Apost de LAB. de FISICA 1

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Prof. Dr. Alessandro Carneiro Anivaldo F. Rezende 
 Apoio Técnico 
 Gilmar S. Neto 
 
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Haste 
Suporte 
 
 
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_________________________________________________ Laboratório de Física I – Campus de Catalão – UFG – 2009 
 
 
1 
1. Introdução ...............................................................................................................................................03 
1.1. Como se comportar em um laboratório ............................................... ............................................ 03 
1.2. O Relatório ....................................................................................................................................... 03 
1.3. Orientações para elaboração do Relatório ........................................................................................ 04 
2. Algarismos Significativos .......................................................................................................................05 
2.1. Potência de 10 ................................................................................................................................... 05 
2.2. Algarismos Significativos ............................................................................................................... 05 
2.3. Incerteza de uma medida ................................................................................................................. 06 
2.4. Operações com Algarismos Significativos ..................................................................................... 07 
3. Medidas e Erros ......................................................................................................................................11 
3.1. Introdução ........................................................................................................................................ 11 
3.2. Definições ........................................................................................................................................ 11 
3.3. Classificação dos erros ..................................................................................................................... 12 
3.4. Definições estatísticas........................................................................................................................12 
3.5. Propagação de erros ......................................................................................................................... 14 
4. Instrumentos de Medidas .......................................................................................................................20 
4.1. Instrumentos de medidas de comprimento ...................................................................................... 20 
4.2. Instrumentos de medidas de tempo .................................................................................................. 23 
4.3. Instrumentos de medidas de massa e de força ................................................................................. 23 
5. Construção de Gráficos ..........................................................................................................................25 
5.1. Introdução ........................................................................................................................................ 25 
5.2. Escala Linear .................................................................................................................................... 25 
5.3. Construção de gráficos em papel milimetrado ................................................................................. 26 
5.3.1. Ajuste de retas .......................................................................................................................... 28 
5.3.2. Método dos Mínimos Quadrados ............................................................................................. 28 
 
Experimento 1 – Queda Livre ....................................................................................................................... 33 
Experimento 2 – Queda Livre: determinação de g graficamente .................................................................. 35 
Experimento 3 – Oscilações Mecânicas – Pêndulo .................... ........................... ...................................... 36 
Experimento 4 – Movimento Retilíneo Uniforme................................... ................... ..................................39 
Experimento 5 – Movimento Retilíneo Uniformemente Variado...................................................................43 
Experimento 6 – Segunda Lei de Newton ..................................................................................................... 46 
Experimento 7 – Teorema Trabalho-Energia Cinética .................................................................................. 49 
Experimento 8 – Colisões no trilho de ar .......................................................................................................53 
Experimento 10 –Rolamento de corpos rígidos ............................................................................................56 
Experimento 9 – Giroscópio .........................................................................................................................58 
 
 
 
Este material foi baseado em apostilas de Laboratório de Física I 
dos Institutos de Física da Universidade Federal de Goiás e da 
Universidade de São Paulo. 
 
 
_________________________________________________ Laboratório de Física I – Campus de Catalão – UFG – 2009 
 
 
2 
 
 
 
Notas Importantes: 
 
�� Prova de segunda chamada 
 a
 A reposição de uma (apenas uma) prova perdida será realizada no final do semestre e em dias que 
normalmente ocorrem às atividades de laboratório desta turma. 
 
�
�� Reposição de aula 
 
a
 A reposição de uma experiência perdida poderá ser feita em outra turma, desde que haja vaga e que ambos os 
professores (o professor da turma do estudante e o professor da turma em que se deseja fazer a reposição) estejam 
de acordo. 
 
 
�� Freqüência 
 
a
 Será cobrada a freqüência mínima de 75% das aulas, através de chamada. 
 
�
�� Tolerância com o atraso 
 
a
 A tolerância para assistir a aula e realizar a pratica são de 20 min. Após este período o aluno não poderá realizar 
a pratica junto com o resto da turma. Contudo, o mesmo poderá participar assistindo a aula. 
 
 
 
�� Avaliação 
 a
 A avaliação consistirá de duas provas práticas/escritas (P1 e P2) sobre o assunto de cada uma das partes 
do curso. O estudante poderá ser avaliado mesmo sobre o assunto das aulas a que ele eventualmente 
tenha faltado. 
 
O valor das avaliações (P1 e P2) será de 50% dos pontos do curso e, igualmente a média dos relatórios 
(MR) 50%. 
 
a
 A aprovação no curso será conseguida se a média final (MF) calculada através da expressão: 
 
MF = 0,5 MR + 0,5 P, 
for maior ou igual a 5.0, onde MR é a média das notas dos relatórios e P a média das notas de provas. 
 
 
 
�� Bibliografia 
 
Fundamentos da Teoria de Erros – José Henrique Vuolo – Editora Edgar Blücher Ltda. – 1992. 
Roteiro de Laboratório de Física Experimental I. 
Fundamentos de Física – Halliday-Resnick-Walker – Vol. 1 e 2 – John Wiley and Sons - LTC S.A. 
Física Básica – H.M. Nussenzveig – Vol. 1 e 2 – Edgar Blücher – SP. 
 
 
 
 
_________________________________________________ Laboratóriode Física I – Campus de Catalão – UFG – 2009 
 
 
3 
LABORATÓRIO DE FÍSICA I 
1. INTRODUÇÃO 
 Os Laboratórios de Física foram estruturados de modo a acompanhar, aproximadamente, os programas 
dos cursos de Física correspondentes. Em alguns momentos, o experimento será realizado antes da aula teórica 
sobre o assunto abordado no experimento e em outros após a aula teórica correspondente. Em nenhum dos casos 
haverá prejuízos para o aprendizado, pois teoria e laboratório se complementam. 
O experimento sendo realizado antes da aula teórica torna o aprendizado da teoria mais fácil e a aula 
teórica antes da realização do experimento facilita a compreensão do fenômeno estudado no experimento. 
 
1.1 – Como se comportar em um laboratório. 
a. Não tocar nos aparelhos e instrumentos de medidas sem a autorização do responsável pelo laboratório (no 
caso, o professor ou o monitor). 
b. Chegar ao laboratório tendo noção do que será estudado e como será executado o experimento, pois poderá 
haver pré-testes de avaliação. Ler atentamente as instruções relativas à sua experiência antes do início da 
aula. 
c. Examinar os aparelhos que serão utilizados nas experiências, de modo a se familiarizar com o seu 
funcionamento e leitura de suas escalas. 
d. Não tocar com lápis ou caneta em escalas, instrumentos de medida, lentes etc. 
e. Não apertar de forma demasiada os parafusos que servem para imobilizar temporariamente certas peças e 
não forçar uma peça que não se mova com facilidade. Deslocar suavemente as peças móveis. 
f. Procurar executar cada medição com a maior precisão possível, pois da mesma depende o bom resultado do 
seu trabalho. 
 
1.2 – O Relatório. 
Um relatório é a descrição de um trabalho realizado, que serve para registrar e/ou divulgar o trabalho 
executado de maneira que seja entendido por quem o consulte. Ele deve propiciar ao leitor um entendimento dos 
principais pontos do trabalho, devendo, portanto, ser claro e objetivo. 
 
1.3 – Orientações para elaboração do Relatório. 
Não existe uma maneira exata de escrever um relatório, pois a redação de um trabalho científico depende de 
seu autor. Nele se descreve, com suas palavras, a experiência efetuada, apresenta-se e justifica-se o procedimento 
escolhido, apresentam-se e discutem-se os dados medidos e, finalmente, tiram-se conclusões. 
A qualidade do relatório depende da aquisição dos dados. Por isso, organize-se de modo a anotar, 
durante o experimento, todas as informações importantes de forma compreensível para redigir, posteriormente, 
relatório. 
Neste curso, pediremos relatórios completos somente em alguns experimentos. Na maioria deles será 
cobrada, apenas, a apresentação das medidas experimentais e as observações e conclusões sobre o experimento. 
A seguir, apresenta-se uma possível divisão para organizar um relatório completo. Não é necessário ser 
rigorosamente divididos desta forma, mas todos os aspectos são importantes e devem constar do trabalho. 
 
1. Capa: o relatório deve ter uma capa conforme o seguinte modelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal de Goiás – Campus de Catalão 
Departamento de Física 
 
Laboratório de Física I 
 
 
 TÍTULO DO EXPERIMENTO 
 
 
Aluno:____________________________ 
 
 
Curso:___________ Turma: __________ 
 
 
Professor:_________________________ 
 
 
Catalão, dd/mm/ano 
_________________________________________________ Laboratório de Física I – Campus de Catalão – UFG – 2009 
 
