parte da dist ân-
cia do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa 
por Paris. No Brasil o metro foi adotado ofi cialmente em 
1928.
Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o 
metro, exist em ainda os seus múltiplos e submúltiplos, 
cujos nomes são formados com o uso dos prefi xos: quilo, 
hect o, deca, deci, centi e mili.
São múltiplos do metro:
decâmetro (dam) 1 dam = 10 m
hect ômetro (hm) 1 hm = 100 m
kilômetro (km) 1 km = 1000 m
São submúltiplos do metro:
decímetro (dm) 1 dm = 0,1 m
centímetro (cm) 1 cm = 0,01 m
milímetro (mm) 1 mm = 0,001 m
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CAPÍTULO 09 - Grandezas e Unidades de Medidada Verdade, 2014
55
 
Os múltiplos do metro são utilizados para medir 
grandes dist âncias, enquanto os submúltiplos, para pe-
quenas dist âncias.
Para medidas milimétricas, em que se exige preci-
são, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m = 0,000001 m
angst rön (Å) = 10-10 m = 0,0000000001 m
Para dist âncias ast ronômicas utilizamos o Ano-luz 
(dist ância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
Ano-luz = 9 500 000 000 000 km
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não 
pertencentes ao sist emas métrico decimal. São utilizadas 
em países de língua inglesa. Veja as relações entre elas:
Pé 30,48cm
Polegada 2,54cm
Jarda 91,44cm
Milha terrest re 1.609m
Milha marítima 1,852m
Observe que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pés
Leit ura das Medidas de Comprimento
A leit ura das medidas de comprimentos pode ser efe-
tuada com o auxílio do quadro de unidades.
 Exemplo: leia a seguinte medida: 
15,048 m.
Seqüência prática:
1º) Escrever o quadro de unidades:
km hm dam m dm cm mm
4, 6 2,= 7
2º) Colocar o número no quadro de unidades, locali-
zando o último algarismo da parte inteira sob a sua res-
pect iva unidade.
km hm dam m dm cm mm
1 5, 0 4 8
3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de 
medida do seu último algarismo e a parte decimal acom-
panhada da unidade de medida do último algarismo da 
mesma:
“15 metros e 48 milímetros”
 Exemplos: 6,07 km lê-se “seis 
quilômetros e sete decâmetros”.
82,107 dam lê-se “oit enta e dois decâ-
metros e cento e sete centímetros”.
0,003 m lê-se “três milímetros”.
Transformação de Unidades
Observe as seguintes transformações:
a. Transforme 16,584 hm em m.
Para transformar hm em m (duas posições à direit a) 
devemos multiplicar por 100 (10 x 10). Assim,
16,584 x 100 = 1.658,4
ou seja,
16,584 hm = 1.658,4 m
b. Transforme 1,463 dam em cm.
Para transformar dam em cm (três posições à direit a) 
devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10). Então,
1,463 x 1.000 = 1,463
ou seja,
1,463dam = 1.463cm.
 
c. Transforme 176,9 m em dam.
Para transformar m em dam (uma posição à esquer-
da) devemos dividir por 10. Logo,
176,9 : 10 = 17,69
ou seja:
176,9 m = 17,69 dam.
d. Transforme 978 m em km.
Para transformar m em km (três posições à esquer-
da) devemos dividir por 1.000. Então,
978 : 1.000 = 0,978
ou seja:
978 m = 0,978 km.
 Importante: Para resolver uma 
expressão formada por termos com di-
ferentes unidades, devemos inicialmente 
transformar todos eles numa mesma uni-
dade, para a seguir efetuar as operações.
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56
MATEMÁTICA
Medidas de Superfície
As medidas de superfi cie est ão presentes em nosso 
cotidiano, respondendo a perguntas como:
• Qual a área dest a sala?
• Qual a área desse apartamento?
• Quantos metros quadrados de azulejos são 
necessários para revest ir essa piscina?
• Qual a área dessa quadra de futebol de sa-
lão?
• Qual a área pintada dessa parede?
Superfície e Área
Superfi cie é uma grandeza com duas dimensões, en-
quanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um 
número.
Metro quadrado
A unidade fundamental de superfície ch ama-se me-
tro quadrado. O metro quadrado (m2) é a medida cor-
respondente à superfície de um quadrado com 1 metro 
de lado.
Múltiplos e submúltiplos do m²
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
São múltiplos do metro quadrado:
• decâmetro quadrado (dam²) - 1 dam² = 100 
m²
• hect ômetro quadrado (hm²) - 1 hm² = 10 000 
m²
• kilômetro quadrado (km²) - 1 km² = 1 000 
000 m²
São submúltiplos do metro quadrado:
• decímetro quadrado (dm²) - 1 dm² = 0,01 m²
• centímetro quadrado (cm²) - 1 cm² = 0,0001 
m²
• milímetro quadrado (mm²) - 1 mm² = 
0,000001 m²
O dam², o hm² e km² são utilizados para medir gran-
des superfícies, enquanto o dm², o cm² e o mm² são utili-
zados para pequenas superfícies.
Leit ura das Medidas de Área
A leit ura das medidas de área segue o mesmo proce-
dimento do aplicado às medidas de comprimento (line-
ares).Devemos utilizar porém, dois algarismos em cada 
unidade no quadro. No caso de alguma casa fi car incom-
pleta, completa-se com zero(s).
Exemplos:
a. Leia a seguinte medida: 12,56 m2 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
12, 56
Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadra-
dos”.
Note que cada coluna da tabela corresponde a uma 
unidade de área.
b. Leia a seguinte medida: 178,3 m2 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 78, 30
Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros qua-
drados”.
c. Leia a seguinte medida: 0,917 dam2 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
0, 91 70
Lê-se “9.170 decímetros quadrados”.
Medidas Agrárias
As medidas agrárias são utilizadas para medir su-
perfícies de campo, plantações, past os, fazendas, etc. A 
principal unidade dest as medidas é o are (a). Possui um 
múltiplo, o hect are (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca). 
Lembre-se:
• 1 hect are corresponde à 100 ares
1 ha = 100 a
• 1 centiare corresponde à 0,01 are
1 ca = 0,01 a
É importante saber que:
1 ha = 1 hm² = 10 000 m²
1 a = 1 dam²
1 ca = 1 m²
Transformação de Unidades
No sist ema métrico decimal, devemos lembrar que, 
na transformação de unidades de superfície, cada unida-
de de superfície é 100 vezes maior que a unidade ime-
diatamente inferior. Então, temos a seguinte tabela de 
transformação:
Observe as seguintes transformações:
a. Transformar 2,36 m2 em mm2.
Para transformar m2 em mm2 (três posições à direit a) 
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CAPÍTULO 09 - Grandezas e Unidades de Medidada Verdade, 2014
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devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).
2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2
b. Transformar 580,2 dam2 em km2.
Para transformar dam2 em km2 (duas posições à es-
querda) devemos dividir por 10.000 (100x100).
580,2 : 10.000 = 0,05802 km2
Medidas de Volume
É comum encontrarmos problemas que envolvem o 
uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. 
De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos 
calcular medidas de metros cúbicos e volume.
Metro Cúbico
A unidade fundamental de volume ch ama-se metro 
cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao 
espaço ocupado por um cubo com 1m de arest a.
Múltiplos e submúltiplos do m³
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³
São múltiplos do metro cúbico:
• decâmetro cúbico (dam³) - 1 dam³ = 1 000 m³
• hect ômetro cúbico (hm³) - 1 hm³ = 1 000 000 
m³
• kilômetro cúbico (km³) - 1 km³ = 1 000 000 
000 m³
São submúltiplos do metro cúbico:
• decímetro cúbico (dm³) - 1 dm³ = 0,001 m³
• centímetro cúbico (cm³) - 1 cm³ = 0,000001 
m³
• milímetro cúbico (mm³) - 1 mm³ = 
0,000000001 m³
Leit ura das Medidas de Volume
A leit ura das medidas de volume segue o mesmo 
procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos 
utilizar porém, três algarismos em cada unidade no qua-
dro. No caso de alguma casa fi car incompleta, completa-
se com zero(s).
Exemplos.
a. Leia a seguinte medida: 75,84m3 
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³
75, 840
Lê-se “75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos”.
b. Leia a medida: 0,0064dm3
km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³
0, 006 400
Lê-se “6400 centímetros cúbicos”.
Transformação de Unidades
Na transformação de unidades de volume, no sist e-
ma métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade 
de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediata-
mente inferior. Daí, consideramos a seguinte tabela de 
transformação:
Por exemplo, transformar 2,45 m3 para dm3.
Para transformar m³ em dm³ (uma posição para a di-
reit a) devemos multiplicar por 1.000. Assim,
2,45 x 1.000 = 2.450 dm3 
Medidas de Capacidade
A quantidade de líquido é igual ao volume interno de 
um recipiente, afi nal quando ench emos est e recipiente, 
o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o vo-
lume interno de um recipiente.
A unidade fundamental de capacidade é o lit ro.
Lit ro é a capacidade de um cubo que tem 1 dm de 
arest a, ou seja,
1 l = 1 dm³
Múltiplos e Submúltiplos do Lit ro
múltiplos submúltiplos
kl hl dal l dl Cl Ml
São múltiplos do lit ro:
• decalit ro (dal) - 1 dal = 10l
• hect olit ro (hl) - 1 hl = 100 l
• kilolit ro (kl) - 1 kl = 1 000 l
São submúltiplos do lit ro:
• decilit ro (dl) - 1 dl = 0,1 l
• centilit ro (cl) - 1 cl = 0,01l
• mililit ro (ml) - 1 ml = 0,001 l
Note que cada unidade é 10 vezes maior que a unida-
de imediatamente inferior.
Relações entre Capacidade e Volume
1 l = l dm3
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58
MATEMÁTICA
1 ml = l cm3
1 kl = 1 m3
Leit ura das Medidas de Capacidade
A leit ura das medidas de capacidade segue o mesmo 
procedimento do aplicado às medidas lineares.
Por exemplo, leia a medida: 2,478 dal
kl hl dal l dl Cl Ml
2, 4 7 8
Lê-se “2 decalit ros e 478 centilit ros”.
Transformação de Unidades
Na transformação de unidades de capacidade, no 
sist ema métrico decimal, devemos lembrar que cada 
unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade 
imediatamente inferior.
Por exemplo, vamos transformar 3,19l em ml.
Para transformar de l em ml, devemos multiplicar 
por 1 000 (10x10x10), uma vez que são três unidades para 
a direit a. Então,
3,19l = 3 190 ml.
Medidas de Massa
Vamos iniciar dist inguindo os conceit os de peso de 
um corpo e massa de um corpo.
Massa é a quantidade de matéria que um corpo 
possui, sendo, portanto, const ante em qualquer lugar da 
terra ou fora dela.
Peso de um corpo é a força com que esse corpo é 
atraído (gravidade) para o centro da terra. O peso varia 
de acordo com o local em que o corpo se encontra.
 Exemplo: a massa do homem 
na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O 
peso, no entanto, é seis vezes maior na ter-
ra do que na lua.
Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade ter-
rest re ser 6 vezes superior à gravidade lunar.
 Observação: A palavra grama, 
empregada no sentido de “unidade de me-
dida de massa de um corpo”, é um subs-
tantivo masculino. Assim 200g, lê-se “du-
zentos gramas”.
 
Quilograma
A unidade fundamental de massa ch ama-se quilo-
grama.
 Nota: Um quilograma (1 kg) é a 
massa de 1 dm³ de água dest ilada à tem-
peraruta de 4°C.
 
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental 
de massa, utilizamos na prática o grama como unidade 
principal de massa.
Múltiplos e Submúltiplos do Grama
São múltiplos do grama:
• decagrama (dag) - 1 dag = 10 g
• hect ograma (hg) - 1 hg = 100 g
• kilograma (kg) - 1 kg = 1000 g
São submúltiplos do grama:
• decigrama (dg) - 1 dg = 0,1 g
• centigrama (cg) - 1 cg = 0,01 g
• miligrama (mg) - 1 mg = 0,001 g
Relações Importantes
Inicialmente, cabe aqui dest acar que para medir 
grandes massas, podemos utilizar as seguintes unidades 
especiais:
1 arroba ≡ 15 kg
1 tonelada (t) ≡ 1 000 kg
1 megaton ≡ 1000 t ≡ 1 000 000 kg
Podemos ainda relacionar as medidas de massa com 
as medidas de volume e capacidade. Assim, para a água 
pura (dest ilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a 
seguinte equivalência:
1 kg ≡ 1 dm³ ≡ 1 l 
Também são válidas as relações:
1 m³ ≡ 1000 l ≡ 1 t
1 cm³ ≡ 1 ml ≡ 1 g
Leit ura das Medidas de Massa
A leit ura das medidas de massa segue o mesmo pro-
cedimento aplicado às medidas lineares do sist ema de-
cimal.
Exemplos:
a. Leia a seguinte medida: 83,732 hg
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CAPÍTULO 09 - Grandezas e Unidades de Medidada Verdade, 2014
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kg hg dag g dg cg mg
8 3, 7 3 1
Lê-se “83 hectogramas e 731 decigramas”.
b. Leia a medida: 0,043g
kg hg dag g dg cg mg
0, 0 4 3
Lê-se “ 43 miligramas”.
Transformação de Unidades
Para fazer transformações,devemos considerar que 
cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unida-
de imediatamente inferior. Logo, cada unidade ou “casa” 
para a direita, impõe uma multiplicação por 10, enquanto 
que cada unidade ou “casa” para a esquerda impõe uma 
divisão por 10. Assim, temos a tabela:
Por exemplo, vamos transformar 4,627 kg em dag.
A transformação pode ser feita colocando a medida 
na tabela, como se lê, e mudando a virgula de lugar para 
alterar assim a leitura para a nova unidade.
4,627 kg na tabela:
kg hg dag g dg cg mg
4, 6 2 7
mudando a vírgula de kg para dag, temos:
kg hg dag g dg cg mg
4 6 2, 7
Assim, 4,627 kg = 462,7 dag.
 Observação: Peso bruto: massa do produto com 
a embalagem.
Peso líquido: massaz somente do pro-
duto.
Medidas de Tempo
É comum, em nosso cotidiano, encontrarmos pergun-
tas que envolvem tempo, tais como:
• Qual a duração dessa partida de futebol?
• Qual o tempo dessa viagem?
• Qual a duração desse curso?
• Qual o melhor tempo obtido por esse cor-
redor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando 
por base uma unidade padrão de medida de tempo.
A unidade de tempo escolhida como padrão no Siste-
ma Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de 
tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens 
do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.
 Nota: Um segundo (1 s) é o tempo 
equivalente a 1/86400 do dia solar médio.
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Mé-
trico Decimal.
 
