Equações e Desigualdades de 1º Grau

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Equações de primeiro grau
Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada 
com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais 
importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.
Sentença com palavras Sentença matemática
2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14
Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se 
posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o 
objetivo do estudo de equações.
Equações do primeiro grau em 1 variável
Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a 
balança:
A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. 
No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?
2 melancias + 2Kg = 14Kg
Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação 
poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:
2x + 2 = 14
Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e 
aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.
Podemos ver que toda equação tem:
 Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou 
incógnitas;
 Um sinal de igualdade, denotado por =.
 Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;
 Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.
A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa 
que provém do Latim e significa igual.
2 x + 2 = 14
1o. membro sinal de igualdade 2o. membro
As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.
Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.
2x + 2 = 14 Equação original
2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros
2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros
x = 6 Solução
Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela 
permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação 
por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma 
equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.
Exemplos:
1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-
se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para 
a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:
c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.
2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm 
uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra 
b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:
a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000
Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.
3. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de 
cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?
Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.
3x + 140 = 260
3x = 260 -140
3x = 120
x = 40
Resposta: Cada quarto tem 40m2.
Exercícios: Resolver as equações
1. 2x + 4 = 10
2. 5k - 12 = 20
3. 2y + 15 - y = 22
4. 9h - 2 = 16 + 2h
Desigualdades do primeiro grau em 1 variável
Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também 
denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos 
quatro sinais:
 < menor
 > maior
 < menor ou igual
 > maior ou igual
Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma 
ou mais incógnitas na equação proposta.
Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:
2x + 2 < 14
Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:
Passo 1 2x + 2 < 14 Escrever a equação original
Passo 2 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtrair o número 2 dos dois membros
Passo 3 2x < 12 Dividir pelo número 2 ambos os membros
Passo 4 x < 6 Solução
Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:
S = {1, 2, 3, 4, 5}
Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade
2x + 2 < 14
obteremos o conjunto solução:
S = {2, 4}
Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades 
"disfarçadas" em uma.
Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) 
desigualdades:
12 < 2x + 2 < 20
poderemos seguir o seguinte processo:
12 < 2x + 2 < 20 Equação original
12 - 2 < 2x + 2 - 2 < 20 - 2 Subtraímos 2 de todos os membros
10 < 2x < 18 Dividimos por 2 todos os membros
5 < x < 9 Solução
O conjunto solução é:
S = {6, 7, 8, 9}
Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades
12 < 2x + 2 < 20
obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:
S = Ø = { }
Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveis
Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação 
com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma 
geral típica, pode ser:
a x + b y < c
onde a, b e c são valores dados.
Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:
2x + 3y > 0
observamos que o conjunto solução contém os pares:
(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...
Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível 
exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma 
solução geométrica satisfatória.
Processo geométrico:
(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;
(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;
(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, 
colorimos a região que está do outro lado da reta.
(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.
Sistemas linear de equações do primeiro grau
Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo 
de equação poderá ter mais do que uma incógnita.
Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas 
equações do primeiro nessas duas incógnitas.
Exemplo: Seja o sistema de duas equações:
2 x + 3 y = 38
3 x - 2 y = 18
Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem 
simultaneamente a ambas as equações.
x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números 
reais:
S = { (10,6) }
Método de substituição para resolver este sistema
Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico de uma 
das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação.
Para entender o método, consideremos o sistema:
2 x + 3 y = 38
3 x - 2 y = 18
Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:
2x + 3y = 38 Primeira equação
2x + 3y - 3y = 38 - 3y Subtraímos3y de ambos os membros
2x = 38 - 3y Dividimos ambos os membros por 2
x = 19 - (3y/2) Este é o valor de x em função de y
Substituímos aqora o valor de x na segunda equação 3x-2y=18:
3x - 2y = 18 Segunda equação
3(19 - (3y/2)) - 2y = 18 Após substituir x, eliminamos os parênteses
57 - 9y/2 - 2y = 18 multiplicamos os termos por 2
114 - 9y - 4y = 36 reduzimos os termos semelhantes
114 - 13y = 36 separamos variáveis e números
114 - 36 = 13y simplificamos a equação
78 = 13y mudamos a posição dos dois membros
13 y = 78 dividimos ambos os membros por 6
y = 6 Valor obtido para y
Substituindo y=6 na equação x=19-(3y/2), obtemos:
x = 19 - (3×6/2) = 19 - 18/2 = 19-9 = 10
Exercício: Determinar a solução do sistema:
x + y = 2
x - y = 0
Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no 
plano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.