 
4 
2. Introdução: resumo teórico sobre o assunto da experiência. Este deverá ser estudado e pesquisado em 
livros textos, internet etc e apresentado resumidamente. A introdução deverá dar a um leitor uma 
percepção global do trabalho. 
Obs.: Não é permitida a cópia da introdução teórica do roteiro de laboratório nem das referências 
bibliográficas. O assunto deve ser desenvolvido com suas próprias palavras. 
3. Objetivos: apresentação resumida do que se pretende obter no experimento. 
 Obs.: Em experimentos simples, os itens introdução e objetivos podem ser tratados em uma única seção. 
4. Material utilizado: descrição dos materiais e equipamentos utilizados na realização do experimento; 
apresentar suas características de funcionamento quando isto for relevante para o resultado. Se necessário, 
faça uma figura (esboço ou esquema) de partes do equipamento. As figuras devem ter números e legendas 
e estarem referidas no texto; a legenda deve ser auto explicativa. 
5. Procedimento experimental: descrição do procedimento seguido em aula. Essa descrição deve abordar 
“o que você fez” e não necessariamente o que se vai fazer (proposto pelo roteiro experimental). Cuidado 
com o tempo verbal, pois é o que foi feito e não o que se vai fazer. 
Obs.: Em experimentos simples, os itens material utilizado e procedimento experimental podem ser 
tratados em uma única seção. 
6. Resultados: apresentação e tratamento dos dados experimentais visando a discussão dos resultados. 
Quando se tem um conjunto de dados, este deve ser apresentado em tabelas e, se possível, mostrado em 
um gráfico. Deve ser feito o tratamento dos dados, usando modelos teóricos, para se chegar aos valores 
finais. Os resultados numéricos devem ser apresentados com o número correto de algarismos 
significativos e com a respectiva unidade da grandeza. Não se deve indicar cada conta efetuada, mas deve 
ficar claro como se obteve o resultado final� 
 Obs.: As tabelas devem possuir significado próprio, dispensando consultas ao texto; devem ser colocadas 
em posição vertical; devem apresentar o cabeçalho de coluna com a unidade física da medida e, se 
necessário, cabeçalho de linha com unidade; devem apresentar numeração e título na parte superior. Use 
linhas verticais apenas nos casos em que sua ausência torne difícil a leitura da tabela 
 
Tabela 1: Relação posição-velocidade medida sobre o trilho de ar 
Posição (m) Velocidade (m/s) 
0,60 5,0 
0,85 6,8 
1,22 7,4 
 
 Os gráficos devem apresentar o título e as grandezas associadas aos eixos com as respectivas unidades 
(estudaremos a construção de gráficos mais adiante). O título e a numeração devem aparecer abaixo do 
gráfico. 
 
7. Análise dos Resultados: discussão dos resultados obtidos por meio da análise dos possíveis gráficos e 
dos parâmetros de ajuste de curvas; apresentação das observações pessoais sobre o significado dos 
resultados experimentais e das discrepâncias entre os valores obtidos experimentalmente e os catalogados. 
Faça uma discussão sobre as contradições encontradas. 
8. Conclusões: Apresentação, de forma resumida, das principais conclusões do trabalho. Um leitor, ao ler os 
objetivos propostos, deverá encontrar na conclusão comentários sobre eles. 
9. Bibliografia: lista das obras pesquisadas, constando autor, título, cidade da edição, editora, ano e página, 
apresentando-as segundo as normas da ABNT. Todo relatório deve apresentar pelo menos três fontes 
bibliográficas que em ordem de preferência são: livros universitários, artigos científicos, internet. Evitar 
livros do ensino médio e enciclopédias. Seguir as normas da ABNT para descrição das referências. 
 
Observações gerais: 
a. Sempre apresentar os dados com o número correto de algarismos (será visto a seguir) e com as 
respectivas unidades das grandezas. 
b. Sempre utilizar a propagação de erros nos resultados finais (será estudado mais adiante). 
c. Citar as referências e colocar entre “aspas” quando copiar trechos. Nunca use frases ou imagens de outras 
fontes sem citá-las (referência). 
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2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
2.1 – Potência de 10 
Ao se realizar medidas pode-seencontrar números muito grandes ou muito pequenos. Por exemplo, o 
diâmetro do Sol é de aproximadamente 1.390.000.000 m e, de acordo com o modelo de Bohr do átomo de 
hidrogênio, o raio do próton mede 0,0000000000000008 m. Escritos assim, dificilmente se tem noção do valor que 
eles representam. Isso ocorre porque estes números estão longe dos valores que estamos acostumados a observar. 
A apresentação escrita ou oral desses números é trabalhosa. Para evitar isso e representar esses valores 
adequadamente, usa-se a notação científica com o auxílio de potências de dez. Escreve-se o número com um único 
algarismo diferente de zero antes da vírgula, colocando os outros algarismos nas casas decimais, multiplicando 
tudo pela potência de dez adequada. Os exemplos anteriores seriam escritos assim: 
Diâmetro do Sol = 1,39 × 109 m 
Raio do próton = 8 × 10-16 m 
Essa notação permite uma rápida comparação entre os números e facilita operações matemáticas entre 
eles. 
 
2.2 – Algarismos Significativos 
Imagine-se realizando uma medida qualquer com uma régua milimetrada, como por exemplo, o 
comprimento de um parafuso (Figura 2.1). 
 
0
1
2
 
Figura 2.1. Medindo o tamanho de um parafuso com uma régua milimetrada. 
 
Quanto você diria que é o comprimento deste parafuso? 
1,5 cm? 1,4 cm? 1,48 cm? 14,8 mm? 
 Observe que a menor divisão da régua utilizada é de 1 mm. Ao se tentar expressar o resultado desta 
medida, percebe-se que ela está compreendida entre 14 e 15 mm. A fração de milímetro que deverá ser 
acrescentada a 14 mm terá de ser avaliada, pois a régua não apresenta divisões inferiores a 1 mm. 
Para se fazer esta avaliação, deve-se imaginar o intervalo entre 14 e 15 mm subdividido em 10 partes 
iguais, e estimar a fração de milímetro a ser acrescentada. No caso do parafuso, pode-se avaliar esta fração como 
sendo de 8 décimos de milímetros e o resultado da medida poderá ser escrito como 14,8 mm. 
Os algarismos 1 e 4 foram obtidos através de divisões inteiras da régua e por isso existe segurança em 
relação a eles. Estes algarismos são chamados de corretos. Entretanto, o algarismo 8 foi avaliado, isto é, não se tem 
muita certeza sobre o seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 7 ou 9. Por isso, este algarismo avaliado 
é denominado algarismo duvidoso. Os algarismos corretos e mais o primeiro duvidoso são chamados de Algarismos 
Significativos. 
É claro que seria praticamente impossível estimar qual o algarismo dos centésimos de milímetro. Para 
isso, teríamos que imaginar o intervalo de 1 mm subdividido mentalmente em 100 partes iguais, o que seria muito 
difícil. Assim, a avaliação dos centésimos não teria nenhum significado e, portanto, não poderia aparecer no 
resultado. 
 Se a medida do comprimento do parafuso fosse realizada com uma fita métrica que não possuísse as 
divisões de milímetros (Figura 2.2), apenas o algarismo 1 seria correto. O algarismo avaliado (duvidoso) poderia 
ser 5 e o resultado da medida seria expresso por 1,5 cm, ou seja, com apenas 2 algarismos significativos. Portanto, 
o número de algarismos significativos, que se obtém no resultado de uma medida, depende do instrumento 
utilizado. 
No resultado de qualquer medida devem ser escritos somente os algarismos significativos. Assim, por 
exemplo, quando um pesquisador informar que mediu a massa de um objeto e encontrou 126,35 g, deve-se 
entender que a medida foi feita de tal modo que os algarismos 1, 2, 6 e 3 são corretos e o último algarismo, o 5, é 
duvidoso. 
 
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6 
0
1
2
 
Figura 2.2. Medindo o tamanho de um parafuso com uma fita graduada em centímetros. 
 
As medidas 37,2 N e 37,20 N são matematicamente iguais, porém, fisicamente diferentes, pois são 
medidas realizadas com instrumentos diferentes e não representam exatamente a mesma coisa. Na primeira medida 
o algarismo 2 é duvidoso e na segunda o 2 é correto e o zero é o duvidoso. Já as medidas 48,2 mm e 48,3 mm são 
matematicamente diferentes, mas fisicamente equivalentes, pois diferem apenas no algarismo duvidoso. 
Portanto, o número de algarismos significativos a serem usados fica definido pela grandeza a ser medida, 
pelo instrumento que se utilizou e pela maneira como foi realizada a medida, ou seja, o número de algarismos 
significativos em uma medida fica determinado pela incerteza desta medida (Vuolo, 1992). Mais adiante, 
estudaremos o desvio padrão de um conjunto de medidas e neste caso, este desvio é que vai definir o número de 
algarismos significativos a ser usado. 
Quando em uma medida forem apresentados zeros à esquerda, estes não são significativos, pois 
simplesmente podem indicar um acerto de unidades. Por exemplo, 0,0035 m possui apenas 2 algarismos 
significativos, pois pode ser escrito como 3,5 × 10-3 m ou 3,5 mm. Já zeros a direita são significativos, pois 
indicam a precisão do instrumento com o qual foi realizada a medida. Por exemplo, a medida 7,800 m não pode ser 
escrita como 7,8 m porque perderia a precisão da medida. Logo, os zeros a direita são imprescindíveis e são, 
portanto, significativos. 
Ao se efetuar uma mudança de unidades, deve-se tomar cuidado com os zeros. Por exemplo, uma medida 
escrita como sendo 3,5 m não pode ser expressa como 3500 mm, pois na medida original existem 2 algarismos 
significativos e na transformação aparecem 4. O algarismo 5 que na medida original é o algarismo duvidoso, passa 
a ser correto com a mudança de unidade apresentada. A transformação correta seria 3,5 × 103 mm. 
As constantes que aparecem em fórmulas, os números de telefones ou de placas de automóveis não são 
resultados de medidas, logo não se pode falar em algarismos significativos para estes números. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: 
 
1. Cite as vantagens de se escrever números na notação de potência de 10. 
 
2. Complete as seguintes igualdades, conforme o modelo: CEM = 100 = 102 
a) mil c) um milhão e) um décimo de milésimo 
b) cem mil d) um centésimo f) um milionésimo 
 
3. Usando a regra prática sugerida no texto, escreva os números seguintes em notação de potência de 10. 
a) 382 c) 62.000.000 e) 0,72 
b) 21.200 d) 0,042 f) 0,000069 
 
4. a) Dados os números 3 x 10-3 e 7 x 10-6, qual deles é o maior? 
b) Coloque as potências de 10 em ordem crescente de valores: 
 4 x 10-5 2x10-2 8x10-7 
 