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
São múltiplos do segundo:
 
• minuto (min) - 1 min = 60 s
• hora (h) -1 h = 60 min = 3600 s
• dia (d) - 1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s
São submúltiplos do segundo:
• décimo de segundo
• centésimo de segundo
• milésimo de segundo
 
 Importante: Nunca escreva 2,40h 
como forma de representar 2h40min, pois 
o sistema de medidas de tempo não é 
decimal. 
Note que:
 uma vez que
Existem outras medidas de tempo que são importan-
tes e merecem ser citadas aqui:
Ano 365 Dias
Ano bissexto 366 Dias
Ano comercial 360 Dias
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MATEMÁTICA
Mês 28, 29, 30 Ou 31 dias
Mês comercial 30 Dias
Semana 7 Dias
Quinzena 15 Dias
Bimestre 2 Meses
Trimestre 3 Meses
Quadrimestre 4 Meses
Semestre 6 Meses
Biênio 2 Anos
Lustro ou quinquênio 5 Anos
Década 10 Anos
Século 100 Anos
Milênio 1000 Anos
Sistema Monetário
Valores do nosso sistema monetário 
Moedas
R$0,01 - um centavo
R$0,05 – cinco centavos
R$0,10 – dez centavos
R$0,25 – vinte e cinco centavos
R$0,50 – cinquenta centavos
R$1,00 – um real 
Cédulas 
R$1,00 – um real
R$2,00 – dois reais
R$5,00 – cinco reais
R$10,00 – dez reais
R$20,00- vinte reais
R$50,00 – cinquenta reais
R$100,00 – cem reais 
Num ponto turístico, é oferecido passeio de 
balão aos visitantes. Em cada viagem o balão leva 
6 pessoas. Cada pessoa paga R$ 24,50 pelo pas-
seio. Quantos reais ganharão o baloneiro se fizer 
15 passeios com o balão lotado?
a. R$ 149,00
b. R$ 367,50
c. R$ 457,50
d. R$ 2 205,00
Resposta D
Questões Gabaritadas
1. METRÔ/SP 2012 - FCC - OFICIAL LOGÍSTICA 
ALMOXARIFADO I
Considere a figura abaixo:
A medida representada por “X” na figura 
do paquímetro, com aproximação de leitura de 
0,02mm, corresponde, em milímetros, a
a. 58,94.
b. 65,58.
c. 68,54.
d. 55,58.
e. 60,94.
2. TRT 4ª 2011 - FCC - ANALISTA JUDICIÁRIO - 
TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO
No Brasil, o sistema monetário adotado é o de-
cimal. Por exemplo:
205,42 reais = (2 × 102 + 0 × 101 + 5 × 100 + 4 × 10−1 
+ 2 × 10−2) reais
Suponha que em certo país, em que a moeda vigente 
é o “mumu”, o sistema monetário seja binário. O exemplo 
seguinte mostra como converter certa quantia, dada em 
“mumus”, para reais:
110,01 mumus = (1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20 + 0 × 2−1 + 1 
× 2−2) reais = 6,25 reais
Com base nessas informações, se um brasileiro em 
viagem a esse país quiser converter 385,50 reais para a 
moeda local, a quantia que ele receberá, em “mumus”, é:
a. 10 100 001,11.
b. 110 000 001,1.
c. 110 000 011,11.
d. 110 000 111,1.
e. 111 000 001,11.
3. TRE/PE 2011 - FCC - ANALISTA JUDICIÁRIO 
- ANÁLISE DE SISTEMAS
Sabe-se que 1 hectômetro (1 hm) corresponde 
a 100 metros, e que 1 hm2 corresponde a 1 hecta-
re (1 ha). A Fazenda Aurora possui área de 1000 
km2, o que corresponde, em hectares, a
a. 10 mil.
b. 100 mil.
c. 1 milhão.
d. 10 milhões.
e. 100 milhões.
4. DNOCS 2010 - FCC - CONTADOR
Segundo o Sistema Internacional de Unidades 
(SI), os nomes dos múltiplos e submúltiplos de 
uma unidade são formados mediante os seguin-
tes prefixos:
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CAPÍTULO 09 - Grandezas e Unidades de Medidada Verdade, 2014
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Assim, por exemplo, se a unidade de medida 
é o metro (m), temos: 30 nm (nanômetros) = 30 × 
10−9 m (metros).
Com base nessas informações, se a uni-
dade de medida é o litro, então a expressão 
 é equivalente a
a. 2,1875 
b. 21,875 
c. 218,75 
d. 2 187,5 
e. 2 187,5 
5. MPE/SE 2010 - FCC - ANALISTA DO MINIS-
TÉRIO PÚBLICO - GESTÃO E ANÁLISE DE PROJE-
TO DE SISTEMA
É sabido que o Real, moeda oficial brasileira, é 
operacionalizado no sistema decimal de numera-
ção, ou seja, 375 reais = (3.102 +7.101 + 5.100) reais.
Suponha que a moeda oficial de certo país é o 
Sun, que é operacionalizado em um sistema de 
numeração de base 5. Assim, por exemplo, 273 
reais equivalem a (2.53 +0.52 + 4.51 +3.50) suns = 
2043 suns.
Considerando que, em visita a esse país, uma 
pessoa gastou 12432 suns em compras diversas, 
então, para que ela possa gastar a quantia equi-
valente em reais são suficientes:
a. 18 cédulas de 50 reais.
b. 16 cédulas de 50 reais e 20 de 10 reais.
c. 16 cédulas de 50 reais e 5 de 20 reais.
d. 5 cédulas de 100 reais e 92 de 5 reais.
e. 3 cédulas de 100 reais, 20 de 20 reais e 29 
de 10 reais.
6. TRF 4ª 2010 - FCC - TÉCNICO JUDICIÁRIO - 
ADMINISTRATIVA
Considere que:
1 milissegundo (ms) = 10−3 segundo
1 microssegundo (µs) = 10−6 segundo
1 nanossegundo (ns) = 10−9 segundo
1 picossegundo (ps) = 10−12 segundo
Nessas condições, a soma 1 ms + 10 µs + 100 ns 
+ 1 000 ps NÃO é igual a
a. 1 010 101 000 ps.
b. 1 010 101 ns.
c. 1 0 101,01 µs.
d. 1,010101 ms.
e. 0,001010101 s.
7. TRF 4ª 2010 - FCC - ANALISTA JUDICIÁRIO 
- INFORMÁTICA
Um número escrito na notação científica é 
expresso pelo produto de um número racio-
nal x por 10n, sendo 1 ≤ x < 10 e n um número 
inteiro. Dessa forma, a expressão do número 
 na notação científica é:
a. 2,08 x 103.
b. 2,88 x 104.
c. 2,08 x 104.
d. 2,88 x 105.
e. 2,08 x 105.
8. TRF 4ª 2010 - FCC - ANALISTA JUDICIÁRIO 
- INFORMÁTICA
Sabe-se que, no Brasil, nas operações finan-
ceiras é usado o sistema decimal de numeração, 
no qual um número inteiro N pode ser represen-
tado como:
Suponha que, em férias, Benivaldo visitou 
certo país, no qual todas as operações financeiras 
eram feitas num sistema de numeração de base 6 
e cuja unidade monetária era o “delta”. Após ter 
gasto 2014 deltas em compras numa loja e per-
cebendo que dispunha exclusivamente de cinco 
notas de 100 reais, Benivaldo convenceu o dono 
da loja a aceitar o pagamento na moeda brasilei-
ra, dispondo-se a receber o troco na moeda local. 
Nessas condições, a quantia que ele recebeu de 
troco, em deltas, era
a. 155.
b. 152.
c. 145.
d. 143.
e. 134.
9. SEJUS/ES 2009 - CESPE - AGENTE DE ES-
COLTA E VIGILÂNCIA PENITENCIÁRIO
Muitas substâncias consideradas tóxicas têm 
aplicações terapêuticas quando utilizadas em 
mínimas doses. Exemplo dessa propriedade é o 
flúor. Embora considerado muitovenenoso, é um 
bom fármaco contra as cáries. Para Paracelsus 
(1493-1541) “a dose certa diferencia o veneno do 
remédio”. De acordo com o Ministério da Saúde, 
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62
MATEMÁTICA
o limite máximo de flúor na água para consumo 
humano é de 1,5 mg/L.
Internet: www.hannabrasil.com (com adapta-
ções).
As medidas para as colheres de sopa e de chá 
estão apresentadas na tabela a seguir
Com base no texto e nas informações acima, 
julgue o item seguintes.
Sabendo que um micrograma (µg) equivale a 
10-6 g, é correto afirmar que a quantidade máxi-
ma de flúor para a preparação de um copo de água 
de 200 mL é de 300 µg, segundo recomendações 
do Ministério da Saúde.
( ) Certo ( ) Errado
10. TJ/AP 2009 - FCC - TÉCNICO JUDICIÁRIO - 
JUDICIÁRIA
Uma indústria farmacêutica dispõe em esto-
que 21,6 litros de certo medicamento que devem 
ser colocados em frascos, cada qual com capaci-
dade para 0,000003 m³.
Considerando que não há perda de medica-
mento no ato de preenchimento dos frascos, a 
quantidade mínima de frascos necessários para 
acomodar os 21,6 litros
a. é maior que 4 000.
b. está compreendida entre 3 000 e 4 000.
c. está compreendida entre 2 000 e 3 000.
d. está compreendida entre 1 000 e 2 000.
e. é menor que 1 000.
11. TRT 15ª 2009 - FCC - TÉCNICO JUDICIÁRIO 
- ADMINISTRATIVA
Num dado momento, observou-se que o volu-
me de água no interior da caixa d’água de um edi-
fício ocupava 1/3 de sua capacidade e que, se lá 
fossem colocados mais 0,24 m3 de água, o volume 
de água na caixa passaria a ocupar os 2/5 de sua 
capacidade. Considerando que não foi colocada 
água no interior da caixa, então, no momento da 
observação, o número de litros de água que se-
riam necessários para enchê-la era
a. 1 800.
b. 2 400.
c. 2 500.
d. 3 200.
e. 3 600.
12. TRT 15ª 2009 - FCC - ANALISTA JUDICIÁ-
RIO - ADMINISTRATIVA
Suponha que, no instante em que a água de 
um bebedouro ocupava os 5/8 de sua capacida-
de, uma mesma garrafa foi usada sucessivamente 
para retirar toda a água do seu interior. Consi-
derando que tal garrafa equivale a 3/4 de litro e 
foram necessárias 45 retiradas de garrafas total-
mente cheias d’água até que o bebedouro ficasse 
completamente vazio, a capacidade do bebedouro, 
em metros cúbicos, era
a. 0,054.
b. 0,06.
c. 0,54.
d. 0,6.
e. 5,4.
13. ANP 2008 - CESGRANRIO - TÉCNICO AD-
MINISTRATIVO - APOIO ADMINISTRATIVO
Em 2007, o nadador brasileiro Thiago Perei-
ra completou a prova “200 medley” em 1min 57s 
79 centésimos. Para alcançar o recorde mundial, 
Thiago precisaria reduzir seu tempo em 2s e 81 
centésimos. Qual era, nessa data, o recorde mun-
dial da prova “200 medley”?
a. 1min 54s 98 centésimos.
b. 1min 55s 12 centésimos.
c. 1min 55s 18 centésimos.
d. 1min 55s 61 centésimos.
e. 1min 55s 98 centésimos.
Gabarito
1-B 2-B 3-B 4-D 5-B
6-C 7-D 8-E 9-C 10-A
11-B 12-A 13-A
Relações Trigonométricas no Triângulo 
Retângulo
A palavra trigonometria significa medida dos três 
ângulos de um triângulo e determina um ramo da mate-
mática que estuda a relação entre as medidas dos lados 
e dos ângulos de um triângulo.
Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hi-
potenusa, b e c são os catetos.
 Definimos como cateto oposto a um ângulo como 
sendo aquele que está na frente do ângulo dado.
Definimos como cateto adjacente a um ângulo 
como sendo aquele que está ao lado do ângulo dado.
Assim, em relação ao ângulo ∝, b é o cateto oposto e 
c é o cateto adjacente.
Em relação ao ângulo β, b é o cateto adjacente e c é 
o cateto oposto.
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CAPÍTULO 10 - Geometria Plana
63
Note que os catetos oposto e adjacente variam de po-
sição, conforme o ângulo agudo de referência que ado-
tamos.
No triângulo retângulo, definimos as seguintes ra-
zões trigonométricas:
Em relação ao triângulo dado, temos:
Para o ângulo ∝:
Para o ângulo β:
Os ângulos ∝ e β são complementares, isto é: ∝ + β = 
90°. Observando os resultados acima, podemos concluir 
que, sendo os ângulos ∝ e β complementares, então
sen ∝ = cos β
sen β = cos ∝
Ainda das razões trigonométricas, podemos observar 
que
ou seja:
Na resolução de problemas de trigonometria no tri-
ângulo retângulo, uma importante relação é o Teore-
ma de Pitágoras, que afirma que, em todo triângulo 
retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos 
quadrados dos catetos.
Em nosso triângulo:
a2=b2+c2
Do Teorema de Pitágoras, dividindo todos os termos 
por a², temos:
Além das razões trigonométricas, é necessário saber 
os valores trigonométricos fundamentais, dados na 
tabela a seguir:
30º 45º 60º
sen
cos
tg 1
Calcule o valor de x e y nas figuras abaixo:
 x = 10m
 x = 10√3m
x = 100√3m e y = 100m
10.GEOMETRIA PLANA
Conceitos Iniciais
Na Geometria, os conceitos de ponto, reta e plano são 
denominados primitivos, e por isso são aceitos sem de-
finição.
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64
MATEMÁTICA
O ponto é representado por letras maiúsculas do nos-
so alfabeto, enquanto a reta é representada por letras 
minúsculas, também do nosso alfabeto. Já o plano é de-
notado por letras minúsculas do alfabeto grego.
Por dois pontos dist intos (não-coincidentes) A e B, 
passa uma única reta que é denotada pelo símbolo (AB).
Duas retas dist intas do plano podem ser concorren-
tes, quando possuem um único ponto comum, ou para-
lelas, quando não possuem ponto comum.
Dados dois pontos dist intos A e B de uma reta r, ch a-
ma-se segmento de reta AB a união dos pontos A e B 
com todos os pontos de r que est ão entre A e B.
Os pontos A e B são as extremidades (ou extremos) 
do segmento AB. A medida de (AB) é denotada apenas 
por AB. Assim, se um segmento mede 4 cm, escrevemos 
AB = 4 cm.
Dois segmentos com medidas iguais são ch amados 
congruentes. A congruência é denotada pelo símbolo.
Dados dois pontos dist intos A e B de uma reta r, ch a-
ma-se semirreta AB a união de (AB) com todos os pon-
tos X de r, tais que B est á entre A e X.
Dizemos que um ponto qualquer de uma reta divide 
essa reta em duas semirretas opost as. Esse ponto é a 
origem de ambas as semirretas.
Analogamente, dizemos que uma reta de um plano 
divide esse plano em dois semiplanos opost os. Essa 
reta é a origem de ambos os semiplanos.
Ângulos
Ângulo é qualquer uma das duas regiões do plano 
limit adas por duas semirretas de mesma origem.
Um ângulo é convexo se, para quaisquer dois pontos 
P e Q de seu interior, (PQ) est á inteiramente contido em 
seu interior. Caso isso não ocorra, o ângulo é ch amado 
côncavo.
As semirretas que limit am um ângulo são os seus 
lados e sua origem comum é o vértice do ângulo. Um 
ângulo de vértice A e lados (AB) e (AC) é denotado pelo 
símbolo ∢BAC, ou simplesmente por ∢A. O símbolo BAC 
representa o ângulo convexo de lados (AB) e (AC), salvo 
menção contrária.
A medida de um ângulo BAC será denotada por BÂC, 
ou simplesmente por Â.
Lembre-se que:
1° = 60’ (1 grau = 60 minutos)
1’ = 60” (1 minuto = 60 segundos)
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CAPÍTULO 10 - Geometria Plana
65
Dois ângulos são ch amados congruentes quando 
possuem medidas iguais.
Dois ângulos são ch amados adjacentes se têm o 
mesmo vértice, um lado comum e não apresentam pon-
tos internos comuns.
Os ângulos AOB e BOC são adjacentes.
A semirreta que tem origem no vértice de um ângulo 
e que o divide em dois ângulos congruentes é ch amada 
bissetriz. Em outras palavras, bissetriz é a semirretaque divide um ângulo ao meio.
Alguns Ângulos Notáveis
Por extensão do conceit o de ângulo, dizemos que 
duas semirretas coincidentes também determinam dois 
ângulos: um deles é ch amado ângulo nulo e mede 0° 
(zero grau), e o outro é ch amado ângulo de volta intei-
ra e mede 360°.
Ângulo de meio volta ou ângulo raso é aquele 
cujos lados são semirretas opost as. Sua medida é 180°.
Ângulo reto é aquele cuja medida é 90°.
 Observação: Duas retas concor-
rentes são dit as perpendiculares se elas 
determinam quatro ângulos retos.
Ângulo agudo é aquele cuja medida est á compre-
endida entre 0° e 90°.
Ângulo obtuso é aquele cuja medida est á compre-
endida entre 90° e 180°.
Pares Importantes de Ângulos
Dois ângulos são dit os complementares se a soma 
de suas medidas é igual a 90°. Nesse caso, cada ângulo é 
ch amado complemento do outro. Assim, por exemplo, 
os ângulos de 70° e 20° são complementares, sendo 70° 
o complemento de 20° e vice-versa.
Dois ângulos são dit os suplementares se a soma de 
suas medidas é igual a 180°. Nesse caso, cada ângulo é 
ch amado suplemento do outro. Assim, por exemplo, os 
ângulos de 150° e 30° são suplementares, sendo 150° o 
suplemento de 30° e vice-versa.
Dois ângulos são dit os opost os pelo vértice (o.p.v.) 
se os lados de um são as semirretas opost as dos lados 
do outro.
Os ângulos AOB e COD são o.p.v.
Os ângulos AOD e BOC são o.p.v.
 Importante: ângulos o.p.v. são 
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66
MATEMÁTICA
congruentes, ou seja, possuem medidas 
iguais.
Ângulos formados por duas retas paralelas cor-
tadas por uma transversal
Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, 
determinam oito ângulos. Vamos destacar a nomencla-
tura e as propriedades dos principais pares de ângulos 
formados nessa situação, a partir da figura abaixo.
Ângulos Correspondentes
 