Relação entre sistemas lineares e retas no plano
No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma ax+by=c, representa uma reta no plano 
cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado 
como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.
Reta 1: ax + by = c
Reta 2: dx + ey = f
Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.
Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de:
Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na 
interseção das duas retas;
Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas 
paralelas;
Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.
Exemplos das três situações
Tipos de retas Sistema
Concorrentes x + y = 2x - y = 0
Paralelas x + y = 2x + y = 4
Coincidentes x + y = 22x + 2y = 4
Problemas com sistemas de equações:
1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-
se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema 
de equações será:
C + A = 22
C - A = 4
Resposta: C = 13 e A = 9
2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm 
uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o 
sistema de equações será:
A + B = 100000
A = 3B
Resposta: A = 75000, B= 25000.
3. Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de 
cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?
Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências 
com a letra O. Assim, o sistema será:
3D + O = 260
O = 140
Resposta: D = 40
Desigualdades com 2 Equações em 2 variáveis
Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais 
incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma 
geral pode ter a seguinte forma típica:
a x + b y < c
d x + e y > f
onde as constantes: a, b, c, d, e, f; são conhecidas.
Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:
2x + 3y > 6
5x + 2y < 20
Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível 
exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma 
solução geométrica satisfatória.
Processo geométrico:
(1) Traçar a reta 2x+3y=6 (em vermelho);
(2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz à primeira desigualdade;
(3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde);
(4) Traçar a reta 5x+2y=20 (em azul);
(5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2) (não é necessário que 
seja o mesmo) e observamos que ele satisfaz à segunda desigualdade;
(6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)
(7) Construir a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.
(8) Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.
Esta situação gráfica é bastante utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia e Processos 
de otimização. Um dos ramos da Matemática que estuda este assunto é a Pesquisa Operacional.
Equações do segundo grau 
Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: 
adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.
Exemplos:
1. a x + b = 0
2. a x² + bx + c = 0
3. a x4 + b x² + c = 0
Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:
ao x
n + a1 x
n-1 + ... + an-1 x
1 + an = 0
onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação 
algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado 
coeficiente do termo dominante.
Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, 
dizemos que esta é uma equação do segundo grau.
A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)
Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de 
Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a 
Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um 
século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material 
construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a 
uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.
Seja a equação:
a x² + b x + c = 0
com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:
x² + (b/a) x + c/a = 0
Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:
x² + (b/a) x = -c/a
Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto 
somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:
x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²
Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:
[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²
Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz 
quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais 
rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de 
uma forma fácil.
Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número 
real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:
x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]
ou
x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]
que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:
contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer 
significado em Matemática.
Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:
x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a
ou
x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a
A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:
onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do 
segundo grau, definido por:
D = b² - 4ac
Equação do segundo grau
Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:a x² + b x + c = 0
onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. 
Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao 
quadrado.
Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
1. 2 x² + 7x + 5 = 0
2. 3 x² + x + 2 = 0
Equação incompleta do segundo grau
Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente 
a é diferente de zero.
Exemplos:
1. 4 x² + 6x = 0
2. 3 x² + 9 = 0
3. 2 x² = 0
Resolução de equações incompletas do 2o. grau
Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:
x² = 0
significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.
Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante 
para o segundo membro para obter:
x² = -c/a
Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais 
contrários.
Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:
x (ax + b) = 0
e a equação terá duas raízes:
x' = 0 ou x" = -b/a
Exemplos gerais
1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.
2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]
3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.
4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0
Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.
1. x² + 6x = 0
2. 2 x² = 0
3. 3 x² + 7 = 0
4. 2 x² + 5 = 0
5. 10 x² = 0
6. 9 x² - 18 = 0
Resolução de equações completas do 2o. grau
Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-
la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.