5. Efetue a operações indicadas: 
a) 5,7 x 10-4 + 2,4 x 10-4= b) 6,4 x 107 – 8,1 x 107 = 
b) 1,28 x 105 + 4 x 103= c) 7,54 x 108 – 3,7 x 107= 
 
 
2.3 – Incerteza de uma medida 
A Incerteza Absoluta ou desvio avaliado de uma medida é o intervalo de incertezas fixado pelo 
operador com o sinal mais ou menos (±). Não existe uma regra para determinar a incerteza de uma única medida 
pois ela depende de fatores ligados às condições da leitura, tais como, do instrumento utilizado, da perícia do 
experimentador, de sua segurança, das condições nas quais a medida é realizada, da facilidade da leitura da escala, 
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7 
da própria avaliação do algarismo duvidoso etc. É importante considerar que a avaliação da incerteza de uma 
medida depende, fundamentalmente, do bom senso do experimentador. 
Uma maneira de apresentar a incerteza de uma única medida é utilizar a metade da menor divisão da 
escala. Por exemplo, na Figura 2.1, a menor divisão da régua é 1 mm e a incerteza poderá ser, então, 0,5 mm. 
Assim, o resultado desta medida poderá serescrito como: 
(14,8 ± 0,5) mm. 
Para a medida realizada na Figura 2.2, cuja menor divisão da escala é 1 cm, o resultado poderá ser escrito 
como: 
(1,5 ± 0,5) cm. 
Porém, nada impede que seja uma outra fração da menor divisão da escala. Alguns autores adotam como 
norma uma incerteza correspondente a 10% da menor divisão da escala. No caso do exemplo da Figura 2.1, o 
resultado poderia ser escrito como: 
(14,8 ± 0,1) mm. 
A Incerteza Relativa ou desvio relativo é igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da 
grandeza. Ela nos fornece informações sobre a qualidade do processo de medida, isto é, quanto menor a incerteza 
relativa, melhor a qualidade da medida. A incerteza relativa percentual é a incerteza relativa expressa em termos 
percentuais (multiplicada por 100%). Por exemplo, para uma incerteza de 0,5 mm na medida da Figura 2.1, a 
incerteza relativa percentual será: 
(14,8 ± 3,38 %) mm. 
 
2.4 – Operações com Algarismos Significativos 
Os resultados de cálculos que envolvem medidas devem ser expressos somente com algarismos 
significativos, senão o resultado da operação poderá ter melhor precisão que as medidas. Para isto, é necessário 
observar algumas regras que serão apresentadas a seguir. 
 
Adição e Subtração 
Para se realizar uma operação de adição, levando em consideração os algarismos significativos, deve-se 
efetuar a soma e escrever o resultado com um número de casas decimais igual ao da parcela que possui o menor 
número dessas casas (o da grandeza menos precisa), fazendo o arredondando necessário. 
Suponha que se deseje adicionar as seguintes parcelas: 
 15709,1 
32,593 
 0,0071 
 618,363 
_____________________________________________ 
 16360,0631 
 
Para o exemplo anterior, a soma resultaria em 16360,0631. O resultado deve ser escrito com apenas uma 
casa decimal, pois a primeira parcela é a menos precisa. Assim, o resultado da adição é 16.360,1, onde foi “jogado 
fora” dos centésimos em diante. A regra de arredondamentos que será adotada é a seguinte: 
1 – Arredondamento por falta – se a parte a ser “jogada fora” estiver entre 0,000... e 0,499... deve-se 
simplesmente abandonar esta parte, mantendo o algarismo a ser arredondado. 
2 – Arredondamento por excesso – se a parte a ser “jogada fora” estiver entre 0,500... e 0,999... deve-se 
somar uma unidade ao algarismo a ser arredondado. 
3 – Se a parte a ser “jogada fora” for exatamente 0,500... o arredondamento deve ser tal que o algarismo 
a ser arredondado seja par. 
 
Justificativa da regra 3 
Considere uma série de medidas em que a parte a ser “jogada fora” seja 0,500... Ao se arredondar sempre 
do mesmo modo, influencia-se, por exemplo, a soma dessa série sempre num único sentido (para mais ou para 
menos). Utilizando-se esta regra o efeito pode ser minimizado (Silva e Silva, 1998). Para exemplificar, considere as 
quatro medidas: 
0,35 0,45 0,35 0,45 
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8 
Jogando fora os centésimos e deixando os décimos como são, ou seja, não arredondando nem para 
mais nem para menos, fica-se com: 
0,3 0,4 0,3 0,4 
e a média seria 0,35 que, usando o mesmo critério, seria arredondada para 0,3. 
 Se o arredondamento fosse sempre para mais, ficaria-se com: 
0,4 0,5 0,4 0,5 
cuja média seria 0,45, que arredondada daria 0,5. 
 Usando a regra, o arredondamento ficará: 
0,4 0,4 0,4 0,4 
e a média seria 0,4 que é um valor mais justo para a média dos valores iniciais. 
Em resumo, “joga-se fora” a parte 0,500... e 
a) o algarismo a ser arredondado permanece o mesmo se ele for par; 
b) soma-se 1 ao algarismo a ser arredondado se ele for ímpar. 
 
Exemplos (os algarismos destacados devem ser “jogados fora”): 
7,81 – arredondado para os décimos fica 7,8. 
7,86 – arredondado para os décimos fica 7,9. 
9,3499 – arredondado para os décimos fica 9,3. 
9,3501 – arredondado para os décimos fica 9,4. 
11,850 – arredondado para os décimos fica 11,8. 
11,750 – arredondado para os décimos fica 11,8. 
1,3500 – arredondado para os décimos fica 1,4. 
47,950 – arredondado para os décimos fica 48,0. 
 
Todas essas regras servem, também para a subtração. 
 
 
Multiplicação e Divisão: 
O resultado de uma multiplicação deve ter o mesmo número de algarismos significativos, ou um 
a mais, que o fator com menor número desses algarismos. Veja o exemplo: 
 
,
14,28
7140
5,45
5712
7140
778260
4 algarismos significativos
3 algarismos significativos
3 algarismos significativos
 
 
O resultado, escrito com apenas 3 algarismos significativos (número de algarismos significativos do fator 
5,45), fica sendo 77,8. 
A razão para isso é a seguinte: os algarismos 8 e 5 marcados são duvidosos. A multiplicação de um 
algarismo duvidoso por um algarismo correto ocasiona um algarismo duvidoso. Assim, os algarismos marcados são 
duvidosos. Como o resultado deve ter somente algarismos corretos e apenas um duvidoso, o resultado da 
multiplicação é 77,8. 
 
 
Veja agora este exemplo: 
_________________________________________________ Laboratório de Física I – Campus de Catalão – UFG – 2009 
 
 
9 
,
 32,8
2296
9,97
2952
2952
327016
3 algarismos significativos
3 algarismos significativos
4 algarismos significativos
 
 
Nesse caso, o resultado 327,0 possui 4 algarismos significativos, um a mais que o fator de menor número 
de algarismos significativos (3). Para contemplar essas duas situações, adotaremos a seguinte regra: 
Multiplique os dois fatores colocados em potência de 10. Se o resultado for da ordem de unidades, utilize 
o menor número de algarismos significativos, se for da ordem de dezenas, considere um algarismo significativo a 
mais (Silva e Silva, 1998). Exemplos: 
1) P1 = 3,495 x 2,1 = 7,3395 (ordem de unidades). P1 = 7,3 (2 algarismos significativos) 
2) P2 = 6,495 x 2,1 = 13,6395 (ordem de dezenas). P2 = 13,6 (3 algarismos significativos) 
3) P3 = 78 x 57 = (7,8x101) x (5,7x101) = 44,46x102 (ordem de dezenas). P3 = 4,45x103 (3 alg. 
significativos) 
4) P4 = 1569,68 x 3,47 = (1,56968x103) x (3,47) = 5,4467896x103 (ordem de unidades). P4 = 5,45x103 (3 
a.s.) 
 
Na aplicação desta regra, deve-se seguir a regra de arredondamentos adotada na adição. 
Procedimentos análogos devem ser seguidos ao ser efetuada uma divisão. 
 
Comentários: 
1. As constantes que aparecem em expressões devem ser consideradas com infinitos algarismos significativos. 
Ao se operar com elas, basta aplicar as regras considerando este fato. 
2. Em multiplicações envolvendo constantes irracionais, como o pi, opere-o com 2 algarismos significativos a 
mais que o fator com o maior número desses algarismos. 
3. Em operações sucessivas, o arredondamento deve ocorrer somente na resposta final. 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1. Considerando a figura ao lado: 
 
 
 
 
 
a) Como se deve expressar o comprimento da Barra ? 
b) Qual é o algarismo correto e o avaliado desta medida? 
c) Expresse sua medida também em função da incerteza. 
 
2. O que são algarismos significativos de uma medida? 
3. Uma pessoa sabe que o resultado de uma medida deve ser expresso apenas com algarismos significativos. Se 
esta pessoa lhe disser que a velocidade de um carro era de 123 KM/h, 
 a) Qual é o algarismo que ela leu no velocímetro? 
 b) Qual o algarismo duvidoso que ela avaliou? 
4. A temperatura de um pessoa foi medida usando-se dois termômetros diferentes, encontrando-se 36,8 ºC e 36,80 
ºC. 
 a) Qual é o algarismo duvidoso da primeira medida? 
 b) Na segunda medida o algarismo 8 é duvidoso ou correto? Justifique. 
 