a e m; b e n; c e p; d e q 
Os ângulos correspondentes são congruentes, isto é, 
possuem a mesma medida.
Ângulos Alternos Internos
 
c e m; d e n 
Os ângulos alternos internos são congruentes, isto é, 
possuem a mesma medida.
Ângulos Alternos Externos
a e p; b e q 
Os ângulos alternos externos são congruentes, isto é, 
possuem a mesma medida.
Ângulos Colaterais Internos
c e n; d e m 
Os ângulos colaterais internos são suplementares, 
isto é, a soma de suas medidas é igual a 180°.
Ângulos Colaterais Externos
a e q; b e p 
Os ângulos colaterais externos são suplementares, 
isto é, a soma de suas medidas é igual a 180°.
Polígonos
Número de Diagonais
Soma dos Ângulos Internos
Soma dos Ângulos Externos
Polígonos Regulares
Um polígono convexo é chamado regular se, e so-
mente se, possui todos os lados congruentes e todos os 
ângulos internos congruentes.
Assim, podemos dizer que um polígono regular é 
equiângulo e equilátero.
Como os ângulos internos de um polígono regular são 
congruentes, conclui-se que seus ângulos externos tam-
bém são congruentes. Então, para um polígono regular 
de n lados, têm-se:
 Observação: Todo polígono regu-
lar é inscritível ou circunscritível em algu-
ma circunferência.
Nomenclatura dos Polígonos
Nº DE 
LADOS
NOME Nº DE 
LADOS 
NOME
3 Triângulo 12 Dodecágono
4 Quadrilátero 13 Tridecágono
5 Pentágono 14 Tetradecágono
6 Hexácono 15 Pentadecágono
7 Heptágono 16 Hexadecágono
8 Octógono 17 Heptadecágono
9 Eneágono 18 Octadecágono
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CAPÍTULO 10 - Geometria Plana
67
10 Decágono 19 Eneadecágono
11 Undecágono 20 Icoságono
Triângulos
Soma das Medidas dos Ângulos Internos
Uma propriedade fundamental da Geometria é a se-
guinte:
Em todo triângulo a soma das medidas dos três ângu-
los internos é igual a 180°.
Teorema do Ângulo Externo
Da soma das medidas dos ângulos internos do triân-
gulo, decorre outra propriedade importante:
Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo 
é igual à soma das medidas dos dois ângulos internos 
não-adjacentes a ele.
Congruência de Triângulos
Dois triângulos são congruentes se os seus lados e 
ângulos correspondentes (ou homólogos) forem respect i-
vamente congruentes.
Crit érios de Congruência
Caso L.A.L. (lado – ângulo – lado)
Dois triângulos são congruentes se dois lados de um 
são congruentes a dois lados do outro, e os ângulos com-
preendidos entre esses lados também são congruentes.
Caso A.L.A. (ângulo – lado – ângulo)
Dois triângulos são congruentes se possuem dois pa-
res de ângulos respect ivamente congruentes, e o par de 
lados adjacentes a esses ângulos também congruente.
Caso L.L.L. (lado – lado – lado)
Dois triângulos são congruentes se os lados de um 
são respect ivamente congruentes aos lados do outro.
Caso L.A.AO. (lado – ângulo – ângulo opost o)
Dois triângulos são congruentes se têm um par de 
lados, um par de ângulos adjacentes a esses lados e o 
par de ângulos opost os a esses lados respect ivamente 
congruentes.
Classifi cação dos Triângulos
Quanto aos Lados
Triângulo Escaleno é aquele que não possui lados 
congruentes.
Um triângulo escaleno não possui ângulos congruen-
tes.
Triângulo Isósceles é aquele que possui dois lados 
congruentes.
No triângulo isósceles, o lado não-congruente BC é 
ch amado BASE.
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são 
congruentes.
Triângulo Equilátero é aquele que possui três la-
dos congruentes.
Todo triângulo equilátero possui os três ângulos con-
gruentes – cada um deles mede 60°.
Quanto aos Ângulos
Triângulo Acutângulo é aquele que possui três 
ângulos internos agudos.
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68
MATEMÁTICA
Triângulo Retângulo é aquele que possui um ân-
gulo interno reto.
Triângulo Obtusângulo é aquele que possui um 
ângulo interno obtuso.
Quadriláteros
Soma das Medidas dos Ângulos Internos
Em todo quadrilátero a soma das medidas dos ângu-
los internos é igual a 360°.
 
Classifi cação dos Quadriláteros
Paralelogramo
Chama-se paralelogramo todo quadrilátero que pos-
sui os pares de lados opost os respect ivamente paralelos.
Para todo paralelogramo valem as seguintes proprie-
dades:
P1) Os ângulos opost os são congruentes.
P2) Dois ângulos adjacentes a um mesmo lado são 
suplementares.
P3) Os lados opost os são congruentes.
P4) As diagonais dividem-se mutuamente ao meio 
pelo seu ponto de intersecção.
Entre os paralelogramos, dest acam-se o retângulo, o 
losango e o quadrado, para cada um dos quais valem as 
quatro propriedades anteriores, e também as que vere-
mos a seguir.
Retângulo
Chama-se retângulo o paralelogramo cujos quatro 
ângulos internos são retos.
 
Propriedade: em todo retângulo, as diagonais são 
congruentes.
Losango
Chama-se losango o paralelogramo cujos quatro la-
dos são congruentes.
Propriedades: em todo losango, as diagonais são 
perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos 
internos.
Quadrado
O quadrado é o paralelogramo que é retângulo e 
losango ao mesmo tempo, pois seus ângulos são retos e 
seus lados são congruentes.
Propriedades: em todo quadrado, as diagonais são 
congruentes, são perpendiculares entre si e são bissetri-
zes dos ângulos internos.
Trapézio
Chama-se trapézio todo quadrilátero que tem ape-
nas um par de lados opost os paralelos.
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CAPÍTULO 10 - Geometria Plana
69
AB e CD são as bases, enquanto AD e BC são nor-
malmente ch amados lados não-paralelos ou lados trans-
versos. 
Em todo trapézio, dois ângulos adjacentes a qualquerum dos lados transversos são suplementares. Assim, na 
fi gura anterior, 
Os trapézios classifi cam-se em escaleno, isósceles e 
retângulo.
Trapézio escaleno: os lados transversos não são 
congruentes e não possui ângulos retos.
Trapézio isósceles: os lados transversos são con-
gruentes.
Propriedade: dois ângulos de uma mesma base são 
congruentes.
Trapézio retângulo: possui dois ângulos retos.Trapézio retângulo: Trapézio retângulo: 
Triângulo Retângulo
Um triângulo é ch amado retângulo quando apresen-
ta um ângulo interno reto. Nos triângulos retângulos, o 
lado maior – opost o ao ângulo reto, é ch amado hipote-
nusa, enquanto que os lados menores – lados do ângulo 
reto, são ch amados catetos.
Na fi gura abaixo, a é a hipotenusa enquanto b e c são 
os catetos.
 A relação mais utilizada na resolução de problemas 
que envolvem triângulos retângulos é o Teorema de Pi-
tágoras. Esse teorema garante que, em todo triângulo 
retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos 
quadrados dos catetos. A partir da fi gura anterior, temos:
a2=b2+c2
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Além do Teorema de Pit ágoras, vamos dest acar ou-
tras relações métricas importantes para o est udo dos tri-
ângulos retângulos. Na fi gura abaixo temos os elementos 
do triângulo retângulo que vamos utilizar nessas rela-
ções.
 
a – hipotenusa 
h – altura relativa à hipotenusa
b e c – catetos 
m e n – projeções ortogonais dos catetos sobre a hi-
potenusa
A partir desses elementos, temos as relações:
1. Em todo triângulo retângulo, o produto da hipo-
tenusa pela altura relativa a ela é igual ao produto dos 
catetos, ist o é:
a.h=b.c
2. Em todo triângulo retângulo, cada cateto é a média 
geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela, 
ou seja:
b2=m.a
c2=n.a
3. Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hi-
potenusa é a média geométrica entre as projeções dos 
catetos, ist o é:
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MATEMÁTICA
h2=m.n
Quest ões Gabarit adas
1. Os catetos de um triângulo retângulo medem 6 cm 
e 8 cm. Calcular suas projeções sobre a hipotenusa e a 
altura relativa a ela.
2. Para trocar uma lâmpada, Ruy encost ou uma esca-
da na parede de sua casa, de modo que o topo da escada 
fi cou a uma altura de aproximadamente √14 m. Enquan-
to Ruy subia os degraus, a base da escada escorregou 
por 1 m, indo tocar um muro paralelo à parede. Refeit o 
do sust o, Ruy observou que, após deslizar, a escada pas-
sou a fazer um ângulo de 45° com a horizontal.
Pergunta-se:
a) Qual a dist ância entre a parede da casa e o muro?
b) Qual é o comprimento da escada de Ruy?
Gabarit o
1 - As projeções medem 6,4 cm e 3,6 cm, enquanto a altura mede 
4,8 cm.
2 a) 3 m 
2b) 
Perímetro de um Triângulo
Vamos utilizar o símbolo 2p para representar o pe-
rímetro de um polígono. Para os polígonos, o perímetro 
é sempre igual à soma das medidas dos seus lados. Para 
o caso do triângulo, a partir da fi gura ilust rativa abaixo, 
temos:
Área de um Triângulo
A área de um triângulo é dada pelo semiproduto de 
um lado pela altura relativa a ele. Assim, na fi gura ilus-
trativa abaixo, temos:
 A Fórmula de Herão
A fórmula de Herão nos permit e calcular a área de 
um triângulo em função dos seus três lados. Dado um 
triângulo qualquer, de lados a, b e c, como na fi gura 
abaixo, temos:
 
Na fórmula de Herão, p é o semiperímetro do triân-
gulo, ou seja, 
Área do triângulo em função de dois lados e do ângu-
lo compreendido entre eles 
Dados dois lados de um triângulo e o ângulo compre-
endido entre eles, como ilust rado na fi gura abaixo, a área 
desse triângulo pode ser calculada por:
 
Quest ões Gabarit adas
 
3. Seja ABC um triângulo de lados a = 5, b = 6 e 
c = 7. Calcular:
a. a área desse triângulo.
b. a altura relativa ao vértice A.
4. Um triângulo inscrit o em uma circunferên-
cia de raio 2 tem dois de seus ângulos iguais a 30° 
e 60°. Calcule a área desse triângulo.
Gabarit o
3 a) 3b) 
4 - 
Perímetro dos Quadriláteros
Como os quadriláteros são polígonos, seu perímetro 
2p é dado pela soma das medidas dos seus lados. Assim, 
como ilust ra a fi gura a seguir, o perímetro de qualquer 
quadrilátero é dado por:
Área dos Quadriláteros
Paralelogramos
Todo paralelogramo pode ser decompost o em dois 
triângulos congruentes por uma de suas diagonais. Logo, 
sua área é o dobro da área de um desses triângulos. En-
tão, a área do paralelogramo é dada por:
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CAPÍTULO 10 - Geometria Plana
71
Essa fórmula é válida para todos os paralelogramos.
Retângulo
 
Losango
 
Quadrado
 
Quadrilátero Qualquer de Diagonais 
Perpendiculares
Se um quadrilátero possui diagonais perpendicula-
res, sua área pode ser calculada pelo semiproduto das 
diagonais. Na fi gura ilust rativa abaixo, temos:
Note que essa fórmula é válida para o losango e para 
o quadrado, pois suas diagonais são perpendiculares. As-
sim, para losango e quadrado, temos também a seguinte 
fórmula:
Comprimento da Circunferência
Dada uma circunferência de raio R, como ilust ra a 
fi gura abaixo, seu comprimento é dado por
Observe que o comprimento da circunferência é tam-
bém o perímetro do círculo.
Área do Círculo
 
Quest ões Gabarit adas
5. Um retângulo tem seus lados proporcionais 
a 5 e 12, e est á inscrit o num círculo de raio R = 13. 
Qual é a área do retângulo?
6. Um terreno retangular de 1000 m² é tal que 
seu comprimento mede 15 m a mais do que sua 
largura. O perímetro desse terreno, em metros, é 
igual a:
a. 40
b. 65
c. 130
d. 220
7. Em um painel de publicidade est á desenha-
do um triângulo retângulo isósceles cuja hipote-
nusa mede 2√2 m. Se 42% da área desse triângulo 
já foi colorida, quantos metros quadrados do tri-
ângulo ainda faltam para serem coloridos?
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72
MATEMÁTICA
a. 12 m²
b. 0,84 m²
c. 1,2 m²
d. 1,16 m²
Gabarit o
1- 240 2- C 3- D
Polígonos Regulares
Como já est udamos, um polígono convexo é ch amado 
regular se, e somente se, possui todos os lados congruen-
tes e todos os ângulos internos congruentes. Nessa aula, 
vamos est udar especifi camente os três principais polígo-
nos regulares: triângulo equilátero, quadrado e hexágo-
no regular.
 