Para esse discriminante D há três possíveis situações:
1. Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
2. Se D=0, há duas soluções iguais:
x' = x" = -b / 2a
3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:
x' = (-b + R[D])/2a
x" = (-b - R[D])/2a
Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, 
analisando os tipos de raízes da equação.
Equação a b c Delta Tipos de raízes
x²-6x+8=0 1 -6 8 4 reais e diferentes
x²-10x+25=0 
x²+2x+7=0 
x²+2x+1=0 
x²+2x=0 
O uso da fórmula de Bhaskara
Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x² - 5 x + 6 = 0
1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
2. Escrever o discriminante D = b²-4ac.
3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1
4. Escrever a fórmula de Bhaskara:
5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:
x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3
x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2
Exercícios
1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:
a. x² + 9 x + 8 = 0
b. 9 x² - 24 x + 16 = 0
c. x² - 2 x + 4 = 0
d. 3 x² - 15 x + 12 = 0
e. 10 x² + 72 x - 64 = 0
2. Resolver as equações:
a. x² + 6 x + 9 = 0
b. 3 x² - x + 3 = 0
c. 2 x² - 2 x - 12 = 0
d. 3 x² - 10 x + 3 = 0
Equações fracionárias do segundo grau
São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.
Exemplos:
1. 3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0
2. 3/(x²-4)+1/(x-2)=0
Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os 
denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração 
com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos 
denominadores das frações, se houver necessidade.
1. Consideremos o primeiro exemplo:
3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0
x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo 
comum entre os termos como:
MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)
Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:
[3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0
o que significa que o numerador deverá ser:
3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0
que desenvolvido nos dá:
x2 + 3x - 13 = 0
que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não 
existirão números reais satisfazendo esta equação.
2. Consideremos agora o segundo exemplo:
(x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)
O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e 
MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, 
teremos uma sequência de expressões como:
(x+3)(x+4)=2x(2x-1)
x² + 7x + 12 = 4x² - 2x
-3x² + 9x + 12 = 0
3x² - 9x - 12 = 0
x² - 3x - 4 = 0
(x-4)(x+1) = 0
Solução: x'=4 ou x"= -1
3. Estudemos outro exemplo:
3/(x²-4)+1/(x-2)=0
O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. 
Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:
3 + (x+2)=0
cuja solução é x= -5
Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:
1. x + 6/x = -7
2. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)
3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x
4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1
Equações bi-quadradas
São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:
a x4 + b x² + c = 0
Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da 
substituição:
y = x²
para gerar
a y² + b y + c = 0
Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o 
procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que
x² = y' ou x² = y"
e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.
Exemplos:
1. Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, 
assim:
x² = 4 ou x² = 9
o que garante que o conjunto solução é:
S = { 2, -2, 3, -3}
2. Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e 
desse modo:
x² = -4 ou x² = 9
o que garante que o conjunto solução é:
S = {3, -3}
3. Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou 
y"= -9 e dessa forma:
x² = -4 ou x² = -9
o que garante que o conjunto solução é vazio.
Equações transcendentais - Exponenciais
Equações Exponenciais
FUNÇÃO EXPONENCIAL
a) Definição
Dado um número real a, a > 0 e a diferente de 1, definimos função exponencial de base a à função f de R em R que 
associa a cada x real o número real ax. Simbolicamente:
Observações, Propriedades e Exemplos:
• A função exponencial é definida somente para base a positiva, uma vez que se a é negativo teríamos valores 
da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à 
raiz quadrada de -2 (ver a propriedade P7 do artigo sobre Radiciação ), que pertence ao conjunto dos números 
complexos, contradizendo a definição da função exponencial;
• A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, 
uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o 
conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma 
indeterminação para x = 0;
• A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;
• Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) 
pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico 
cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;
• Uma função f é dita crescentese dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens 
correspondentes obedecem a relação f(x1) < f(x2);
• Uma função f é dita decrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2);
• No caso da função exponencial ela é crescente se, e somente se, a > 1. E decrescente se, e somente se, 0 < a 
< 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui;
• A função exponencial é injetora, ou seja, dados x1 diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2). Esta 
propriedade é decorrência direta da propriedade acima;
• Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da 
função exponencial é o conjunto dos números reais positivos;
• Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x;
• Exemplos de funções exponenciais:
b) Teoremas
Neste tópico serão apresentados os principais teoremas sobre as funções exponenciais.