RESPOSTAS 
 
1 – a) 3,6 cm; b) o 3 é o correto e o 6 o avaliado; c) (3.6 ± 0,1) cm ou (3,6 ± 0,2) cm. 
2 – sãoos algarismos corretos mais os primeiro algarismo duvidoso, onde os algarismos corretos são os que se tem 
certeza e o algarismo duvidoso é o avaliado. 
3 – a) 1 e o 2; b) 3 
4 – a) 8; b) correto, pois existe mais uma algarismo após ele. Este último algarismo, o zero, é que é o duvidoso. 
�
0 1 2 3 4 5 cm 
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10 
�
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 1. Levando-se em consideração as "regras de arredondamento", escreva as medidas seguintes com apenas 
três algarismos significativos: 
 a) 422,32 cm b) 3,428 g c)16,15 s 
 
2. Uma pessoa deseja realizar a seguinte adição, de tal modo que o resultado contenha apenas algarismos signi-
ficativos: 27,48 cm + 2,5 cm 
a) Qual das parcelas permanecerá inalterada? 
b) Como deverá ser escrita a outra parcela? 
c) Qual é o resultado da adição? 
 
3. Considere a multiplicação: 342,2 x 1,11. Responda: 
a) Qual dos fatores possui o menor número de algarismos significativos? b) Com quantos algarismos 
devemos apresentar o resultado da multiplicação? c) Escreva o resultado apenas com algarismos 
significativos. 
d) Seria aceitável apresentar 379,8 como resultado? e 379,84? Justifique. 
 
4. Quantos algarismos significativos há em cada uma das seguintes medidas? 
 a) 702 cm; b) 36,00 kg; c) 0,00815 m; d) 0,05080 I. 
 
5. Ao medir o comprimento de uma estrada, uma pessoa encontrou 56 km. 
a) Qual o algarismo duvidoso desta medida? 
b) É aceitável escrever esta medida como 56.000 m? Por quê? 
c) Qual a maneira de expressar esta medida em metros, sem deixar dúvidas quanto aos algarismos 
significativos? 
 
6. O volume de um cone é dado pela expressão 
3
h.AV = onde A é a área de sua base e h é a altura. Para um dado 
cone temos A = 0,302 m2 e h = 1,020 m. Com quantos algarismos deve ser expresso o volume deste cone? Qual é 
este volume? 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) 422 cm; b) 3,43 g; c) 16,1 s ou 16,2 s. 
2 - a) 2,5 cm; b) 27,5 cm; c) 30,0 cm. 
3 - a) 1,11; b) três; c) 380; d) 379,8 sim, pois é comum acrescentar um algarismo a mais nas multiplicações; já 
379,84 não, pois foram acrescentados dois algarismos. 
4 - a) 3; b) 4; c) 3; d) 4. 
5 - a) 6; b) Não, pois estaríamos acrescentando algarismos ao valor medido. Com isto, o algarismo 6 que é 
duvidoso passa a ser correto, pois somente o último zero é que seria duvidoso; c) 56 x 103 m ou 5,6 x 104 m. 
6 - Rigorosamente, com 3 algarismos. O volume é V=O,103 m3. Escrevendo com 4 algarismos significativos 
ficaria: V=O,1027 m3. 
 
�
Referências: 
VUOLO, J.H. Fundamentos da Teoria de Erros. São Paulo: Ed. Edgard Blücher Ltda, 1992. 
SILVA, W. P., SILVA, C.M.D.P.S. Tratamento de dados experimentais. João Pessoa: UFPB/Ed. Universitária, 
1998. 
TABACNIKS, M.H. Conceitos básicos da teoria de erros. São Paulo, 2003. Disponível em: < 
http://euclides.if.usp. br/~ewout/ensino/fge2255/textos/ConcBasTeorErr.pdf>. Acesso: 8 fev. 2007. 
MÁXIMO, A., ALVARENGA, B. Curso de Física. V.1. São Paulo: Editora Scipione, 2006. 
 
 
 
 
 
 
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11 
3. MEDIDAS E ERROS 
 
3.1 - Introdução 
Na medida de qualquer grandeza física existe sempre uma incerteza proveniente do aparelho usado na sua 
determinação. Sendo assim, o resultado de uma medida deve ser sempre seguido de sua incerteza. No caso de uma 
única medida, padroniza-se a incerteza como sendo igual à metade da menor divisão da escala. No caso de várias 
medidas de uma mesma grandeza, existe uma teoria adequada para se expressar de forma correta o seu valor mais 
provável. Essa forma de apresentação deve ser realizada em uma linguagem padronizada para evitar confusões com 
sua interpretação. A seguir, será apresentada parte dessas padronizações a serem usadas nos experimentos dos 
laboratórios de ensino. 
 
3.2 – Definições 
As definições apresentadas a seguir, definidas no Vocabulário Internacional de Termos Fundamentais e 
Gerais de Metrologia, publicado pelo INMETRO (2000), constituem uma linguagem padronizada para melhor se 
trabalhar com medidas e erros em atividades de Laboratório. 
Grandeza: atributo de um fenômeno, corpo ou substância que pode ser qualitativamente distinguido e 
quantitativamente determinado. O termo “grandeza” pode referir-se a uma grandeza em sentido geral 
(comprimento, tempo, massa, temperatura, resistência elétrica etc.) ou a uma grandeza específica 
(comprimento de uma barra, resistência elétrica de um fio etc.). Grandezas que podem ser classificadas, uma 
em relação a outra, em ordem crescente ou decrescente, são denominadas grandezas de mesma natureza e 
podem ser agrupadas em conjuntos de categorias de grandezas, por exemplo trabalho, calor, energia. 
Dimensão de uma grandeza: expressão que representa uma grandeza de um sistema de grandezas, como 
produto das potências dos fatores que representam as grandezas de base deste sistema. Em um sistema que 
tem como grandezas de base comprimento, massa e tempo, cujas dimensões são representadas por L, M e T 
respectivamente, LMT2 é a dimensão de força. 
Valor: expressão quantitativa de uma grandeza especifica, geralmente sob a forma de uma unidade de medida 
multiplicada por um número. Exemplo: massa de um corpo = 0,325kg. 
Valor verdadeiro: é um valor que seria obtido por uma medição perfeita. São, por natureza, indeterminados. 
Usa-se preferencialmente o artigo indefinido “um” ao artigo definido “o” em conjunto com “valor 
verdadeiro”, porque pode haver muitos valores consistentes com a definição de uma dada grandeza específica. 
Valor verdadeiro convencional: valor atribuído a uma grandeza especifica e aceito, às vezes por convenção, 
como tendo uma incerteza apropriada para uma dada finalidade. É às vezes denominado valor designado, 
melhor estimativa do valor, valor convencional ou valor de referência. Em um determinado local, o valor 
atribuído a uma grandeza, por meio de um padrão de referência, pode ser tomado como um valor verdadeiro 
convencional. Exemplo: o CODATA (1986) recomendou o valor para a constante de Avogadro como sendo A 
= 6,0221367 x 1023 mol-1. Freqüentemente, um grande número de resultados de medições de uma grandeza é 
utilizado para estabelecer um valor verdadeiro convencional. 
Valor numérico: número que multiplica a unidade na expressão do valor de uma grandeza. 
Medição: conjunto de operações que tem por objetivo determinar um valor de uma grandeza. 
Incerteza de medição: parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos 
valores que podem ser fundamentalmente atribuídos a um mensurando. Pode ser, por exemplo, um desvio 
padrão (que será estudado mais a frente), ou a metade de um intervalo correspondente a um nível de confiança 
estabelecido. 
Erro de medição: resultado de uma medição menos o valor verdadeiro do mensurando. Uma vez que o valor 
verdadeiro não pode ser determinado, utiliza-se, na prática, um valor verdadeiro convencional. Quando for 
necessário distinguir “erro” de “erro relativo”, o primeiro é, algumas vezes, denominado erro absoluto da 
medição. Este termo não deve ser confundido com valor absoluto do erro, que é o módulo do erro. 
 
3.3 - Classificação dos erros 
O resultado da medida de uma grandeza física nunca é inteiramente exato, pois ao se efetuar tal medida 
sempre existe a possibilidade de se cometer erros, quer devido à falta de atenção e cuidado do pesquisador, quer à 
imperfeição dos instrumentos de medidas, quer ainda por incluir na medida certos fatores que não são ou não 
podem ser considerados. Esses erros são classificados conforme o seu tipo: 
 
 
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12 
Erros Grosseiros: 
Estes erros são devidos à falta de atenção ou de prática do operador. São ocasionados por: 
• enganos na leitura de medidores; 
• contagem errada do número de oscilações de um pêndulo; 
• operações matemáticas incorretas; 
• erros de transcrição, como escrever 7428 quando o número é 7482. 
Esse tipo de erro ocorre devido a técnicas deficientes e deve ser eliminado realizando cuidadosamente 
as medidas. 
 
Erros Sistemáticos: 
São os que ocorrem, em geral, devido a defeitos dos instrumentos ou a hábitos do operador. São ocasionados 
por: 
• erros na calibração de instrumentos; 
• fatores ambientais tais como temperatura, pressão, umidade etc. 
• erros de observação como, por exemplo, o erro devido à paralaxe (leituras que dependem da posição 
do observador em relação a um ponteiro); 
• influência de certos fatores que são desprezados. Por exemplo: um instrumento usado a uma 
temperatura diferente daquela em que foi feita a sua calibração causaria um erro sistemático nas 
medidas se não fosse feita a correção apropriada; 
• erro no tempo de resposta do operador de um instrumento, que sempre se atrasa ou se adianta nas 
medidas. 
Esses erros sempre introduzem desvios em um mesmo sentido, ou seja, ocasionam um aumento ou uma 
diminuição sistemática nas medidas. 
 Erros Estatísticos ou Aleatórios ou Acidentais: 
São os que ocorrem inevitavelmente em uma série de medidas e ocasionam desvios para mais ou para 
menos, mesmo em medidas realizadas sob mesmas condições. São ocasionados por: 
• erros devidos a condições que flutuem, como por exemplo, variações na tensão da rede de energia 
elétrica; 
• erros devidos à natureza da grandeza a ser medida, como por exemplo, variações verificadas no 
comprimento de um objeto devidas à falta de polimento ou paralelismo das faces; 
• variação da capacidade de avaliação ou da perícia na medida de uma mesma grandeza por 
observadores diferentes; 
• fatores não intencionais não considerados como falta grave de operação. 
 
