Apost de LAB. de FISICA 1

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Prof. Dr. Alessandro Carneiro Anivaldo F. Rezende 
 Apoio Técnico 
 Gilmar S. Neto 
 
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Haste 
Suporte 
 
 
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_________________________________________________ Laboratório de Física I – Campus de Catalão – UFG – 2009 
 
 
1 
1. Introdução ...............................................................................................................................................03 
1.1. Como se comportar em um laboratório ............................................... ............................................ 03 
1.2. O Relatório ....................................................................................................................................... 03 
1.3. Orientações para elaboração do Relatório ........................................................................................ 04 
2. Algarismos Significativos .......................................................................................................................05 
2.1. Potência de 10 ................................................................................................................................... 05 
2.2. Algarismos Significativos ............................................................................................................... 05 
2.3. Incerteza de uma medida ................................................................................................................. 06 
2.4. Operações com Algarismos Significativos ..................................................................................... 07 
3. Medidas e Erros ......................................................................................................................................11 
3.1. Introdução ........................................................................................................................................ 11 
3.2. Definições ........................................................................................................................................ 11 
3.3. Classificação dos erros ..................................................................................................................... 12 
3.4. Definições estatísticas........................................................................................................................12 
3.5. Propagação de erros ......................................................................................................................... 14 
4. Instrumentos de Medidas .......................................................................................................................20 
4.1. Instrumentos de medidas de comprimento ...................................................................................... 20 
4.2. Instrumentos de medidas de tempo .................................................................................................. 23 
4.3. Instrumentos de medidas de massa e de força ................................................................................. 23 
5. Construção de Gráficos ..........................................................................................................................25 
5.1. Introdução ........................................................................................................................................ 25 
5.2. Escala Linear .................................................................................................................................... 25 
5.3. Construção de gráficos em papel milimetrado ................................................................................. 26 
5.3.1. Ajuste de retas .......................................................................................................................... 28 
5.3.2. Método dos Mínimos Quadrados ............................................................................................. 28 
 
Experimento 1 – Queda Livre ....................................................................................................................... 33 
Experimento 2 – Queda Livre: determinação de g graficamente .................................................................. 35 
Experimento 3 – Oscilações Mecânicas – Pêndulo .................... ........................... ...................................... 36 
Experimento 4 – Movimento Retilíneo Uniforme................................... ................... ..................................39 
Experimento 5 – Movimento Retilíneo Uniformemente Variado...................................................................43 
Experimento 6 – Segunda Lei de Newton ..................................................................................................... 46 
Experimento 7 – Teorema Trabalho-Energia Cinética .................................................................................. 49 
Experimento 8 – Colisões no trilho de ar .......................................................................................................53 
Experimento 10 –Rolamento de corpos rígidos ............................................................................................56 
Experimento 9 – Giroscópio .........................................................................................................................58 
 
 
 
Este material foi baseado em apostilas de Laboratório de Física I 
dos Institutos de Física da Universidade Federal de Goiás e da 
Universidade de São Paulo. 
 
 
_________________________________________________ Laboratório de Física I – Campus de Catalão – UFG – 2009 
 
 
2 
 
 
 
Notas Importantes: 
 
�� Prova de segunda chamada 
 a
 A reposição de uma (apenas uma) prova perdida será realizada no final do semestre e em dias que 
normalmente ocorrem às atividades de laboratório desta turma. 
 
�
�� Reposição de aula 
 
a
 A reposição de uma experiência perdida poderá ser feita em outra turma, desde que haja vaga e que ambos os 
professores (o professor da turma do estudante e o professor da turma em que se deseja fazer a reposição) estejam 
de acordo. 
 
 
�� Freqüência 
 
a
 Será cobrada a freqüência mínima de 75% das aulas, através de chamada. 
 
�
�� Tolerância com o atraso 
 
a
 A tolerância para assistir a aula e realizar a pratica são de 20 min. Após este período o aluno não poderá realizar 
a pratica junto com o resto da turma. Contudo, o mesmo poderá participar assistindo a aula. 
 
 
 
�� Avaliação 
 a
 A avaliação consistirá de duas provas práticas/escritas (P1 e P2) sobre o assunto de cada uma das partes 
do curso. O estudante poderá ser avaliado mesmo sobre o assunto das aulas a que ele eventualmente 
tenha faltado. 
 
O valor das avaliações (P1 e P2) será de 50% dos pontos do curso e, igualmente a média dos relatórios 
(MR) 50%. 
 
a
 A aprovação no curso será conseguida se a média final (MF) calculada através da expressão: 
 
MF = 0,5 MR + 0,5 P, 
for maior ou igual a 5.0, onde MR é a média das notas dos relatórios e P a média das notas de provas. 
 
 
 
�� Bibliografia 
 
Fundamentos da Teoria de Erros – José Henrique Vuolo – Editora Edgar Blücher Ltda. – 1992. 
Roteiro de Laboratório de Física Experimental I. 
Fundamentos de Física – Halliday-Resnick-Walker – Vol. 1 e 2 – John Wiley and Sons - LTC S.A. 
Física Básica – H.M. Nussenzveig – Vol. 1 e 2 – Edgar Blücher – SP. 
 
 
 
 
_________________________________________________ Laboratóriode Física I – Campus de Catalão – UFG – 2009 
 
 
3 
LABORATÓRIO DE FÍSICA I 
1. INTRODUÇÃO 
 Os Laboratórios de Física foram estruturados de modo a acompanhar, aproximadamente, os programas 
dos cursos de Física correspondentes. Em alguns momentos, o experimento será realizado antes da aula teórica 
sobre o assunto abordado no experimento e em outros após a aula teórica correspondente. Em nenhum dos casos 
haverá prejuízos para o aprendizado, pois teoria e laboratório se complementam. 
O experimento sendo realizado antes da aula teórica torna o aprendizado da teoria mais fácil e a aula 
teórica antes da realização do experimento facilita a compreensão do fenômeno estudado no experimento. 
 
1.1 – Como se comportar em um laboratório. 
a. Não tocar nos aparelhos e instrumentos de medidas sem a autorização do responsável pelo laboratório (no 
caso, o professor ou o monitor). 
b. Chegar ao laboratório tendo noção do que será estudado e como será executado o experimento, pois poderá 
haver pré-testes de avaliação. Ler atentamente as instruções relativas à sua experiência antes do início da 
aula. 
c. Examinar os aparelhos que serão utilizados nas experiências, de modo a se familiarizar com o seu 
funcionamento e leitura de suas escalas. 
d. Não tocar com lápis ou caneta em escalas, instrumentos de medida, lentes etc. 
e. Não apertar de forma demasiada os parafusos que servem para imobilizar temporariamente certas peças e 
não forçar uma peça que não se mova com facilidade. Deslocar suavemente as peças móveis. 
f. Procurar executar cada medição com a maior precisão possível, pois da mesma depende o bom resultado do 
seu trabalho. 
 
1.2 – O Relatório. 
Um relatório é a descrição de um trabalho realizado, que serve para registrar e/ou divulgar o trabalho 
executado de maneira que seja entendido por quem o consulte. Ele deve propiciar ao leitor um entendimento dos 
principais pontos do trabalho, devendo, portanto, ser claro e objetivo. 
 
1.3 – Orientações para elaboração do Relatório. 
Não existe uma maneira exata de escrever um relatório, pois a redação de um trabalho científico depende de 
seu autor. Nele se descreve, com suas palavras, a experiência efetuada, apresenta-se e justifica-se o procedimento 
escolhido, apresentam-se e discutem-se os dados medidos e, finalmente, tiram-se conclusões. 
A qualidade do relatório depende da aquisição dos dados. Por isso, organize-se de modo a anotar, 
durante o experimento, todas as informações importantes de forma compreensível para redigir, posteriormente, 
relatório. 
Neste curso, pediremos relatórios completos somente em alguns experimentos. Na maioria deles será 
cobrada, apenas, a apresentação das medidas experimentais e as observações e conclusões sobre o experimento. 
A seguir, apresenta-se uma possível divisão para organizar um relatório completo. Não é necessário ser 
rigorosamente divididos desta forma, mas todos os aspectos são importantes e devem constar do trabalho. 
 
1. Capa: o relatório deve ter uma capa conforme o seguinte modelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal de Goiás – Campus de Catalão 
Departamento de Física 
 
Laboratório de Física I 
 
 
 TÍTULO DO EXPERIMENTO 
 
 
Aluno:____________________________ 
 
 
Curso:___________ Turma: __________ 
 
 
Professor:_________________________ 
 
 
Catalão, dd/mm/ano 
_________________________________________________ Laboratório de Física I – Campus de Catalão – UFG – 2009 
 
 
4 
2. Introdução: resumo teórico sobre o assunto da experiência. Este deverá ser estudado e pesquisado em 
livros textos, internet etc e apresentado resumidamente. A introdução deverá dar a um leitor uma 
percepção global do trabalho. 
Obs.: Não é permitida a cópia da introdução teórica do roteiro de laboratório nem das referências 
bibliográficas. O assunto deve ser desenvolvido com suas próprias palavras. 
3. Objetivos: apresentação resumida do que se pretende obter no experimento. 
 Obs.: Em experimentos simples, os itens introdução e objetivos podem ser tratados em uma única seção. 
4. Material utilizado: descrição dos materiais e equipamentos utilizados na realização do experimento; 
apresentar suas características de funcionamento quando isto for relevante para o resultado. Se necessário, 
faça uma figura (esboço ou esquema) de partes do equipamento. As figuras devem ter números e legendas 
e estarem referidas no texto; a legenda deve ser auto explicativa. 
5. Procedimento experimental: descrição do procedimento seguido em aula. Essa descrição deve abordar 
“o que você fez” e não necessariamente o que se vai fazer (proposto pelo roteiro experimental). Cuidado 
com o tempo verbal, pois é o que foi feito e não o que se vai fazer. 
Obs.: Em experimentos simples, os itens material utilizado e procedimento experimental podem ser 
tratados em uma única seção. 
6. Resultados: apresentação e tratamento dos dados experimentais visando a discussão dos resultados. 
Quando se tem um conjunto de dados, este deve ser apresentado em tabelas e, se possível, mostrado em 
um gráfico. Deve ser feito o tratamento dos dados, usando modelos teóricos, para se chegar aos valores 
finais. Os resultados numéricos devem ser apresentados com o número correto de algarismos 
significativos e com a respectiva unidade da grandeza. Não se deve indicar cada conta efetuada, mas deve 
ficar claro como se obteve o resultado final� 
 Obs.: As tabelas devem possuir significado próprio, dispensando consultas ao texto; devem ser colocadas 
em posição vertical; devem apresentar o cabeçalho de coluna com a unidade física da medida e, se 
necessário, cabeçalho de linha com unidade; devem apresentar numeração e título na parte superior. Use 
linhas verticais apenas nos casos em que sua ausência torne difícil a leitura da tabela 
 
Tabela 1: Relação posição-velocidade medida sobre o trilho de ar 
Posição (m) Velocidade (m/s) 
0,60 5,0 
0,85 6,8 
1,22 7,4 
 
 Os gráficos devem apresentar o título e as grandezas associadas aos eixos com as respectivas unidades 
(estudaremos a construção de gráficos mais adiante). O título e a numeração devem aparecer abaixo do 
gráfico. 
 
7. Análise dos Resultados: discussão dos resultados obtidos por meio da análise dos possíveis gráficos e 
dos parâmetros de ajuste de curvas; apresentação das observações pessoais sobre o significado dos 
resultados experimentais e das discrepâncias entre os valores obtidos experimentalmente e os catalogados. 
Faça uma discussão sobre as contradições encontradas. 
8. Conclusões: Apresentação, de forma resumida, das principais conclusões do trabalho. Um leitor, ao ler os 
objetivos propostos, deverá encontrar na conclusão comentários sobre eles. 
9. Bibliografia: lista das obras pesquisadas, constando autor, título, cidade da edição, editora, ano e página, 
apresentando-as segundo as normas da ABNT. Todo relatório deve apresentar pelo menos três fontes 
bibliográficas que em ordem de preferência são: livros universitários, artigos científicos, internet. Evitar 
livros do ensino médio e enciclopédias. Seguir as normas da ABNT para descrição das referências. 
 
Observações gerais: 
a. Sempre apresentar os dados com o número correto de algarismos (será visto a seguir) e com as 
respectivas unidades das grandezas. 
b. Sempre utilizar a propagação de erros nos resultados finais (será estudado mais adiante). 
c. Citar as referências e colocar entre “aspas” quando copiar trechos. Nunca use frases ou imagens de outras 
fontes sem citá-las (referência). 
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2. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
2.1 – Potência de 10 
Ao se realizar medidas pode-seencontrar números muito grandes ou muito pequenos. Por exemplo, o 
diâmetro do Sol é de aproximadamente 1.390.000.000 m e, de acordo com o modelo de Bohr do átomo de 
hidrogênio, o raio do próton mede 0,0000000000000008 m. Escritos assim, dificilmente se tem noção do valor que 
eles representam. Isso ocorre porque estes números estão longe dos valores que estamos acostumados a observar. 
A apresentação escrita ou oral desses números é trabalhosa. Para evitar isso e representar esses valores 
adequadamente, usa-se a notação científica com o auxílio de potências de dez. Escreve-se o número com um único 
algarismo diferente de zero antes da vírgula, colocando os outros algarismos nas casas decimais, multiplicando 
tudo pela potência de dez adequada. Os exemplos anteriores seriam escritos assim: 
Diâmetro do Sol = 1,39 × 109 m 
Raio do próton = 8 × 10-16 m 
Essa notação permite uma rápida comparação entre os números e facilita operações matemáticas entre 
eles. 
 
2.2 – Algarismos Significativos 
Imagine-se realizando uma medida qualquer com uma régua milimetrada, como por exemplo, o 
comprimento de um parafuso (Figura 2.1). 
 
0
1
2
 
Figura 2.1. Medindo o tamanho de um parafuso com uma régua milimetrada. 
 
Quanto você diria que é o comprimento deste parafuso? 
1,5 cm? 1,4 cm? 1,48 cm? 14,8 mm? 
 Observe que a menor divisão da régua utilizada é de 1 mm. Ao se tentar expressar o resultado desta 
medida, percebe-se que ela está compreendida entre 14 e 15 mm. A fração de milímetro que deverá ser 
acrescentada a 14 mm terá de ser avaliada, pois a régua não apresenta divisões inferiores a 1 mm. 
Para se fazer esta avaliação, deve-se imaginar o intervalo entre 14 e 15 mm subdividido em 10 partes 
iguais, e estimar a fração de milímetro a ser acrescentada. No caso do parafuso, pode-se avaliar esta fração como 
sendo de 8 décimos de milímetros e o resultado da medida poderá ser escrito como 14,8 mm. 
Os algarismos 1 e 4 foram obtidos através de divisões inteiras da régua e por isso existe segurança em 
relação a eles. Estes algarismos são chamados de corretos. Entretanto, o algarismo 8 foi avaliado, isto é, não se tem 
muita certeza sobre o seu valor e outra pessoa poderia avaliá-lo como sendo 7 ou 9. Por isso, este algarismo avaliado 
é denominado algarismo duvidoso. Os algarismos corretos e mais o primeiro duvidoso são chamados de Algarismos 
Significativos. 
É claro que seria praticamente impossível estimar qual o algarismo dos centésimos de milímetro. Para 
isso, teríamos que imaginar o intervalo de 1 mm subdividido mentalmente em 100 partes iguais, o que seria muito 
difícil. Assim, a avaliação dos centésimos não teria nenhum significado e, portanto, não poderia aparecer no 
resultado. 
 Se a medida do comprimento do parafuso fosse realizada com uma fita métrica que não possuísse as 
divisões de milímetros (Figura 2.2), apenas o algarismo 1 seria correto. O algarismo avaliado (duvidoso) poderia 
ser 5 e o resultado da medida seria expresso por 1,5 cm, ou seja, com apenas 2 algarismos significativos. Portanto, 
o número de algarismos significativos, que se obtém no resultado de uma medida, depende do instrumento 
utilizado. 
No resultado de qualquer medida devem ser escritos somente os algarismos significativos. Assim, por 
exemplo, quando um pesquisador informar que mediu a massa de um objeto e encontrou 126,35 g, deve-se 
entender que a medida foi feita de tal modo que os algarismos 1, 2, 6 e 3 são corretos e o último algarismo, o 5, é 
duvidoso. 
 
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6 
0
1
2
 
Figura 2.2. Medindo o tamanho de um parafuso com uma fita graduada em centímetros. 
 