Triângulo Equilátero
Triângulo equilátero é o polígono regular de três la-
dos. Lembre-se que, sendo regular, ele apresenta os três 
lados iguais a uma medida l e os três ângulos internos 
iguais a 60°. Para o triângulo equilátero, nos interessa 
saber a medida do raio da circunferência inscrit a (apó-
tema), do raio da circunferência circunscrit a, da altura e 
da área, em função da medida do lado l.
 
Quadrado
Quadrado é o polígono regular de quatro lados. Ele 
possui os quatro lados iguais a uma medida l e os três 
ângulos internos iguais a 90°. Para o quadrado nos inte-
ressa saber a medida do raio da circunferência inscrit a 
(apótema), do raio da circunferência circunscrit a, da dia-
gonal e da área, em função da medida do lado l.
Hexágono Regular
Hexágono regular é o polígono regular de seis lados. 
Ele possui os seis lados iguais a uma medida l e os seis 
ângulos internos iguais a 120°. Para o hexágono regular 
nos interessa saber a medida do raio da circunferência 
inscrit a (apótema), do raio da circunferência circunscrit a 
e da área, em função da medida do lado l.
Quest ões Gabarit adas
1. Determine os raios da circunferência inscrit a e cir-
cunscrit a num quadrado cujo perímetro é de 16 cm.
2. Determine o raio do círculo inscrit o num triânguloequilátero de lado igual a 9 cm.
3. O apótema de um hexágono regular mede 2√3 m. 
Calcule o comprimento da circunferência circunscrit a a 
esse hexágono.
4. Classifi que as afi rmações a seguir em verdadeiras 
V ou falsas F:
( ) Um quadrado de lado 5/√2 est á inscrit o numa 
circunferência de comprimento 5.
( ) A razão entre os comprimentos das circunferên-
cias circunscrit a e inscrit a a um quadrado é √2 .
( ) Considere um quadrado circunscrit o a uma cir-
cunferência e um triângulo equilátero inscrit o na mesma 
circunferência. Se o lado do triângulo equilátero mede 
6√3 cm, então o lado do quadrado mede 12 cm.
5. Observe a fi gura abaixo. Se o lado do triângulo 
equilátero inscrit o na circunferência mede 6√3 cm, en-
tão qual o lado do quadrado circunscrit o à circunferên-
cia é igual a:
 
Gabarit o
1 - Inscrit a
r=2cm;
Circunscrit a
R=
2- 3- 
4- F,F,V 5-12cm
11. GEOMETRIA ESPACIAL
Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limit ado por quatro 
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CAPÍTULO 11 - Geometria Espacial
73
ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferen-
tes e que têm dois a dois somente uma arest a em co-
mum. Veja alguns exemplos:
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os 
vértices dos polígonos são as arest as e os vértices do po-
liedro.
 
Poliedros Convexos e Côncavos
Um poliedro é ch amado convexo quando, conside-
rando qualquer uma de suas faces, esse poliedro en-
contra-se inteiramente no mesmo semiespaço que essa 
face determina. Assim, esses poliedros são denominados 
convexos.
Quando isso não acontece, o poliedro é denominado 
côncavo.
Observe os exemplos:
Nomenclatura
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de 
acordo com o número de faces. Os principais são:
• tetraedro: quatro faces
• pentaedro: cinco faces
• hexaedro: seis faces
• heptaedro: sete faces
• oct aedro: oit o faces
• eneaedro: nove faces
• decaedro: dez faces
• undecaedro: onze faces
• dodecaedro: doze faces
• icosaedro: vinte faces
Relação de Euler
Para todo poliedro convexo fech ado com V vértices, A 
arest as e F faces, vale a relação:
V+F=A+2
 Observação: Para todo poliedro 
convexo, vale a relação abaixo, onde n é o 
número de lados dos polígonos, considera-
dos separadamente.
n=2∙A
 
Analogamente, sendo m o número de 
arest as que incidem sobre os vértices, para 
todo poliedro convexo, vale a relação:
m=2∙A
Poliedros de Platão
Chama-se poliedro de Platão todo poliedro conve-
xo que satisfaz as seguintes condições:
• Tem todas as faces com o mesmo número 
de arest as.
• Sobre todos os vértices incide o mesmo nú-
mero de arest as.
• Satisfaz a relação de Euler.
Nessas condições, exist em apenas cinco tipos de po-
liedros de Platão:
Tetraedro 4 faces triangulares
Hexaedro 6 faces quadrangulares
Oct aedro 8 faces triangulares
Dodecaedro 12 faces pentagonais
Icosaedro 20 faces triangulares
Poliedros Regulares
Chama-se poliedro regular todo poliedro de Platão 
cujas faces são polígonos regulares congruentes entre si.
Sendo assim, exist em apenas cinco tipos de poliedros 
que podem ser regulares:
Tetraedro Regular
4 faces que são triângulos equiláteros
6 arest as
4 vértices
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74
MATEMÁTICA
Hexaedro Regular (Cubo)
6 faces que são quadrados
12 arest as
8 vértices
Oct aedro Regular
8 faces que são triângulos equiláteros
12 arest as
6 vértices
Dodecaedro Regular
12 faces que são pentágonos regulares
30 arest as
20 vértices
Icosaedro Regular
20 faces que são triângulos equiláteros
30 arest as
12 vértices
Quest ões Gabarit adas
1. Calcular o número de vértices de um polie-
dro convexo que possui 7 faces triangulares, 3 
pentagonais e 1 hexagonal.
2. Em um dos vértices de um poliedro conve-
xo incidem 5 arest as. Em cinco outros incidem 4 
arest as e, em cada um dos cinco rest antes inci-
dem 3 arest as. Quantas faces possui esse polie-
dro?
3. Quantos vértices possui um icosaedro regu-
lar?
Gabarit o
1- 12 2- 11 3 - 12
Prismas
Prismas Retos
Os prismas retos são os sólidos geométricos que pos-
suem duas bases paralelas e congruentes, que são po-
lígonos, e cujas faces laterais são retângulos perpendi-
culares em relação às bases.
Um prisma é denominado triangular, quadrangular, 
pentagonal etc, conforme suas bases sejam triangulares, 
quadrangulares, pentagonais etc.
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75
Prismas Regulares
Um prisma é denominado regular se ele é reto e suas 
bases são polígonos regulares. Os principais são os pris-
mas triangular regular, quadrangular regular e hexago-
nal regular.
 
Planifi cação de um Prisma Reto
Áreas e Volume dos Prismas Retos
Secção Transversal de um Prisma
Chamamos de secção transversal a fi gura plana for-
mada através do corte do prisma por um plano paralelo 
às suas bases.
 
 Observação: São empregadas 
com bast ante frequência as principais con-
versões de unidade de volume e capacida-
de, a saber:
1 dm³= 1 L
1 000 cm³= 1 L
1 m³= 1 000 L
Quest ões Gabarit adas
Calcule a área lateral, a área total e o volume 
de um prisma hexagonal regular, cujas arest as da 
base medem 10 cm e cujas arest as laterais me-
dem 8 cm.
Gabarit o
1 - Área lateral = 480 cm²; 
Paralelepípedo Retângulo
Um paralelepípedo retângulo (ou ortoedro) é um pris-
ma reto onde as faces laterais e as bases são retângulos.
Diagonal do Paralelepípedo Retângulo
 
Áreas e Volume do Paralelepípedo Retângulo
Quest ões Gabarit adas
Calcule a diagonal, a área total e o volume de um 
paralelepípedo retângulo de comprimento igual a 10 cm, 
largura igual a 4 cm e altura igual a 3 cm.
Gabarit o
1- 
Cubo
Um cubo (ou hexaedro regular) é o poliedro regular 
de 6 faces. Todas essas 6 faces são quadrados congruen-
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76
MATEMÁTICA
tes entre si. Podemos dizer que um cubo é um parale-
lepípedo retângulo onde todas as arest as são iguais entre 
si.
 
Diagonal do Cubo
Áreas e Volume do Cubo
Quest ões Gabarit adas
1- Um reservatório tem 1,2 m de largura, 1,5 m 
de comprimento e 1 metro de altura. Para conter 
1.260 lit ros de água, est a deve atingir a altura de:
a. 70 cm
b. 0,07 m
c. 7 m
d. 0,7 dm
e. 700 cm
2- Uma caixa, em forma de paralelepípedo re-
tângulo, tem as seguintes dimensões internas: 25 
cm, 20 cm e 16 cm. Calcule quantos cubos de aço 
de 3 cm de arest a cabem nela.
a. 120
b. 180
c. 240
d. 300
e. 360
3- Um cubo tem 96 m² de área total. Em quanto 
deve ser aumentada sua arest a para que seu volu-
me se torne igual a 216 m³?
4- Um caminhão tem carroceria com 3,40m de 
comprimento, 2,50m de largura e 1,20m de altura. 
Quantas viagens devem-se fazer, no mínimo, para 
transportar 336 metros cúbicos de arroz?
a. 24
b. 29
c. 30
d. 32
e. 33
Gabarit o
1-A 2- C 3- 2m 4- E
Cilindros Circulares
Secção Meridiana e Secção Transversal
Chamamos de secção meridiana do cilindro a fi gura 
plana formada pelo corte feit o por um plano que contém 
o seu eixo. Já a secção transversal é formada pelo corte 
feit o por um plano paralelo às bases do cilindro.
Cilindro Equilátero
Um cilindro é ch amado equilátero quando sua secção 
meridiana é um quadrado. Note que, nesse caso, H=2·R. 
Cilindro de Revolução
Dando-se uma rotação completa em torno de um dos 
lados de um retângulo, o sólido gerado por essa rotação 
é um cilindro circular reto.Este produto está licenciado para ALAN FERREIRA - CPF: 06342387958. É vedado a reprodução total ou parcial.
CAPÍTULO 11 - Geometria Espacial
77
Planifi cação do Cilindro Circular Reto
Áreas e Volume do Cilindro Circular Reto
Quest ões Gabarit adas
O raio da base de um cilindro equilátero é 
igual a 10 cm. Calcule a área lateral, a área total e 
o volume desse cilindro.
Gabarit o
1- 
Pirâmides
Pirâmides Retas
As pirâmides são os sólidos geométricos que pos-
suem uma base, que é um polígono, e opost o à essa base 
apresenta apenas um ponto, ch amado vértice. Para a 
pirâmide ser reta, a projeção ortogonal do vértice deve 
coincidir com o cento do polígono da base. As faces late-
rais das pirâmides são triângulos.
Uma pirâmide é denominada triangular, quadrangu-
lar, pentagonal etc, conforme suas bases sejam triangu-
lares, quadrangulares, pentagonais etc.
Pirâmides Regulares
Uma pirâmide é dit a regular se ela é reta e suas ba-
ses são polígonos regulares. As principais são as pirâmi-
des triangular regular, quadrangular regular e hexago-
nal regular.
Planifi cação de uma Pirâmide Reta
 
Segmentos Notáveis na Pirâmide Regular
OM = r é o raio da circunferência inscrit a na base
(apótema da base)
OA = R é o raio da circunferência circunscrit a 
na base
VM = p é o apótema da pirâmide
OV = h é a altura da pirâmide
AV = a é a arest a lateral da pirâmide
AB = b é a arest a da base da pirâmide
Secção Transversal de uma Pirâmide
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78
MATEMÁTICA
Quando cortamos uma pirâmide por meio de um 
plano paralelo à sua base, est amos determinando uma 
secção transversal dela. Observe que esse corte divide 
a pirâmide em dois sólidos: na parte de cima, uma nova 
pirâmide e, na parte de baixo, o sólido geométrico ch a-
mado tronco de pirâmide.
Outra observação importante a ser feit a é que qual-
quer secção transversal de uma pirâmide é um polígono 
semelhante ao polígono da base. A razão de semelhança 
é a razão entre a dist ância do vértice ao plano de sec-
ção e a altura da pirâmide. A partir dessa observação, 
comparando a pirâmide pequena gerada pela secção e a 
pirâmide grande, original, são verdadeiras as seguintes 
afi rmações:
01. As medidas lineares da pirâmide pequena 
são proporcionais às respect ivas medidas lineares 
da pirâmide grande, na razão h/H:
02. As áreas da pirâmide pequena são propor-
cionais às respect ivas áreas da pirâmide grande, 
na razão h²/H²:
03. O volume da pirâmide pequena é propor-
cional ao volume da pirâmide grande, na razão 
h³/H³:
Áreas e Volume das Pirâmides Retas
Quest ões Gabarit adas
Numa pirâmide quadrangular regular as ares-
tas da base medem 12 cm e a altura mede 8 cm. 
Calcule a área lateral, a área total e o volume des-
sa pirâmide.
Gabarit o
1- 
Cones Circulares
Secção Meridiana e Secção Transversal
Chamamos de secção meridiana do cone a fi gura pla-
na formada pelo corte feit o por um plano que contém o 
seu eixo. Já a secção transversal é formada pelo corte 
feit o por um plano paralelo às bases do cilindro.
Quando cortamos um cone por meio de um plano 
paralelo à sua base, est amos determinando uma secção 
transversal dele. Observe que esse corte divide o cone 
em dois sólidos: na parte de cima, um novo cone e, na 
parte de baixo, o sólido geométrico ch amado tronco de 
cone.
Outra observação importante a ser feit a é que qual-
quer secção transversal de um cone circular é um cír-
culo. A partir dessa observação, comparando o cone pe-
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CAPÍTULO 11 - Geometria Espacial
79
queno gerado pela secção e o cone grande, original, são 
verdadeiras as seguintes afi rmações:
01. As medidas lineares do cone pequeno são 
proporcionais às respect ivas medidas lineares do 
cone grande, na razão h/H:
02. As áreas do cone pequeno são proporcio-
nais às respect ivas áreas do cone grande, na ra-
zão h²/H²:
03. O volume do cone pequeno é proporcional 
ao volume do cone grande, na razão h³/H³:
Cone Equilátero
Um cilindro é ch amado equilátero quando sua sec-
ção meridiana é um triângulo equilátero. Note que, nes-
se caso, G=2·R. 
Cone de Revolução
Dando-se uma rotação completa em torno de um dos 
lados de um retângulo, o sólido gerado por essa rotação 
é um cilindro circular reto.
Planifi cação do Cone Circular Reto
Áreas e Volume do Cone Circular Reto
Relação entre Altura, Raio e Geratriz
Quest ões Gabarit adas
O raio da base de um cone é igual a 2 cm e a 
geratriz mede 6 cm. Calcule a área lateral, a área 
total e o volume desse cone.
 Gabarit o
1- 
Esferas
Dados um ponto O e uma dist ância R, ch ama-se es-
fera de centro O e raio R o conjunto de todos os pontos 
do espaço sit uados a uma dist ância menor ou igual a R 
de O.
 