Os erros estatísticos podem ser minimizados pela perícia do operador, pela utilização de técnicas mais 
aperfeiçoadas e por melhores instrumentos, mas jamais eliminados por completo. As definições, apresentada a 
seguir, são importantes no tratamento de dados para minimizar o efeito dos erros estatísticos. 
 
3.4 – Definições estatísticas 
 Como os erros estatísticos não podem ser eliminados por completo, é necessário desenvolver métodos e 
técnicas para minimizá-los. Uma dessas técnicas é a repetição das medidas. Ao se repetir várias vezes uma 
medida, os valores resultantes geralmente não estão em "exata" concordância. Porém, se o número de medidas 
for muito grande, a média aritmética dos valores obtidos tenderá para um valor constante e mais provável da 
grandeza. Este método estatístico será estudado a seguir. 
Valor Médio de uma grandeza ( x ): 
 O valor médio é representado por um único valor e é calculado dividindo-se a soma de todos os valores 
medidos de um mensurando pelo número de medidas que deu origem à soma. É a média aritmética de uma série de 
medidas: 
 xx i
b
N
1=iN
1
= (1) 
 
Quando as incertezas são devidas a erros estatísticos, o valor médio será mais exato, isto é, mais 
próximo do valor verdadeiro, quanto maior for o número de medidas. 
 
Desvio de uma medida em relação ao valor médio (δδδδxi) 
Desvio de uma medida em relação ao valor médio é a diferença entre o valor obtido nessa medida, ix e 
o valor médio, x . Logo: 
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13 
 .=
c
xxx ii − (2) 
 
Desvio Médio ( d ): 
É a média aritmética dos módulos dos desvios de cada medida em relação ao valor médio. É dado por: 
 
 ||
N
1
=
e
N
1=i
xxi −
f
 (3) 
onde: ix é o valor de cada medida; 
x é o valor médio das medidas e 
 N é o número de medidas. 
 
Observe que, quanto mais próximos os valores medidos estiverem do valor médio, menor será o desvio 
médio. 
 
Desvio padrão (σσσσ) 
A Estatística indica que uma melhor estimativa do desvio das medidas em relação ao valor médio x , é 
dada pelo cálculo do desvio padrão, cuja expressão é a seguinte: 
 
2
N
1=i
||
N
1
=
g
xxi −
h
 (4) 
onde: ix é o valor de cada uma das medidas realizadas; 
 x é o valor médio das medidas e 
N é o número total de medidas. 
 
O desenvolvimento destas expressões pode ser encontrado em vários livros textos básicos de estatística, 
como por exemplo em Vuolo (1992) e em Silva e Silva (1998). 
O valor do desvio padrão depende fundamentalmente do experimentador, da precisão do instrumento de 
medida e do objeto de medida (arranjo experimental). O desvio padrão indica que a maioria das medidas ix se 
encontra no intervalo: 
 )( )( σ+≤≤σ− xxx i (5) 
Assim, o valor mais provável de um conjunto de medidas é dado por: 
 )( σ±= xxP (6) 
É incorreto afirmar que se realizando muitas medições de uma mesma grandeza o resultado da medida 
melhora. Mesmo com infinitas medições realizadas com um mesmo instrumento, não é possível eliminar possíveis 
erros de calibração ou erros de medida devidos aos arranjos ou aos procedimentos experimentais. Na prática, 
quando se deseja uma medida com incerteza menor, procura-se simplesmente um procedimento ou um instrumento 
melhor (um micrômetro no lugar de uma régua, por exemplo) e se usa a metade da menor divisão da escala para 
expressar a incerteza da medida. A principal razão de se repetir uma medida várias vezes é para estimar o desvio 
padrão do processo de medição em que a metade da menor divisão da escala ou não é adequada, ou não é acessível 
(Tabacniks, 2003). 
Se existir uma única medida não há como determinar o desvio padrão do processo de medição. Nesse 
caso, utiliza-se a metade da menor divisão da escala, ou estima-se uma incerteza razoável. Para calcular o desvio 
padrão, deve-se repetir as medições algumas vezes, determinar a média e assim determinar o desvio padrão da 
média. 
 
"O limite de erro de calibração de um instrumento de medida pode ser admitido como sendo a 
menor divisão ou menor leitura que é explicitamente indicada pelo instrumento de medida". 
 (recomendação da "American Standards Association"). 
 
Esta é apenas uma regra geral para estimar o limite de erro, na falta de informações mais detalhada sobre 
o instrumento. 
 
É importante observar que, caso o instrumento utilizado para a realização das medidas tenha baixa 
precisão, é bem provável que as várias medidas não tenham um desvio padrão σ maior do que a incerteza 
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14 
associada à precisão do instrumento. Neste caso, a incerteza que se comete ao tomar a média como valor mais 
provável deve ser a incerteza do instrumento e não o desvio padrão, σ. 
Por exemplo, se a espessura de uma peça fosse medida várias vezes com uma régua milimetrada (o que 
não é um instrumento adequado para este tipo de medição) os valores obtidos, provavelmente, seriam bem 
próximos, levando a um desvio padrão muito baixo. Este resultado indica apenas que a incerteza da média deve 
estar associada à baixa precisão da régua e não ao desvio padrão. 
Se as medidas fossem obtidas com um micrômetro, algumas delas difeririam entre si de quantidades 
maiores que a precisão instrumental. Neste caso, o desvio padrão é maior que a incerteza do instrumento e deve 
ser utilizado como erro da média. Resumindo: 
 
1) se o desvio padrão for maior que a incerteza instrumental, o valor mais provável da medida, Px , será 
)( σ±= xxP 
2) se o desvio padrão for menor que a incerteza instrumental, o valor mais provável da medida, Px , será)alinstrument incerteza ( ±= xxP 
Número de algarismos da incerteza 
 
Não existe regra muito bem definida para o número de algarismos da incerteza. Adotaremos a tendência 
atual que é no sentido de indicar o desvio padrão com 2 algarismos, além de zeros à esquerda. Alguns 
pesquisadores utilizam 1 ou 2 algarismos, dependendo do caso, e outros admitem um único algarismo em 
qualquer situação. Nos trabalhos do Laboratório de Física serão adotadas as seguintes regras: 
• deve-se utilizar 2 algarismos quando o primeiro algarismo na incerteza for 1 ou 2; 
• pode-se utilizar 1 ou 2 algarismos quando o primeiro algarismo na incerteza for 3 ou maior; 
 
No caso de uma única medida, quando a incerteza é a metade da menor divisão da escala, deve-se 
utilizar 1 único algarismo. 
 
3.5 - Propagação de erros em cálculos 
 
Se uma grandeza física w é calculada em função de grandezas x, y , z, ... que têm erros, então w também 
tem erro, evidentemente. As expressões que permitem calcular a incerteza em w são apresentadas nesta seção. 
Por exemplo, a área de um retângulo. Se cada grandeza medida (lado do retângulo) vier acompanhada de uma 
incerteza, a grandeza calculada (área) também deverá ser representada com sua respectiva incerteza. 
 
Fórmula de propagação de incertezas 
 
 Uma grandeza w que é calculada como função de grandezas independentes x, y, z, ... , pode ser 
representada por 
w = w(x, y, z, ...). 
 
 As grandezas x, y, z,... são admitidas como grandezas experimentais, sendo σx, σy, σz, ... as incertezas 
padrões correspondentes: 
xx σ→
 
yy σ→
 
zz σ→
 
 
Se os erros nas variáveis x, y, z, ... são completamente independentes entre si, a incerteza padrão σw é dada 
em primeira aproximação por 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
Zyxw
z
W
y
W
x
W
σσσσ ijk
lmn
∂
∂
+
i
i
j
k
l
l
m
n
∂
∂
+ijk
lmn
∂
∂
=
 (1) 
 
onde as incertezas σx, σy, σz, ... devem ser completamente independentes entre si. Por exemplo, se x e y são 
medidos com um mesmo instrumento, os erros e portanto, as incertezas, não são mais completamente 
independentes entre si. 
 
Se os erros nas variáveis não são completamente independentes entre si, a expressão acima é incompleta. 
Neste caso, a expressão geral para a incerteza tem termos adicionais que envolvem as chamadas covariâncias. A 
definição de covariância, bem como a expressão geral é apresentada nas Referências 6, 10 e 11, por exemplo. 
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15 
 
No caso de uma única variável x, a Equação 1 se reduz a 
 
2
2
2
xw dx
dW
σσ opq
rst
= ou xw dx
dW
σσ = (2) 
 
 Deve ser observado que σx, e σw, são quantidades positivas, por definição. Assim, deve sempre ser 
considerada a raiz positiva de 2
wσ isto é, 
2
ww σσ +=
. 
 