As medidas 37,2 N e 37,20 N são matematicamente iguais, porém, fisicamente diferentes, pois são 
medidas realizadas com instrumentos diferentes e não representam exatamente a mesma coisa. Na primeira medida 
o algarismo 2 é duvidoso e na segunda o 2 é correto e o zero é o duvidoso. Já as medidas 48,2 mm e 48,3 mm são 
matematicamente diferentes, mas fisicamente equivalentes, pois diferem apenas no algarismo duvidoso. 
Portanto, o número de algarismos significativos a serem usados fica definido pela grandeza a ser medida, 
pelo instrumento que se utilizou e pela maneira como foi realizada a medida, ou seja, o número de algarismos 
significativos em uma medida fica determinado pela incerteza desta medida (Vuolo, 1992). Mais adiante, 
estudaremos o desvio padrão de um conjunto de medidas e neste caso, este desvio é que vai definir o número de 
algarismos significativos a ser usado. 
Quando em uma medida forem apresentados zeros à esquerda, estes não são significativos, pois 
simplesmente podem indicar um acerto de unidades. Por exemplo, 0,0035 m possui apenas 2 algarismos 
significativos, pois pode ser escrito como 3,5 × 10-3 m ou 3,5 mm. Já zeros a direita são significativos, pois 
indicam a precisão do instrumento com o qual foi realizada a medida. Por exemplo, a medida 7,800 m não pode ser 
escrita como 7,8 m porque perderia a precisão da medida. Logo, os zeros a direita são imprescindíveis e são, 
portanto, significativos. 
Ao se efetuar uma mudança de unidades, deve-se tomar cuidado com os zeros. Por exemplo, uma medida 
escrita como sendo 3,5 m não pode ser expressa como 3500 mm, pois na medida original existem 2 algarismos 
significativos e na transformação aparecem 4. O algarismo 5 que na medida original é o algarismo duvidoso, passa 
a ser correto com a mudança de unidade apresentada. A transformação correta seria 3,5 × 103 mm. 
As constantes que aparecem em fórmulas, os números de telefones ou de placas de automóveis não são 
resultados de medidas, logo não se pode falar em algarismos significativos para estes números. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: 
 
1. Cite as vantagens de se escrever números na notação de potência de 10. 
 
2. Complete as seguintes igualdades, conforme o modelo: CEM = 100 = 102 
a) mil c) um milhão e) um décimo de milésimo 
b) cem mil d) um centésimo f) um milionésimo 
 
3. Usando a regra prática sugerida no texto, escreva os números seguintes em notação de potência de 10. 
a) 382 c) 62.000.000 e) 0,72 
b) 21.200 d) 0,042 f) 0,000069 
 
4. a) Dados os números 3 x 10-3 e 7 x 10-6, qual deles é o maior? 
b) Coloque as potências de 10 em ordem crescente de valores: 
 4 x 10-5 2x10-2 8x10-7 
 
5. Efetue a operações indicadas: 
a) 5,7 x 10-4 + 2,4 x 10-4= b) 6,4 x 107 – 8,1 x 107 = 
b) 1,28 x 105 + 4 x 103= c) 7,54 x 108 – 3,7 x 107= 
 
 
2.3 – Incerteza de uma medida 
A Incerteza Absoluta ou desvio avaliado de uma medida é o intervalo de incertezas fixado pelo 
operador com o sinal mais ou menos (±). Não existe uma regra para determinar a incerteza de uma única medida 
pois ela depende de fatores ligados às condições da leitura, tais como, do instrumento utilizado, da perícia do 
experimentador, de sua segurança, das condições nas quais a medida é realizada, da facilidade da leitura da escala, 
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7 
da própria avaliação do algarismo duvidoso etc. É importante considerar que a avaliação da incerteza de uma 
medida depende, fundamentalmente, do bom senso do experimentador. 
Uma maneira de apresentar a incerteza de uma única medida é utilizar a metade da menor divisão da 
escala. Por exemplo, na Figura 2.1, a menor divisão da régua é 1 mm e a incerteza poderá ser, então, 0,5 mm. 
Assim, o resultado desta medida poderá serescrito como: 
(14,8 ± 0,5) mm. 
Para a medida realizada na Figura 2.2, cuja menor divisão da escala é 1 cm, o resultado poderá ser escrito 
como: 
(1,5 ± 0,5) cm. 
Porém, nada impede que seja uma outra fração da menor divisão da escala. Alguns autores adotam como 
norma uma incerteza correspondente a 10% da menor divisão da escala. No caso do exemplo da Figura 2.1, o 
resultado poderia ser escrito como: 
(14,8 ± 0,1) mm. 
A Incerteza Relativa ou desvio relativo é igual ao quociente entre a incerteza absoluta e a medida da 
grandeza. Ela nos fornece informações sobre a qualidade do processo de medida, isto é, quanto menor a incerteza 
relativa, melhor a qualidade da medida. A incerteza relativa percentual é a incerteza relativa expressa em termos 
percentuais (multiplicada por 100%). Por exemplo, para uma incerteza de 0,5 mm na medida da Figura 2.1, a 
incerteza relativa percentual será: 
(14,8 ± 3,38 %) mm. 
 
2.4 – Operações com Algarismos Significativos 
Os resultados de cálculos que envolvem medidas devem ser expressos somente com algarismos 
significativos, senão o resultado da operação poderá ter melhor precisão que as medidas. Para isto, é necessário 
observar algumas regras que serão apresentadas a seguir. 
 
Adição e Subtração 
Para se realizar uma operação de adição, levando em consideração os algarismos significativos, deve-se 
efetuar a soma e escrever o resultado com um número de casas decimais igual ao da parcela que possui o menor 
número dessas casas (o da grandeza menos precisa), fazendo o arredondando necessário. 
Suponha que se deseje adicionar as seguintes parcelas: 
 15709,1 
32,593 
 0,0071 
 618,363 
_____________________________________________ 
 16360,0631 
 
Para o exemplo anterior, a soma resultaria em 16360,0631. O resultado deve ser escrito com apenas uma 
casa decimal, pois a primeira parcela é a menos precisa. Assim, o resultado da adição é 16.360,1, onde foi “jogado 
fora” dos centésimos em diante. A regra de arredondamentos que será adotada é a seguinte: 
1 – Arredondamento por falta – se a parte a ser “jogada fora” estiver entre 0,000... e 0,499... deve-se 
simplesmente abandonar esta parte, mantendo o algarismo a ser arredondado. 
2 – Arredondamento por excesso – se a parte a ser “jogada fora” estiver entre 0,500... e 0,999... deve-se 
somar uma unidade ao algarismo a ser arredondado. 
3 – Se a parte a ser “jogada fora” for exatamente 0,500... o arredondamento deve ser tal que o algarismo 
a ser arredondado seja par. 
 
Justificativa da regra 3 
Considere uma série de medidas em que a parte a ser “jogada fora” seja 0,500... Ao se arredondar sempre 
do mesmo modo, influencia-se, por exemplo, a soma dessa série sempre num único sentido (para mais ou para 
menos). Utilizando-se esta regra o efeito pode ser minimizado (Silva e Silva, 1998). Para exemplificar, considere as 
quatro medidas: 
0,35 0,45 0,35 0,45 
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8 
Jogando fora os centésimos e deixando os décimos como são, ou seja, não arredondando nem para 
mais nem para menos, fica-se com: 
0,3 0,4 0,3 0,4 
e a média seria 0,35 que, usando o mesmo critério, seria arredondada para 0,3. 
 Se o arredondamento fosse sempre para mais, ficaria-se com: 
0,4 0,5 0,4 0,5 
cuja média seria 0,45, que arredondada daria 0,5. 
 Usando a regra, o arredondamento ficará: 
0,4 0,4 0,4 0,4 
e a média seria 0,4 que é um valor mais justo para a média dos valores iniciais. 
Em resumo, “joga-se fora” a parte 0,500... e 
a) o algarismo a ser arredondado permanece o mesmo se ele for par; 
b) soma-se 1 ao algarismo a ser arredondado se ele for ímpar. 
 
Exemplos (os algarismos destacados devem ser “jogados fora”): 
7,81 – arredondado para os décimos fica 7,8. 
7,86 – arredondado para os décimos fica 7,9. 
9,3499 – arredondado para os décimos fica 9,3. 
9,3501 – arredondado para os décimos fica 9,4. 
11,850 – arredondado para os décimos fica 11,8. 
11,750 – arredondado para os décimos fica 11,8. 
1,3500 – arredondado para os décimos fica 1,4. 
47,950 – arredondado para os décimos fica 48,0. 
 
Todas essas regras servem, também para a subtração. 
 
 
Multiplicação e Divisão: 
O resultado de uma multiplicação deve ter o mesmo número de algarismos significativos, ou um 
a mais, que o fator com menor número desses algarismos. Veja o exemplo: 
 
,
14,28
7140
5,45
5712
7140
778260
4 algarismos significativos
3 algarismos significativos
3 algarismos significativos
 
 
O resultado, escrito com apenas 3 algarismos significativos (número de algarismos significativos do fator 
5,45), fica sendo 77,8. 
A razão para isso é a seguinte: os algarismos 8 e 5 marcados são duvidosos. A multiplicação de um 
algarismo duvidoso por um algarismo correto ocasiona um algarismo duvidoso. Assim, os algarismos marcados são 
duvidosos. Como o resultado deve ter somente algarismos corretos e apenas um duvidoso, o resultado da 
multiplicação é 77,8. 
 
 
Veja agora este exemplo: 
_________________________________________________ Laboratório de Física I – Campus de Catalão – UFG – 2009 
 
 
9 
,
 32,8
2296
9,97
2952
2952
327016
3 algarismos significativos
3 algarismos significativos
4 algarismos significativos
 
 
Nesse caso, o resultado 327,0 possui 4 algarismos significativos, um a mais que o fator de menor número 
de algarismos significativos (3). Para contemplar essas duas situações, adotaremos a seguinte regra: 
Multiplique os dois fatores colocados em potência de 10. Se o resultado for da ordem de unidades, utilize 
o menor número de algarismos significativos, se for da ordem de dezenas, considere um algarismo significativo a 
mais (Silva e Silva, 1998). Exemplos: 
1) P1 = 3,495 x 2,1 = 7,3395 (ordem de unidades). P1 = 7,3 (2 algarismos significativos) 
2) P2 = 6,495 x 2,1 = 13,6395 (ordem de dezenas). P2 = 13,6 (3 algarismos significativos) 
3) P3 = 78 x 57 = (7,8x101) x (5,7x101) = 44,46x102 (ordem de dezenas). P3 = 4,45x103 (3 alg. 
significativos) 
4) P4 = 1569,68 x 3,47 = (1,56968x103) x (3,47) = 5,4467896x103 (ordem de unidades). P4 = 5,45x103 (3 
a.s.) 
 
Na aplicação desta regra, deve-se seguir a regra de arredondamentos adotada na adição. 
Procedimentos análogos devem ser seguidos ao ser efetuada uma divisão. 
 
Comentários: 
1. As constantes que aparecem em expressões devem ser consideradas com infinitos algarismos significativos. 
Ao se operar com elas, basta aplicar as regras considerando este fato. 
2. Em multiplicações envolvendo constantes irracionais, como o pi, opere-o com 2 algarismos significativos a 
mais que o fator com o maior número desses algarismos. 
3. Em operações sucessivas, o arredondamento deve ocorrer somente na resposta final. 
 
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
1. Considerando a figura ao lado: 
 
 
 
 
 
a) Como se deve expressar o comprimento da Barra ? 
b) Qual é o algarismo correto e o avaliado desta medida? 
c) Expresse sua medida também em função da incerteza. 
 
2. O que são algarismos significativos de uma medida? 
3. Uma pessoa sabe que o resultado de uma medida deve ser expresso apenas com algarismos significativos. Se 
esta pessoa lhe disser que a velocidade de um carro era de 123 KM/h, 
 a) Qual é o algarismo que ela leu no velocímetro? 
 b) Qual o algarismo duvidoso que ela avaliou? 
4. A temperatura de um pessoa foi medida usando-se dois termômetros diferentes, encontrando-se 36,8 ºC e 36,80 
ºC. 
 a) Qual é o algarismo duvidoso da primeira medida? 
 b) Na segunda medida o algarismo 8 é duvidoso ou correto? Justifique. 
 
RESPOSTAS 
 
1 – a) 3,6 cm; b) o 3 é o correto e o 6 o avaliado; c) (3.6 ± 0,1) cm ou (3,6 ± 0,2) cm. 
2 – sãoos algarismos corretos mais os primeiro algarismo duvidoso, onde os algarismos corretos são os que se tem 
certeza e o algarismo duvidoso é o avaliado. 
3 – a) 1 e o 2; b) 3 
4 – a) 8; b) correto, pois existe mais uma algarismo após ele. Este último algarismo, o zero, é que é o duvidoso. 
�
0 1 2 3 4 5 cm 
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10 
�
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 1. Levando-se em consideração as "regras de arredondamento", escreva as medidas seguintes com apenas 
três algarismos significativos: 
 a) 422,32 cm b) 3,428 g c)16,15 s 
 
2. Uma pessoa deseja realizar a seguinte adição, de tal modo que o resultado contenha apenas algarismos signi-
ficativos: 27,48 cm + 2,5 cm 
a) Qual das parcelas permanecerá inalterada? 
b) Como deverá ser escrita a outra parcela? 
c) Qual é o resultado da adição? 
 
3. Considere a multiplicação: 342,2 x 1,11. Responda: 
a) Qual dos fatores possui o menor número de algarismos significativos? b) Com quantos algarismos 
devemos apresentar o resultado da multiplicação? c) Escreva o resultado apenas com algarismos 
significativos. 
d) Seria aceitável apresentar 379,8 como resultado? e 379,84? Justifique. 
 
4. Quantos algarismos significativos há em cada uma das seguintes medidas? 
 a) 702 cm; b) 36,00 kg; c) 0,00815 m; d) 0,05080 I. 
 
5. Ao medir o comprimento de uma estrada, uma pessoa encontrou 56 km. 
a) Qual o algarismo duvidoso desta medida? 
b) É aceitável escrever esta medida como 56.000 m? Por quê? 
c) Qual a maneira de expressar esta medida em metros, sem deixar dúvidas quanto aos algarismos 
significativos? 
 
6. O volume de um cone é dado pela expressão 
3
h.AV = onde A é a área de sua base e h é a altura. Para um dado 
cone temos A = 0,302 m2 e h = 1,020 m. Com quantos algarismos deve ser expresso o volume deste cone? Qual é 
este volume? 
 
RESPOSTAS 
 
1- a) 422 cm; b) 3,43 g; c) 16,1 s ou 16,2 s. 
2 - a) 2,5 cm; b) 27,5 cm; c) 30,0 cm. 
3 - a) 1,11; b) três; c) 380; d) 379,8 sim, pois é comum acrescentar um algarismo a mais nas multiplicações; já 
379,84 não, pois foram acrescentados dois algarismos. 
4 - a) 3; b) 4; c) 3; d) 4. 
5 - a) 6; b) Não, pois estaríamos acrescentando algarismos ao valor medido. Com isto, o algarismo 6 que é 
duvidoso passa a ser correto, pois somente o último zero é que seria duvidoso; c) 56 x 103 m ou 5,6 x 104 m. 
6 - Rigorosamente, com 3 algarismos. O volume é V=O,103 m3. Escrevendo com 4 algarismos significativos 
ficaria: V=O,1027 m3. 
 
�
Referências: 
VUOLO, J.H. Fundamentos da Teoria de Erros. São Paulo: Ed. Edgard Blücher Ltda, 1992. 
SILVA, W. P., SILVA, C.M.D.P.S. Tratamento de dados experimentais. João Pessoa: UFPB/Ed. Universitária, 
1998. 
TABACNIKS, M.H. Conceitos básicos da teoria de erros. São Paulo, 2003. Disponível em: < 
http://euclides.if.usp. br/~ewout/ensino/fge2255/textos/ConcBasTeorErr.pdf>. Acesso: 8 fev. 2007. 
MÁXIMO, A., ALVARENGA, B. Curso de Física. V.1. São Paulo: Editora Scipione, 2006. 
 
 
 
 
 
 
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11 
3. MEDIDAS E ERROS 
 
3.1 - Introdução 
Na medida de qualquer grandeza física existe sempre uma incerteza proveniente do aparelho usado na sua 
determinação. Sendo assim, o resultado de uma medida deve ser sempre seguido de sua incerteza. No caso de uma 
única medida, padroniza-se a incerteza como sendo igual à metade da menor divisão da escala. No caso de várias 
medidas de uma mesma grandeza, existe uma teoria adequada para se expressar de forma correta o seu valor mais 
provável. Essa forma de apresentação deve ser realizada em uma linguagem padronizada para evitar confusões com 
sua interpretação. A seguir, será apresentada parte dessas padronizações a serem usadas nos experimentos dos 
laboratórios de ensino. 
 
3.2 – Definições 
As definições apresentadas a seguir, definidas no Vocabulário Internacional de Termos Fundamentais e 
Gerais de Metrologia, publicado pelo INMETRO (2000), constituem uma linguagem padronizada para melhor se 
trabalhar com medidas e erros em atividades de Laboratório. 
Grandeza: atributo de um fenômeno, corpo ou substância que pode ser qualitativamente distinguido e 
quantitativamente determinado. O termo “grandeza” pode referir-se a uma grandeza em sentido geral 
(comprimento, tempo, massa, temperatura, resistência elétrica etc.) ou a uma grandeza específica 
(comprimento de uma barra, resistência elétrica de um fio etc.). Grandezas que podem ser classificadas, uma 
em relação a outra, em ordem crescente ou decrescente, são denominadas grandezas de mesma natureza e 
podem ser agrupadas em conjuntos de categorias de grandezas, por exemplo trabalho, calor, energia. 
Dimensão de uma grandeza: expressão que representa uma grandeza de um sistema de grandezas, como 
produto das potências dos fatores que representam as grandezas de base deste sistema. Em um sistema que 
tem como grandezas de base comprimento, massa e tempo, cujas dimensões são representadas por L, M e T 
respectivamente, LMT2 é a dimensão de força. 
Valor: expressão quantitativa de uma grandeza especifica, geralmente sob a forma de uma unidade de medida 
multiplicada por um número. Exemplo: massa de um corpo = 0,325kg. 
Valor verdadeiro: é um valor que seria obtido por uma medição perfeita. São, por natureza, indeterminados. 
Usa-se preferencialmente o artigo indefinido “um” ao artigo definido “o” em conjunto com “valor 
verdadeiro”, porque pode haver muitos valores consistentes com a definição de uma dada grandeza específica. 
Valor verdadeiro convencional: valor atribuído a uma grandeza especifica e aceito, às vezes por convenção, 
como tendo uma incerteza apropriada para uma dada finalidade. É às vezes denominado valor designado, 
melhor estimativa do valor, valor convencional ou valor de referência. Em um determinado local, o valor 
atribuído a uma grandeza, por meio de um padrão de referência, pode ser tomado como um valor verdadeiro 
convencional. Exemplo: o CODATA (1986) recomendou o valor para a constante de Avogadro como sendo A 
= 6,0221367 x 1023 mol-1. Freqüentemente, um grande número de resultados de medições de uma grandeza é 
utilizado para estabelecer um valor verdadeiro convencional. 
Valor numérico: número que multiplica a unidade na expressão do valor de uma grandeza. 
Medição: conjunto de operações que tem por objetivo determinar um valor de uma grandeza. 
Incerteza de medição: parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos 
valores que podem ser fundamentalmente atribuídos a um mensurando. Pode ser, por exemplo, um desvio 
padrão (que será estudado mais a frente), ou a metade de um intervalo correspondente a um nível de confiança 
estabelecido. 
Erro de medição: resultado de uma medição menos o valor verdadeiro do mensurando. Uma vez que o valor 
verdadeiro não pode ser determinado, utiliza-se, na prática, um valor verdadeiro convencional. Quando for 
necessário distinguir “erro” de “erro relativo”, o primeiro é, algumas vezes, denominado erro absoluto da 
medição. Este termo não deve ser confundido com valor absoluto do erro, que é o módulo do erro. 
 