T1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então:
Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui.
T2. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, a > 1, então:
Demonstração:
Daqui, pelo teorema T1 temos:
T3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:
Demonstração:
Pelo teorema T1, vem que:
T4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
a) Definição
Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente.
Exemplos:
Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são:
• Método de redução a uma base comum;
• Método que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.
b) Método de redução a uma base comum
Este método, como o próprio nome diz, consiste no uso de técnicas que permitam, através de transformações baseadas 
nas propriedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mesma base. É claro 
que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução.
Como a função exponencial é injetora podemos concluir que:
ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.
c) Exercícios Resolvidos
Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas.
Para termos uma equação devemos ter uma igualdade,ou seja, alguma coisa igualada à outra.
E para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente X) colocada no 
expoente (potência). Para resolvê-las utilizamos métodos que se valem das propriedades que acabamos de estudar.
Não existe uma fórmula mágica para resolução de equações exponenciais, existe um objetivo a ser alcançado. Quando 
nos deparamos com uma equação exponencial devemos procurar um método de IGUALAR AS BASES de ambos os 
lados da igualdade. Isso mesmo, o objetivo é esse IGUALAR AS BASES. Veja abaixo vários exemplos resolvidos.
Esta é a nossa equação exponencial. Temos uma igualdade e veja que sua variável (X) está como 
expoente do termo à esquerda desta igualdade.
Bom, o nosso objetivo é igualar as bases, vamos fatorar ambos os lados:
O lado esquerdo já estava fatorado. Agora temos os dois lados com a mesma base. Chegamos ao 
objetivo. Agora devemos “CORTAR” as bases de ambos os lados.
Pronto, com as bases “cortadas” mantemos os expoentes e calculamos uma equação do primeiro grau.
x=2 Esta é a solução!!
Vejam agora um exemplo um pouquinho mais difícil:
O nosso objetivo é sempre o mesmo, igualar as bases. Vamos fatorar ambos os lados.
Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação
Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos cortar e resolver a equação do primeiro grau 
novamente.
2x-2=5 Aplicando as propriedades operatórias.
2x=5+2
2x=7
x=7/2 Esta é a solução
Vamos aumentar mais uma vez o nível.
Novamente começamos fatorando.
Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e radiciação.
Com as bases iguais vamos operar os expoentes
Esta é a nossa solução x=4
Mais um exemplo um pouco mais difícil.
Este exemplo é um pouco mais difícil pois tem um expoento no expoente. Note que teremos que 
igualar as bases duas vezes. Preste atenção. Vamos fatorar
Agora podemos cortar as bases. Sobram os expoentes.
Temos outra equação exponencial. Novamente vamos fatorar e igualar as bases.
Corta-se as bases.
x+1=2
x=2-1
x=1 Esta é a nossa solução, x=1
Novamente vamos aumentar a dificuldade:
Como sempre, vamos fatorar.
Vamos aplicar as propriedades operatórias de potenciação para multiplicação e divisão de 
mesma base.
Pronto, objetivo alcançado. Cortando…
8x-7=x-3
8x-x=7-3
7x=4
x=4/7 Esta é a solução
Agora com mais raízes.
Esta parece ser bem mais difícil, né?? Mas a dificuldade é a mesma, você precisa ter os 
mesmo conhecimentos para resolve-la. As bases já estão definidas, vai ser 2. O que devemos 
fazer é transformar o lado esquerdo em uma única raiz usando as propriedades de radiciação. 
Vamos primeiro trabalhar no 2 mais de dentro.
Agora é só fazer a multiplicação de potências de mesma base.
Uma raiz já foi. Vamos fazer a mesma coisa com as outras.
Mais uma vez para matar a última raiz.
