Gabarito 1 EE - Geometria Analítica - Deivson Sales

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Gabarito – Geometria Analítica – 1° EE – Turma AM – 2018.2 
 
1) 
 
u⃗ = (1, 2) e v⃗ = (−1, 3) 
 
3u⃗ − 2v⃗ = (5,−12) e u⃗ + 3v⃗ = (−2, 7) 
 
h⃗ 1 =
(−2, 7)
‖(−2, 7)‖
= (
5
13
,−
12
13
) e h⃗ 2 =
(5,−12)
‖(5,−12)‖
= (−
2√53
53
,
7√53
53
) 
 
2) 
 
(1, a) ∙ (a + 1, a)
2 × 3
= cos (
π
3
) ⇒ a + 1 + a2 = 6(
1
2
) ⇒ {
a1 = 1 
a2 = −2
 
 
u⃗ 1 = (1, a1) = (1, 1) e v⃗ 1 = (a1 + 1, a1) = (2, 1) 
 
u⃗ 2 = (1, a2) = (1,−2) e v⃗ 2 = (a2 + 1, a2) = (1,−2) 
 
P1 = (
u1 ∙ v1
v1 ∙ v1
) v1 = (
6
5
,
3
5
) e P2 = (
u2 ∙ v2
v2 ∙ v2
) v2 = (−
3
5
,−
6
5
) 
 
3) 
 
‖u⃗ ‖ = 1 e ‖v⃗ ‖ = 2 
 
‖2u⃗ − 3v⃗ ‖2 = (2u⃗ − 3v⃗ ) ∙ (2u⃗ − 3v⃗ ) 
 
‖2u⃗ − 3v⃗ ‖2 = 4‖u⃗ ‖2 − 12(u⃗ ∙ v⃗ ) + 9‖v⃗ ‖2 = 4‖u⃗ ‖2 − 12(‖u⃗ ‖‖v‖ cos 60°) + 9‖v⃗ ‖2 = 4 − 12 + 36 = 28 
 
4) 
 
Como possuem os vetores diretores são múltiplos (2, 2) = k(1, 1) e passam por pontos distintos, a retas 
são paralelas distintas. Calcular a distância entre as duas retas é o mesmo que calcular a distância de um 
ponto r a s, ou vice-versa: t = 0 ⇒ Pr = (0, 1) = (x0, y0). A reta s tem equação cartesiana reduzida y =
x + 2 ⇒ m = 1 e n = 2, assim: 
 
d(Pr, s) =
| − y0 + mx0 + n|
√1 + m2
=
| − 1 + 1(0) + 2|
√1 + 22
=
1
√2
=
√2
2
 
 
O vetor perpendicular é v⃗ = (−b, a) = (−2, 2), logo a reta perpendicular que passa por (1, 3) tem 
equações: 
 
{
x = 1 − 2t
y = 3 + 2t
 e y = −x + 4 
 
5) 
 
a) 
 
Equação: (x − 2)2 = 12(y − 2) 
 
Tipo: parábola 
 
Foco: (1, 5) 
 
Vértice: (1, 2) 
 
Diretriz: y = −1 
 
Excentricidade: e = 1 
 
 
b) 
 
Equação: (x − 1)2 + y2 = 1 
 
Tipo: circunferência 
 
Centro: (1, 0) 
 
Raio: 1 
 
Excentricidade: e = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− − − −    
−






x
y
 
−

x
y
c) 
 
Equação: 
(𝑥 − 1)2
4
+
(y − 1)2
9
= 1 
 
Tipo: Elipse 
 
Centro: (1, 1) 
 
Focos: (1 − √7, 1) e (1 + √7, 1) 
 
Vértices: (−3, 1) e (5, 1) 
 
Eixo menor: (1,−2) e (1, 4) 
 
Excentricidade: e = √7/4 
 
d) 
 
Equação: 
𝑥2
4
−
(y − 2)2
9
= 1 
 
Tipo: Hipérbole 
 
Centro: (0, 2) 
 
Focos: (−√13, 2) e (√13, 2) 
 
Vértices: (−2, 2) e (2, 2) 
 
Eixo conjugado: (0, −1) e (1, 4) 
 
Excentricidade: e = √13/2 
 
6) 
 
α = −45° ⇒ x = x cos α − y sen α =
√2
2
x +
√2
2
y e y = x sen α + y cos α =
√2
2
x −
√2
2
y 
 
Assim, 
 
3x2 + 3y2 − 2xy − 4 = 0 ⇒ 4x
2
+ 2y
2
= 4 ⇒
x
2
1
+
y
2
2
= 1 
 
Então, 
 
− − − −         
−
−
−
−
−





x
y
− − − −    
−
−
−
−
−





x
y
Equação: 
x
2
1
+
y
2
2
= 1 
 
Tipo: Elipse 
 
Centro: (0, 0) 
 
Focos: (0, 1) e (0,−1) 
 
Vértices: (0, √2) e (0,−√2) 
 
Eixo menor: (1, 0) e (−1, 0) 
 
Excentricidade: e = 1/√2 
 
 
− −  
−
−


x
y