3.3 - Classificação dos erros 
O resultado da medida de uma grandeza física nunca é inteiramente exato, pois ao se efetuar tal medida 
sempre existe a possibilidade de se cometer erros, quer devido à falta de atenção e cuidado do pesquisador, quer à 
imperfeição dos instrumentos de medidas, quer ainda por incluir na medida certos fatores que não são ou não 
podem ser considerados. Esses erros são classificados conforme o seu tipo: 
 
 
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12 
Erros Grosseiros: 
Estes erros são devidos à falta de atenção ou de prática do operador. São ocasionados por: 
• enganos na leitura de medidores; 
• contagem errada do número de oscilações de um pêndulo; 
• operações matemáticas incorretas; 
• erros de transcrição, como escrever 7428 quando o número é 7482. 
Esse tipo de erro ocorre devido a técnicas deficientes e deve ser eliminado realizando cuidadosamente 
as medidas. 
 
Erros Sistemáticos: 
São os que ocorrem, em geral, devido a defeitos dos instrumentos ou a hábitos do operador. São ocasionados 
por: 
• erros na calibração de instrumentos; 
• fatores ambientais tais como temperatura, pressão, umidade etc. 
• erros de observação como, por exemplo, o erro devido à paralaxe (leituras que dependem da posição 
do observador em relação a um ponteiro); 
• influência de certos fatores que são desprezados. Por exemplo: um instrumento usado a uma 
temperatura diferente daquela em que foi feita a sua calibração causaria um erro sistemático nas 
medidas se não fosse feita a correção apropriada; 
• erro no tempo de resposta do operador de um instrumento, que sempre se atrasa ou se adianta nas 
medidas. 
Esses erros sempre introduzem desvios em um mesmo sentido, ou seja, ocasionam um aumento ou uma 
diminuição sistemática nas medidas. 
 Erros Estatísticos ou Aleatórios ou Acidentais: 
São os que ocorrem inevitavelmente em uma série de medidas e ocasionam desvios para mais ou para 
menos, mesmo em medidas realizadas sob mesmas condições. São ocasionados por: 
• erros devidos a condições que flutuem, como por exemplo, variações na tensão da rede de energia 
elétrica; 
• erros devidos à natureza da grandeza a ser medida, como por exemplo, variações verificadas no 
comprimento de um objeto devidas à falta de polimento ou paralelismo das faces; 
• variação da capacidade de avaliação ou da perícia na medida de uma mesma grandeza por 
observadores diferentes; 
• fatores não intencionais não considerados como falta grave de operação. 
 
Os erros estatísticos podem ser minimizados pela perícia do operador, pela utilização de técnicas mais 
aperfeiçoadas e por melhores instrumentos, mas jamais eliminados por completo. As definições, apresentada a 
seguir, são importantes no tratamento de dados para minimizar o efeito dos erros estatísticos. 
 
3.4 – Definições estatísticas 
 Como os erros estatísticos não podem ser eliminados por completo, é necessário desenvolver métodos e 
técnicas para minimizá-los. Uma dessas técnicas é a repetição das medidas. Ao se repetir várias vezes uma 
medida, os valores resultantes geralmente não estão em "exata" concordância. Porém, se o número de medidas 
for muito grande, a média aritmética dos valores obtidos tenderá para um valor constante e mais provável da 
grandeza. Este método estatístico será estudado a seguir. 
Valor Médio de uma grandeza ( x ): 
 O valor médio é representado por um único valor e é calculado dividindo-se a soma de todos os valores 
medidos de um mensurando pelo número de medidas que deu origem à soma. É a média aritmética de uma série de 
medidas: 
 xx i
b
N
1=iN
1
= (1) 
 
Quando as incertezas são devidas a erros estatísticos, o valor médio será mais exato, isto é, mais 
próximo do valor verdadeiro, quanto maior for o número de medidas. 
 
Desvio de uma medida em relação ao valor médio (δδδδxi) 
Desvio de uma medida em relação ao valor médio é a diferença entre o valor obtido nessa medida, ix e 
o valor médio, x . Logo: 
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13 
 .=
c
xxx ii − (2) 
 
Desvio Médio ( d ): 
É a média aritmética dos módulos dos desvios de cada medida em relação ao valor médio. É dado por: 
 
 ||
N
1
=
e
N
1=i
xxi −
f
 (3) 
onde: ix é o valor de cada medida; 
x é o valor médio das medidas e 
 N é o número de medidas. 
 
Observe que, quanto mais próximos os valores medidos estiverem do valor médio, menor será o desvio 
médio. 
 
Desvio padrão (σσσσ) 
A Estatística indica que uma melhor estimativa do desvio das medidas em relação ao valor médio x , é 
dada pelo cálculo do desvio padrão, cuja expressão é a seguinte: 
 
2
N
1=i
||
N
1
=
g
xxi −
h
 (4) 
onde: ix é o valor de cada uma das medidas realizadas; 
 x é o valor médio das medidas e 
N é o número total de medidas. 
 
O desenvolvimento destas expressões pode ser encontrado em vários livros textos básicos de estatística, 
como por exemplo em Vuolo (1992) e em Silva e Silva (1998). 
O valor do desvio padrão depende fundamentalmente do experimentador, da precisão do instrumento de 
medida e do objeto de medida (arranjo experimental). O desvio padrão indica que a maioria das medidas ix se 
encontra no intervalo: 
 )( )( σ+≤≤σ− xxx i (5) 
Assim, o valor mais provável de um conjunto de medidas é dado por: 
 )( σ±= xxP (6) 
É incorreto afirmar que se realizando muitas medições de uma mesma grandeza o resultado da medida 
melhora. Mesmo com infinitas medições realizadas com um mesmo instrumento, não é possível eliminar possíveis 
erros de calibração ou erros de medida devidos aos arranjos ou aos procedimentos experimentais. Na prática, 
quando se deseja uma medida com incerteza menor, procura-se simplesmente um procedimento ou um instrumento 
melhor (um micrômetro no lugar de uma régua, por exemplo) e se usa a metade da menor divisão da escala para 
expressar a incerteza da medida. A principal razão de se repetir uma medida várias vezes é para estimar o desvio 
padrão do processo de medição em que a metade da menor divisão da escala ou não é adequada, ou não é acessível 
(Tabacniks, 2003). 
Se existir uma única medida não há como determinar o desvio padrão do processo de medição. Nesse 
caso, utiliza-se a metade da menor divisão da escala, ou estima-se uma incerteza razoável. Para calcular o desvio 
padrão, deve-se repetir as medições algumas vezes, determinar a média e assim determinar o desvio padrão da 
média. 
 
"O limite de erro de calibração de um instrumento de medida pode ser admitido como sendo a 
menor divisão ou menor leitura que é explicitamente indicada pelo instrumento de medida". 
 (recomendação da "American Standards Association"). 
 
Esta é apenas uma regra geral para estimar o limite de erro, na falta de informações mais detalhada sobre 
o instrumento. 
 
É importante observar que, caso o instrumento utilizado para a realização das medidas tenha baixa 
precisão, é bem provável que as várias medidas não tenham um desvio padrão σ maior do que a incerteza 
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14 
associada à precisão do instrumento. Neste caso, a incerteza que se comete ao tomar a média como valor mais 
provável deve ser a incerteza do instrumento e não o desvio padrão, σ. 
Por exemplo, se a espessura de uma peça fosse medida várias vezes com uma régua milimetrada (o que 
não é um instrumento adequado para este tipo de medição) os valores obtidos, provavelmente, seriam bem 
próximos, levando a um desvio padrão muito baixo. Este resultado indica apenas que a incerteza da média deve 
estar associada à baixa precisão da régua e não ao desvio padrão. 
Se as medidas fossem obtidas com um micrômetro, algumas delas difeririam entre si de quantidades 
maiores que a precisão instrumental. Neste caso, o desvio padrão é maior que a incerteza do instrumento e deve 
ser utilizado como erro da média. Resumindo: 
 
1) se o desvio padrão for maior que a incerteza instrumental, o valor mais provável da medida, Px , será 
)( σ±= xxP 
2) se o desvio padrão for menor que a incerteza instrumental, o valor mais provável da medida, Px , será)alinstrument incerteza ( ±= xxP 
Número de algarismos da incerteza 
 
Não existe regra muito bem definida para o número de algarismos da incerteza. Adotaremos a tendência 
atual que é no sentido de indicar o desvio padrão com 2 algarismos, além de zeros à esquerda. Alguns 
pesquisadores utilizam 1 ou 2 algarismos, dependendo do caso, e outros admitem um único algarismo em 
qualquer situação. Nos trabalhos do Laboratório de Física serão adotadas as seguintes regras: 
• deve-se utilizar 2 algarismos quando o primeiro algarismo na incerteza for 1 ou 2; 
• pode-se utilizar 1 ou 2 algarismos quando o primeiro algarismo na incerteza for 3 ou maior; 
 
No caso de uma única medida, quando a incerteza é a metade da menor divisão da escala, deve-se 
utilizar 1 único algarismo. 
 
3.5 - Propagação de erros em cálculos 
 
Se uma grandeza física w é calculada em função de grandezas x, y , z, ... que têm erros, então w também 
tem erro, evidentemente. As expressões que permitem calcular a incerteza em w são apresentadas nesta seção. 
Por exemplo, a área de um retângulo. Se cada grandeza medida (lado do retângulo) vier acompanhada de uma 
incerteza, a grandeza calculada (área) também deverá ser representada com sua respectiva incerteza. 
 
Fórmula de propagação de incertezas 
 
 Uma grandeza w que é calculada como função de grandezas independentes x, y, z, ... , pode ser 
representada por 
w = w(x, y, z, ...). 
 
 As grandezas x, y, z,... são admitidas como grandezas experimentais, sendo σx, σy, σz, ... as incertezas 
padrões correspondentes: 
xx σ→
 
yy σ→
 
zz σ→
 
 
Se os erros nas variáveis x, y, z, ... são completamente independentes entre si, a incerteza padrão σw é dada 
em primeira aproximação por 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
Zyxw
z
W
y
W
x
W
σσσσ ijk
lmn
∂
∂
+
i
i
j
k
l
l
m
n
∂
∂
+ijk
lmn
∂
∂
=
 (1) 
 
onde as incertezas σx, σy, σz, ... devem ser completamente independentes entre si. Por exemplo, se x e y são 
medidos com um mesmo instrumento, os erros e portanto, as incertezas, não são mais completamente 
independentes entre si. 
 
Se os erros nas variáveis não são completamente independentes entre si, a expressão acima é incompleta. 
Neste caso, a expressão geral para a incerteza tem termos adicionais que envolvem as chamadas covariâncias. A 
definição de covariância, bem como a expressão geral é apresentada nas Referências 6, 10 e 11, por exemplo. 
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15 
 
No caso de uma única variável x, a Equação 1 se reduz a 
 
2
2
2
xw dx
dW
σσ opq
rst
= ou xw dx
dW
σσ = (2) 
 
 Deve ser observado que σx, e σw, são quantidades positivas, por definição. Assim, deve sempre ser 
considerada a raiz positiva de 2
wσ isto é, 
2
ww σσ +=
. 
 
Vamos aplicar o método de propagação de incertezas, isto é, a equação 1 com exemplos simples: 
 
Exemplo 1. O volume de um cilindro pode ser determinado medindo-se diretamente o comprimento L e 
raio R. O volume V é calculado por 
2LRV pi=
 
 
Uma vez que R e L têm erros experimentais, é evidente que o volume V também tem erro, pois é calculado 
a partir de R e L. 
A relação entre as incertezas é dada pela Equação 1 : 
 
2
2
2
2
2
RLV R
V
L
V
σσσ opq
rst
∂
∂
+opq
rst
∂
∂
= , 
 
onde σL e σR são as incertezas em L e R, respectivamente. Neste exemplo, é admitido que estas incertezas são 
independentes entre si. Entretanto, deve ser observado que, se L e R são medidos com o mesmo instrumento, 
estas incertezas podem não ser independentes e a expressão acima não é correta. 
Calculando as derivadas parciais, obtém-se 
 
 
2R
L
V
pi=
∂
∂
 e )2( RL
R
V
pi=
∂
∂
 
 
Neste caso, a incerteza σV é: 
 
222222 )2()( RLV LRR σpiσpiσ +=
 
 
A expressão acima é um pouco inconveniente para se calcular σV. Neste caso particular, é possível obter 
uma expressão mais simples dividindo os dois lados da equação por V2 = (piLR2)2, resultando em: 
 
222
2 uvw
xyz
+uvw
xyz
=uvw
x
y
z
RLV
RLV σσσ
. 
 
 
Exemplo 2. Soma ou subtração de variáveis: ...+++= zyxw 
 
,1=
∂
∂
x
w
 ,1=
∂
∂
y
w
 ,1=
∂
∂
z
w
 ... . 
 
Substituindo em (1) , obtém-se 
...
2222 +++= zyxw σσσσ . 
 
Deve ser observado que as variâncias sempre são somadas, mesmo no caso de subtração das variáveis. 
Por exemplo, se: zyxw −−= , 2222 zyxw σσσσ ++= . 
 
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16 
Exemplo 3. Relação linear: baxw += 
 
Admitindo que a e b são constantes isentas de erro ou com erros desprezíveis, somente a variável x é 
considerada para cálculo da incerteza. 
a
dx
dw
=
 
Substituindo em (2), obtém-se 
 
222
xw a σσ = ou xw aσσ = . 
Deve ser observado que σw e σx são quantidades positivas por definição. No caso em que b = O, 
axw =
 e a expressão para σw pode ser simplificada dividindo-a por w = ax. Assim, para axw = resulta. 
 
22
u
v
w
x
y
z
=uvw
x
y
z
xw
xw σσ
 ou 
xw
xw σσ
= . 
 
Entretanto, deve ser observado que no caso, baxw += ( 0≠b ), esta simplificação não é possível. 
 
 
Exemplo 4. Produto ou razão de variáveis: w = axy ou w = ax/y. 
 
No caso de produto de variáveis, 
,ay
x
w
=
∂
∂
 e .ax
y
w
=
∂
∂
 
 
Substituindo na expressão (1) e simplificando, obtém-se 
 
222 {
{
|
}
~
~€
+
{
|
}
~

€
=
{
|
}
~

€
yxw
yxw σσσ
. 
 
Este mesmo resultado vale para o caso w = ax/y. 
 
 
Exemplo 5. Produto de funções: qp yaxw = 
 
Substituindo as derivadas parciais na expressão (1), obtém-se 
 
2212212 )()( yqpxqpw qyaxyapx σσσ −− += . 
 
Dividindo os termos por 22 )( qp yaxw = , obtém-se 
 
222 {
{
|
}
~
~€
+
{
|
}
~

€
=
{
|
}
~

€
y
q
x
p
w
yxw σσσ
 
 
Este resultado pode ser generalizado para qualquer número de variáveis. 
 
Exemplo 6. Função trigonométrica: senxaw = 
 
 
xa
dx
dw
cos= (para x em radianos) 
 
Assim, 
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17 
 xaw cos=σ 
 
Esta fórmula é válida somente para σx em radianos, pois a expressão para a derivada só vale neste caso. 
 
Exemplo 7. Função logarítmica: xw alog= 
 
)1(
ln
1
xadx
dw
= (
a
x
w
ln
ln
= e 
xdx
xd 1ln
= ) 
 
Assim 
222 )()
ln
1(
xa
x
w
σ
σ = ou 
xa
x
w
σ
σ
ln
1
= 
 
Para o caso xw ln= , basta considerar 1ln =a nas expressões. 
 
 É interessante observar que a incerteza (absoluta) em w está diretamente relacionada com a incerteza 
relativa em x. 
 
 ** Um exemplo mais complicado seria o cálculo da incerteza na seguinte operação, onde y, x, z e t são 
grandezas mensuráveis. 
2
53
t
zxy = 
O valor da incerteza em y é dada por: 
2222 )2()5()3()(tzxy
y tzx σσσσ ++= . 
Observe que as incertezas sempre se somam, independentemente da variável estar no numerador ou no 
denominador. 
Suponhamos que os valores das variáveis sejam os seguintes: 
x = (3,267 ± 0,012) unidades de x 
z = (2,110 ± 0,003) unidades de z 
t = (8,6735 ± 0,0027) unidades de t 
O valor de y será: 
2
53
(8,6735)
(2,110)(3,267)
=y = 19,38523 unidades de y 
 
O cálculo da incerteza em y será: 
 
( ) ( ) ( ) ( )2222
8,6735
0,0027 . 2
2,110
0,003 5.
3,267
0,012 3.
19,38523
++=
yσ
 
 
0,50443,876.105,054.101,214.10.38523,19 -7-5-4 =++=yσ 
 
σy = 0,5044 
 
Como a incerteza, neste caso, pode ser dada com um ou dois algarismo diferentes de zero, ela vale 0,5 
ou 0,50. Com isso o valor de y, fica: 
 
y = (19,38 ± 0,50) unidades de y 
ou 
y = (19,4 ± 0,5) unidades de y 
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18 
 
Observe que o procedimento é bem mais simples do que se tivéssemos que aplicar a regra de 
propagação de erros para o produto e divisão. 
 