Bases iguais, corta-las…
Agora é só operar e isolar “x”.
Esta é a nossa solução.
Veja uma que precisa de Bhaskara para resolver:
Precisamos igualar as bases mas nenhum dos lados da igualdade pode ser fatorado. Iremos usar uma 
propriedade que aprendemos na lição passada: qualquer número elevado na potência zero vale 1 
(Xo=1). Então o lado direito da igualdade pode ser 3o.
Agora com as bases igualadas vamos corta-las.
x2-x-6=0 Agora é uma equação do segundo grau. Aplicando Bhaskara achamos suas raízes.
{-2 e 3} Esta é a solução, “x” pode ser qualquer um destes valores.
Última agora
3·2x+3=
192
A única diferença deste exemplo é que antes de fatorar para tentar igualar as bases temos que “passar” o três 
que está multiplicando para o lado direito dividindo.
2x+3=1
92/3
Efetuando o cálculo
2x+3=6
4
Agora sim!!! Fatoramos para igualar as bases.
2x+3=2
6
Cortando…
x+3=6
x=6-3
x=3 Esta é a nossa solução.
Faça agora alguns exercícios que utilizam este mesmo método para resolução. Após isso veja mais exemplos 
resolvidos com outros métodos de resolução.
Exercícios:
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
7) 
 Se , então “x” vale:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
9) (PUC-RS) A soma das raízes da equação é:
(A) -4
(B) -2
(C) -1
(D) 2
(E) 4
10) (UFRGS) Sabendo-se que , tem-se que vale:
(A) -4
(B) -2
(C) 0
(D) 
(E) 2
11) (UFRGS) O valor de x que verifica a equação é:
(A) -1
(B) 
(C) 0
(D) 
(E) 1
12) (UFRGS) A solução da equação é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
13) (UFRGS) Sabendo que então vale
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
14) (PUCRS) A soma das raízes da equação é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
GABARITO
01- 05- {3; 1} 09- D 13- E
02- ±2 06- {9; 1} 10- D 14- A
03- {4; 3} 07- -1 11- A
04- 1 08- B 12- B
Equações transcendentais: Logarítmicas
Para isto é necessário acrescentar a seu repertório de conhecimentos a definição e propriedades dos 
logaritmos.
Definição
Dados a e b números reais e positivos, com a diferente de 1, definimos logaritmo de b na base a, o 
número x, cuja potência de grau x de a é igual a b. Ou seja:
Observações e consequências da definição:
1. Na expressão a esquerda a é denominado a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo;
2. Como a e b são ambos positivos e a é diferente de 1, existe um único valor de x que satisfaz a 
primeira igualdade na expressão acima;
3. Decorre da definição de logaritmo que loga1 = 0, pois a0 = 1. Em outras palavras, que o logaritmo 
de 1 em qualquer base é igual 0;
4. Do mesmo modo, observe que logaa = 1, uma vez que a potênciade grau 1 de a é o próprio a. Ou 
seja, que o logarítmo da base, qualquer que seja a base satisfazendo, claro, as condições da 
definição, é igual a 1;
5. Substituindo o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos que alogab = b;
6. logab = logac <=> b = c. Decorrência direta da definição (b = alogac) e do fato acima (alogac = c). 
Traduzindo: dois logaritmos em um mesma base são iguais se e somente se os logaritmandos são 
iguais;
7. Note que de 6. pode-se afirmar, ainda, que em uma igualdade ao se aplicar o logaritmo aos seus 
membros essa igualdade não se altera;
8. Ao conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (a > 0 e diferente 
de 1), denominamos de sistema de logaritmos de base a;
9. Entre a infinidade de sistemas de logaritmos de base a, dois são particularmente importantes: 
o sistema de logaritmo decimais ou de base 10 e o sistema de logaritmo neperiano (também 
chamado de sistema de logaritmos naturais) ou de base e (e = 2,71828…, irracional);
10.O logaritmo decimal é representado pela notação log10x ou simplesmente log x. E o neperiano por 
logex ou ln x;
11.Fato histórico 1: Henry Briggs, Matemático Inglês (1561-1630) foi quem primeiro destacou a 
vantagem dos logaritmos de base 10, publicando a primeira tabela (ou tábua) de logaritmos de 1 a 
1000 em 1617;
12.Fato histórico 2: O nome neperiano vem de John Neper, Matemático Escocês (1550-1617), autor do 
primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. O nome natural é devido ao fato de que 
no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma lei exponencial de base e.