Vamos aplicar o método de propagação de incertezas, isto é, a equação 1 com exemplos simples: 
 
Exemplo 1. O volume de um cilindro pode ser determinado medindo-se diretamente o comprimento L e 
raio R. O volume V é calculado por 
2LRV pi=
 
 
Uma vez que R e L têm erros experimentais, é evidente que o volume V também tem erro, pois é calculado 
a partir de R e L. 
A relação entre as incertezas é dada pela Equação 1 : 
 
2
2
2
2
2
RLV R
V
L
V
σσσ opq
rst
∂
∂
+opq
rst
∂
∂
= , 
 
onde σL e σR são as incertezas em L e R, respectivamente. Neste exemplo, é admitido que estas incertezas são 
independentes entre si. Entretanto, deve ser observado que, se L e R são medidos com o mesmo instrumento, 
estas incertezas podem não ser independentes e a expressão acima não é correta. 
Calculando as derivadas parciais, obtém-se 
 
 
2R
L
V
pi=
∂
∂
 e )2( RL
R
V
pi=
∂
∂
 
 
Neste caso, a incerteza σV é: 
 
222222 )2()( RLV LRR σpiσpiσ +=
 
 
A expressão acima é um pouco inconveniente para se calcular σV. Neste caso particular, é possível obter 
uma expressão mais simples dividindo os dois lados da equação por V2 = (piLR2)2, resultando em: 
 
222
2 uvw
xyz
+uvw
xyz
=uvw
x
y
z
RLV
RLV σσσ
. 
 
 
Exemplo 2. Soma ou subtração de variáveis: ...+++= zyxw 
 
,1=
∂
∂
x
w
 ,1=
∂
∂
y
w
 ,1=
∂
∂
z
w
 ... . 
 
Substituindo em (1) , obtém-se 
...
2222 +++= zyxw σσσσ . 
 
Deve ser observado que as variâncias sempre são somadas, mesmo no caso de subtração das variáveis. 
Por exemplo, se: zyxw −−= , 2222 zyxw σσσσ ++= . 
 
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16 
Exemplo 3. Relação linear: baxw += 
 
Admitindo que a e b são constantes isentas de erro ou com erros desprezíveis, somente a variável x é 
considerada para cálculo da incerteza. 
a
dx
dw
=
 
Substituindo em (2), obtém-se 
 
222
xw a σσ = ou xw aσσ = . 
Deve ser observado que σw e σx são quantidades positivas por definição. No caso em que b = O, 
axw =
 e a expressão para σw pode ser simplificada dividindo-a por w = ax. Assim, para axw = resulta. 
 
22
u
v
w
x
y
z
=uvw
x
y
z
xw
xw σσ
 ou 
xw
xw σσ
= . 
 
Entretanto, deve ser observado que no caso, baxw += ( 0≠b ), esta simplificação não é possível. 
 
 
Exemplo 4. Produto ou razão de variáveis: w = axy ou w = ax/y. 
 
No caso de produto de variáveis, 
,ay
x
w
=
∂
∂
 e .ax
y
w
=
∂
∂
 
 
Substituindo na expressão (1) e simplificando, obtém-se 
 
222 {
{
|
}
~
~€
+
{
|
}
~

€
=
{
|
}
~

€
yxw
yxw σσσ
. 
 
Este mesmo resultado vale para o caso w = ax/y. 
 
 
Exemplo 5. Produto de funções: qp yaxw = 
 
Substituindo as derivadas parciais na expressão (1), obtém-se 
 
2212212 )()( yqpxqpw qyaxyapx σσσ −− += . 
 
Dividindo os termos por 22 )( qp yaxw = , obtém-se 
 
222 {
{
|
}
~
~€
+
{
|
}
~

€
=
{
|
}
~

€
y
q
x
p
w
yxw σσσ
 
 
Este resultado pode ser generalizado para qualquer número de variáveis. 
 
Exemplo 6. Função trigonométrica: senxaw = 
 
 
xa
dx
dw
cos= (para x em radianos) 
 
Assim, 
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17 
 xaw cos=σ 
 
Esta fórmula é válida somente para σx em radianos, pois a expressão para a derivada só vale neste caso. 
 
Exemplo 7. Função logarítmica: xw alog= 
 
)1(
ln
1
xadx
dw
= (
a
x
w
ln
ln
= e 
xdx
xd 1ln
= ) 
 
Assim 
222 )()
ln
1(
xa
x
w
σ
σ = ou 
xa
x
w
σ
σ
ln
1
= 
 
Para o caso xw ln= , basta considerar 1ln =a nas expressões. 
 
 É interessante observar que a incerteza (absoluta) em w está diretamente relacionada com a incerteza 
relativa em x. 
 
 ** Um exemplo mais complicado seria o cálculo da incerteza na seguinte operação, onde y, x, z e t são 
grandezas mensuráveis. 
2
53
t
zxy = 
O valor da incerteza em y é dada por: 
2222 )2()5()3()(tzxy
y tzx σσσσ ++= . 
Observe que as incertezas sempre se somam, independentemente da variável estar no numerador ou no 
denominador. 
Suponhamos que os valores das variáveis sejam os seguintes: 
x = (3,267 ± 0,012) unidades de x 
z = (2,110 ± 0,003) unidades de z 
t = (8,6735 ± 0,0027) unidades de t 
O valor de y será: 
2
53
(8,6735)
(2,110)(3,267)
=y = 19,38523 unidades de y 
 
O cálculo da incerteza em y será: 
 
( ) ( ) ( ) ( )2222
8,6735
0,0027 . 2
2,110
0,003 5.
3,267
0,012 3.
19,38523
++=
yσ
 
 
0,50443,876.105,054.101,214.10.38523,19 -7-5-4 =++=yσ 
 
σy = 0,5044 
 
Como a incerteza, neste caso, pode ser dada com um ou dois algarismo diferentes de zero, ela vale 0,5 
ou 0,50. Com isso o valor de y, fica: 
 
y = (19,38 ± 0,50) unidades de y 
ou 
y = (19,4 ± 0,5) unidades de y 
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18 
 
Observe que o procedimento é bem mais simples do que se tivéssemos que aplicar a regra de 
propagação de erros para o produto e divisão. 
 
 
EXEMPLO COMPLETO 
Mediu-se as dimensões (x, y, e z) de uma chapa e obteve-se os seguintes valores (em milímetros): 
 
x: 4,27 4,29 4,26 4,27 4,25 
y: 3,52 3,51 3,48 3,53 3,49 
z: 0,77 0,75 0,72 0,74 0,73 
 
Ao se calcular as médias, obedecendo-se as regras de arredondamento, obteve-se: 
x = 4,268 mm y = 3,506 mm z = 0,742 mm 
 
Os desvios de cada uma das medidas são, respectivamente (em mm): 
 δx: +0,002 +0,022 –0,008 +0,002 –0,018 
 δy: +0,014 +0,004 –0,026 +0,024 –0,016 
 δz: +0,028 +0,008 –0,022 –0,002 –0,012 
 
Ao se calcular os desvios médios, obedecendo-se as regras de arredondamento, obteve-se: 
x

 = 0,010 mm y‚ = 0,017 mm z‚ = 0,014 mm 
 
Ao se calcular os desvios padrões, obedecendo-se as regras de arredondamento, obteve-se: 
σx = 0,015 mm σy = 0,021 mm σz = 0,019 mm 
 
Os valores mais prováveis de cada dimensão da chapa, serão expressos por: 
 
a) usando o desvio médio: 
xP = (4,268 ± 0,010) mm yP = (3,506 ± 0,017) mm zP = (0,742 ± 0,014) mm 
 
b) usando o desvio padrão: 
xP = (4,268 ± 0,015) mm yP = (3,506 ± 0,021) mm zP = (0,742 ± 0,019) mm 
 
 
Ao se calcular o volume, utilizando-se o desvio padrão e obedecendo-se as regras de propagação de 
erros, obtém-se: 
 V = x.y.z = (4,268 ± 0,015).(3,506 ± 0,021).(0,742 ± 0,019) 
 
 
 V = (4,268 ± 0,015).(2,601 ± 0,082) 
 
 
 V = (11,10 ± 0,39) mm3 
 
 
 Utilizando a regra de incerteza relativa, ficaríamos com: 
 
V = x.y.z = (4,268).(3,506).(0,742) = 11,103 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )2222
0,742
0,019
3,506
0,021 
4,268
0,015 
11,103
++=V
σ
 
 
 
σV = 0,09 mm3 
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19 
 
 O volume será dado por: V = (11,10 ± 0,09) mm3 
 
 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
 
3. Efetue as operações: 
a) (2,345 ± 0,005) + (1,824 ± 0,003) c) (4,03 ± 0,01) . (2,7 ± 0,3) 
 
b) (2,345 ± 0,005) - (1,824 ± 0,003) d) (25,239 ± 0,004) : (5,12 ±0,06) 
 
 
4. Um copo e seu conteúdo pesam (548,4 ± 0,6) newtons. O copo vazio pesa (128,0 ± 0,4) newtons. Qual é o 
 peso do conteúdo? 
5. Calcular a velocidade com que um corpo atinge o solo, sabendo-se que o mesmo partiu do repouso. Após uma 
série de medidas do tempo de queda, obteve-se t= (6,2 ± 0,2)s. A aceleração da gravidade no local da experiência 
é dada por g = (9,78 ± 0,04) m/s2. Despreze a resistência do ar. 
 
6. Na medição do comprimento de um objeto retangular, foram efetuadas 10 medidas de cada dimensão, que 
estão tabeladas abaixo: 
 
LARGURA: 4,11 cm 4,13 cm 4,12 cm 4,11 cm 4,11 cm 
4,14 cm 4,12 cm 4,11 cm 4,10 cm 4,12 cm 
 
COMPRIMENTO: 6,78 cm 6,79 cm 6,76 cm 6,77 cm 6,77 cm 
6,80 cm 6,78 cm 6,77 cm 6,76 cm 6,75 cm 
 
Calcule, para cada dimensão: 
a) o valor médio; 
b) o desvio médio; 
c) o desvio padrão. 
d) Escreva o resultado final com o desvio padrão. 
e) Calcule a área desta placa usando os resultados finais com seus respectivos desvios padrões. 
 