 
EXEMPLO COMPLETO 
Mediu-se as dimensões (x, y, e z) de uma chapa e obteve-se os seguintes valores (em milímetros): 
 
x: 4,27 4,29 4,26 4,27 4,25 
y: 3,52 3,51 3,48 3,53 3,49 
z: 0,77 0,75 0,72 0,74 0,73 
 
Ao se calcular as médias, obedecendo-se as regras de arredondamento, obteve-se: 
x = 4,268 mm y = 3,506 mm z = 0,742 mm 
 
Os desvios de cada uma das medidas são, respectivamente (em mm): 
 δx: +0,002 +0,022 –0,008 +0,002 –0,018 
 δy: +0,014 +0,004 –0,026 +0,024 –0,016 
 δz: +0,028 +0,008 –0,022 –0,002 –0,012 
 
Ao se calcular os desvios médios, obedecendo-se as regras de arredondamento, obteve-se: 
x

 = 0,010 mm y‚ = 0,017 mm z‚ = 0,014 mm 
 
Ao se calcular os desvios padrões, obedecendo-se as regras de arredondamento, obteve-se: 
σx = 0,015 mm σy = 0,021 mm σz = 0,019 mm 
 
Os valores mais prováveis de cada dimensão da chapa, serão expressos por: 
 
a) usando o desvio médio: 
xP = (4,268 ± 0,010) mm yP = (3,506 ± 0,017) mm zP = (0,742 ± 0,014) mm 
 
b) usando o desvio padrão: 
xP = (4,268 ± 0,015) mm yP = (3,506 ± 0,021) mm zP = (0,742 ± 0,019) mm 
 
 
Ao se calcular o volume, utilizando-se o desvio padrão e obedecendo-se as regras de propagação de 
erros, obtém-se: 
 V = x.y.z = (4,268 ± 0,015).(3,506 ± 0,021).(0,742 ± 0,019) 
 
 
 V = (4,268 ± 0,015).(2,601 ± 0,082) 
 
 
 V = (11,10 ± 0,39) mm3 
 
 
 Utilizando a regra de incerteza relativa, ficaríamos com: 
 
V = x.y.z = (4,268).(3,506).(0,742) = 11,103 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )2222
0,742
0,019
3,506
0,021 
4,268
0,015 
11,103
++=V
σ
 
 
 
σV = 0,09 mm3 
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19 
 
 O volume será dado por: V = (11,10 ± 0,09) mm3 
 
 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
 
3. Efetue as operações: 
a) (2,345 ± 0,005) + (1,824 ± 0,003) c) (4,03 ± 0,01) . (2,7 ± 0,3) 
 
b) (2,345 ± 0,005) - (1,824 ± 0,003) d) (25,239 ± 0,004) : (5,12 ±0,06) 
 
 
4. Um copo e seu conteúdo pesam (548,4 ± 0,6) newtons. O copo vazio pesa (128,0 ± 0,4) newtons. Qual é o 
 peso do conteúdo? 
5. Calcular a velocidade com que um corpo atinge o solo, sabendo-se que o mesmo partiu do repouso. Após uma 
série de medidas do tempo de queda, obteve-se t= (6,2 ± 0,2)s. A aceleração da gravidade no local da experiência 
é dada por g = (9,78 ± 0,04) m/s2. Despreze a resistência do ar. 
 
6. Na medição do comprimento de um objeto retangular, foram efetuadas 10 medidas de cada dimensão, que 
estão tabeladas abaixo: 
 
LARGURA: 4,11 cm 4,13 cm 4,12 cm 4,11 cm 4,11 cm 
4,14 cm 4,12 cm 4,11 cm 4,10 cm 4,12 cm 
 
COMPRIMENTO: 6,78 cm 6,79 cm 6,76 cm 6,77 cm 6,77 cm 
6,80 cm 6,78 cm 6,77 cm 6,76 cm 6,75 cm 
 
Calcule, para cada dimensão: 
a) o valor médio; 
b) o desvio médio; 
c) o desvio padrão. 
d) Escreva o resultado final com o desvio padrão. 
e) Calcule a área desta placa usando os resultados finais com seus respectivos desvios padrões. 
 
Referências: 
VUOLO, J.H. Fundamentos da Teoria de Erros. São Paulo: Ed. Edgard Blücher Ltda, 1992. 
SILVA, W. P., SILVA, C.M.D.P.S. Tratamento de dados experimentais. João Pessoa: UFPB/Ed. Universitária, 
1998. 
TABACNIKS, M.H. Conceitos básicos da teoria de erros. São Paulo, 2003. Disponível em: < 
http://euclides.if.usp. br/~ewout/ensino/fge2255/textos/ConcBasTeorErr.pdf>. Acesso: 8 fev. 2007. 
INMETRO. Vocabulário internacional de termos fundamentais e gerais de metrologia. 2. ed. Brasília, 
SENAI/DN, 2000. 75p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20 
4. INSTRUMENTOS DE MEDIDAS 
 
Neste tópico serão abordadas as características e modo de operação dos instrumentos de medidas mais 
utilizados no Laboratório de Física. A maioria dos instrumentos utilizados é de fácil operação, mas, apesar disto, 
qualquer dúvida que surja, o estudante deve pedir explicação, ler os manuais de instrução e/ou consultar bibliografia 
específica. 
A precisão instrumental deve ser dada pelas especificações do fabricante e, caso não se tenha esta 
informação, deve-se utilizar a metade da menor divisão da escala ou outro valor mais apropriado. Os 
instrumentos digitais mostram todos os algarismos correspondentes à medida. Em geral, ocorre uma 
flutuação no último algarismo e neste caso, estima-se o último algarismo e a incerteza da leitura em 
função dessa flutuação. No uso de instrumentos digitais, deve-se sempre que possível consultar o 
manual do instrumento para se conhecer o seu erro de calibração, que, geralmente, é maior que a menor 
leitura do instrumento, podendo também ser superior à incerteza na leitura decorrente da flutuação no 
último dígito. 
 
4.1 - Instrumentos de medidas de comprimento 
 
Régua milimetrada 
A régua milimetrada é geralmente construída de plástico ou aço inoxidável e é utilizada quando não é 
necessária uma medida de comprimento com alta precisão. A menor divisão da régua comum é de 1 mm, sendo 
que algumas mais precisas possuem divisão de 0,5 mm. A incerteza instrumental de uma régua, metade da menor 
divisão da 
escala, é de 0,5 mm, não podendo, portanto, ser usada em medidas de pequenas dimensões ou onde uma boa 
precisão seja necessária. Nestes casos os paquímetros ou os micrômetros devem ser utilizados. 
Trena 
A trena é uma fita graduada, maleável, metálica ou de plástico, enrolada dentro de uma caixa suporte. 
Ao se puxar a extremidade da fita, esta é desenrolada permitindo que se faça a medida. Ao ser liberada ela 
retorna para dentro do suporte através de um mecanismo interno de recolhimento. Não se deve puxar a fita além 
do valor máximo de medida de cada trena, sob pena de danificar o mecanismo interno de recolhimento. Possui, 
geralmente, a mesma escala de medida de uma régua milimetrada e, portanto, a mesma incerteza instrumental. 
Paquímetro 
O paquímetro (Figura 4.1) é usado, principalmente, para medir diâmetros externos, diâmetros internos, 
espessuras e profundidades com precisão de décimo ou centésimos de milímetro ou frações de polegadas. É 
geralmente construído de aço inoxidável e possui superfícies planas e polidas e sua calibração é feita a 20°C. 
Para se fazer uma medida externa com o paquímetro coloca-se o objeto a ser medido entre as garras 
para medidas externas. Faz-se uma pressão suave com o dedo polegar contra o impulsor para que a garra móvel 
entre em contato com a peça,sem forçá-la. Para uma medida interna, diâmetros de tubos, por exemplo, colocam-
se as garras para medidas internas no interior do orifício a ser medido e abre-se o paquímetro de modo que as 
garras toquem, de maneira suave, a superfície interna do mesmo. Para medidas de profundidade coloca-se a haste 
de profundidade no interior da cavidade a ser medida, encostando-a na superfície interna do objeto, até que sua 
extremidade toque o fundo. 
 
Figura 4.1 – O Paquímetro. 
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21 
 
O paquímetro possui em seu corpo duas escalas principais fixas. Na parte superior apresenta uma escala 
graduada em polegadas e na parte inferior uma escala graduada em milímetros. 
Acoplado ao corpo do paquímetro têm-se o nônio ou vernier, cuja escala se move sobre a escala 
principal. A finalidade do nônio ou vernier é aumentar a precisão da medida, pois torna a medida mais precisa do 
que os nossos olhos poderiam determinar na escala principal. O princípio do nônio é utilizado em muitos 
instrumentos de qualidade (goniômetros, barômetros, microscópios, etc.) para aumentar a precisão da medida. 
Utilizaremos um nônio de 10 divisões para explicar a lógica de seu funcionamento. 
Quando o zero do nônio coincidir exatamente com uma divisão da escala principal, a leitura é feita 
diretamente na escala fixa, como ilustra a Figura 4.2. 
 
0 1
0 5 10
 
Figura 4.2 – Zero do nônio coincidindo exatamente com uma divisão da escala principal. Valor da leitura 2,0 mm. 
 
Quando o zero do nônio não coincidir exatamente com uma divisão da escala principal, a leitura deve 
ser adicionada de uma fração que é dada pela divisão do nônio que coincidir com a divisão da escala principal. 
Por isso, a leitura da medida representada na Figura 4.3 deve ser 17,3 mm, pois é a terceira marca do nônio que 
coincide com uma das marcas da escala principal. 
1 2
0 5 10
3
 
Figura 4.3 – Leitura, em um paquímetro, de 10 divisões; a leitura é 17,3 mm. 
 
O princípio de funcionamento do nônio ou vernier de dez divisões se baseia no fato de que nele estão 
gravadas a marca 0 (zero) e mais 10 outras marcas distanciadas de 0,9 mm umas das outras. Portanto, uma 
divisão do nônio é 1/10 menor que a divisão da escala principal. Na leitura anterior, a primeira marca do nônio 
que coincide com as marcas da escala principal é a de número três. Como o distanciamento das marcas do nônio 
é de 0,9 mm, segue que a marca de número dois está a 1 - 0,9 = 0,1 mm da marca da escala principal mais 
próxima. Portanto, a marca de número 1 está deslocada de 0,2 mm e finalmente a marca zero está a 0,3 mm à 
direita da marca de 17 mm. Portanto, a medida da espessura é 17,3 mm. 
Há também nônios que contêm 20 divisões, onde cada subdivisão corresponde a 1/20 mm (0,05 mm). 
Neste caso a coincidência da terceira marca do nônio (marca entre o 1 e o 2) com a escala principal (Figura 4.4) 
representa uma fração de 3/20 ou 0,15 mm, o que fornecerá uma leitura de 25,15 mm. Uma coincidência com a 
marca 2 do nônio daria uma fração 0,20 mm. A coincidência com a marca 7 seria uma fração 0,70 mm e uma 
coincidência com a marca que está entre o 8 e o 9 seria uma fração de 0,85 mm. 
 
10 3020 40 50
 
Figura 4.4 – Medição com um paquímetro de 20 subdivisões, cuja leitura é 25,15 mm. 
 
A fração da escala principal que cada traço do nônio representa, chama-se “Natureza do Paquímetro”, 
ou seja, para um paquímetro com nônio de "n" divisões ela é dada pela grandeza 1/n. Portanto, a “Natureza do 
Paquímetro” que possui um nônio de 10 divisões é 0,1 mm e a de um com 20 divisões é 0,05 mm. 
Na apresentação da leitura de uma medida realizada com um paquímetro, deve-se colocar como incerteza 
da medida o valor da natureza do mesmo. Por exemplo, a medida apresentada na Figura 4.3 deve ser escrita como se 
segue: 
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22 
(17,3 ± 0,1) mm, 
e a da Figura 4.4, 
(25,15 ± 0,05) mm. 
 
Para medidas de profundidades ou diâmetros internos, o procedimento de leitura é o mesmo. Existem 
paquímetros bem mais precisos que os de nônio com 20 divisões, tais como, os de 50 divisões que apresentam 
uma incerteza de 0,02 mm e os digitais que apresentam incerteza de 0,01 mm. 
Micrômetro 
O micrômetro, Figura 4.5, é um instrumento de precisão, utilizado em medidas externas (espessuras de 
lâminas, diâmetros de fios ou tubos, etc.). É de precisão superior aos paquímetros de até 50 divisões por nônio. 
Cada divisão de leitura do micrômetro corresponde, em geral, a 0,01 mm, enquanto que no paquímetro, cada 
divisão do nônio, dependendo do tipo, representa 0,1 mm, 0,05 mm, 0,02 mm ou 0,01 com a incerteza na última 
casa lida. No caso do micrômetro ainda pode-se fazer uma estimativa do algarismo dos milésimos de milímetros, 
estando neste algarismo a incerteza da leitura. Daí vem o nome micrômetro (micro = µ = 10-6) que corresponde a 
10-6 metros ou 10-3 milímetros. O micrômetro é ainda mais delicado que o paquímetro. Deve ser manuseado com 
muito cuidado e, sobretudo, suavemente. Portanto, NUNCA FORCE UM MICRÔMETRO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5 – O Micrômetro. 
 
O micrômetro consiste de um parafuso de rosca fina de muita precisão (parafuso micrométrico) que 
avança ou retrocede ao longo do próprio eixo. O objeto a ser medido deve ser colocado entre duas "esperas", uma 
fixa e uma móvel. Gira-se o parafuso micrométrico até que as esperas encostem de leve no objeto. Para não 
estragar a espera com um aperto excessivo do parafuso, deve-se apertá-lo, exclusivamente, por meio da catraca 
afixada no fim do tambor. A catraca contém uma mola de segurança que não permite que se apliquem pressões 
excessivas às esperas. 
 
a) leitura: 4,210 mm 
b) leitura: 3,845 mm 
 
Figura 4.6 – Medidas feitas com um micrômetro 
 
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23 
Cada volta completa do parafuso corresponde em geral a um avanço de 0,5 mm ("passo" do parafuso). 
No tambor há uma escala circular que geralmente tem 50 divisões. Cada divisão corresponde então a um avanço 
de 0,5/50 = 0,01 mm. 
Para se fazer uma leitura no micrômetro, observa-se primeiro a que valor da escala horizontal 
corresponde a borda circular do tambor. Esta borda é o índice de leitura para a escala horizontal. Depois soma-se 
a este valor, o valor lido na escala circular, ou seja, o valor que coincida com a reta da escala horizontal. Veja os 
exemplos apresentados na Figura 4.6. 
 
Quando as esperas A e B estão em contato, o tambor cobre toda a escala horizontal e os zeros das 
escalas horizontal e circular devem coincidir. Caso não exista coincidência é necessário fazer a correção das 
leituras, somando-se ou subtraindo-se, conforme o caso, a diferença existente entre os dois zeros. O micrômetro 
apresenta precisão de centésimos de milímetros (0,01 mm), sendo possível estimar em sua escala circular a casa 
dos milésimos de milímetro, ou seja, o número duvidoso da medida. 
Na apresentação da leitura de uma medida realizada com um micrômetro, deve-se colocar como 
incerteza da medida uma fração da menor divisão da escala circular. Assim, por exemplo, considerando uma 
incerteza igual à metade da menor divisão da escala, as leituras feitas na Figura 4.6 seriam escritas na forma: 
(4,210 ± 0,005) mm 
(3,845 ± 0,005) mm 
 
4.2 - Instrumentos de medidas de tempo 
Cronômetro digital 
No cronômetro digital o tempo medido é mostrado em um visor de cristal líquido. Possui um botão para 
disparar e parar a contagem e outro para “zerar” o cronômetro. A medida de tempo é baseada na oscilação de um 
cristal dequartzo e tem precisão de centésimo de segundo. Um aspecto importante que deve ser levado em conta 
ao se realizar uma medida de tempo com este tipo de cronômetro é o “tempo de reflexo do operador” para 
disparar e parar o mecanismo. 
 
4.3 - Instrumentos de medidas de massa e de força 
Balança de travessão 
A balança de travessão é o instrumento de medida de massa mais utilizado em laboratório. Esta balança 
compara o peso do objeto a ser medido com um peso conhecido (calibrado). Como a aceleração da gravidade é a 
mesma em ambos os lados da balança, esta compara massas e não pesos, mesmo que o seu funcionamento esteja 
baseado na força gravitacional que age nos dois lados da balança. Portanto, as medidas com este tipo de 
instrumento são independentes do local onde ele é utilizado. 
Existem vários tipos destas balanças que são utilizadas em intervalos de massas muito diversos e com 
sensibilidades variadas. Para medidas rápidas são utilizadas balanças do tipo mostrado na Figura 4.7 que 
permitem pesagens rápidas de massas relativamente grandes, da ordem de 1600 g. 
 