Exemplos:
Antilogaritmo
Sejam a e b dois números reais positivos com a diferente de 1. Se o logaritmo de b na base a é igual a x, 
então b é oantilogaritmo de x na base a. Em símbolos:
Exemplos:
Propriedades dos Logaritmos
L1. O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é 
igual a soma dos logaritmos dos fatores. Isto é:
Demonstração:
Fazendo z = loga(b.c) temos, usando a definição de logaritmo, que:
az = b.c
Daqui, obtemos pela observação 5. acima:
az = alogab.alogac => az = alogab+logac => z = logab + logac
Substituindo z na última igualdade fica concluída a demonstração.
Uma outra forma, também simples e similar a anterior, de demonstrar a propriedade L1 é esboçada a seguir. 
Fazendo:
z = loga(b.c), x = logab e y = logac
vamos provar que z = x + y.
Aplicando a definição de logaritmo nas expressões acima obtemos, respectivamente:
az = bc, ax = b e ay = c
Substituindo b e c na primeira igualdade vem que:
az = axay => az = ax+y => z = x + y
A propriedade L1 é válida para o logaritmo do produto de n fatores (n > 2) reais e positivos, ou seja:
loga(b1.b2. … .bn) = logab1 + logab2 + … + logabn
A prova pode ser feita utilizando-se o método de indução sobre n, que consiste em:
• demonstrar que é verdadeira para n = 2 – já feita;
• supor que é válida para n = p > 2 e demonstrar que é verdadeira para n = p + 1.
Deixo para vocês a demonstração com a seguinte dica: agrupar como produto de dois fatores de modo a 
aplicar L1 e após utilizar a hipótese para n = p.
L2. O logaritmo do quociente de dois números reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) 
é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor nessa mesma base. Em símbolos:
Demonstração:
De maneira semelhante à adotada na propriedade L1, fazendo z = loga(b/c) obtemos:
Como consequência direta da propriedade L2 temos que:
Cologaritmo
Dados a e b dois números reais positivos, com a diferente de 1, define-se cologaritmo de b na base a ao 
oposto do logaritmo de b nessa base a. Ou seja:
cologab = -logab = loga(1/b)
L3. O logaritmo da potência de grau x de b em qualquer base a (a, b reais positivos, x real e a diferente de 
1) é igual ao produto do expoente x pelo logaritmo de b na base a. Em símbolos:
Demonstração:
Novamente fazemos uso do procedimento utilizado na demonstração das propriedades anteriores:
Fica como exercício a demonstração das propriedades L2 e L3 com o uso da segunda técnica adotada para 
provar a propriedade L1.
Como consequência da propriedade L3 temos que: o logaritmo da raiz de índice n de b na base a é igual ao 
produto do inverso do índice n pelo logaritmo do radicando na base a, i.e.:
Observações sobre as Propriedades L1, L2 e L3
• São válidas somente quando temos expressões logarítmicas que envolvam as operações de 
multiplicação, divisão e potenciação;
• Essas propriedades não permitem obter o logaritmo de uma soma ou diferença [loga(b + c) ou 
loga(b - c)]. Nestes casos, será necessário primeiro obter o valor da soma ou da diferença.
Mudança de Base
É muito comum, e você já deve ter se deparado com o fato, ter expressões ou equações logarítmicas em 
que seus membros estejam em bases diferentes.
Como na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos em uma mesma base é 
fundamental saber como isto é feito.
Você deve se lembrar (se não, volte às observações) que no início deste artigo mencionei como importante 
o sistema de logaritmo decimais ou de base 10, para o qual foi construída, pelo matemático Henry Briggs, 
uma tábua de logaritmos que possibilita determinar o seu valor para qualquer número real positivo.