Principais Elementos da Esfera
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80
MATEMÁTICA
Área da Superfície e Volume da Esfera
Esfera como Sólido de Revolução
Dando-se uma rotação completa em torno do diâme-
tro de um semicírculo, o sólido gerado por essa rotação 
é uma esfera.
Secção da Esfera
Cunha Esférica e Fuso Esférico
Se um semicírculo sofre uma rotação de ∝ graus, 
sendo ∝ < 360°, em torno de seu diâmetro, o sólido gera-
do é ch amado cunha esférica.
Analogamente, se a rotação descrit a é aplicada a uma 
semicircunferência, a superfície gerada é denominada 
fuso esférico.
O volume da cunha esférica pode ser calculado por 
uma regra de três:
Também por regra de três, podemos calcular a área 
do fuso:
Quest ões Gabarit adas
Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por 
um plano sit uado a uma dist ância de 12 cm do centro 
dela mesma, determinando uma circunferência. O raio 
da circunferência, em cm, é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Calcule a área da superfície e o volume de uma esfe-
ra circunscrit a a um cubo de 10 cm de arest a.
Um semicírculo de 6 cm de raio sofre uma rotação de 
45° em torno de seu diâmetro. Calcule o volume e a área 
total do sólido gerado por essa rotação.
Um tanque cilíndrico, que contém água, tem raio de 
base R. Mergulha-se nesse tanque uma esfera de aço, e o 
nível da água sobe 9R/16. O raio da esfera é: 
3R/4
9R/16
3R/5
R/2
2R/3
Gabarit o
1-E
2- 3-
4-A
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CAPÍTULO 12 - Problemas de Raciocínio
81
12. PROBLEMAS DE RACIOCÍNIO
Associação Lógica
Trata-se de questões de organização que trazem 
muitas informações, normalmente sobre três persona-
gens e duas ou três características. Não há mentiras, 
todas as informações são confiáveis, bastando uma boa 
organização.
 Exemplo: Quatro empresas (Mac-
corte, Mactex, Macval, Macmais) partici-
pam de uma concorrência para compra 
de certo tipo de máquina. Cada empresa 
apresentou um modelo diferente do das 
outras (Thor, Hércules, Netuno, Zeus) e os 
prazos de entrega variavam de 8, 10, 12 e 
14 dias. Sabe-se que: 
• Sobre os prazos de entrega, Macval 
apresentou o menor e Mactex o maior.
• O modelo Zeus foi apresentado pela 
Maccorte, com prazo de entrega de 2 dias 
a menos do que a Mactex.
• O modelo Hércules seria entregue em 
10 dias.
• Macval não apresentou o modelo Ne-
tuno. 
Nessas condições, o modelo apresenta-
do pela empresa 
a) Macval foi o Hércules. 
b) Mactex foi o Thor. 
c) Macmais foi o Thor. 
d) Mactex foi o Netuno.
e) Macval foi o Netuno.
Questões Gabaritadas
1) Certo dia, três técnicos distraídos, André, 
Bruno e Carlos, saíram do trabalho e cada um foia um local antes de voltar para casa. Mais tarde, 
ao regressarem para casa, cada um percebeu que 
havia esquecido um objeto no local em que havia 
estado. Sabe-se que:
• um deles esqueceu o guarda-chuva no bar e 
outro, a agenda na pizzaria;
• André esqueceu um objeto na casa da na-
morada;
• Bruno não esqueceu a agenda e nem a cha-
ve de casa.
É verdade que:
a. Carlos foi a um bar.
b. Bruno foi a uma pizzaria.
c. Carlos esqueceu a chave de casa.
d. Bruno esqueceu o guarda-chuva.
e. André esqueceu a agenda.
2) Três técnicos: Amanda, Beatriz e Cássio tra-
balham no banco - um deles no complexo com-
putacional, outro na administração e outro na 
segurança do Sistema Financeiro, não respecti-
vamente. A praça de lotação de cada um deles é: 
São Paulo, Rio de Janeiro ou Porto Alegre. Sabe-se 
que:
• Cássio trabalha na segurança do Sistema 
Financeiro.
• O que está lotado em São Paulo trabalha na 
administração.
• Amanda não está lotada em Porto Alegre e 
não trabalha na administração.
É verdade que, quem está lotado em São Paulo 
e quem trabalha no complexo computacional são, 
respectivamente,
a. Cássio e Beatriz.
b. Beatriz e Cássio.
c. Cássio e Amanda.
d. Beatriz e Amanda.
e. Amanda e Cássio.
3) Em 2010, três Técnicos Judiciários, Alfredo, 
Benício e Carlos, viajaram em suas férias, cada 
um para um local diferente. Sabe-se que:
• seus destinos foram: uma praia, uma região 
montanhosa e uma cidade do interior do Estado;
• as acomodações por ele utilizadas foram: 
uma pousada, um pequeno hotel e uma casa alu-
gada;
• o técnico que foi à praia alojou-se em uma 
pousada;
• Carlos foi a uma cidade do interior;
• Alfredo não foi à praia;
• quem hospedou-se em um hotel não foi Car-
los.
Nessas condições, é verdade que
a. Alfredo alugou uma casa.
b. Benício foi às montanhas.
c. Carlos hospedou-se em uma pousada.
d. aquele que foi à cidade hospedou-se em 
uma pousada.
e. aquele que foi às montanhas hospedou-se 
em um hotel.
4) Alcides, Ferdinando e Reginaldo foram a 
uma lanchonete e pediram lanches distintos en-
tre si, cada qual constituído de um sanduíche e 
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82
MATEMÁTICA
uma bebida. Sabe-se também que:
• os tipos de sanduíches pedidos eram de pre-
sunto, misto quente e hambúrguer;
• Reginaldo pediu um misto quente;
• um deles pediu um hambúrguer e um suco 
de laranja;
• Alcides pediu um suco de uva;
• um deles pediu suco de acerola.
Nessas condições, é correto afirmar que
a. Alcides pediu o sanduíche de presunto.
b. Ferdinando pediu o sanduíche de presunto.
c. Reginaldo pediu suco de laranja.
d. Ferdinando pediu suco de acerola.
e. Alcides pediu o hambúrguer.
5) Um agente de viagens atende três amigas. 
Uma delas é loira, outra é morena e a outra é rui-
va. O agente sabe que uma delas se chama Anna, 
outra se chama Bruna e a outra se chama Carine. 
Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem 
a um país diferente da Europa: uma delas irá à 
Alemanha, outra à França e a outra irá à Inglater-
ra. Ao agente de viagens, que queria identificar 
o nome e o destino de cada uma, elas deram as 
seguintes informações: 
• A loira: “Não vou à França nem à Inglaterra” 
• A morena: “Eu e Bruna, visitaremos Carine 
em outra viagem” 
• A ruiva: “Nem eu nem Bruna vamos à Fran-
ça” 
O agente de viagens concluiu, então, acertada-
mente, que:
 