 
Figura 4.7 - Balança de travessão 
 
 
 Esta balança consiste de um travessão rígido com três escalas diferentes: uma de 100 em 100 gramas, 
uma de 10 em 10 gramas e uma de 0,1 em 0,1 grama. As duas escalas superiores devem ser usadas colocando-se 
os cursores (massas móveis) exatamente em cima das marcas, ou seja, não se pode colocar estas massas em 
posições diferentes daquelas preestabelecidas. O cursor da escala de 0,1 g deve ser movimentado continuamente 
até que se obtenha o equilíbrio do travessão. 
Alguns cuidados devem ser tomados ao se fazer uma medida com esta balança. Um deles é nivelá-la cor-
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24 
retamente. Para isto algumas balanças vêm com um indicador de nível acoplado à sua base. Para nivelá-la deve-se 
levantar ou abaixar os seus pés de modo que a bolha do nível fique centralizada entre as marcas do mesmo. Caso a 
balança não seja equipada com este nível, deve-se usar um nível externo para tal. Outro cuidado que se deve tomar é 
a zeragem da balança. Quando todos os cursores (massas móveis) estiverem no zero de suas escalas, a marca 
horizontal na extremidade do travessão deve coincidir com a marca central de referência de uma pequena escala que 
fica na vertical. Caso isto não ocorra, deve-se girar a porca que se encontra embaixo do prato da balança até que as 
marcas coincidam. A incerteza na medida desta balança seria de 0,05 g, ou seja, metade da menor divisão da escala. 
Porém, como este não é um instrumento preciso, pode-se considerar incertezas de até alguns gramas. 
Balança de mola ou dinamômetro 
A balança de mola ou dinamômetro é utilizada para medir pesos de objetos (ou outras forças). Sua 
construção é muito simples consistindo de uma mola e de uma escala graduada em unidades de força ou massa. 
Deve ser utilizada na região elástica da mola onde se obtém uma escala linear (a elasticidade é um fenômeno 
linear em certos intervalos). A precisão destas balanças depende das características elásticas da mola, sendo útil 
somente em intervalos muito pequenos. Quando for utilizada para medidas de massa, sua escala de medida é 
válida somente na altitude e latitude em que foi calibrada. 
Nos laboratórios de física este instrumento é usado em medidas semiquantitativas ou para verificação 
de equilíbrio de forças. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1. Com o uso do paquímetro, realizar medidas de diâmetros internos e externos, espessuras, comprimentos, 
larguras, alturas e profundidades das várias peças de vários formatos (retangulares, cilíndricos, 
esféricos, etc.) fornecidas. 
2. Com o uso do micrômetro, realizar as possíveis medidas das peças fornecidas. 
3. Com o uso da balança, meça as massas das peças fornecidas. 
4. Encontre a densidade média de quaisquer duas destas peças. 
5. Com o uso do dinamômetro adequado, meça o peso das peças. 
6. De posse do cronômetro, medir o tempo que uma esfera gasta para cair de uma altura de 2,00 m. Meça 10 
vezes e determine o tempo médio e o desvio padrão. Repita o procedimento para uma esfera de massa 
diferente. 
 
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 25 
5. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
 
5.1 - Introdução 
A apresentação de dados numéricos em forma de gráficos é uma técnica usada em todas as áreas do 
conhecimento. Um especialista da área médica, por exemplo, ao interpretar os vários valores traçados em um 
gráfico (eletrocardiograma, eletroencefalograma, etc.) pode ser auxiliado substancialmente no diagnóstico de 
algumas doenças. Taxas de multiplicação ou de morte de vírus e bactérias em função da dose de radiação recebida 
podem ser interpretadas através de gráficos, os quais trazem informações que possibilitam "enxergar" melhor os 
dados obtidos. A análise gráfica é muito útil, pois permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege o fenômeno 
através de uma visualização imediata do comportamento de suas variáveis. Em outras palavras, a interpretação 
correta de um gráfico possibilita enxergar um pouco mais. Portanto, ao se observar um gráfico, deve-se questionar 
e procurar entender qual o seu significado, o que ele representa, qual a lei representativa da curva e, 
principalmente, saber fazer as leituras das medidas segundo as escalas contidas nos seus eixos. 
Para a correta construção de um gráfico, é necessário saber construir as escalas deste gráfico. Uma 
escala é um trecho de reta ou curva, marcado por pequenos traços transversais, alguns dos quais associados com 
os valores ordenados de uma grandeza. São exemplos, as escalas de um termômetro, de um relógio, de um 
cronômetro, de uma régua, de um velocímetro de carro, etc. Na construção de um gráfico, é necessário que se 
represente os valores de cada uma das grandezas sobre escalas. No caso de gráficos bidimensionais são 
necessárias duas escalas, uma representada no eixo das abscissas e a outra no eixo das ordenadas. Aqui serão 
estudadas as duas escalas mais importantes, a escala linear e a escala logarítmica. 
 
5.2 - Escala Linear 
Para se construir uma escala linear em um certo segmento de reta (eixo), deve-se conhecer, inicialmente, 
o tamanho deste segmento (L). Suponha que se deseje representar sobre esta escala os valores de uma grandeza 
física qualquer. Para a construção da escala é necessário determinar a variação dos valores da grandeza a ser 
marcada nesta escala, ou seja, deve-se conhecer a diferença entre os seus valores máximo e mínimo. Esta 
diferença será representada por "d". Dividindo-se "L" por "d", obtém-se uma constante denominada de módulo da 
escala (m). Por exemplo, considere a Tabela 1 abaixo para ser marcada em uma escala linear de 15 cm de 
comprimento. 
 
Força (N) 3 8 17 23 29 
Tabela 1 - Valores medidos da Força, em newtons, atuante sobre uma partícula. 
 
 O intervalo das medidas é d = 29 - 3 = 26 N e o comprimento do eixo é L = 15 cm. Portanto, o módulo 
da escala, m, é dado por: 
 
N
cm0,5769
26
15
m == . 
Este resultado indica que cada unidade da força será representada por um comprimento igual a 0,5769 
cm. A escala deve ser construída, então, com espaçamentos iguais de 0,5769 cm. Como se percebe, o módulo da 
escala acima é inconveniente para se trabalhar e, portanto, adota-se um número melhor que facilite as marcações. 
Na escolha deste melhor número para representar o módulo "m", o arredondamento deverá ser sempre para menos 
e deve ser tal que seja utilizado pelo menos 2/3 do comprimento "L". No exemplo acima, um número 
conveniente para representar o módulo da escala seria 0,5 cm/N. Escalas do tipo 1:3, 1:7 e 1:9 devem ser evitadas, 
pois dificultam a marcação de submúltiplos dos valores da escala.Em tabelas onde o valor mínimo é próximo de zero, como no exemplo, é aconselhável incluir o zero 
para efeito de cálculo do módulo "m". Isto pode também ser feito quando seja necessária a apresentação da 
origem da escala. Nestes casos, divide-se o comprimento disponível "L" pelo valor máximo da grandeza. 
N
cm0,5172
29
15
m == . 
Com a determinação do módulo, obtém-se os comprimentos que representarão cada uma das medidas da 
tabela. No exemplo anterior, considerando-se o módulo como 0,5 cm/N, tem-se a correlação dada pela Tabela 2. 
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Força (N) 3 8 17 23 29 
Distâncias (em cm) que representam a 
grandeza física na escala a partir da origem 1,5 4,0 8,5 11,5 14,5 
Tabela 2 - Correlação entre os valores medidos da Força e as distâncias a serem marcadas na escala a partir do zero. 
 
É tecnicamente errado, ao se montar o eixo da escala, representar nela as medidas da tabela. O que se 
usa fazer é representar no eixo da escala pontos igualmente espaçados, marcando e destacando cada um deles. 
Indica-se, abaixo de cada ponto, o valor respectivo da grandeza, sem, no entanto, sobrecarregar a escala com 
excesso de números. Não é problema se, por acaso, os valores indicados coincidirem com alguns ou todos os 
valores tabelados. Isto pode ocorrer quando as medidas são realizadas em intervalos iguais. Em suma, deve-se 
sempre observar o aspecto da escala, procurando construí-la de modo a se ter uma boa visualização de seus 
valores. 
A grandeza representada na escala é escrita, acompanhada da respectiva unidade, sempre abaixo da 
escala. A unidade vem separada da grandeza entre parênteses ou por vírgula. 
A representação em uma escala em que m = 0,5 cm/N é a apresentada na Figura 5.1, onde os pontos da 
Tabela 1 estão marcados na escala, a partir do zero, às distâncias dadas pela Tabela 2. 
 
0 10 20 30
Força (N)
 
 
Figura 5.1 - Escala com a representação dos pontos da Tabela 1. 
 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
 
1. Construir em uma semi-reta de 24 cm de comprimento uma escala linear de 0 a 20. 
 
 
5.3 - Construção de gráficos em papel milimetrado 
 
Para se construir um gráfico, é necessário que se represente os valores de cada uma das grandezas sobre 
escalas. Para gráficos em duas dimensões são necessárias duas escalas, uma representada no eixo das abscissas e a 
outra no eixo das ordenadas. 
Vários tipos de papéis para gráficos são utilizados nas várias áreas da Ciência (Física, Engenharia, 
Biologia, Medicina, Química, etc.). O papel mais utilizado é o papel milimetrado, pois possui escalas lineares nos 
dois eixos. Outros tipos de papeis serão estudados posteriormente. 
Suponha que os dados contidos na tabela abaixo, (Tabela 3) relacionando as grandezas físicas 
velocidade e tempo, tenham sido obtidos a partir de uma dada experiência. 
 
 
tempo (s) 1,0 1,8 2,8 5,0 6,9 7,5 8,7 
velocidade (m/s) 9,0 11,0 14,5 21,0 26,5 28,4 32,0 
Tabela 3 - Medidas experimentais da velocidade de uma partícula em função do tempo. 
 
Primeiramente deve-se montar as escalas para a representação das duas grandezas. Para isto deve-se 
usar a metodologia apresentada no item 5.2.1, ou seja, determinar o módulo das escalas a serem representadas nos 
dois eixos. É norma colocar a variável independente no eixo das abscissas e a dependente no das ordenadas. Por 
exemplo, numa experiência em que se mede o período de oscilação de um pêndulo simples para vários 
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comprimentos do mesmo, a variável independente é o comprimento (a ser marcado no eixo x) e a variável 
dependente é o período (a ser marcado no eixo y). Outro exemplo: medindo-se a intensidade da radiação (I) 
emitida por uma cápsula contendo material radioativo em função da distância (d) do detector à fonte, a variável 
independente é a distância (eixo x) e a dependente é a intensidade da radiação (eixo y). 
Após os devidos cálculos, marque nos eixos do papel milimetrado as escalas, sendo que a escala para os 
valores do tempo (variável independente) deve ser localizada na horizontal (eixo das abscissas) e a escala dos 
valores da velocidade (variável dependente), deve ser localizada na vertical (eixo das ordenadas). A este sistema, 
cujos eixos das escalas são semi-retas ortogonais entre si, dá-se o nome de sistema cartesiano. 
As semi-retas (eixos) cruzam-se em um ponto denominado origem. A cada par (t,v) corresponde um 
ponto no gráfico cartesiano. A curva traçada pelos vários pontos (t,v) representa graficamente a lei de dependência 
entre as grandezas t e v. É importante em um trabalho experimental saber julgar qual a forma da curva que melhor 
representa a distribuição dos pontos experimentais. 
A curva a ser traçada, deve ser contínua e passar o mais próximo possível dos pontos experimentais. 
Quando a curva mais conveniente para representar os dados, for uma reta, esta deve ser traçada de modo que os 
pontos pelos quais a reta não passe, fiquem distribuídos igualmente em ambos os lados da mesma. Posteriormente 
será ensinado um método para ajustar "a melhor reta" a ser traçada. 
 
É comum o estudante, iniciante no método de traçado de gráficos, unir os pontos com segmentos de 
retas (Figura 5.2-a) ou traçar curvas passando pelos pontos obtidos (Figura 5.2-b), quando o correto seria traçar 
uma reta média (Figura 5.2-c). Observe as figuras abaixo e procure evitar os erros apresentados. 
 
 
y
x
(a)
y
x
(c)(b)
ERRADO ERRADO CERTO
y
x
 
 
Figura 5.2 - Ajuste de retas: ( a ) e ( b ) modos errados; ( c ) modo certo. 
 
 
 Estando as escalas devidamente representadas e a curva média traçada, coloca-se, acima do gráfico, o 
seu título. A forma de colocação do título fica a critério do autor. No caso do gráfico da Tabela 3 poderia ser: 
"GRÁFICO DA VELOCIDADE VERSUS TEMPO", ou "VELOCIDADE × TEMPO", ou ainda, 
"VELOCIDADE EM FUNÇÃO DO TEMPO". 
Ao se fazer a análise de um gráfico e a dependência entre as grandezas for linear, ou seja, for obtida uma 
reta, pode-se afirmar que a função que relaciona estas duas grandezas é uma função do primeiro grau, do tipo: 
 y = A + Bx, 
onde "A" é o coeficiente linear e "B" é o coeficiente angular. 
 
O coeficiente angular (B) é dado pela inclinação da reta, ou seja, pela tangente do ângulo que a reta faz 
com a horizontal; o coeficiente linear (A) é dado pela ordenada do ponto onde a reta corta o eixo das ordenadas, 
ou seja, é lido diretamente no gráfico, como é mostrado na Figura 5.3 
 
 
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θ
B = tg θ
grandeza x
A
gr
an
de
za
 
y
 
 
Figura 5.3 – Gráfico de uma função linear. O coeficiente linear (A) é o ponto onde a reta cruza o eixo y e o coeficiente 
angular (B) é dado pela inclinação da reta (tgθ). 
 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
 
1. Construir em papel sulfite branco o gráfico da Tabela 3 em um sistema de eixos de 16 cm na horizontal 
por 20 cm na vertical. 
2. Determinar a função que relaciona a velocidade com o tempo (equação da "melhor reta"). 
 
3. Fazer em papel milimetrado os gráficos de: 
 
 54 −= xy para -2 ≤ x ≤ 5 
 355 2 −−= xxy para -2 ≤ x ≤ 5 
 
5. A partir da Tabela abaixo, faça o gráfico e trace a melhor reta. 
 
x y 
-5 28 
-4 23 
-3 18 
-2,5 15 
0 3 
1,5 -5 
2 -7 
4 -17 
6 -27 
 
 
 6. a equação horária do movimento de um corpo é 2243)( tttx −+−= x em metros e t em segundos. 
 
 a) Esboce o gráfico da posição x contra o tempo e t no intervalo de -3 a 4 segundos. 
 
 b) Qual é a sua velocidade e a sua aceleração instantânea comofunção do tempo? 
 
 c) Esboce os gráficos da velocidade e da aceleração como função do tempo no intervalo de -3 a 4 segundos. 
 
5.3.1 - Ajuste de retas 
Dados experimentais que obedeçam a uma relação linear, quando colocados em um gráfico, nunca formam 
uma linha reta perfeita devido aos dados experimentais nunca serem perfeitos. Quando se observa que a relação é 
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linear, deve-se tentar traçar a melhor reta possível, que, de preferência, deve passar pelo maior número de pontos e o 
mais próximo possível dos mesmos. Por exemplo, a reta (a) da Figura 5.4 é, obviamente, melhor que a reta (b). 
 
(a) (b)
y
x
y
x
 
 
Figura 5.4 - O ajuste de "melhor reta". A reta (a) é melhor que a reta (b). 
A reta que melhor ajusta os pontos pode ser traçada com suficiente precisão com o uso de uma régua 
transparente e do bom senso. Porém, existem métodos de ajuste de "melhor reta" que utilizam uma combinação de 
análise numérica e gráfica. Aqui será mostrado o processo mais usado, chamado de método dos mínimos 
quadrados. 
 
5.3.2 - Método dos Mínimos Quadrados 
Uma maneira de se determinar a melhor reta é fazer com que a soma das distâncias entre cada ponto 
experimental e a reta seja menor que para qualquer outra reta que pudesse ser traçada. Uma outra forma de melhor 
ajuste é traçar a reta para a qual a soma dos quadrados das distâncias, segundo y, entre os pontos experimentais e a 
reta, seja um mínimo, isto é, seja menor que para qualquer outra reta que pudesse ser traçada. Esta forma de ajuste 
pode ser calculada rapidamente e o método é chamado de Método dos Mínimos Quadrados. 
Seja Ei a distância entre cada um dos pontos experimentais e a reta traçada (E1 para o primeiro ponto, E2 
para o segundo ponto, ..., En para o último ponto). O método dos mínimos quadrados consiste em fazer com que a 
soma dos quadrados de todos os Ei seja um mínimo, ou seja: 
 E2i
n
1=i
ƒ
 é mínimo. 
Considere um conjunto de pontos experimentais representados por (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), ..., (xn,yn). 
Considerando-se que a equação da reta que passe por estes pontos seja y = A + Bx, a distância entre esta reta 
e o i-ésimo ponto é yi – (A + Bxi). Chamando esta distância de erro Ei, tem-se: 
.B A =E iii xy −− 
O quadrado deste termo é: 
.B+A+2AB+2B2A=E 2i
22
iiii
2
i
2
i xxyxyy −− 
 
A soma dos quadrados de todos estes erros é: 
 ).B+A+2AB+ 2B2A(=E=S 2i22iiii2i
n
1=i
2
i
n
1=i
xxyxyy −−
„„
 
Para se encontrar o mínimo, diferencia-se e iguala-se a zero. Para diferentes retas, as quantidades que 
variam são "A" e "B", então: 
dB.
B
S
+dA
A
S
=dS
∂
∂
∂
∂
 
Esta diferencial deve ser igual a zero no ponto de mínimo. As variáveis "A" e "B" são independentes, 
portanto, os dois termos devem ser, cada um, igual a zero. Diferenciando-se em relação a "A" e em relação a "B" 
obtém-se (simplificando-se os números 2): 
0=) B+(A ii
n
1=i
xy−
ƒ
 
e 
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 30 
0.=)A+(B iii2i
n
1=i
xyxx −
„
 
 
 
Somando-se cada um dos termos entre parênteses obtém-se: 
0=BnA i
n
1=i
i
n
1=i
xy
„„
+− 
e 
0.=A+B i
n
1=i
i
n
1i
i
2
i
n
1=i
xyxx
ƒ
ƒ
ƒ
=
− 
 
As equações podem ser escritas de forma mais simples, representando-se os valores médios com uma 
barra escrita acima da grandeza. Então, usando-se: 
 
 yy =
n
1
i
n
1=i
„
 xx =
n
1
i
n
1=1
„
 
 
e dividindo-se as equações por n, fica-se com: 
0=B+A xy− 
e 
0.=A+)B( 2 xxyx − 
 
 O coeficiente angular da reta é obtido resolvendo-se o sistema de equações anterior, o que resulta em: 
 