Não abordaremos aqui os conceitos de mantissa e característica do logaritmo decimal utilizados para 
determinar seu valor com o auxílio da tabela. Fica apenas o registro de sua importância no uso das 
propriedades de mudança de base que apresentamos a seguir.
L4. Dados a, b e c números reais positivos, com a e c diferentes de 1, tem-se que:
Demonstração:
Fazendo logab = x, logcb = y e logca = z provemos que x = y/z (note que z é diferente de zero, pois por 
definição a é diferente de 1). De fato:
Como consequência da propriedade L4 temos:
1. logab = logcb.logac: a demonstração é feita transformando logcb para a base a no segundo membro 
da igualdade;
2. logab = 1/logba: transforme logab para a base b.
Exercícios Resolvidos
1. Resolver a equação 3x = 7 (lembra-se, a do início do artigo):
Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:
log 3x = log 7
Pela propriedade L3:
x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,771
2. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de 
R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?
Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de 
juros compostos cuja fórmula é:
onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.
Solução:
Sejam M1 e M2 os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:
M1 = 50000(1 + 0,05)t e M2 = 45000(1 + 0,06)t
Temos que determinar o tempo para que M1 = M2. Assim:
Introdução à estatística 
1- Objeto da estatística
Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, 
analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio 
padrão.
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes 
incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é 
objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que 
representam.
Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo 
antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os 
dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema 
em estudo, ou seja para a população de onde os dados provêm.
Quando de posse dos dados,procura-se agrupá-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a 
aleatoriedade presente. 
Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma 
hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a potencialidade da 
Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa 
pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido.
2- População e amostra
Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. Obviamente teria se 
uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a população, do que uma pequena parcela 
representativa, denominada amostra. Observa-se que é impraticável na grande maioria dos casos, estudar-
se a população em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, entre outros motivos.
A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é confiável e 
proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para que a inferência seja válida, 
é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de determinação correta da população, 
falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra.
Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam-se só alguns 
elementos, a que damos o nome de Amostra.
Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a sua utilização pode dar 
origem a interpretações erradas.
3- Recenseamento
Recenseamento é a contagem oficial e periódica dos indivíduos de um País, ou parte de um País. Ele 
abrange, no entanto, um leque mais vasto de situações. Assim, pode definir-se recenseamento do seguinte 
modo: 
Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o propósito de adquirir 
conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos acerca de características 
importantes desse universo. 
4- Estatística descritiva e estatística indutiva
Sondagem
Por vezes não é viável nem desejável, principalmente quando o número de elementos da população é muito 
elevado, inquirir todos os seus elementos sempre que se quer estudar uma ou mais características 
particulares dessa população.
Assim surge o conceito de sondagem, que se pode tentar definir como:
Estudo científico de uma parte de uma população com o objetivo de estudar atitudes, hábitos e preferências 
da população relativamente a acontecimentos, circunstâncias e assuntos de interesse comum. 
5- Amostragem
Amostragem é o processo que procura extrair da população elementos que através de cálculos 
probabilísticos ou não, consigam prover dados inferenciais da população-alvo.
 
Tipos de Amostragem
Não Probabilística
Acidental ou conveniência
Intencional
Quotas ou proporcional
Desproporcional
Probabilística
Aleatória Simples
Aleatória Estratificada
Conglomerado
Não Probabilística
A escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre encontrará desvantagem frente ao método 
probabilístico. No entanto, em alguns casos, se faz necessário a opção por este método. Fonseca (1996), 
alerta que não há formas de se generalizar os resultados obtidos na amostra para o todo da população 
quando se opta por este método de amostragem.
5.1- Acidental ou conveniência
Indicada para estudos exploratórios. Frequentemente utilizados em super mercados para testar produtos.
Intencional
O entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua opinião. Por exemplo, quando de um 
estudo sobre automóveis, o pesquisador procura apenas oficinas.