a. A loira é Carine e vai à Alemanha. 
b. A ruiva é Carine e vai à França. 
c. A ruiva é Anna e vai à Inglaterra. 
d. A morena é Anna e vai à Inglaterra. 
e. A loira é Bruna e vai à Alemanha. 
6) Três amigos Ari, Beto e Carlos - se encon-
tram todos os fins de semana na feira de carros 
antigos. Um deles tem um Chevett, outro tem um 
Landau e o terceiro, um Fusca. Os três moram em 
bairros diferentes (Buritis, Praia Grande e Cru-
zeiro) e têm idades diferentes (45, 50 e 55 anos). 
Além disso, sabe-se que: 
• Ari não tem um Chevett e mora em Buritis; 
• Beto não mora na Praia Grande é 5 anos 
mais novo que o dono do Fusca; 
• O dono do Chevett não mora no Cruzeiro é o 
mais velho do grupo. 
A partir das informações acima, é correto afir-
mar que 
a. Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e 
é proprietário do Landau. 
b. Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de ida-
de e é proprietário do Chevett. 
c. Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos 
de idade e é proprietário do Chevett. 
d. Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e 
é proprietário do Fusca.
7) Três contadores - A, B e C - estão sendo ava-
liados para o preenchimento de uma posição em 
uma empresa. Esses contadores estudaram em 
diferentes universidades (USP, UnB e FGV), pos-
suem diferentes tempos de experiência na profis-
são (3, 5 e 8 anos) e foram classificados em três 
opções: 1º, 2º e 3º. Considere também que o con-
tador A estudou na USP e tem menos de 7 anos 
de experiência. O contador C ficou na 3ª posição, 
não estudou na UnB e tem 2 anos de experiência 
a menos que o contador que foi classificado na 2a 
posição. Qual dos três contadores ficou com a pri-
meira posição?
8) Mateus, Marcos, Pedro e Paulo são funcio-
nários do TCU e encontram-se uma vez por mês 
para exercitarem seus dotes musicais. Nesse 
quarteto, há um guitarrista, um flautista, um 
baterista e um baixista, e cada um toca somente 
um instrumento. Nesse grupo de amigos, tem-se 
um auditor (AUD), um analista de controle exter-
no (ACE), um procurador do Ministério Público 
(PMP) e um técnico de controle externo (TCE), to-
dos com idades diferentes, de 25, 27, 30 e 38 anos. 
Além disso, sabe-se que:
• Mateus não tem 30 anos de idade, toca gui-
tarra e não é procurador do Ministério Público;
• o baterista é o analista de controle externo, 
tem 27 anos de idade e não é Marcos;
• Paulo é técnico de controle externo, tem 25 
anos de idade e não é flautista;
• o procurador do Ministério Público não é 
baixista e não se chama Pedro;
• o auditor tem 38 anos de idade e não é bai-
xista.
Com base nas informações apresentadas, 
quem tem 38 anos de idade?
9) Armando, Bruno, Cristóvão e Diogo são qua-
tro artistas talentosos. Um deles é pintor, outro é 
dançarino, outro é cantor e outro é escritor, não 
necessariamente nessa ordem. Sabe-se que:
• Armando e Cristóvão assistiram ao show do 
cantor.
• Quando jovens, Bruno e o escritor foram re-
tratados pelo pintor.
• O escritor, já escreveu uma biografia de Dio-
go, planeja escrever uma biografia de Armando.
• Armando nunca conheceu Cristóvão.
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CAPÍTULO 12 - Problemas de Raciocínio
83
Segue-se que:
a. Armando é o pintor
b. Bruno é o pintor
c. Cristóvão é o pintor
d. Diogo é o pintor
e. Armando é o escritor
10) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila 
são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, 
Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu cur-
so em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e 
a outra em São Paulo. Márcia realizou seu curso 
em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Be-
renice não realizou seu curso em São Paulo e não 
fez Medicina. 
Assim, os cursos e os respectivos locais de es-
tudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela or-
dem:
a. Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em 
Florianópolis, Biologia em São Paulo
b. Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em 
Florianópolis, Medicina em São Paulo
c. Medicina em Belo Horizonte, Biologia em 
Florianópolis, Psicologia em São Paulo
d. Biologia em Belo Horizonte, Medicina em 
São Paulo, Psicologia em Florianópolis
e. Medicina em Belo Horizonte, Biologia em 
São Paulo, Psicologia em Florianópolis
Gabarito
1-D 2-D 3-E 4-A 5-E
6-D 7-B 8-Mateus 9-D 10-C
Verdades e MentirasAs questões de verdades e mentiras são frequentes 
em provas que cobram problemas de RLM. Normalmen-
te trazem o mesmo contexto: uma situação em que há 
um culpado e cada um dos suspeitos dá uma declara-
ção e a partir delas se determina o culpado. Aliado a 
esse contexto, sempre estará determinado na questão 
quantas verdades e quantas mentiras existem nas de-
clarações, fato que é indispensável para a solução. São 
geralmente bem fáceis e exigem apenas uma técnica 
apropriada, que mostraremos com calma.
 Exemplo: Quando a mãe de Alys-
son, Bosco, Carlos e Daniel, chega em casa, 
verifica que seu vaso preferido havia sido 
quebrado. Interrogados pela mãe, eles fa-
zem as seguintes declarações: 
• “Mãe, o Bosco foi quem quebrou” - dis-
se Alysson 
• “Como sempre, o Daniel foi culpado” 
- disse Bosco 
• “Mãe, sou inocente” - disse Carlos 
• “Claro que o Bosco está mentindo” - 
disse Daniel 
Sabendo que apenas um dos quatro dis-
se a verdade, diga quem quebrou o vaso. 
a) Alysson 
b) Bosco 
c) Carlos 
d) Daniel 
Questões Gabaritadas
1) Huguinho, Zezinho e Luizinho, três irmãos 
gêmeos, estavam brincando na casa de seu tio 
quando um deles quebrou seu vaso de estimação. 
Ao saber do ocorrido, o tio perguntou a cada um 
deles quem havia quebrado o vaso. Leia as respos-
tas de cada um.
Huguinho → “Eu não quebrei o vaso!”
Zezinho → “Foi o Luizinho quem quebrou o vaso!”
Luizinho → “O Zezinho está mentindo!”
Sabendo que somente um dos três falou a ver-
dade, conclui-se que o sobrinho que quebrou o 
vaso e o que disse a verdade são, respectivamente,
a. Huguinho e Luizinho.
b. Huguinho e Zezinho.
c. Zezinho e Huguinho.
d. Luizinho e Zezinho.
e. Luizinho e Huguinho.
2) Miguel, Érico, Ricardo, Jaime e Caio são in-
terrogados em um Tribunal para averiguação de 
um crime certamente cometido por, apenas, um 
dos cinco. Nos interrogatórios, cada um fez a se-
guinte afirmação:
Miguel: − o culpado é Jaime.
Érico: − Ricardo não é culpado.
Ricardo: − o culpado é Caio.
Jaime: − eu não sou culpado.
Caio: − o culpado é Miguel.
Se apenas um dos cinco interrogados diz a ver-
dade, então o crime foi cometido por
a. Miguel.
b. Érico.
c. Ricardo.
d. Jaime.
e. Caio.
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84
MATEMÁTICA
3) Três homens são levados à presença de um 
jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto 
marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabe-se, 
também, que um outro é um pedreiro, igualmente 
honesto e trabalhador, mas que tem o estranho 
costume de sempre mentir, de jamais dizer a ver-
dade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar 
ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O proble-
ma é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À 
frente do jovem lógico, esses três homens fazem, 
ordenadamente, as seguintes declarações:
- O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.”
- O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de 
falar, é o ladrão.”
- O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.”
Com base nestas informações, o jovem lógico 
pode, então, concluir corretamente que:
a. O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o 
terceiro.
b. O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o 
segundo.
c. O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o se-
gundo.
d. O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o ter-
ceiro.
e. O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o 
segundo.
4) Cinco aldeões foram trazidos à presença de 
um velho rei, acusados de haver roubado laranjas 
do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou 
tão baixo que o rei - que era um pouco surdo - não 
ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados 
disseram:
- Bebelim: “Cebelim é inocente”.
- Cebelim: “Dedelim é inocente”.
- Dedelim: “Ebelim é culpado”.
- Ebelim: “Abelim é culpado”.
O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas 
e ouvira as declarações dos cinco acusados, dis-
se então ao rei: “Majestade, apenas um dos cinco 
acusados é culpado, e ele disse a verdade; os ou-
tros quatro são inocentes e todos os quatro men-
tiram”. O velho rei, que embora um pouco surdo 
era muito sábio, logo concluiu corretamente que 
o culpado era:
a. Abelim
b. Bebelim
c. Cebelim
d. Dedelim
e. Ebelim
5) Um crime é cometido por uma pessoa e há 
quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João. 
Interrogados, eles fazem as seguintes declara-
ções:
• André: Eduardo é o culpado.
• Eduardo: João é o culpado.
• Rafael: Eu não sou culpado.
• João: Eduardo mente quando diz que eu sou 
culpado.
Sabendo que apenas um dos quatro disse a 
verdade, o culpado:
a. é certamente André.
b. é certamente Eduardo.
c. é certamente Rafael.
d. é certamente João.
e. não pode ser determinado com essas infor-
mações.
6) Um policial rodoviário deteve Carlos, João, 
José, Marcelo e Roberto, suspeitos de terem cau-
sado um acidente fatal em uma autoestrada. Na 
inquirição, os suspeitos afirmaram o seguinte:
- Carlos: o culpado é João ou José;
- João: o culpado é Marcelo ou Roberto;
- José: o culpado não é Roberto;
- Marcelo: o culpado está mentindo;
- Roberto: o culpado não é José.
Sabe-se ainda que
- existe apenas um único culpado;
- um único suspeito sempre mente e todos os demais 
sempre falam a verdade.
Pode-se concluir que o culpado é
a. Carlos.
b. João.
c. José.
d. Marcelo.
e. Roberto.
7) Um líder criminoso foi morto por um de 
seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o inter-
rogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes 
declarações.
• A afirmou que C matou o líder.
• B afirmou que D não matou o líder.
• C disse que D estava jogando dardos com A 
quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram 
participação no crime.
• D disse que C não matou o líder.
Considerando a situação hipotética apresenta-
da acima e sabendo que três dos comparsas men-
tiram em suas declarações, enquanto um deles 
falou a verdade, julgue o item seguinte.
A declaração de C não pode ser verdadeira.
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CAPÍTULO 12 - Problemas de Raciocínio
85
( ) certo ( ) errada
8) Alan, Beto, Caio e Décio são irmãos e foram 
interrogados pela própria mãe para saber quem 
comeu, sem autorização, o chocolate que estava 
no armário. Sabe-se que apenas um dos quatro 
comeu o chocolate, e que os quatro irmãos sabem 
quem foi. A mãe perguntou para cada um quem 
cometeu o ato, ao que recebeu as seguintes res-
postas: 
- Alan diz que foi Beto; 
- Beto diz que foi Caio; 
- Caio diz que Beto mente; 
- Décio diz que não foi ele. 
O irmão que fala a verdade e o irmão que co-
meu o chocolate são, respectivamente,
a. Beto e Décio.
b. Alan e Beto.
c. Beto e Caio.
d. Alan e Caio.
e. Caio e Décio.
Gabaritos
1-A 2-C 3-B 4-C 5-C
6-B 7-C 8-E
Sequências Lógicas
As sequências lógicas são compostas por números, 
letras ou figuras. Esse tipo de questão apresenta um pa-
drão, uma regra que permite determinar os termos sub-
sequentes.
Sequências de Números
Para construir conhecimento a esse respeito, é ne-
cessário conhecer algumas sequências importantes, es-
pecialmente numéricas. Faremos um estudo detalhado a 
esse respeito.
Apresentamos uma série de sequências prontas:
• Números pares
{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
• Números ímpares
{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
• Números primos
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}
• Números quadrados perfeitos
{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 
196, 225, ...}
• Números triangulares
{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ...}
• Fibonacci
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...}
• Progressões aritméticas - aumentam sem-
pre a mesma quantidade
{3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, ...} – aumentam de 4 em 4.
{5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, ...} – aumentam de 3 em 3.
• Progressões geométricas – multiplica-se 
semprepelo mesmo número
{2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...} – multiplica por 2
{1, 3, 9, 27, 81, ..} – multiplica por 3
 Exemplos: 1) Qual o próximo nú-
mero da sequência 36, 64, 100, 144 ?
2) Qual o próximo termo da sequência 
3, 7, 15, 31 ?
3) Qual o próximo termo da sequência 
4, 7, 11, 16, 22 ?
4) Qual o próximo termo da sequência 
3, 5, 9, 17, 33 ?
5) Dada a sequência 2 3 4 5 8 7 16 9 
32, determine a soma do 10º e do 11º dessa 
série numérica.
6) Qual o próximo número da sequên-
cia 1 1 1 3 5 9 17?
7) A sequência: 2; 3; 5; 6; 11; 12; 23; 24; 
. . ., foi criada com um padrão. Quais os 
próximos dois números?
8) A sequência numérica 6 , 42 , 114 , 
222 , 366 , .... obedece, a partir do segundo 
número, a uma determinada lei de forma-
ção. O sexto termo dessa sequência é?
Sequências de Letras
Quando se trata de uma sequência de letras, precisa-
mos diagnosticar se as letras se apresentam respeitando 
a ordem alfabética ou não, pois em cada caso, há uma 
solução diferente.
• Sequências fora da ordem alfabética - nes-
ses casos precisamos pensar em situações que en-
volvam os nomes dos meses, dos dias da semana, 
e outras situações que não são um padrão normal.
 Exemplos: 1) Qual o próximo ter-
mo da sequência JJASOND?
2) Determine o próximo termo da sequ-
ência TQQSS.
3) Qual a próxima letra da sequência 
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86
MATEMÁTICA
UDTQCSS?
• Sequências respeitando a ordem alfabéti-
ca - nesses casos, devemos escrever o alfabeto e 
marcar as letras que aparecem na sequência, ob-
servando que surgirá um padrão.
 Exemplos: 1) B F H L N R 
2) A C E G I
3) C F H K M
4) Considere que a sequência (C, E, G, F, 
H, J, I, L, N, M, O, Q, ...) foi formada a partir 
de certo critério. Se o alfabeto usado é o 
oficial, que tem 23 letras, então, de acordo 
com esse critério, qual a próxima letra des-
sa sequência?
Questões Gabaritadas
1) Considere a sequência:
(P, 3, S, 4, W, 5, B, 4, F, 3, ......)
De acordo com a lógica observada nos primei-
ros elementos da sequência, o elemento, dentre 
os apresentados, que a completa corretamente é
a. C 
b. G 
c. I 
d. 2 
e. 4
2) Assinale a alternativa que apresenta o pró-
ximo termo da sequência abaixo.
7, 15, 24, 34, ...
a. 41.
b. 43.
c. 44.
d. 45.
e. 47.
3) Na sequência seguinte o número que apare-
ce entre parênteses é obtido segundo uma lei de 
formação.
63(21)9; 186(18)31; 85( ? )17
O número que está faltando é
a. 15
b. 17
c. 19 
d. 23 
e. 25
4) A partir da lei de formação da sequência 1, 
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,..., calcule o valor mais próximo 
do quociente entre o 11° e o 10° termo.
a. 1,732
b. 1,667
c. 1,618
d. 1,414
e. 1,5
5) Observe que em cada um dos dois primeiros 
pares de palavras abaixo, a palavra da direita foi 
formada a partir da palavra da esquerda, utili-
zando-se um mesmo critério.
SOLAPAR – RASO
LORDES – SELO
CORROBORA - ?
Com base nesse critério, a palavra que substi-
tui corretamente o ponto de interrogação é
a. CORA.
b. ARCO.
c. RABO.
d. COAR.
e. ROCA.
6) Uma propriedade comum caracteriza o con-
junto de palavras seguinte:
MARCA − BARBUDO − CRUCIAL − ADIDO − FRENTE 