22 )()(
.
=B
xx
yxxy
−
−
 
 O coeficiente linear é dado por: 
xy B=A − 
 
Através dos coeficientes linear e angular, a equação da "melhor reta" fica determinada. Para traçá-la, basta 
escolher alguns valores para x, determinar os respectivos valores de y e marcar os pontos sobre os quais será traçada 
a reta. 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
a. Represente, em escala linear, os pontos da Tabela 4 apresentada a seguir; observe que não é conveniente 
desenhar o eixo y iniciando na origem. Pode-se iniciar, por exemplo, em 50 ou 60 cm de Hg. 
b. calcule os coeficientes linear e angular da "melhor reta" pelo método dos mínimos quadrados; escreva a 
equação desta reta; 
c. trace esta "melhor reta". 
Temperatura 
(°C) 
Pressão 
(cm de Hg) 
x y 
0,0 66,9 
13,0 71,8 
18,5 73,8 
29,0 76,5 
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 31 
40,0 80,2 
51,0 83,2 
60,0 86,8 
72,0 90,2 
80,0 93,1 
89,5 96,3 
98,0 99,1 
Tabela 4 - Medidas experimentais da pressão, em cm de Hg, em função da temperatura, em °°°°C, de um gás a volume 
constante. 
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 32 
…
†ˆ‡_‰�ŁŒ‹Ž7‰%‘_’”“–•˜—š™.…�›œ�žŒŸ� ¢¡ff…
 
A trajetória de projéteis e a queda livre foram particularmente estudadas por Galileu (1564-
1642), que, ao desenvolver a cinemática, analisou movimentos uniformes e uniformemente variados. O 
estudo desses dois tipos de movimento permitiu-lhe descrever a queda livre dos corpos (em que se 
despreza a resistência do ar). Galileu observou que a aceleração de uma bola descendo uma rampa é 
constante e imaginou que essa propriedade também valeria para a queda livre, que seria o caso limite 
para uma rampa de inclinação máxima. 
Galileu afirmava que qualquer objeto cairia da mesma forma, independentemente de seu peso, 
desde que desprezada a resistência do ar. Essa concepção contradizia a de Aristóteles (384-322 a.C.), 
segundo a qual um objeto "pesado" cairia mais rapidamente que um "leve". Galileu refutou essa hipótese 
aristotélica considerando que se a velocidade de queda dependesse da massa, dois objetos amarrados um 
ao outro, não podem cair mais devagar que apenas um deles. 
Para resolver essa contradição, Galileu enunciou que todos os objetos abandonados da mesma 
altura em queda livre, em cada instante, têm o mesmo valor de velocidade, estejam eles ligados ou não. 
Galileu observou que, nas proximidades da superfície de nosso planeta, qualquer objeto em queda livre 
tem valor de aceleração de aproximadamente 10 m/s2. Essa aceleração, freqüentemente conhecida como 
aceleração gravitacional g, varia de ponto a ponto na superfície da Terra, dependendo da altitude e da 
latitude. A sua direção é vertical em cada ponto e seu sentido é "para baixo". 
 Na superfície da Terra, o valor adotado para a aceleração da gravidade foi estabelecido, em 1901, 
pelo Comitê Geral de Pesos e Medidas. O valor, a 450 de latitude e ao nível do mar, é 9,80665 m/s2. 
Um dos fatores que afeta o valor da aceleração gravitacional é a altitude. Sabe-se que o valor da 
aceleração gravitacional diminui, apesar de pouco, com a altitude. Veja a Tabela 1, a.seguir;"para ter 
uma idéia de como é essa variação. 
 
 
Tabela 1- Valores da aceleração gravitacional em função da altitude. 
 
Localização g aproximado (m/s2) 
Equador 9,78 
Polos 9,83 
10 km de altitude 9,78 
100 km de altitude 9,57 
300 km de altitude 8,80 
1000 km de altitude 7,75 
5000 km de altitude 3,71 
10 000 km de altitude 1,94 
 
Para se ter uma idéia das alturas, os aviões costumam voar a 10 km de altitude e a órbita do 
ônibus espacial fica mais ou menos a 300 km de altitude. 
 Galileu observou, também que o módulo da velocidade de um objeto em queda livre, partindo do 
repouso, é proporcional ao tempode queda e nesse caso, a função posição do movimento é dada por y = 
2
2
1
attvy oo ++ caso de um corpo em queda livre, caindo de uma certa altura h como indicado na figura, 
a função posição do movimento será: 
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2
2
1
attvyy oo ++= 
2
2
100 gth −+= 
2
2
1 gth = 
 
 
 
 
 
 
Portanto, medindo-se o tempo de queda e a altura h, pode-se determinar o valor da aceleração 
gravitacional local por: 
2
2
t
hg = 
 O cálculo da incerteza no valor de g, usando a propagação de incerteza é dado por: 
2
2
2
2
2
thg t
g
h
g
σσσ £¤
¥
¦§¨
∂
∂
+£¤
¥
¦§¨
∂
∂
=
 
Como Catalão está acima do nível do mar, é de se esperar que o valor de g seja menor que 9,8 
m/s2. Um outro fator que também influencia é que g varia com a latitude. O valor de 9,81 m/s2 é para 
uma latitude de 45° e Catalão está aproximadamente a 17°. Veja na Tabela 1 a variação do valor de g 
entre o Equador e os Pólos. Considerando medidas realizadas pelo IBGE na região de Catalão, pode-se 
considerar o valor da aceleração gravitacional nesta região como igual a (9,784 0,001) m/s2. 
Outro fator que também afeta o valor de g é a resistência com o ar durante a queda. Apesar de 
pequena, ela existe, produzindo um efeito de desaceleração durante a queda. Isso significa que o valor 
encontrado para a aceleração deve ser menor que aceleração gravitacional real. 
 
Objetivo 
 Determinar o valor da aceleração gravitacional local. 
Procedimento experimental 
1. Com o cronômetro manual, medir o tempo de queda de uma esfera posicionada em diversas 
alturas como indicado na Tabela 2. Para cada altura medir 5 vezes o tempo de queda e calcular o 
tempo médio com o respectivo desvio padrão. 
2. Determinar a aceleração média da gravidade e sua respectiva incerteza. 
3. Determinar a aceleração média da gravidade e seu desvio padrão para essa altura. 
Resultados 
Tomar nota dos erros associados à determinação da altura e do tempo. Se utilizar uma escala 
milimetrada para a determinação da altura, o erro máximo associado (incerteza instrumental) é de 0,5 
mm (metade da menor divisão da escala). Sob boas condições de observação uma avaliação cuidadosa 
poderá reduzir esse erro. Porém, nas condições desse experimento (vista desarmada, iluminação 
imperfeita, escala vertical) é freqüente atribuir um erro de 1 cm ou mais na determinação da 
posição da parte "inferior" da esfera. Quanto ao tempo de queda, utilizando um cronômetro digital, o 
erro associado (incerteza instrumental) é de uma unidade no primeiro algarismo indicado. 
Para cada altura, fazer a média aritmética dos cinco tempos de queda registrados e calcular o 
desvio padrão (σt (s)) dessas medidas. Montar uma tabela como a que se segue, que foi construída com 
seis valores de altura: 
 
Tabela 2 - Resultados dos tempos de queda, em função da altura, de uma esfera em queda livre 
 
h m 
g 
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h (m) t1(s) t2 (s) t3 (s) t4 (s) t5 (s) 
3,00 1,03 0,85 0,92 0,72 0,64 
2,60 0,92 0,70 0,85 0,48 0,57 
2,20 1,00 0,57 0,75 0,50 0,46 
1,80 0,50 0,44 0,68 0,82 0,46 
1,40 0,41 0,49 0,60 0,65 0,70 
0,80 0,14 0,27 0,45 0,33 0,45 
 
 
Tabela 3 – Cálculos obtidos relativos aos tempos de queda, em função da altura, de uma esfera em 
queda livre 
 
(h ± © h) (m) tmédio (s) σt (s) Incerteza no tempo (tempo de Reação (s)) (t ± © t) (g ± σg) (m/s2) 
3,00 ± 0,01 0,832 0,01 0,10 0,83 ± 0,10 8,67 ± 0,51 
2,60± 0,01 0,704 0,01 0,10 0,70 ± 0,10 10,50 ± 1,11 
2,20 ± 0,01 0,656 0,01 0,10 0,66 ± 0,10 10,22 ± 2,01 
1,80 ± 0,01 0,580 0,01 0,10 0,58 ± 0,10 10,70± 1,05 
1,40 ± 0,01 0,570 0,01 0,10 0,57 ± 0,10 10,36 ± 0,80 
0,80 ± 0,01 0,328 0,01 0,10 0,33 ± 0,10 14,87 ± 2,55 
 
 
Note que, em todos os casos a incerteza devido ao tempo de reação é maior que o desvio padrão 
calculado (0,01 s – terceira coluna) e, de fato, prevalece entre estes o valor que for maior como mostrado 
na quinta coluna. 
 
Análise 
 1. Determinar a aceleração média da gravidade a partir dos seis valores obtidos; calcular o desvio 
padrão dessas medidas e a média aritmética dos desvios individuais; apresentar o resultado de g com a 
incerteza apropriada, como na tabela a seguir, feita com os seis valores da Tabela 2. 
 
gmédio(m/s2) Desvio Padrão 
σg(m/s2) 
Média dos 
desvios de g 
(g ± © g) (m/s2) 
10,60 0,03 1,34 10,60 ± 1,34 
 
Observe que o valor da média aritmética dos desvios individuais é muito maior que o desvio 
padrão das medidas e, então, o valor de g foi dado com o maior deles, ou seja, a média dos desvios 
individuais. 
 
Relatório 
 
Apresente: 
 
A) a tabela das medidas experimentais com os respectivos erros; 
 
B) o valor da aceleração média da gravidade com sua incerteza; 
 
C) a conclusão do experimento. 
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_‰�ŁŒ�‹²´³
µ´¶Œ’·°*‰¹¸»º	¼¾½¿ŁJ³ŒÀÁ‹ÃÂÁ³	7‰�Ä_‰
 
 
 Uma outra maneira de determinar o valor de g no experimento de Queda Livre é utilizando gráficos. 
Utilizaremos os resultados do Experimento 1 – Queda Livre para esse segundo experimento. O valor de g 
poderá ser obtido seguindo os seguintes passos: 
 
1. Fazer o gráfico de h × t dos valores obtidos com suas respectivas incertezas. Acrescentar na tabela de 
dados o ponto (0,0), pois para uma altura nula o tempo de queda será nulo e, assim, a função deverá 
passar pela origem (0,0). Encontrar a melhor curva y(t) que se ajuste aos pontos experimentais. 
 
2. Fazer o gráfico de v × t. Lembre-se de que . 
td
yd
 v = 
3. Fazer o gráfico de a × t. Lembre-se de que 
td
yd
 
td
yd
td
d
 
td
vd
 a 2
2
=
Å
ÆÇ
ÈÉÊ
== . 
4. Determinar o valor de g com sua incerteza. 
 
 
Relatório 
Apresente: 
A) a equação horária y(t); 
B) o valor da aceleração da gravidade, seu erro e unidades; 
C) a expressão da velocidade dependendo do tempo, levando em conta o gráfico da primeira derivada; 
D) a dependência da aceleração com o tempo, levando em conta o gráfico da segunda derivada; 
E) o gráfico simultâneo de y(t), v(t) e a(t) com os pontos experimentais; 
F) a conclusão do experimento. 
 
 
 
 
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 36 
…
†�‡J‰�ŁJ‹Ž�‰�ÄÄ’–Ë̕¬ÍÎWÂÁ‹ŽÏг	µÒÑĉ	ÎQÓԉ
Â*Õ
´‹ Â*³ŒÎ֕Ø×ÄÙ%‘°*ÚffiÏ ’
 
 
Um sistema mecânico executa um movimento harmônico simples (MHS) quando um corpo 
oscila com uma força restauradora do tipo F=-kx, ou seja, proporcional ao deslocamento do corpo. A 
constante (positiva) k depende apenas de características do sistema. Por exemplo, no sistema massa-
mola, k é simplesmente a constante elástica da mola. Um segundo exemplo é o de um pêndulo simples, 
definido como uma sistema no qual um corpo de massa m é suspenso de um ponto O por um de fio de 
massa desprezível e comprimento L. Nesse caso, k é uma relação entre a aceleração local da gravidade 
(g), o comprimento do fio e a massa do corpo. 
 Equação diferencial para o sistema massa mola: kxF
dt
xd
m 2
2
−== 
 Equação diferencial para o pêndulo simples: θθ mgsenF
dt
d
m −==2
2
 
 
 
 
 Se o ângulo θ da figura for pequeno, como vamos supor, o valor de senθ será aproximadamente 
igual a θ em radianos. Por exemplo , se θ = 50 (= 0,0873 rad), senθ = 0,0872, uma diferença de apenas 
0,1%. O deslocamento de x da partícula de massa m ao longo do arco éigual a Lθ. Portanto, supondo 
senθ ≅θ, a equação acima se torna 
x
L
mg
L
x
mgmgF )(−=−=−≈ θ 
 
Comparando as equações acima, podemos ver que mg/L tem o mesmo papel para o pêndulo 
simples que a constante elástica k para o sistema massa mola. Fisicamente eles se diferem apenas no tipo 
de movimento: enquanto no sistema massa-mola o corpo oscila entre dois pontos de extremos de 
deslocamento (xm e –xm ), no pêndulo simples o corpo oscila entre dois ângulos máximos (θm e -θm). 
Voltemos agora à figura acima, onde o corpo está oscilando entre os pontos B e B’. Pela 
decomposição das forças que atuam no corpo numa posição genérica θ, vemos que o movimento deve-
se à componente tangencial do peso da partícula. Admitimos aqui que as perdas energéticas devido a 
forças dissipativas, como a resistência do ar, é desprezível. 
 Pode-se mostrar que o período de oscilações (τ) é dependente do comprimento do fio (L), da 
aceleração local da gravidade (g), e no caso de pequenas amplitudes de oscilação (senθ ≅θ) é descrito 
pela relação 
 
g
L
piτ 2=
 
B’ 
B 
x= Lθ 
O 
θ 
L 
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 37 
1. Objetivo 
Determinar o valor da aceleração do campo gravitacional a partir da oscilação de um 
pêndulo, considerando pequenas amplitudes. 
 
2. Material Utilizado 
 
esfera , fio, cronômetro, trena milimetrada. 
 
3. Procedimento Experimental 
 
1. Utilizando um fio fino e uma pequena esfera maciça, construa um pêndulo simples e 
suspenda-o num suporte rígido; 
2. Meça o comprimento o pêndulo do ponto de suspensão ao centro da esfera. 
3. Desloque a esfera da posição de equilíbrio; mantendo o fio esticado. Lembre-se, o valor 
do ângulo θ entre o fio e a vertical deve ser pequeno θ � 200. 
4. Libere a esfera; 
5. Utilize um cronômetro para medir o período. Para melhores resultados, meça o 
intervalo de tempo T necessário para N = 5 oscilações. 
6. Repita o iten 5, vinte vezes (n =1 até 20) e registre os resultados na Tabela 1. 
7. Qual é a sua incerteza na medida do intervalo de tempo T, ou seja, σT = . 
8. Obtenha o tempo médio de 5 oscilações a partir da equação:
ƒ
=
=
n
i
iT
n
T
1
1
´ . 
9. A partir da relação simples 
N
T
=τ obtenha o período do pêndulo encontre também via 
propagação de incertezas o erro no período, isto é, στ. 
 
L = ( ± ) m 
 
 
 
Tabela 1 
n T
 
 
 1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
 
12 
Análise dos resultados: 
 
 Cálculo do período do pêndulo 
ττττ = ( ±±±± ) s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 38 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
 
 
 
Cálculo da aceleração da gravidade 
 g =( ±±±± ) m/s2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Responda às questões abaixo (Entregar junto com o Relatório). 
 
1. Se a esfera for substituída por uma outra mais pesada, o que acontece com o período? 
 
2. Se o fio for substituído por outro de comprimento quatro vezes maior, o que acontece com o 
período? 
 
 
3. Em que ponto da trajetória da esfera a força restauradora é máxima? Em que ponto é 
mínima? 
 
4. Se a força restauradora se anula no ponto mais baixo da trajetória, por que o pêndulo 
continua o movimento oscilatório? 
 
 
5. Podemos considerar que o pêndulo da experiência executa um movimento harmônico 
simples? Por quê? 
 
6. No caso de um ângulo θ = 200 que diferença está sendo aceita na aproximação senθ ≅ θ ? 
 
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Experimento 4 – MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME – MRU 
 
 O Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) é um movimento cuja velocidade é constante e a 
posição em função do tempo é regida pela função horária: 
vtxx += o , 
onde x é a posição do móvel no instante t, x0 é a sua posição no instante t = 0 e v sua velocidade. 
Um movimento retilíneo uniforme é regido pela primeira lei de Newton, que diz: 
 Um corpo permanece no seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme (MRU), a 
menos que seja obrigado a mudar esse estado pela atuação de uma força resultante diferente de zero. 
 Uma situação simples para o estudo de um MRU é o movimento de um carro sobre um trilho de 
ar, onde o atrito é praticamente nulo. Suponha que se aplique uma força sobre o carro para colocá-lo 
em movimento sobre o trilho de ar. A partir do instante em que essa força parar de atuar, o carro 
continuará se movimentando constantemente com a velocidade que possuía no instante em que a força 
se anulou, ou seja, o carro entrará em movimento retilíneo uniforme. 
 Utilizaremos, para esse experimento, um trilho de ar e um sistema elétrico para a tomada de 
tempo e espaço do carro em diversos pontos do trilho. 
 
1. O objetivo principal é medir a velocidade de um carrinho sobre um trilho de ar. E verificar que a 
velocidade é constante na ausência de forças externas; compreender a noção de medida e incerteza 
experimentais, fazendo medidas de posição e de tempo. 
 
Ao término desta atividade você deverá ser capaz de: 
 
- reconhecer um movimento retilíneo e uniforme (MRU); 
- determinar a velocidade média de um móvel; 
- construir o gráfico da posição do móvel em função do tempo; 
- obter o valor da velocidade média do móvel a partir do gráfico x versus t; 
- identificar um MRU, a partir do gráfico x versus t; 
- interpretar a expressão x = x0 + v t. 
- escrever a equação horária de um móvel em MRU, a partir de suas observações e medições; 
- analisar corretamente os dados registrados pelo centelhador em uma fita. 
 