Referências: 
VUOLO, J.H. Fundamentos da Teoria de Erros. São Paulo: Ed. Edgard Blücher Ltda, 1992. 
SILVA, W. P., SILVA, C.M.D.P.S. Tratamento de dados experimentais. João Pessoa: UFPB/Ed. Universitária, 
1998. 
TABACNIKS, M.H. Conceitos básicos da teoria de erros. São Paulo, 2003. Disponível em: < 
http://euclides.if.usp. br/~ewout/ensino/fge2255/textos/ConcBasTeorErr.pdf>. Acesso: 8 fev. 2007. 
INMETRO. Vocabulário internacional de termos fundamentais e gerais de metrologia. 2. ed. Brasília, 
SENAI/DN, 2000. 75p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20 
4. INSTRUMENTOS DE MEDIDAS 
 
Neste tópico serão abordadas as características e modo de operação dos instrumentos de medidas mais 
utilizados no Laboratório de Física. A maioria dos instrumentos utilizados é de fácil operação, mas, apesar disto, 
qualquer dúvida que surja, o estudante deve pedir explicação, ler os manuais de instrução e/ou consultar bibliografia 
específica. 
A precisão instrumental deve ser dada pelas especificações do fabricante e, caso não se tenha esta 
informação, deve-se utilizar a metade da menor divisão da escala ou outro valor mais apropriado. Os 
instrumentos digitais mostram todos os algarismos correspondentes à medida. Em geral, ocorre uma 
flutuação no último algarismo e neste caso, estima-se o último algarismo e a incerteza da leitura em 
função dessa flutuação. No uso de instrumentos digitais, deve-se sempre que possível consultar o 
manual do instrumento para se conhecer o seu erro de calibração, que, geralmente, é maior que a menor 
leitura do instrumento, podendo também ser superior à incerteza na leitura decorrente da flutuação no 
último dígito. 
 
4.1 - Instrumentos de medidas de comprimento 
 
Régua milimetrada 
A régua milimetrada é geralmente construída de plástico ou aço inoxidável e é utilizada quando não é 
necessária uma medida de comprimento com alta precisão. A menor divisão da régua comum é de 1 mm, sendo 
que algumas mais precisas possuem divisão de 0,5 mm. A incerteza instrumental de uma régua, metade da menor 
divisão da 
escala, é de 0,5 mm, não podendo, portanto, ser usada em medidas de pequenas dimensões ou onde uma boa 
precisão seja necessária. Nestes casos os paquímetros ou os micrômetros devem ser utilizados. 
Trena 
A trena é uma fita graduada, maleável, metálica ou de plástico, enrolada dentro de uma caixa suporte. 
Ao se puxar a extremidade da fita, esta é desenrolada permitindo que se faça a medida. Ao ser liberada ela 
retorna para dentro do suporte através de um mecanismo interno de recolhimento. Não se deve puxar a fita além 
do valor máximo de medida de cada trena, sob pena de danificar o mecanismo interno de recolhimento. Possui, 
geralmente, a mesma escala de medida de uma régua milimetrada e, portanto, a mesma incerteza instrumental. 
Paquímetro 
O paquímetro (Figura 4.1) é usado, principalmente, para medir diâmetros externos, diâmetros internos, 
espessuras e profundidades com precisão de décimo ou centésimos de milímetro ou frações de polegadas. É 
geralmente construído de aço inoxidável e possui superfícies planas e polidas e sua calibração é feita a 20°C. 
Para se fazer uma medida externa com o paquímetro coloca-se o objeto a ser medido entre as garras 
para medidas externas. Faz-se uma pressão suave com o dedo polegar contra o impulsor para que a garra móvel 
entre em contato com a peça,sem forçá-la. Para uma medida interna, diâmetros de tubos, por exemplo, colocam-
se as garras para medidas internas no interior do orifício a ser medido e abre-se o paquímetro de modo que as 
garras toquem, de maneira suave, a superfície interna do mesmo. Para medidas de profundidade coloca-se a haste 
de profundidade no interior da cavidade a ser medida, encostando-a na superfície interna do objeto, até que sua 
extremidade toque o fundo. 
 
Figura 4.1 – O Paquímetro. 
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21 
 
O paquímetro possui em seu corpo duas escalas principais fixas. Na parte superior apresenta uma escala 
graduada em polegadas e na parte inferior uma escala graduada em milímetros. 
Acoplado ao corpo do paquímetro têm-se o nônio ou vernier, cuja escala se move sobre a escala 
principal. A finalidade do nônio ou vernier é aumentar a precisão da medida, pois torna a medida mais precisa do 
que os nossos olhos poderiam determinar na escala principal. O princípio do nônio é utilizado em muitos 
instrumentos de qualidade (goniômetros, barômetros, microscópios, etc.) para aumentar a precisão da medida. 
Utilizaremos um nônio de 10 divisões para explicar a lógica de seu funcionamento. 
Quando o zero do nônio coincidir exatamente com uma divisão da escala principal, a leitura é feita 
diretamente na escala fixa, como ilustra a Figura 4.2. 
 
0 1
0 5 10
 
Figura 4.2 – Zero do nônio coincidindo exatamente com uma divisão da escala principal. Valor da leitura 2,0 mm. 
 
Quando o zero do nônio não coincidir exatamente com uma divisão da escala principal, a leitura deve 
ser adicionada de uma fração que é dada pela divisão do nônio que coincidir com a divisão da escala principal. 
Por isso, a leitura da medida representada na Figura 4.3 deve ser 17,3 mm, pois é a terceira marca do nônio que 
coincide com uma das marcas da escala principal. 
1 2
0 5 10
3
 
Figura 4.3 – Leitura, em um paquímetro, de 10 divisões; a leitura é 17,3 mm. 
 
O princípio de funcionamento do nônio ou vernier de dez divisões se baseia no fato de que nele estão 
gravadas a marca 0 (zero) e mais 10 outras marcas distanciadas de 0,9 mm umas das outras. Portanto, uma 
divisão do nônio é 1/10 menor que a divisão da escala principal. Na leitura anterior, a primeira marca do nônio 
que coincide com as marcas da escala principal é a de número três. Como o distanciamento das marcas do nônio 
é de 0,9 mm, segue que a marca de número dois está a 1 - 0,9 = 0,1 mm da marca da escala principal mais 
próxima. Portanto, a marca de número 1 está deslocada de 0,2 mm e finalmente a marca zero está a 0,3 mm à 
direita da marca de 17 mm. Portanto, a medida da espessura é 17,3 mm. 
Há também nônios que contêm 20 divisões, onde cada subdivisão corresponde a 1/20 mm (0,05 mm). 
Neste caso a coincidência da terceira marca do nônio (marca entre o 1 e o 2) com a escala principal (Figura 4.4) 
representa uma fração de 3/20 ou 0,15 mm, o que fornecerá uma leitura de 25,15 mm. Uma coincidência com a 
marca 2 do nônio daria uma fração 0,20 mm. A coincidência com a marca 7 seria uma fração 0,70 mm e uma 
coincidência com a marca que está entre o 8 e o 9 seria uma fração de 0,85 mm. 
 
10 3020 40 50
 
Figura 4.4 – Medição com um paquímetro de 20 subdivisões, cuja leitura é 25,15 mm. 
 
A fração da escala principal que cada traço do nônio representa, chama-se “Natureza do Paquímetro”, 
ou seja, para um paquímetro com nônio de "n" divisões ela é dada pela grandeza 1/n. Portanto, a “Natureza do 
Paquímetro” que possui um nônio de 10 divisões é 0,1 mm e a de um com 20 divisões é 0,05 mm. 
Na apresentação da leitura de uma medida realizada com um paquímetro, deve-se colocar como incerteza 
da medida o valor da natureza do mesmo. Por exemplo, a medida apresentada na Figura 4.3 deve ser escrita como se 
segue: 
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22 
(17,3 ± 0,1) mm, 
e a da Figura 4.4, 
(25,15 ± 0,05) mm. 
 
Para medidas de profundidades ou diâmetros internos, o procedimento de leitura é o mesmo. Existem 
paquímetros bem mais precisos que os de nônio com 20 divisões, tais como, os de 50 divisões que apresentam 
uma incerteza de 0,02 mm e os digitais que apresentam incerteza de 0,01 mm. 
Micrômetro 
O micrômetro, Figura 4.5, é um instrumento de precisão, utilizado em medidas externas (espessuras de 
lâminas, diâmetros de fios ou tubos, etc.). É de precisão superior aos paquímetros de até 50 divisões por nônio. 
Cada divisão de leitura do micrômetro corresponde, em geral, a 0,01 mm, enquanto que no paquímetro, cada 
divisão do nônio, dependendo do tipo, representa 0,1 mm, 0,05 mm, 0,02 mm ou 0,01 com a incerteza na última 
casa lida. No caso do micrômetro ainda pode-se fazer uma estimativa do algarismo dos milésimos de milímetros, 
estando neste algarismo a incerteza da leitura. Daí vem o nome micrômetro (micro = µ = 10-6) que corresponde a 
10-6 metros ou 10-3 milímetros. O micrômetro é ainda mais delicado que o paquímetro. Deve ser manuseado com 
muito cuidado e, sobretudo, suavemente. Portanto, NUNCA FORCE UM MICRÔMETRO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5 – O Micrômetro. 
 