− ?
De acordo com tal propriedade, a palavra que, 
em sequência, substituiria corretamente o ponto 
de interrogação é
a. FOFURA.
b. DESDITA.
c. GIGANTE.
d. HULHA.
e. ILIBADO.
7) Sabe-se que os termos da sequência (8, 9, 
12, 13, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 26, ...) foram obtidos 
segundo uma lei de formação. De acordo com essa 
lei, o 13o termo dessa sequência é um número
a. par.
b. primo.
c. divisível por 3.
d. múltiplo de 4.
e. quadrado perfeito.
8) A seguinte sequência de palavras foi escrita 
obedecendo a um padrão lógico:
PATA − REALIDADE − TUCUPI − VOTO − ?
Considerando que o alfabeto é o oficial, a pa-
lavra que, de acordo com o padrão estabelecido, 
poderia substituir o ponto de interrogação é
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CAPÍTULO 12 - Problemas de Raciocínio
87
a. QUALIDADE.
b. SADIA.
c. WAFFLE.
d. XAMPU.
e. YESTERDAY.
9) Na sequência seguinte, o número que apa-
rece entre parênteses é obtido segundo uma lei 
de formação.
65(20)13 – 96(16)24 – 39(52)3 – 336( ? )48
Segundo essa lei, o número que substitui cor-
retamente o ponto de interrogação é
a. 18 
b. 24 
c. 28
d. 32
e. 36
10) A diferença entre o 7º termo da sequência 
(5; 9; 17; 33; 65; ...) e o 11º termo da sequência (5; 2; 
4; −2; 0; −12; −10; ...), nessa ordem, é igual a
a. 123.
b. 35.
c. 457.
d. 335.
e. 761.
11) Na sequência (4; 11; 32; 95; . . .) a diferença 
entre o 6o e o 4o termo é, nessa ordem, igual a
a. 280.
b. 637.
c. 756.
d. 189.
e. 567.
12) Em relação à disposição numérica seguin-
te, assinale a alternativa que preenche a vaga as-
sinalada pela interrogação:
2 8 5 6 8 ? 11
a. 1
b. 4
c. 3
d. 29
e. 42
13) Os números abaixo estão dispostos de ma-
neira lógica.
8 1 12 10 14 11 ...... 3 7 5 16 9
A alternativa correspondente ao número que 
falta no espaço vazio é
a. 51 
b. 7
c. 12
d. 6
e. 40
14) Observe o diagrama e seu padrão de orga-
nização.
A diferença numérica entre A e B, quando se 
completa o diagrama de acordo com o padrão, é 
igual a
a. 40.
b. 27.
c. 15. 
d. 21. 
e. 35.
15) O triângulo abaixo é composto de letras do 
alfabeto dispostas segundo determinado critério.
Considerando que no alfabeto usado não en-
tram as letras K, W e Y, então, segundo o critério 
utilizado na disposição das letras do triângulo a 
letra que deverá ser colocada no lugar do ponto 
de interrogação é
a. C 
b. I 
c. O 
d. P 
e. R
16) Observe que, no esquema abaixo, há uma 
relação entre as duas primeiras palavras:
AUSÊNCIA – PRESENÇA :: GENEROSIDADE – ?
A mesma relação deve existir entre a terceira 
palavra e a quarta, que está faltando. Essa quarta 
palavra é
a. bondade.
b. infinito.
c. largueza.
d. qualidade.
e. mesquinhez.
17) Os números no interior dos setores do cír-
culo abaixo foram marcados sucessivamente, no 
sentido horário, obedecendo a uma lei de forma-
ção.
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88
MATEMÁTICA
Segundo essa lei, o número que deve substi-
tuir o ponto de interrogação é
a. 210
b. 206
c. 200
d. 196
e. 188
18) A sucessão de palavras seguintes obedece a 
um padrão lógico:
TÓRAX – AMIGÁVEL – SABIÁ – VALENTÃO – CÔNI-
CA – AÉREO – FICTÍCIO
De acordo com o padrão estabelecido, uma pa-
lavra que poderia dar continuidade a essa suces-
são é:
a. GELADO.
b. ARREBALDE.
c. FÁCIL.
d. FILANTROPIA.
e. SOPA.
19) Considere que os termos da sequência se-
guinte foram sucessivamente obtidos segundo 
determinado padrão:
(3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, ...)
O décimo termo dessa sequência é
a. 1537.
b. 1929.
c. 1945.
d. 2047.
e. 2319.
20) Observe as seguintes sequências de núme-
ros:
(1,0,0,1) – (4,3,3,4) – (5,4,4,5) – (6,7,7,6) – (9,8,8,9)
A sequência que NÃO apresenta as mesmas 
características das demais é
a. (1,0,0,1)
b. (4,3,3,4)
c. (5,4,4,5)
d. (6,7,7,6)
e. (9,8,8,9)
21) Os números no interior do círculo repre-
sentado na figura abaixo foram colocados a partir 
do número 2 e no sentido horário, obedecendo a 
um determinado critério.
Segundo o critério estabelecido, o número que 
deverá substituir o ponto de interrogação é
a. 42 
b. 44 
c. 46 
d. 50 
e. 52
22) Considere que os termos da sucessão se-
guinte foram obtidos segundo determinado pa-
drão.
(20, 21, 19, 22, 18, 23, 17, ...)
Se, de acordo com o padrão estabelecido, X e 
Y são o décimoe o décimo terceiro termos dessa 
sucessão, então a razão YX é igual a
a. 44%.
b. 48%.
c. 56%.
d. 58%.
e. 64%.
23) Considere que, no interior do círculo abai-
xo, os números foram colocados, sucessivamente 
e no sentido anti-horário, obedecendo a um de-
terminado critério.
Sabendo que o primeiro número colocado foi o 
17, o número a ser colocado no espaço em branco 
é
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CAPÍTULO 13 - Lógica Proposicional
89
a. 1682.
b. 1042.
c. 1820.
d. 1002.
e. 1560.
24) observe a sequência a seguir:
B3 5F H9 17L N33 65R 
o próximo termo será
a. T129
b. 131T
c. V129
d. 131V
e. W127
25) Qual o próximo termo da sequência JJA-
SOND?
a. A
b. E
c. D
d. J
26) Determine o próximo termo da sequência 
TQQSS.
a. A
b. E
c. D
d. J
27) Qual a próxima letra da sequência UDTQ-
CSS?
a. O
b. N
c. D
d. T
28) Qual o próximo número da sequência 1 1 1 
3 5 9 17?
a. 27 
b. 29 
c. 31 
d. 33
29) Dada a sequência 2 3 4 5 8 7 16 9 32, deter-
mine a soma do 10º e do 11º dessa série numérica.
a. 11
b. 53 
c. 64
d. 75
30) Os números 31 28 31 30 31 30 31 seguem 
um padrão lógico. De acordo com esse padrão, de-
termine o próximo número dessa sequência.
a. 28 
b. 30 
c. 31 
d. 32
Gabarito
1-C 2-D 3-A 4-C 5-B
6-A 7-B 8-D 9-C 10-D
11-C 12-B 13-D 14-B 15-D
16-E 17-A 18-C 19-D 20-D
21-A 22-C 23-A 24-A 25-D
26-C 27-A 28-C 29-D 30-C
13. LÓGICA PROPOSICIONAL
Proposição Simples
Sentença declarativa, que pode ser classificada ape-
nas como falsa ou verdadeira, mas nunca ambas.
 Exemplos: O Brasil fica na Amé-
rica.
Cuba é um país da Europa.
Perceba que não tem importância o fato de ser ver-
dadeira ou falsa para ser proposição. Porém, tem de ser 
classificada obrigatoriamente como um dos dois.
 Importante: Não serão proposi-
ções as seguintes sentenças:
a) interrogativas
b) exclamativas
c) imperativas
d) sentenças abertas
Sentença Aberta
Sentença declarativa que não permite a classificação 
falsa ou verdadeira. 
NÃO É PROPOSIÇÃO!
 Exemplos: x + 4 = 5 (Sem saber o 
valor de x, não é possível saber se é verda-
de ou não.)
o País fica na América. (Qual País? Sem 
saber o país nada se pode afirmar.)
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90
MATEMÁTICA
01. Proposição: o Brasil é um País da América. 
 Valor lógico: Verdadeiro
02. Proposição: Rita Lee morreu em janeiro de 
2001. 
 Valor lógico: Falso
Proposição Composta
Reunião de duas ou mais proposições simples.
Tipos De Proposição Composta
conjunção: utiliza o conectivo e.
disjunção : utiliza o conectivo ou
condicional: utiliza o conectivo se, então
bicondicional: utiliza o conectivo se, e somente 
se.
Conectivos
Fazem a ligação de proposições simples.
conectivo simbologia operação
E ^ conjunção
Ou v disjunção
Ou ... ou ⊻ disjunção exclusiva
Se .... então → condicional
Se, e somente se ↔ bicondicional
Tabela verdade da Conjunção
Proposição 1 Proposição 2 Proposição 1 e 
Proposição 2
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabela verdade da Disjunção
Proposição 1 Proposição 2 Proposição 1 e 
Proposição 2
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabela verdade da Disjunção Exclusiva
Proposição 1 Proposição 2 Proposição 1 e 
Proposição 2
V V F
V F V
F V V
F F F
Tabela verdade da Condicional
Proposição 1 Proposição 2 Proposição 1 e 
Proposição 2
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabela verdade da Bicondicional
Proposição 1 Proposição 2 Proposição 1 e 
Proposição 2
V V V
V F F
F V F
F F V
Questões Gabaritadas
Raciocínio Lógico / Fundamentos de Lógica / 
Ano: 2015 / Banca: CESPE / Órgão: TRE-GO
Considere as proposições P e Q apresentadas 
a seguir.
P: Se H for um triângulo retângulo em que a 
medida da hipotenusa seja igual a c e os catetos 
meçam a e b, entãoc2 = a2 + b2.
Q: Se L for um número natural divisível por 3 
e por 5, então L será divisível por 15. 
Tendo como referência as proposições P e Q, 
julgue os itens que se seguem, acerca de lógica 
proposicional. 
01) Se L for um número natural e se U, V e W 
forem as seguintes proposições:
U: “ L é divisível por 3”;
V: ‘’ L é divisível por 5”;
W: “ L é divisível por 15”;
então a proposição ¬Q, a negação de Q, poderá 
ser corretamente expressa por U∧V∧(¬W).
( )Certo ( )Errado
02) A proposição P será equivalente à propo-
sição (¬R) ∨ S, desde que R e S sejam proposições 
convenientemente escolhidas.
( )Certo ( )Errado
03) Raciocínio Lógico / Fundamentos de Lógi-
ca / Ano: 2014 / Banca: CESPE / Órgão: TJ-SE
Julgue os próximos itens, considerando os co-
nectivos lógicos usuais ¬,	⋀,	⋁,	→,	↔ e que P, Q e R 
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CAPÍTULO 13 - Lógica Proposicional
91
representam proposições lógicas simples.
Sabendo-se que, para a construção da tabela 
verdade da proposição (P⋁Q)↔(Q⋀R), a tabela 
mostrada abaixo normalmente se faz necessária, 
é correto afirmar que, a partir da tabela 
mostrada, a coluna correspondente à proposição 
(P⋁Q)↔(Q⋀R) conterá, de cima para baixo e na 
sequência, os seguintes elementos: V F F F V F F F.
P Q R (P⋁Q)↔(Q⋀R)
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
( )Certo ( )Errado
04) Raciocínio Lógico / Fundamentos de Lógi-
ca / Ano: 2014 / Banca: CESPE / Órgão: CADE
Considerando os conectivos lógicos usuais e 
que as letras maiúsculas representem proposi-
ções lógicas simples, julgue o item seguinte acer-
ca da lógica proposicional.
A sentença “Os candidatos aprovados e nome-
ados estarão subordinados ao Regime Jurídico 
Único dos Servidores Civis da União, das Autar-
quias e das Fundações Públicas Federais” é uma 
proposição lógica composta.
( )Certo ( )Errado
05) Raciocínio Lógico/Fundamentos de Lógica/
Ano: 2010/Banca: CESPE/Órgão: TRT - 21ª Região 
(RN)
Se a expressão lógica envolvendo R e T for 
(R⋀T)⋁(¬R), a tabela-verdade correspondete será 
a seguinte:
R T (R⋀T)⋁(¬R)
V V V
V F F
F V V
F F V
( )Certo ( )Errado
6. Raciocínio Lógico/Fundamentos de Lógica/
Ano: 2009/Banca: CESPE/Órgão: TRT - 17ª Região 
(ES)
A partir das informações do texto, julgue os 
itens a seguir.
Considere que uma proposição Q seja compos-
ta apenas das proposições simples A e B e cujos 
valores lógicos V ocorram somente nos casos 
apresentados na tabela abaixo.
A B Q
V F V
F F V 
Nessa situação, uma forma simbólica correta 
para Q é [ A ⋀ (¬B ) ] ⋁ [ ( ¬ A ) ⋀ ( ¬ B ) ].
( )Certo ( )Errado
7. A proposição “Se 2 for ímpar, então 13 será 
divisível por 2” é valorada como F.
( )Certo ( )Errado
8. Raciocínio Lógico / Fundamentos de Lógica / 
Ano: 2008 / Banca: CESPE / Órgão: STJ
O julgamento de uma proposição composta de-
pende do julgamento que se faz de suas proposi-
ções componentes mais simples.
Por exemplo, considerando-se todos os pos-
síveis julgamentos, ou valorações, V ou F das 
proposições simples A e B, tem-se a seguinte ta-
bela-verdade para as proposições compostas in-
dicadas.
A B A⋀B A⋁B ¬A A→B
V V V V F V
V F F V F
F V F V V V
F F F F V
Duas equivalências fundamentais são as deno-
minadas Leis de De Morgan:
¬(A⋁B), significando ¬A⋀¬B, e ¬(A⋀B), signifi-
cando ¬A⋁¬B.
Tendo como referência as informações acima, 
julgue os itens que se seguem.
Nas sentenças abaixo, apenas A e D são pro-
posições. 
A: 12 é menor que 6. 
B: Para qual time você torce? 
C: x + 3 > 10. 
D: Existe vida após a morte.
( )Certo ( )Errado
9. Raciocínio Lógico / Fundamentos de Lógica 
/ Ano: 2008 / Banca: CESPE / Órgão: STJ
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92
MATEMÁTICA
Considerando-se as possíveis valorações V ou 
F das proposições A e B e completando-se as co-
lunas da tabela abaixo, se necessário, é correto 
afirmar que a última coluna dessa tabela corres-
ponde à tabela-verdade da proposição 
[A⋁(¬B)]→ [¬(A⋁B)]
A B ¬B A⋁(¬B) A⋁B ¬(A⋁B) [A⋁(¬B)]→ [¬(A⋁B)]
V V F
V F F
F V V
F F V
( )Certo ( )Errado
10. Raciocínio Lógico / Fundamentos de Lógica 
/ Ano: 2008 / Banca: CESPE / Órgão: INSS
Se U for o conjunto de todos os funcionários 
públicos e P(x) for a propriedade “x é funcionário 
do INSS”, então é falsa a sentença ∀xP(x)
( )Certo ( )Errado
Gabarito
1- Certo 2- Certo 3-Errado 4-Errado 5-Certo
6-Certo 7-Errado 8-Certo 9-Certo 10-Certo
Tabelas-Verdade
Pelo uso repetido dos conectivos “... e ...” (⋀), “... ou ...” 
(⋁), “ou... ou...” (⊻), “se... então...” (→), “... se e somente se 
...” (↔), e da negação (¬), podemos construir proposições 
compostas progressivamente mais complexas, cujos va-
lores lógicos não temos condições de determinar ime-
diatamente. No entanto, o valor de uma proposição sem-
pre pode ser determinado a partir dos valores lógicos 
das proposições simples componentes e dos conectivos 
utilizados. Um modo organizado e sistemático de fazer 
isso é a utilização de uma tabela com todas as possíveis 
combinações entre os valores lógicos das proposições 
componentes e com o correspondente valor lógico da 
proposição composta.
Como exemplo, vamos construir a tabela-verdade 
das seguintes proposições:
a. p ⋀ ¬q 
P Q ¬Q P⋀¬Q
 Observação: Quando uma propo-
sição composta possui V e F em seu resul-
tado, na última coluna da tabela-verdade, 
ela é chamada CONTINGÊNCIA.
b.		¬p ⋀ ¬q
P Q ¬P ¬Q ¬P⋁¬Q
 Observação: Quando uma pro-
posição composta possui sempre o valor 
lógico F, ela é chamada CONTRADIÇÃO.
c. p ⋀ ¬p
P ¬P P⋀¬P
 Observação: Quando uma propo-
sição composta possui sempre o valor lógi-
co V, ela é chamada TAUTOLOGIA.
 Importante: O número de linhas 
de uma tabela-verdade é igual a 2n, sendo 
n o número de proposições simples compo-
nentes. Então:
1 proposição⇒21 = 2 linhas
2 proposições⇒22 = 4 linhas
3 proposições⇒23 = 8 linhas
4 proposições⇒24 = 16 linhas
n proposições ⇒	2n linhas
Questões Gabaritadas
1. Ano: 2014 / Banca: CESPE / Órgão: TJ-SE
Julgue os itens que se seguem, relacionados à 
lógica proposicional.
A sentença “O reitor declarou estar contente 
com as políticas relacionadas à educação supe-
rior adotadas pelo governo de seu país e com os 
rumos atuais do movimento estudantil” é uma 
proposição lógica simples.
( )Certo ( )Errado
2. Ano: 2014 / Banca: CESPE / Órgão: TJ-SE
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CAPÍTULO 13 - Lógica Proposicional
93
Julgue os próximos itens, considerando os co-
nectivos lógicos usuais ¬, ⋀, ⋁, →, ↔	e que P, Q e R 
representam proposições lógicas simples.
A proposição [P→(Q⋀R)]↔{[(¬P)⋁Q]⋀[(¬P)⋁R]}
é uma tautologia. 
( )Certo ( )Errado
3. Ano: 2014 / Banca: CESPE / Órgão: CADE
Considerando os conectivos lógicos usuais e 
que as letras maiúsculas representem proposi-
ções lógicas simples, julgue o item seguinte acer-
ca da lógica proposicional.
A proposição (P⋁Q)⋀(R⋁S)↔[Q⋀(R⋁S)]⋁[(P⋀R)⋁(P⋀S)] 
é uma tautologia.
( )Certo ( )Errado
4. Ano: 2013 / Banca: CESPE / Órgão: SEGES-
P-AL
Considerando que as letras maiúsculas P, Q e 
R representem proposições conhecidas, julgue os 
próximos itens.
Considerando-se as diferentes combinações 
de valorações verdadeiras ou falsas atribuídas 
às proposições P, Q e R, é correto concluir que as 
proposições Q→P, ¬(P∧R) e Q∨R não podem ser si-
multaneamente verdadeiras.
( )Certo ( )Errado
5. Ano: 2013 / Banca: CESPE / Órgão: TCE-RS
Com base na proposição P: “Quando o clien-
te vai ao banco solicitar um empréstimo, ou ele 
aceita as regras ditadas pelo banco, ou ele não 
obtém o dinheiro”, julgue os itens que se seguem.
A negação da proposição “Ou o cliente aceita 