2. Material necessário. 
 
- 01 centelhador Maréchal; 
- 01conexão elétrica para o borne preto; 
- 01 conexão elétrica para o borne vermelho; 
- 01 bobina de papel termosensível (4). 
- 01 retenção M3; 
- 01 cavaleiro isolante; 
- 01 colchão de ar com painel lateral com condutores elétricos (5); 
- 01 carro com dois pinos (10); 
- 01 suporte com mola (12); 
- 01 extensão mecânica; 
- 01 disparador manual (21); 
- 01 unidade geradora de fluxo de ar; 
- 01 mangueira com conexões rápidas. 
 
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Figura 1 
 
 
3. Procedimento experimental 
 
1. Ligue o fluxo de ar e certifique-se que o trilho de ar está nivelado, colocando o carrinho em várias 
posições no trilho e observando se ele fica acelerado. Se necessário, proceda ao nivelamento do trilho 
com o seu professor. 
 
2. Verifique a instalação elétrica do centelhador. 
 
3. Sem a fita termosensível, simule a obtenção dos dados: 
 
• estude a região onde a fita será colocada; 
• estime a freqüência a ser selecionada no centelhador (isto é, o intervalo de tempo entre posições 
sucessivas); 
• verifique se a distância entre a ponta do parafuso e a fita de aço é adequada para a obtenção de 
um bom conjunto de dados; 
• pense como impulsionar o carrinho (discuta com o professor); e teste a manipulação e 
coordenação do centelhador. 
 
4. Tomada de Dados 
 
1. Registre o movimento do carrinho na fita – Ver Figura 2. 
 
2. Retire a fita do trilho e observe-a. Mostre-a a seu professor e discuta com ele se é necessário fazer 
uma nova tomada de dados. 
 
3. Faça uma tabela semelhante a Tabela 1 com o número de linhas igual ao número de pontos marcados 
na fita. 
 
 4. Com a fita fixada sobre uma mesa: proceda à leitura dos dadosobtidos. A partir do valor da posição 
x0 = 0 determine as demais posições xi. Anote os valores na Tabela 1. 
 
 
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Figura 2 
 
 
 
Tabela 1 σt =.....0..... e σx = ..................... 
t (s) x (cm) vm (cm/s) 
t0= x0= --- 
t1= x1= v1= 
t2= x2= v2= 
t3= x3= v3= 
t4= x4= v4= 
t5= x5= v5= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tn= xn= vn= 
 
 
Se tiver oportunidade monte a tabela utilizando uma planilha eletrônica, tipo Excel, por exemplo. 
 
5. Determine os intervalos de tempo a partir de t0 = 0 s e usando o tempo selecionado no aparelho 
centelhador. 
 
6. Tomando como o valor da velocidade média de um determinado instante (ponto), a velocidade 
média entre os instantes t + ∆t e t - ∆t. Assim, por exemplo, para a velocidade média do terceiro ponto 
teremos: 
13
13
2 tt
xx
v
−
−
= , ou seja, 
t
ttxttx
v
∆
∆−−∆+
=
2
)()(
2 . Repare que não é possível, desta maneira, 
calcular as velocidades para os instantes inicial e final. 
 
7. De modo semelhante, determine a velocidade média das demais posições como: 
t2
 x- x
 V 1-i1ii ∆
=
+ e 
complete a Tabela 1 
X
 
= 0 
X2 
X1 
X3 
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 42 
 
5. Análise dos dados 
 
 
1. A partir do que você aprendeu sobre o conceito de velocidade, escreva as equações que descrevem a 
velocidade e a posição de um corpo em movimento uniforme como funções do tempo. Faça um esboço 
dos gráficos dessas duas funções. 
 
2. A partir dos dados experimentais obtidos: construa um gráfico da posição em função do tempo em 
papel milimetrado. 
 
Para isto. 
 
• Olhe para seus dados. Observe quais são os intervalos de tempo e de comprimento utilizados. 
• Com base nesta observação, construa seus eixos, o tempo na horizontal e a posição na vertical. 
Marque claramente a escala utilizada. Não esqueça de indicar no gráfico o que está sendo 
apresentado em cada eixo, e a unidade utilizada para a medida. Chame o professor para discutir 
com você! 
• Comece a marcar no gráfico os dados que você obteve. Não se esqueça da incerteza de suas 
medidas na posição! 
 
3. Esboce, usando uma régua transparente, a reta que melhor descreve os seus dados. 
 
4. A partir desta reta, obtenha, do gráfico, a velocidade do carro e sua posição inicial. 
 
5. Compare o seu resultado com as equações que você escreveu no primeiro item. Quais as conclusões 
que você tira? 
 
6. Escreva seu relatório! 
 
7. Atividades extras 
 
1. Velocidade em função do tempo no movimento uniforme. 
 
• Componha, a partir dos dados obtidos anteriormente, uma tabela de velocidade como função do 
tempo. Para isto, lembre da definição de velocidade média (deslocamento/tempo). 
• Discuta com seu professor como ''propagar o erro" nas medidas feitas para a posição para obter a 
incerteza na medida da velocidade. 
• Faça um gráfico de velocidade média como função do tempo. 
 
2. Composição de erros. 
 
Nesta experiência, você tinha pelo menos duas fontes de erro na incerteza associada à medida da posição 
do carrinho. Uma, o erro associado ao seu instrumento de medida (a régua). Outra, o erro associado à 
marcação pelo centelhador da fita. Como você pode avaliá-los? Como você pode compô-los? Quando 
pode desprezar um ou outro? 
 
Existem outros fatores de erro importantes nesta experiência? 
 
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 43 
Û
ܴ݈ÞWß
àÃáâތãˆä»å·æèçêéšå¿ëXà áìތãˆä»åîí�Þ%ä»àŽïÐð ãffiÞ	å·ñ�ãffiàÐòÒåÄßJáìތáâތãˆä»Þ�óHôJß	àŽô
õÁå·çöé˜í�ñ¾ó
 
 O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) é um movimento cuja aceleração 
é constante e a velocidade em função do tempo é regida pela função: 
 atvv += o , (1) 
onde v é a velocidade do móvel no instante t, vo é a sua no instante t = 0 e a sua aceleração. 
 A função posição no MRUV é dada pela integral da função velocidade e dada por: 
 
2
oo 2
1
attvxx ++= , (2) 
onde x é a posição do móvel no instante t e xo é a posição no instante t = 0. 
 Uma situação simples para se estudar um corpo em MRUV é a dada a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esquema do trilho de Ar + Centelhador 
 
 
 
Desprezando-se o atrito, o corpo de massa M estará sujeito à ação de uma tensão que imprime uma 
aceleração a÷ ao corpo. Então, este corpo descreve um movimento retilíneo uniformemente variado, 
possuindo, portanto, aceleração constante. 
 
1. O objetivo principal desse experimento é estudar as funções horárias do MRUV. Observar e 
analisar o movimento de um corpo sendo acelerado 
 
2. Procedimento experimental 
 
Nivelamento do trilho de ar: Colocar um dos carros em repouso no trilho de ar (se não permanecer em 
repouso, nivelar o trilho de ar e procurar uma posição em que isso ocorra). 
 
1. Amarrar um fio no carro, passá-lo por uma polia colocada na extremidade do trilho e prender o 
suporte porta-peso na extremidade livre deste fio. Colocar 100 g no carro (50 g de cada lado) e 20 g 
no suporte porta-peso. 
 
2. Verifique a instalação elétrica do centelhador. 
 
3. Sem a fita termosensível, simule a obtenção dos dados: 
T 
M
a 
m 
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 44 
 
• repita o procedimento seguido no módulo anterior para preparação da tomada de dados; 
 
• e teste a manipulação e coordenação do centelhador. Lembre-se que, devido à alta tensão a que 
esta submetido, você só deve posicionar o carrinho utilizando objetos isolantes. 
 
 
3. Tomada de Dados 
 
1. Registre o movimento do carrinho na fita – Ver Figura 2 do Experimento 4. 
 
2. Retire a fita do trilho e observe-a. Mostre-a a seu professor e discuta com ele se é necessário fazer 
uma nova tomada de dados. 
 
3. Registre os valores para as massas sobre a Tabela 1 abaixo; 
 
4. Com a fita fixada sobre uma mesa: proceda à leitura dos dados obtidos: 
 
 
 
Tabela 1 
 M = .................±±±±............. ; m = .................±±±±..............; σσσσt =.....0..... e σσσσx = . ............. 
 
 t = x 
 
2t
) x- (x
 v 1-i1ii
+
= ; σv = 
t0= x0= v0= ----------------- 
t1= x1= v1= 
t2= x2= v2= 
t3= x3= v3= 
t4= x4= v4= 
t5= x5= v5= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tn= xn= vn= 
 
 
 
7. A partir dos dados experimentais complete a tabela 1, tomando como o valor da velocidade em um 
determinado instante a velocidade média entre os instantes t + ∆t e t - ∆t. Sendo assim, por exemplo, a 
velocidade média do terceiro ponto é:
13
13
2 tt
xx
v
−
−
= . Repare que não é possível, desta maneira, calcular 
as velocidades para os instantes inicial e final. 
 
8. Calcule a incerteza no valor da velocidade (Como ??). 
 
Determinação da aceleração – pelos gráficos s(t) e v(t) 
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 45 
8. A partir da tabela e dos dados, construir os gráficos x(t) e de v(t). Verificar o comportamento da 
função v x t. Ajustar a função apropriada para encontrar o valor de v0. 
 
9. Derivar, agora, v(t) para obter o gráfico de a = f(t). Verificar o comportamento da função a x t. 
Ajustar uma ou mais funções a esses pontos. 
 
 
9. Relatório - ATENÇÃO, MOSTRAR OS CÁLCULOS NO RELATÓRIO 
 
 Apresentar:A) a tabela de dados; 
B) os gráficos de x(t) e v(t) e as funções experimentais obtidas dos ajustes destes gráficos; 
C) os valores experimentais da aceleração obtida do ajuste no gráfico v(t); 
D) as conclusões (o que era esperado e o que foi obtido para o MRUV?). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 46 
…
†�‡_‰%ŁJ‹Ž�‰�‘_’–øØ«¾ù'‰
½HÚ*‘°�³¹Ï ‰%‹ff°*‰ûú-‰
ü�J’ffi
 
Introdução 
 Pela primeira lei de Newton, se a resultante das forças que atuam em um corpo for nula, este se 
encontra em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Mas, o que aconteceria se a força resultante não 
fosse nula? A resposta foi dada por Newton, numa simples equação vetorial, que relaciona força, massa e 
aceleração, chamada de segunda lei de Newton para o movimento: 
 
aFexternas ým=
þ
 (1) 
 Assim, o 
externas
F
ß
 na segunda lei é a soma vetorial, ou a força resultante de todas as forças 
externas que atuam no corpo . 
 Esta segunda lei engloba a primeira lei, ou seja, a primeira é um caso especial da segunda. Se 
externas
F
ß
= 0, a aceleração é nula e o corpo está em repouso ou em movimento retilíneo uniforme, o que é 
predito pela primeira lei. 
 
Objetivo 
 Neste experimento iremos verificar a validade da segunda lei e descrever o movimento de um 
corpo, submetido a uma força constante. Utilizaremos o arranjo experimental apresentado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esquema do trilho de Ar + Centelhador 
 
 
 Um carrinho de massa M desliza sobre um trilho de ar sob ação do peso de m que o acelera. A 
superfície possui um atrito muito baixo que será desconsiderado. 
 Aplicando-se a segunda lei de Newton ao sistema, tem-se: 
amMmgFexternas )( +==
�
. (2) 
 
Então: )( mM
gm
a
+
= (3) 
 
 O objetivo deste experimento é verificar a validade da segunda lei, mostrando que o valor da 
aceleração obtida, via Equação 3 é razoavelmente próximo do valor obtido experimentalmente do 
gráfico de v(t) ×××× t (Ver Relatório Anterior). 
 
T 
M
a 
m 
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2. Procedimento experimental 
 
Nivelamento do trilho de ar: Colocar um dos carros em repouso no trilho de ar (se não permanecer em 
repouso, nivelar o trilho de ar e procurar uma posição em que isso ocorra). 
 
1. Amarrar um fio no carro, passá-lo por uma polia colocada na extremidade do trilho e prender o 
suporte porta-peso na extremidade livre deste fio. Medir a massa do carro. Colocar 20 g no suporte 
porta-peso e medir a massa do porta-peso com essa massa; 
 
2. Verifique a instalação elétrica do centelhador; 
 
3. Sem a fita termosensível, simule a obtenção dos dados: 
 
• teste a manipulação e coordenação do centelhador. Lembre-se que, devido à alta tensão a que 
esta submetido, você só deve posicionar o carrinho utilizando objetos isolantes. 
 
 
3. Tomada de Dados 
 
1. Registre o movimento do carrinho na fita – Ver Figura 2 do Experimento 4; 
 
2. Registre os valores para as massas ( M e m ) nos espaços acima da Tabela 1; 
 
3. Com a fita fixada sobre a mesa: proceda à leitura dos dados obtidos e anote na tabela; 
 
 
Tabela 1 
 M = .................±±±±............. ; m = .................±±±±................; σσσσt =.....0..... e σσσσx = ±±±±……... 
 
 t = x 
 
2t
) x- (x
 v 1-i1imi
+
= ; σv = 
t0= x0= v0= ----------------- 
t1= x1= v1= 
t2= x2= v2= 
t3= x3= v3= 
t4= x4= v4= 
t5= x5= v5= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tn= xn= vn= 
 
 
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 48 
 
4. A partir dos dados experimentais complete a tabela, tomando como o valor da velocidade em um 
determinado instante a velocidade média entre os instantes t + ∆t e t - ∆t. Sendo assim, por exemplo, a 
velocidade média do terceiro ponto é:
13
13
2 tt
xx
v
−
−
= . Obtenha as velocidades co carro na posição dos 
demais pontos. Note que não é possível, desta maneira, calcular as velocidades para os instantes inicial 
e final; 
 
5. Calcule a incerteza no valor da velocidade; 
 
6. Repetir todo o procedimento experimental adicionando mais 100 g nas laterais do carro (50 g de cada 
lado) e para uma massa de 50 g no suporte porta-peso. Construir uma Tabela 2. 
 
 
 
4. Determinação da aceleração – pelo gráfico de v(t) 
 
2. A partir das tabelas, construir o gráfico de v(t) para os dois casos. Encontrar o valor de v0 e da 
aceleração do carro “a”. 
 
5. Relatório - ATENÇÃO, MOSTRAR OS CÁLCULOS NO RELATÓRIO 
 
 Apresente: 
 
A) As tabelas 1 e 2 com os valores encontrados para as massas e para as duas acelerações obtidas 
via equação 3; 
 
B) Os gráficos e obtenha a aceleração. Compare em cada caso os valores obtidos via eq. 3 com o 
obtido a partir do grafico, qual a diferença percentual entre as acelerações?; 
 
C) A conclusão sobre o experimento (foi comprovada a segunda lei de Newton? Explique as diferenças 
existentes). 
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 49 
…
†�‡J‰�ŁŒ‹Ž7‰�ÄÄ’�� •��#…�Íö¡ff…�Óîœ��#¡%œ���œ-ž	�#Í­•H…�úԅ�¡�
¢Ÿ�œ
��Ÿ�ú …	�'Ÿ���œ
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Em Física, o trabalho de uma força constante F é definido, em forma vetorial, como um produto 
escalar: 
 dF �
�
⋅=τ 
Embora as duas grandezas envolvidas em sua definição, força e deslocamento, sejam vetores, o 
trabalho é uma grandeza escalar. A unidade de trabalho no Sistema Internacional (SI) é o newton-metro, 
que recebeu o nome de joule (J), em homenagem ao cientista inglês James Prescott Joule. 
O trabalho de uma força variável que atua sobre uma partícula de massa m que se desloca de uma 
posição inicial xi até um ponto final xf é dado por: 
 
( )dxxF
xf
xi
�
=τ (1) 
Se F(x) é a força resultante que atua na partícula, podemos usar a segunda lei de Newton e 
reescrever: 
 
( ) dxmadxxF
xf
xi
xf
xi
��
==τ . (2) 
O produto madx pode ser reescrito na forma: 
 dx
dt
dv
mmadx = (3) 
Pela "regra da cadeia" do cálculo, temos: 
 v
dx
dv
dt
dx
dx
dv
dt
dv
== (4) 
A Eq. 3 se torna: 
 .mvdvvdx
dx
dv
mmadx == (5) 
Substituindo na Eq. 2, temos: 
 
22
2
1
2
1
if
vf
vi
vf
vi
mvmvdvvmdvmv −===
��
τ (6) 
Definindo: 
 
2
2
1
mvEC = ,(7) 
como sendo a energia cinética de uma partícula de massa m e velocidade v, temos: 
 
 CinicialCfinalC EEE ∆=−= −−τ (8) 
Essa expressão indica que o trabalho da força resultante que atua sobre a partícula que se move 
entre dois pontos é igual à variação da energia cinética da mesma entre esses pontos. Este é o enunciado 
do Teorema Trabalho-Energia Cinética. 
Neste experimento iremos comprovar o teorema trabalho-energia e para isso, utilizaremos o 
arranjo experimental descrito a seguir: 
 
Um planador de massa M desliza sobre um trilho de ar, a partir de uma velocidade inicial 
diferente de zero, sob ação do peso de m que o acelera. O arranjo possui um atrito muito baixo que será 
desconsiderado. 
No planador M atua uma tensão T devida a corda. Pela segunda lei de Newton, tem-se: 
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 50 
 MaT = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Esquema do trilho de Ar + Centelhador 
 
Lembre-se que, isolando o planador (carro), a tensão é a força resultante sobre ele. Se M teve 
um deslocamento x sobre o trilho de ar, então, o trabalho da tensão sobre o planador será dado, via 
teorema trabalho-energia cinética, pela variação da energia cinética do planador, ou seja: 
 
 )(
2
1
2
1
2
1
.
2
0
22
0
2 vvMMvMvxTT −=−==τ (10) 
De outra forma: 
 Considerando-se o sistema como um todo, a força resultante é o peso mg e o trabalho dessa 
força resultante sobre o sistema é dado, pelo teorema trabalho-energia cinética, pela variação da energia 
cinética do sistema, ou seja: 
 
2
0
2 )(
2
1)(
2
1
vmMvmMmgx +−+= 
 ))((
2
1 2
0
2 vvmMmgx −+= (11) 
 Para comprovar o teorema trabalho-energia cinética iremos verificar a validade das Eqs. 10 e 11, 
ou seja, vamos verificar se o lado esquerdo destas equações é realmente igual ao lado direito. 
 