O micrômetro consiste de um parafuso de rosca fina de muita precisão (parafuso micrométrico) que 
avança ou retrocede ao longo do próprio eixo. O objeto a ser medido deve ser colocado entre duas "esperas", uma 
fixa e uma móvel. Gira-se o parafuso micrométrico até que as esperas encostem de leve no objeto. Para não 
estragar a espera com um aperto excessivo do parafuso, deve-se apertá-lo, exclusivamente, por meio da catraca 
afixada no fim do tambor. A catraca contém uma mola de segurança que não permite que se apliquem pressões 
excessivas às esperas. 
 
a) leitura: 4,210 mm 
b) leitura: 3,845 mm 
 
Figura 4.6 – Medidas feitas com um micrômetro 
 
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23 
Cada volta completa do parafuso corresponde em geral a um avanço de 0,5 mm ("passo" do parafuso). 
No tambor há uma escala circular que geralmente tem 50 divisões. Cada divisão corresponde então a um avanço 
de 0,5/50 = 0,01 mm. 
Para se fazer uma leitura no micrômetro, observa-se primeiro a que valor da escala horizontal 
corresponde a borda circular do tambor. Esta borda é o índice de leitura para a escala horizontal. Depois soma-se 
a este valor, o valor lido na escala circular, ou seja, o valor que coincida com a reta da escala horizontal. Veja os 
exemplos apresentados na Figura 4.6. 
 
Quando as esperas A e B estão em contato, o tambor cobre toda a escala horizontal e os zeros das 
escalas horizontal e circular devem coincidir. Caso não exista coincidência é necessário fazer a correção das 
leituras, somando-se ou subtraindo-se, conforme o caso, a diferença existente entre os dois zeros. O micrômetro 
apresenta precisão de centésimos de milímetros (0,01 mm), sendo possível estimar em sua escala circular a casa 
dos milésimos de milímetro, ou seja, o número duvidoso da medida. 
Na apresentação da leitura de uma medida realizada com um micrômetro, deve-se colocar como 
incerteza da medida uma fração da menor divisão da escala circular. Assim, por exemplo, considerando uma 
incerteza igual à metade da menor divisão da escala, as leituras feitas na Figura 4.6 seriam escritas na forma: 
(4,210 ± 0,005) mm 
(3,845 ± 0,005) mm 
 
4.2 - Instrumentos de medidas de tempo 
Cronômetro digital 
No cronômetro digital o tempo medido é mostrado em um visor de cristal líquido. Possui um botão para 
disparar e parar a contagem e outro para “zerar” o cronômetro. A medida de tempo é baseada na oscilação de um 
cristal dequartzo e tem precisão de centésimo de segundo. Um aspecto importante que deve ser levado em conta 
ao se realizar uma medida de tempo com este tipo de cronômetro é o “tempo de reflexo do operador” para 
disparar e parar o mecanismo. 
 
4.3 - Instrumentos de medidas de massa e de força 
Balança de travessão 
A balança de travessão é o instrumento de medida de massa mais utilizado em laboratório. Esta balança 
compara o peso do objeto a ser medido com um peso conhecido (calibrado). Como a aceleração da gravidade é a 
mesma em ambos os lados da balança, esta compara massas e não pesos, mesmo que o seu funcionamento esteja 
baseado na força gravitacional que age nos dois lados da balança. Portanto, as medidas com este tipo de 
instrumento são independentes do local onde ele é utilizado. 
Existem vários tipos destas balanças que são utilizadas em intervalos de massas muito diversos e com 
sensibilidades variadas. Para medidas rápidas são utilizadas balanças do tipo mostrado na Figura 4.7 que 
permitem pesagens rápidas de massas relativamente grandes, da ordem de 1600 g. 
 
 
Figura 4.7 - Balança de travessão 
 
 
 Esta balança consiste de um travessão rígido com três escalas diferentes: uma de 100 em 100 gramas, 
uma de 10 em 10 gramas e uma de 0,1 em 0,1 grama. As duas escalas superiores devem ser usadas colocando-se 
os cursores (massas móveis) exatamente em cima das marcas, ou seja, não se pode colocar estas massas em 
posições diferentes daquelas preestabelecidas. O cursor da escala de 0,1 g deve ser movimentado continuamente 
até que se obtenha o equilíbrio do travessão. 
Alguns cuidados devem ser tomados ao se fazer uma medida com esta balança. Um deles é nivelá-la cor-
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24 
retamente. Para isto algumas balanças vêm com um indicador de nível acoplado à sua base. Para nivelá-la deve-se 
levantar ou abaixar os seus pés de modo que a bolha do nível fique centralizada entre as marcas do mesmo. Caso a 
balança não seja equipada com este nível, deve-se usar um nível externo para tal. Outro cuidado que se deve tomar é 
a zeragem da balança. Quando todos os cursores (massas móveis) estiverem no zero de suas escalas, a marca 
horizontal na extremidade do travessão deve coincidir com a marca central de referência de uma pequena escala que 
fica na vertical. Caso isto não ocorra, deve-se girar a porca que se encontra embaixo do prato da balança até que as 
marcas coincidam. A incerteza na medida desta balança seria de 0,05 g, ou seja, metade da menor divisão da escala. 
Porém, como este não é um instrumento preciso, pode-se considerar incertezas de até alguns gramas. 
Balança de mola ou dinamômetro 
A balança de mola ou dinamômetro é utilizada para medir pesos de objetos (ou outras forças). Sua 
construção é muito simples consistindo de uma mola e de uma escala graduada em unidades de força ou massa. 
Deve ser utilizada na região elástica da mola onde se obtém uma escala linear (a elasticidade é um fenômeno 
linear em certos intervalos). A precisão destas balanças depende das características elásticas da mola, sendo útil 
somente em intervalos muito pequenos. Quando for utilizada para medidas de massa, sua escala de medida é 
válida somente na altitude e latitude em que foi calibrada. 
Nos laboratórios de física este instrumento é usado em medidas semiquantitativas ou para verificação 
de equilíbrio de forças. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. Com o uso do paquímetro, realizar medidas de diâmetros internos e externos, espessuras, comprimentos, 
larguras, alturas e profundidades das várias peças de vários formatos (retangulares, cilíndricos, 
esféricos, etc.) fornecidas. 
2. Com o uso do micrômetro, realizar as possíveis medidas das peças fornecidas. 
3. Com o uso da balança, meça as massas das peças fornecidas. 
4. Encontre a densidade média de quaisquer duas destas peças. 
5. Com o uso do dinamômetro adequado, meça o peso das peças. 
6. De posse do cronômetro, medir o tempo que uma esfera gasta para cair de uma altura de 2,00 m. Meça 10 
vezes e determine o tempo médio e o desvio padrão. Repita o procedimento para uma esfera de massa 
diferente. 
 
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 25 
5. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
 
5.1 - Introdução 
A apresentação de dados numéricos em forma de gráficos é uma técnica usada em todas as áreas do 
conhecimento. Um especialista da área médica, por exemplo, ao interpretar os vários valores traçados em um 
gráfico (eletrocardiograma, eletroencefalograma, etc.) pode ser auxiliado substancialmente no diagnóstico de 
algumas doenças. Taxas de multiplicação ou de morte de vírus e bactérias em função da dose de radiação recebida 
podem ser interpretadas através de gráficos, os quais trazem informações que possibilitam "enxergar" melhor os 
dados obtidos. A análise gráfica é muito útil, pois permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege o fenômeno 
através de uma visualização imediata do comportamento de suas variáveis. Em outras palavras, a interpretação 
correta de um gráfico possibilita enxergar um pouco mais. Portanto, ao se observar um gráfico, deve-se questionar 
e procurar entender qual o seu significado, o que ele representa, qual a lei representativa da curva e, 
principalmente, saber fazer as leituras das medidas segundo as escalas contidas nos seus eixos. 
Para a correta construção de um gráfico, é necessário saber construir as escalas deste gráfico. Uma 
escala é um trecho de reta ou curva, marcado por pequenos traços transversais, alguns dos quais associados com 
os valores ordenados de uma grandeza. São exemplos, as escalas de um termômetro, de um relógio, de um 
cronômetro, de uma régua, de um velocímetro de carro, etc. Na construção de um gráfico, é necessário que se 
represente os valores de cada uma das grandezas sobre escalas. No caso de gráficos bidimensionais são 
necessárias duas escalas, uma representada no eixo das abscissas e a outra no eixo das ordenadas. Aqui serão 
estudadas as duas escalas mais importantes, a escala linear e a escala logarítmica. 
 
5.2 - Escala Linear 
Para se construir uma escala linear em um certo segmento de reta (eixo), deve-se conhecer, inicialmente, 
o tamanho deste segmento (L). Suponha que se deseje representar sobre esta escala os valores de uma grandeza 
física qualquer. Para a construção da escala é necessário determinar a variação dos valores da grandeza a ser 
marcada nesta escala, ou seja, deve-se conhecer a diferença entre os seus valores máximo e mínimo. Esta 
diferença será representada por "d". Dividindo-se "L" por "d", obtém-se uma constante denominada de módulo da 
escala (m). Por exemplo, considere a Tabela 1 abaixo para ser marcada em uma escala linear de 15 cm de 
comprimento. 
 
Força (N) 3 8 17 23 29 
Tabela 1 - Valores medidos da Força, em newtons, atuante sobre uma partícula. 
 
 O intervalo das medidas é d = 29 - 3 = 26 N e o comprimento do eixo é L = 15 cm. Portanto, o módulo 
da escala, m, é dado por: 
 
N
cm0,5769
26
15
m == . 
Este resultado indica que cada unidade da força será representada por um comprimento igual a 0,5769 
cm. A escala deve ser construída, então, com espaçamentos iguais de 0,5769 cm. Como se percebe, o módulo da 
escala acima é inconveniente para se trabalhar e, portanto, adota-se um número melhor que facilite as marcações. 
Na escolha deste melhor número para representar o módulo "m", o arredondamento deverá ser sempre para menos 
e deve ser tal que seja utilizado pelo menos 2/3 do comprimento "L". No exemplo acima, um número 
conveniente para representar o módulo da escala seria 0,5 cm/N. Escalas do tipo 1:3, 1:7 e 1:9 devem ser evitadas, 
pois dificultam a marcação de submúltiplos dos valores da escala.