as regras ditadas pelo banco, ou o cliente não ob-
tém o dinheiro” é logicamente equivalente a “O 
cliente aceita as regras ditadas pelo banco se, e 
somente se, o cliente não obtém o dinheiro”.
( )Certo ( )Errado
Gabarito
1-Errado 2-Certo 3-Certo 4-Errado 5-Certo
Negação de Proposições Compostas
Negação da Conjunção
¬ (A e B) = ¬A ou ¬B
 Exemplo: Sou feliz e Canto.
NÃO sou feliz ou NÃO canto.
Negação da Disjunção
¬ (A ou B) = ¬ A e ¬ B
 Exemplo: Sou professor ou sou 
rico.
NÃO sou professor e NÃO sou rico.
Negação da Disjunção Exclusiva
¬ (ou A ou B) = A ↔ B
 Exemplo: Ou sou professor ou sou 
rico.
Sou professor SE E SOMENTE SE sou 
rico.
Negação de Condicional
¬ (A → B) = A e ¬ B
 Exemplo: SE eu fico rico, ENTÃO 
compro um carro.
Eu fico rico e NÃO compro um carro.
Negação de Bicondicional
¬ (A ↔ B) = A e ¬B ou B e ¬A
 Exemplos: passo SE, E SOMENTE 
SE estudo.
Passo e não estudo ou estudo e não pas-
so.
RESUMINDO
PROPOSIÇÃO NEGAÇÃODIRETA
EQUIVALENTE 
DA NEGAÇÃO
A e B não (A e B) não A ou não B
A ou B não (A ou B) não A e não B
ou A ou B não (ou A ou B) A se e somente se B
Se A então B não (se A então B) A e não B
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94
MATEMÁTICA
A se e somente se 
B
não (A se e so-
mente se B)
A e não B ou B e 
não A
Questões Gabaritadas
1) Vou à academia todos os dias da semana e 
corro três dias na semana. Uma afirmação que 
corresponde à negação lógica da afirmação ante-
rior é
a. Não vou à academia todos os dias da sema-
na ou não corro três dias na semana.
b. Vou à academia quase todos os dias da se-
mana e corro dois dias na semana.
c. Nunca vou à academia durante a semana e 
nunca corro durante a semana.
d. Não vou à academia todos os dias da sema-
na e não corro três dias na semana.
e. Se vou todos os dias à academia, então corro 
três dias na semana.
2) De acordo com o raciocínio lógico-matemá-
tico, a negação da frase “O juiz negou a sentença 
e o réu entrou com recurso” é equivalente a frase.
a. O juiz negou a sentença ou o réu entrou com 
recurso.
b. O juiz não negou a sentença ou o réu não 
entrou com recurso.
c. O juiz não negou a sentença e o réu não en-
trou com recurso.
d. O juiz não negou a sentença ou o réu entrou 
com recurso.
3) Considere a seguinte afirmação associada a 
objetivos específicos de uma das Operações Urba-
nas do Município de São Paulo. Se esta Operação 
visa a implantação de espaços públicos, então ela 
visa a implantação de equipamento de interesse 
da comunidade. Uma negação lógica dessa afir-
mação está contida na alternativa:
a. Esta Operação não visa a implantação de es-
paços públicos ou não visa a implantação de equi-
pamentos de interesse da comunidade.
b. Esta Operação não visa a implantação de es-
paços públicos ou visa a implantação de equipa-
mentos de interesse da comunidade.
c. Esta Operação não visa a implantação de 
espaços públicos, e sim a implantação de equipa-
mentos de interesse da comunidade.
d. Esta Operação visa a implantação de espa-
ços públicos e não visa a implantação de equipa-
mentos de interesse da comunidade.
e. Se esta Operação não visa a implantação de 
espaços públicos, então ela não visa a implanta-
ção de equipamento de interesse da comunidade.
4) Determine a negação da proposição “Lívia é 
estudiosa e Marcos decora”.
a. Lívia é estudiosa ou Marcos decora
b. Lívia não é estudiosa e Marcos decora.
c. Lívia não é estudiosa ou Marcos decora.
d. Lívia não é estudiosa ou Marcos não decora.
e. Marcos não decora e Lívia é estudiosa.5) A negação de “hoje é domingo e amanhã não 
choverá” é:
a. hoje não é domingo e amanhã não choverá
b. hoje não é domingo ou amanhã choverá
c. hoje não é domingo então amanhã choverá
d. hoje não é domingo nem amanhã choverá
Gabarito
1-A 2-B 3-D 4-D 5-B
Equivalências
Proposições equivalente dizem a mesma coisa, mas 
de formas diferentes.
Existem duas equivalências prontas que devemos re-
cordar. São elas:
(A → B) = ¬ B → ¬ A
Perceba que estamos falando de uma condicional. 
Nessa equivalência, trocamos a ordem das proposições 
envolvidas e negamos ambas.
 Exemplo: Se sou professor, então 
sou rico.
Se não sou rico, então não sou profes-
sor.
(A → B) = ¬ A ou B
 Exemplo: Se sou professor, então 
sou rico.
não sou professor ou sou Rico.
Questões Gabaritadas
1) Considerando que P seja a proposição “Se os 
seres humanos soubessem se comportar, haveria 
menos conflitos entre os povos”, julgue os itens 
seguintes.
A proposição P é logicamente equivalente à 
proposição “Se houvesse menos conflitos entre os 
povos, os seres humanos saberiam se comportar”.
( ) certo ( ) errado
2) Considerando que P seja a proposição “Se os 
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CAPÍTULO 13 - Lógica Proposicional
95
seres humanos soubessem se comportar, haveria 
menos conflitos entre os povos”, julgue os itens 
seguintes.
A proposição P é logicamente equivalente 
à proposição “Os seres humanos não sabem se 
comportar ou haveria menos conflitos entre os 
povos”.
( ) certo ( ) errado
3) Considere a proposição P a seguir.
P: Se não condenarmos a corrupção por ser 
imoral ou não a condenarmos por corroer a le-
gitimidade da democracia, a condenaremos por 
motivos econômicos.
Tendo como referência a proposição apresen-
tada, julgue os itens seguintes.
A proposição P é logicamente equivalente à 
proposição “Se não condenarmos a corrupção 
por motivos econômicos, a condenaremos por ser 
imoral e por corroer a legitimidade da democra-
cia”.
( ) certo ( ) errado
4) Considere a proposição P a seguir.
P: Se não condenarmos a corrupção por ser 
imoral ou não a condenarmos por corroer a le-
gitimidade da democracia, a condenaremos por 
motivos econômicos.
Tendo como referência a proposição apresen-
tada, julgue os itens seguintes.
A proposição P é logicamente equivalente à 
proposição “Condenaremos a corrupção por ser 
imoral ou por corroer a legitimidade da democra-
cia ou por motivos econômicos”.
( ) certo ( ) errado
5) Considere as proposições P1, P2, P3 e P4, 
apresentadas a seguir.
P1: Se as ações de um empresário contribuí-
rem para a manutenção de certos empregos da 
estrutura social, então tal empresário merece re-
ceber a gratidão da sociedade.
P2: Se um empresário tem atuação antieconô-
mica ou antiética, então ocorre um escândalo no 
mundo empresarial.
P3: Se ocorre um escândalo no mundo empre-
sarial, as ações do empresário contribuíram para 
a manutenção de certos empregos da estrutura 
social.
P4: Se um empresário tem atuação antieconô-
mica ou antiética, ele merece receber a gratidão 
da sociedade. 
Tendo como referência essas proposições, jul-
gue os itens seguintes. 
A proposição P1 é logicamente equivalente à 
proposição “Se um empresário não mereceu rece-
ber a gratidão da sociedade, então as ações de tal 
empresário não contribuíram para a manutenção 
de certos empregos da estrutura social”.
( ) certo ( ) errado
6) A proposição “O candidato não apresenta 
deficiências em língua portuguesa ou essas defi-
ciências são toleradas” é logicamente equivalente 
a “Se o candidato apresenta deficiências em lín-
gua portuguesa, então essas deficiências são to-
leradas”.
( ) certo ( ) errado
7) Considerando que P seja a proposição “Se o 
bem é público, então não é de ninguém”, julgue os 
itens subsequentes.
A proposição P é equivalente à proposição “Se 
o bem é de alguém, então não é público”.
( ) certo ( ) errado
8) Considerando que P seja a proposição “Se o 
bem é público, então não é de ninguém”, julgue os 
itens subsequentes.
A proposição P é equivalente à proposição “Se 
o bem é de todos, então é público”.
( ) certo ( ) errado
9) Considerando que P seja a proposição “O 
atual dirigente da empresa X não apenas não foi 
capaz de resolver os antigos problemas da empre-
sa como também não conseguiu ser inovador nas 
soluções para os novos problemas”, julgue o item 
a seguir a respeito de lógica sentencial. 
A proposição P é logicamente equivalente à 
proposição “O atual dirigente da empresa X não 
foi capaz de resolver os antigos problemas da em-
presa ou não conseguiu ser inovador nas soluções 
para os novos problemas”.
( ) certo ( ) errado
10) Pedro, um jovem empregado de uma em-
presa, ao receber a proposta de novo emprego, fez 
diversas reflexões que estão traduzidas nas pro-
posições abaixo.
• P1: Se eu aceitar o novo emprego, ganharei 
menos, mas ficarei menos tempo no trânsito.
• P2: Se eu ganhar menos, consumirei menos.
• P3: Se eu consumir menos, não serei feliz. 
• P4: Se eu ficar menos tempo no trânsito, fica-
rei menos estressado. 
• P5: Se eu ficar menos estressado, serei feliz.
A partir dessas proposições, julgue o item a 
seguir.
A proposição P1 é logicamente equivalente à 
proposição “Eu não aceito o novo emprego, ou ga-
nharei menos e ficarei menos tempo no trânsito”.
( ) certo ( ) errado
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MATEMÁTICA
Gabarito
1-Errado 2-Certo 3-Certo 4-Errado 5-Certo
6-Certo 7-Certo 8-Errado 9-Errado 10-Certo
Argumento
Na lógica proposicional ou sentencial, entendemos 
como argumento uma sequência lógica de declarações 
que levam a uma conclusão.
Essa sequência lógica de declarações chamamos de 
Premissas. Elas são compostas por conectivos lógicos e 
por esse fato, o bom entendimento da tabela verdade é 
essencial.
 Exemplo: Declaração 1: Todo ho-
mem é Mortal. ( premissa)
Declaração 2: Roberto é um homem. 
(premissa)
Conclusão: Roberto é Mortal. (conclu-
são)
P1: todo cachorro é verde.
P2: tudo o que é verde é vegetal.
Conclusão: todo cachorro é vegetal.
Observe que não estamos interessados no conteúdo 
do argumento, isto é, não queremos discutir se realmen-
te todo cachorro é um vegetal, e sim analisar a estrutura, 
a formação do argumento.
Para uma melhor adaptação, é necessário saber algu-
mas classificações, são elas:
Argumento Válido
Um argumento é válido sempre que a veracidade das 
declarações iniciais (premissas) garante a veracidade da 
conclusão. Em outras palavras, se as premissas forem to-
das verdadeiras, a conclusão necessariamente deve ser 
verdadeira.
Argumento Inválido
Um argumento é inválido quando todas as premissas 
são verdadeiras e a conclusão é falsa.
Silogismo
Argumento formado por apenas duas premissas e 
uma conclusão.
Argumento Hipotético
As premissas e a conclusão são proposições simples 
ou compostas, que utilizam os conectivos lógicos.
Veja a análise de alguns argumentos:
 Exemplo: Daniel é aluno (premis-
sa 1)
Todo aluno é aprovado (premissa 2)
Daniel é aprovado (conclusão)
Notamos que quando a conclusão é lida, ela é uma 
consequência natural das premissas. Ela é óbvia. Por 
esse motivo, o argumento é válido.
 Exemplo: São Paulo é uma cidade
O brasil é um país.
A Itália fica na Europa
Note que a conclusão não tem sentido, não tem cone-
xão com as premissas. Não tem nada a ver a Itália ficar 
na Europa com São Paulo ser uma cidade e o Brasil um 
país. Esse argumento é inválido.
 Exemplo: O Brasil fica na África.
Todo país da África é desenvolvido.
OBrasil é desenvolvido.
Nesse argumento, embora as premissas sejam fala-
ciosas, isto é, erradas, pois analisando com a realidade, 
o Brasil não fica na África, tampouco os países da África 
são desenvolvidos, o argumento é válido. Lendo as pre-
missas, a conclusão faz sentido.
Questões Comentadas
1. O fato de determinado argumento ser válido 
implica, certamente, que todas as suas premissas 
são proposições verdadeiras.
Errado!
 Comentário: Não há relação en-
tre válido e verdadeiro.
2. Toda premissa de um argumento válido é 
verdadeira.
Errado!!
 Comentário: Não há relação en-
tre válido e verdadeiro.
3. Se a conclusão é falsa, o argumento não é 
válido.
Errado!!
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CAPÍTULO 13 - Lógica Proposicional
97
 Comentário: Não há relação en-
tre inválido e falso.
4. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é 
válido.
Errado!!
 Comentário: Não há relação en-
tre válido e verdadeiro.
Resolução de Questões de Argumentos - 
Técnica de Análise de Argumentos
Embora pareça fácil, às vezes identificar quando o 
argumento é válido, dependendo da estrutura, das pre-
missas e do número de premissas, esta análise pode ficar 
bem complicada e, portanto, precisamos de uma técnica 
de análise. Vamos pontuar alguns passos para chegar a 
conclusão correta.
Passo 1: simbolização
Todas as premissas e a conclusão deverão ser sim-
bolizadas.
Passo 2: Todas as premissas são verdadeiras.
Em outras palavras, toda e qualquer premissa deverá 
ser considerada verdadeira, independentemente de seu 
conteúdo.
Passo 3: conclusão é falsa.
Toda conclusão, independente do conteúdo deverá 
ser considerada falsa.
Passo 4: Fecha o argumento com V (verdadeiro) e 
F (falso).
Começando pela conclusão, devemos ir substituindo 
os V ou F que encontramos e com isso ir “fechando” o 
argumento.
Passo 5: análise
Se tudo der certo, isto é, se fechar o argumento, ele 
será INVÁLIDO.
Se aparecer algum erro, isto é, se for impossível fe-
char o argumento, ele será VÁLIDO.
 Exemplo: Premissa 1: Se Carla es-
tuda, então ela consegue ser aprovada no 
inglês.
Premissa 2: Carla foi aprovada no in-
glês.
Conclusão: Carla estudou.
Passo 1: simbolização
P1: E→A
P2: A
C: E
Passos 2 e 3: premissas = V, conclusão 
= F
P1: = E→A = V
P2: A = V
C: E = F
Passo 4: Fecha o argumento com V 
(verdadeiro) e F (falso).
P1: = E→A= V
P2: A = V
C: E = F (começa pela conclusão, E = F)
Reorganizando,
P1: = E→A = V
F → V = V (tudo certo)
P2: A = V
C: E = F 
Veja que deu certo, fechamos o argumento sem pro-
blemas, e com isso, nossa análise é de que o argumento 
é INVÁLIDO.
 Exemplo: P1: Se Fred é policial, 
então ele tem porte de arma.
P2: Fred mora em São Paulo ou ele é 
engenheiro.
P3: Se Fred é engenheiro, então ele faz 
cálculos estruturais.
P4: Fred não tem porte de arma.
C: Se Fred mora em São Paulo, então 
ele é policial.
Nessa aula resolveremos questões de argumentos, 
classificando-os como válidos ou inválidos. A todo mo-
mento utilizaremos a tabela verdade e a simbolização 
de expressões.
Questões Gabaritadas 
1) Suponha que P represente a proposição Hoje 
choveu, Q represente a proposição José foi à praia 
e R represente a proposição Maria foi ao comér-
cio. Com base nessas informações e no texto, jul-
gue os itens seguintes.
Se a proposição Hoje não choveu for valorada 
como F e a proposição José foi à praia for valora-
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MATEMÁTICA
da como V, então a sentença representada por é 
falsa.
( ) certo ( ) errado
2) Considere as proposições simples e compos-
tas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, 
que podem ou não estar de acordo com o artigo 5.º 
da Constituição Federal.
A: A prática do racismo é crime afiançável.
B: A defesa do consumidor deve ser promovida 
pelo Estado.
C: Todo cidadão estrangeiro que cometer cri-
me político em território brasileiro será extradi-
tado.
De acordo com as valorações V ou F atribuídas 
corretamente às proposições A, B e C, a partir da 
Constituição Federal, julgue o item a seguir.
De acordo com a notação apresentada acima, 
é correto afirmar que a proposição ( A) ( C) tem 
valor lógico F.
( ) certo ( ) errado
3) As tabelas de valorações das proposições e 
são iguais.
( ) certo ( ) errado
4) As proposições e possuem tabelas de 
valorações iguais.
( ) certo ( ) errado
5) Caso sejam verdadeiras as proposições P e 
Q, a proposição (~P Q) (~Q P) será verdadeira.
( ) certo ( ) errado
Gabarito
1-Errado 2-Errado 3-Errado 4-Errado 5-Errado
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