Análise de dados 
 
Note que, para usar as Eq. 10 e 11, serão preciso apenas da velocidade inicial (v0) e de uma velocidade (v) 
no fim do movimento, preferencialmente, pouco antes da massa pendurada tocar o piso. 
2. Procedimento experimental 
 
1. Repita os passos dos experimentos anteriores para preparar o sistema; 
 
2. Registre o movimento do carro na fita; 
 
3. Registre os valores ( M, m, x e h0, conforme a figura do experimento) nos espaços acima da 
Tabela 1. 
 
 
 
x 
T 
M
a 
m 
v0 v 
h0 
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 51 
Tabela 1 M = ...............±±±±............. ; m = ...............±±±±.............; e σσσσx = ±±±±……... . 
 
x = ............................., ou seja, a distância entre as duas velocidades, v e v0. h0 = .............................. 
 t = x 
 
2t
) x- (x
 v 1-i1imi
+
= ; σv = 
t0= x0= v0= ----------------- 
t1= x1= v1= 
t2= x2= v2= 
t3= x3= v3= 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
t9= x9= v9= 
t10= x10= v10= 
t11= x11= v11= 
 
3. Análise dos dados – ATENÇÃO, MOSTRAR OS CÁLCULOS NO RELATÓRIO. 
 
1. Aplicar a segunda lei de Newton para obter o valor da aceleração; encontrar a força resultante “T” que atua 
sobre o planador (veja o experimento anterior); 
 
2. Calcular o valor do trabalho da tensão sobre o planador no intervalo ente as velocidades, xT . (lado esquerdo 
da eq.10); 
 
3. Obter o trabalho da força peso sobre o sistema, mgx (lado esquerdo da eq. 11); 
 
4. Comparar estes valores com os obtidos a partir do lado direito das equações 10 e 11, respectivamente. 
 
5. Calcule o valor da energia potencial gravitacional máxima (Ep = mgh0) e compare com o máximo obtido para 
a energia cinética do sistema (porque ?) que ocorre quando o peso toca o piso e anote ambos os resultados na 
Tabela 2. 
 
Tabela 2 
 Ep(J) máxima EC(J) máxima do sistema 
 
 
 ±±±± . 
 
 ±±±± . 
 
 Relatório Apresente: 
 
 A) A Tabela 1 preenchida; 
 
B) Os cálculos com os respectivos valores obtidos. Não esqueça de propagar as incertezas; 
 
C) A comparação entre o lado esquerdo e direito de ambas as Eq. 10 e 11; 
 
D) Procure fundamentar o item 5 da análise de dados com o Principio da Conservação da Energia Mecânica e 
apresente a Tabela 2; 
 
E) A conclusão sobre o experimento. 
 
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 52 
…
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Introdução 
Numa colisão, uma força interna de grande magnitude age em cada um de dois ou mais corpos 
por um tempo relativamente curto. Assim, aplicam-se as leis de conservação de energia, momento linear 
e momento angular. 
 As colisões podem ser classificadas como elásticas, em que a energia cinética se conserva - e 
inelásticas, em que não há conservação dessa energia. 
 Considere a colisão do corpo 1, de massa m1, movimentando-se com velocidade v1a, com o corpo 
2, de massa m2, parado: 
 
Antes da 
colisão 
 
 
 
Depois da 
colisão 
 
 
onde v1d e v2d são as velocidades após o choque dos corpos 1 e 2, respectivamente. Valem as leis de 
conservação do momento linear, p, e da energia - como os corpos não sofrem nenhuma rotação, o 
momento angular permanece nulo: 
 
ddaa pppp 2121 +=+ 
 
pdcddpacaa EEEEEE +==+= 
Como o movimento ocorre na horizontal, a energia potencial gravitacional permanece a mesma, 
então: 
 
222
2
22
2
11
2
11 dd
cd
a
ca
vmvmEvmE +=== 
E mais: 
dda ppp 211 += 
Ou ainda: 
dda vmvmvm 221111 ... += 
Combinando essas relações, temos: 
 ad v
mm
mm
v 1
21
21
1 )(
)(
+
−
= (1) 
 ad v
mm
m
v 1
21
1
2 )(
2
+
= (2) 
Note que, conforme os valores das massas ml e m2, v1d tem sentido igual ou contrário a v1a, 
enquanto que v2d tem sempre o mesmo sentido de v1a. Se m1 for igual a m2, o corpo 1 colide e para, 
enquanto que o corpo 2 passa a se deslocar com a velocidade inicial do corpo 1. 
Se o corpo 2 não está parado, v2d é diferente de zero e resulta que: 
 
aad v
mm
m
v
mm
mm
v 2
21
2
1
21
21
1 )(
2
)(
)(
+
+
+
−
= 
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 53 
 
 aad v
mm
mm
v
mm
m
v 2
21
21
1
21
1
2 )(
)(
)(
2
+
−
+
+
= 
Subtraindo uma da outra, fica: 
),( 1212 aadd vvvv −−=− 
onde dd vv 12 − e aa vv 12 − são as velocidades relativas do corpo 2 em relação ao corpo 1, depois e antes 
da colisão, respectivamente. 
Se a colisão for inelástica, a conservação de energia cinética já não vale mais, a diferença de 
energia cinética é convertida em calor ou energiapotencial de deformação, etc. Contudo, o momento 
linear permanece em conservação, pois não há força externa atuando. Um caso especial é aquele em que 
os dois corpos permanecem unidos, após a colisão, isto é, uma colisão completamente inelástica: 
daa vmmvmvm )( 212211 +=+ . 
 E se o corpo 2 estiver parado, vem: 
.1
21
1
ad v
mm
m
v
+
= 
Em geral, as colisões nem são perfeitamente elásticas nem completamente inelásticas, 
enquadrando-se entre esses extremos. Entretanto, é sempre possível caracterizar a perda de energia de 
uma colisão especificando um número e, chamado de coeficiente de restituição, representando a razão 
das velocidades relativas antes e depois da colisão, isto é: 
 
aa
aa
vv
vv
e
21
12
−
−
= 
Observe que, se a colisão for perfeitamente elástica, e = 1, enquanto que para uma colisão 
completamente inelástica ele é nulo. 
 
Objetivos 
 
 Estudar alguns tipos de colisões frontais entre dois carros. 
 
 
 
Procedimento experimental 
 
 Para medir as velocidades antes e após a colisão, coloque os sensores de velocidade nos lados 
esquerdo e direito do ponto onde ocorrerá a mesma. 
 
Primeiro tipo de colisão: colisão elástica com um dos carros parados 
 
1. Preparar os carros do seguinte modo: um deve ter o dispositivo elástico e o outro “nada”. Medir a 
massa dos carros e colocar massas complementares até que os dois possuam massas 
aproximadamente iguais. 
2. Colocar um dos carros em repouso no trilho de ar (se não permanecer em repouso, nivelar o 
trilho de ar e procurar uma posição em que isso ocorra) e disparar o outro. 
3. Repetir o procedimento 3 vezes e medir as velocidades antes e após cada colisão. 
4. Colocar 100 g adicionais no carro que ficará em repouso e repetir o experimento com esse novo 
arranjo. 
 
Segundo tipo de colisão: colisão elástica com os dois carros em movimento. 
 
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 54 
5. Com o arranjo de massas anterior (massas diferentes) "atirar" os dois carros, um de encontro ao 
outro, com velocidades aproximadamente iguais. Medir as velocidades antes e após a colisão. 
6. Repetir o procedimento anterior algumas vezes para ter certeza do movimento. 
 
Terceiro tipo de colisão: colisão inelástica. 
 
7. Trocar o dispositivo elástico pelo com agulha e adicionar um com massa no outro carro. 
8. Colocar o carro de maior massa em repouso e disparar o outro de menor massa. Repetir o 
procedimento 3 vezes e medir as velocidades antes e após cada colisão. 
 
Relatório 
 
 Apresente: 
A) os valores das massas dos carros, das velocidades antes e após cada colisão e dos respectivos valores 
teóricos das velocidades após cada colisão (ver equações) para as duas situações propostas no 
primeiro tipo de colisão; 
 
B) os valores das massas dos carros, das velocidades antes e após cada colisão e dos respectivos valores 
teóricos as velocidades após cada colisão para a situação proposta no segundo tipo de colisão; 
 
C) os valores das massas dos carros, das velocidades antes e após cada colisão e dos respectivos valores 
teóricos da velocidade do conjunto após cada colisão para a situação proposta no terceiro tipo de 
colisão; 
 
D) a conclusão do experimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. OBJETIVO 
 
Estudar o movimento de um corpo rígido, analisando-o como uma composição de um movimento de 
translação e outro de rotação. 
 
2. INTRODUÇÃO 
Você deve (antes de vir para a aula) ler textos sobre: 
 
 o movimento de corpos rígidos: Capítulo 12 do livro texto do curso de Física I. 
 
3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Utilizaremos uma canaleta com dois trechos, um inclinado e outro horizontal, e uma esfera. de aço. 
Faremos com que uma esfera realize inicialmente um movimento de rotação sobre a canaleta e, ao 
atingir o seu final, um movimento balístico até tocar o chão. 
 
4. TOMADA DE DADOS 
 
1. Observe a canaleta disponível no laboratório. Proponha uma maneira de determinar a distância 
vertical percorrida por uma esfera desde o ponto em que ela é abandonada até ser lançada do 
trecho horizontal. 
 
2. Meça as características físicas da esfera e da canaleta que são relevantes para a experiência (para 
fazer isso você precisará antes construir um modelo teórico). 
 
3. Observando se o movimento de uma esfera é um rolamento puro, abandone-a várias vezes da 
mesma altura, H, medida em relação ao ponto em que a esfera abandona a canaleta. 
 
4. Com o auxilio de um fio de prumo, papel carbono e papel, determine o alcance, A, da esfera. . 
 
5. Não se esqueça de medir a altura, h, percorrida pela esfera depois que abandonou a canaleta. 
 
6. Repita todo o procedimento com pelo menos 3 esferas de raios distintos. Atenção, medir o raio 
da esfera usando o paquímetro. 
 
Obs.: Não se esqueça de que todas as medidas devem ser obtidas com suas respectivas incertezas. 
 
 
5. ANÁLISE DOS DADOS 
 
Construa um modelo teórico para a sua experiência. Analise a conservação da energia mecânica 
quando uma esfera rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado. Equacione o movimento 
balístico da esfera. 
 
1. Determine, usando seu modelo teórico, o alcance, A em função das grandezas medidas durante o 
procedimento experimental. 
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2. Compare o resultado da previsão do seu modelo com o valor da medida direta do alcance. 
 
3. Comente a dependência do alcance com o raio da esfera. 
 
4. Diga se os resultados são compatíveis, dentro das respectivas incertezas. Em caso negativo tente 
descobrir as causas para a discrepância e, levando-as em conta, melhore seu modelo. 
 
5. Escreva seu relatório. 
 
6. ATIVIDADE EXTRA NO LABORATÓRIO 
 
Utilizando uma das esferas, meça o alcance para pelo menos 5 alturas de lançamento diferentes. 
Construa um gráfico de A2× h. Compare o coeficiente angular da reta obtida com o valor previsto por 
seu modelo teórico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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…
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¢Ÿ�¡ff͝ù1�32ê×ğ�Í
Introdução 
 Um giroscópio simples consiste de um disco livre para girar em tomo do eixo de uma haste. Se o disco 
estiver parado e a haste não paralela ao suporte, como no diagrama abaixo, 
 
 
quando o disco for solto, ele cairá, rodando para baixo em tomo do ponto O do suporte. Nessa queda, há uma 
rotação governada pela 2a lei de Newton na forma angular 
dt
Ld
=τ , ou seja, o momento angular inicial é zero e 
como ocorreu uma rotação nos instantes seguintes, há uma variação de L , causada pelo torque τ . Esse torque é 
causado pelo peso gM do giroscópio, atuando no seu centro de massa 4	4 no diagrama, considerado no centro 
do disco 4	4 e pelo braço de alavanca r , relativamente ao suporte situado em O ( gMr ×=τ ). 
Por outro lado, com o disco girando velozmente, o comportamento é muito diferente. O disco começa a 
girar em tomode um eixo vertical que passa pelo suporte, executando um movimento de precessão. Esse 
movimento ocorre porque o momento angular inicial não é mais zero. Como esse momento angular tem a direção 
da haste e o torque é perpendicular tanto a r , quanto a gM , Ld também é perpendicular ao plano formado por 
r e gM e,assim, o torque apenas muda a direção de L como nos diagramas: 
 
 
Figura 1 - Giroscópio girando em torno do eixo de uma baste. 
 
 À medida que o tempo passa, devido a atritos, o momento angular vai diminuindo de magnitude e o giros-
cópio cai. 
 Abaixo, vemos um diagrama do arranjo experimental, consistindo de disco, carretel acoplado de diâmetro 
2r, massa, m, pendente de um fio a altura h, haste e suporte. 
Haste 
Suporte 
 
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Figura 2 - Arranjo experimental para estudo do giroscópio. 
 
Inicialmente a haste está presa, e a tração no fio, T , faz com que o disco gire sem realizar a precessão. 
O torque aplicado ao disco resulta em: 
 
ατ ITr =×= 
αIrT = 
[ ] rIaagmr /)( =− 
[ ] Iaagmr =− )(2 
 
A aceleração da massa é igual a 2h/t2, então: 
22
2 2)]2([
t
hI
t
hgmr =− 
onde t é o tempo de queda. 
 Rearranjando os termos, resulta em: 
 h
mgr
mrI
t 2
2
2 2 += (1) 
 Por outro lado, suponha o giroscópio solto, equilibrado por um contra-peso, girando velozmente, a uma 
velocidade angular Gω ; como está equilibrado, nenhum torque age sobre ele. 
Pendurando uma massa m’ na extremidade do eixo, provê-se um torque provocando a precessão. Essa 
precessão, de velocidade angular Pω , faz com que o giroscópio descreva um ângulo ϕ à medida que gira; ou 
seja, a um intervalo de tempo dt o giroscópio gira de um ângulo dϕ , tal que dL = Ldϕ . Segue-se então que 
GGG
P I
rgm
Idt
dL
Idt
dL
Ldt
d
ω
τ
ωω
ϕ
ω
''111
===== 
 
onde r' é a distância da massa m' ao eixo; é, portanto, o braço da força m’g. 
 Substituindo as velocidades angulares pelos períodos ( T/2piω = ), obtemos: 
 T
 
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 P
G
T
I
rgm
T 24
''1
pi
= (2) 
Objetivos 
Determinar o momento de inércia (I) do disco do giroscópio. Investigar a relação entre período de 
precessão (TP) e o período de rotação (Tωωωω) do disco do giroscópio. 
 
Procedimento experimental 
Determinação do momento de inércia do disco: 
 
1. Fixar a haste do giroscópio na direção horizontal, conforme mostrado no diagrama acima. 
2. Enrolar o fio no carretel e prender o porta-peso, com uma massa adicional de 50g, na extremidade do fio. 
3. Deixar cair o porta-peso, cronometrando o tempo de queda, t. 
4. Medir a altura de queda e a massa do porta-peso. 
5. Fazer a medida para 5 alturas diferentes, regularmente espaçadas. 
6. Anotar as medidas do raio e da massa do disco, R e M, respectivamente, e o diâmetro, 2r, do carretel, de um 
disco idêntico, colocado sobre a mesa. Não esquecer de considerar os erros. 
 
Relação entre TG e TP: 
 
Atenção: este procedimento deve ser treinado algumas vezes, antes de começar a medição, pois esta deve ser 
rápida. Não permitir que o disco caia, pois pode ser danificado. 
 
1. Liberar o eixo do giroscópio e equilibrá-lo, cuidadosamente, com o contra-peso. 
2. Segurar o eixo, enrolar o fio e puxar com certa força, de modo que o disco gire velozmente. 
3. Fazer com que uma pequena fita presa ao disco passe através do foto-sensor, para que seja medido o período 
Tω. 
4. Terminada a contagem, afastar o sensor e colocar o porta-peso com 20g adicionais, na ranhura do eixo. 
5. Cronometrar o tempo que o giroscópio leva para rodar 1/4 de volta ou 1/2 volta, o que permite que TP seja 
calculado. 
6. Retirar o porta-peso, recolocar o eixo na horizontal e medir novamente o período (Tω) 
 7. Realizar 5 medidas, cada uma com uma velocidade diferente de rotação do disco. 
 
Análises 
Fazer o gráfico de t2 × h, (não esquecer da incerteza em t) ajustar uma reta passando pela origem e anotar 
o valor do coeficiente angular da reta, B, e seu erro, σB, ou seja, 2
BmínBmáx
B
σσ
σ
−
= . Então a partir da Eq. 1 
determinar I e σI. 
Compare este resultado do momento de inércia do disco I com o obtido teoricamente através de 
2
MRI
2
= 
Construir um gráfico de l/TG × TP. Verificar se os pontos estão alinhados. 
Passar uma reta de ajuste e anotar o valor do coeficiente angular, B', e seu erro σB’. 
Determinar os valores de I e σI, considerando a Eq. 2. 
 
Relatório 
Apresentar: 
A) o gráfico obtido a partir da Eq. 1, o momento de inércia do disco com o eixo imobilizado e os valores de M, R, 
m e r; 
B) o gráfico obtido a partir da Eq. 2, o valor do momento de inércia calculado a partir desta e, os valores de m' e 
r'; 
C) o valor teórico do momento de inércia do disco; 
D) as diferenças percentuais.