5.2- Quotas ou proporcional
Na realidade, trata-se de uma variação da amostragem intencional. Necessita-se ter um prévio 
conhecimento da população e sua proporcionalidade. Por exemplo, deseja-se entrevistar apenas indivíduos 
da classe A, que representa 12% da população. Esta será a quota para o trabalho. Comumente também 
substratifica-se uma quota obedecendo a uma segunda proporcionalidade.
5.3- Desproporcional
Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à população. Atribui-se pesos para os 
dados, e assim obtém-se resultados ponderados representativos para o estudo.
Probabilística
Para que se possa realizar inferências sobre a população, é necessário que se trabalhe com amostragem 
probabilística. É o método que garante segurança quando investiga-se alguma hipótese. Normalmente os 
indivíduos investigados possuem a mesma probabilidade de ser selecionado na amostra.
5.4- Aleatória Simples
É o mais utilizado processo de amostragem. Prático e eficaz, confere precisão ao processo de amostragem. 
Normalmente utiliza-se uma tabela de números aleatórios e nomeia-se os indivíduos, sorteando-se um por 
um até completar a amostra calculada
Uma variação deste tipo de amostragem é a sistemática. Em um grande número de exemplos, o 
pesquisador depara-se com a população ordenada. Neste sentido, tem-se os indivíduos dispostos em 
sequência o que dificulta a aplicação exata desta técnica.
Quando se trabalha com sorteio de quadras de casas por exemplo, há uma regra crescente para os 
números das casas. Em casos como este, divide-se a população pela amostra e obtém-se um coeficiente 
(y). A primeira casa será a de número x, a segunda será a de número x + y; a terceira será a de número x + 
3. y.
Supondo que este coeficiente seja 6. O primeiro elemento será 3. O segundo será 3 + 6. O terceiro será 3 + 
2.6. O quarto será 3 + 3.6, e assim sucessivamente.
Aleatória Estratificada
Quando se deseja guardar uma proporcionalidade na população heterogênea. Estratifica-se cada 
subpopulação por intermédio de critérios como classe social, renda, idade, sexo, entre outros.
5.5- Conglomerado
Em corriqueiras situações, torna-se difícil coletar características da população. Nesta modalidade de 
amostragem, sorteia-se um conjunto e procura-se estudar todo o conjunto. É exemplo de amostragem por 
conglomerado, famílias, organizações e quarteirões.
6- Dimensionamento da amostra
Quando deseja-se dimensionar o tamanho da amostra, o procedimento desenvolve-se em três etapas 
distintas:
• Avaliar a variável mais importante do grupo e a mais significativa;
• Analisar se é ordinal, intervalar ou nominal;
• Verificar se a população é finita ou infinita;
Variável intervalar e população infinita
Variável intervalar e população finita
Variável nominal ou ordinal e população infinita
Variável nominal ou ordinal e população finita
Obs.: A proporção (p) será a estimativa da verdadeira proporção de um dos níveis escolhidos para a variável 
adotada. Por exemplo, 60% dos telefones da amostra é Nokia, então p será 0,60.
A proporção (q) será sempre 1 - p. Neste exemplo q, será 0,4. O erro é representado por d.
Para casos em que não se tenha como identificar as proporções confere-se 0,5 para p e q.
7- Tipos de dados
Basicamente os dados, dividem-se em contínuos e discretos. O primeiro é definido como qualquer valor 
entre dois limites quaisquer, tal como um diâmetro. Portanto trata-se de um valor que ser "quebrado". São 
dados contínuos, questões que envolvem idade, renda, gastos, vendas, faturamento, entre muitas outras.
Quando fala-se em valores discretos, aborda-se um valor exato, tal como quantidade de peças defeituosas. 
Comumente utiliza-se este tipo de variáveis para tratar de numero de filhos, satisfação e escalas nominais 
no geral.
O tipologia dos dados determina a variável, ela será portanto contínua ou discreta. Isto quer dizer que ao 
definir-se uma variável com contínua ou discreta, futuramente já definiu-se que tipo de tratamento se dará a 
ela.
De acordo com o que dissemos anteriormente, numa análise estatística distinguem-se essencialmente duas 
fases: 
Uma primeira fase em que se procura descrever e estudar a amostra: 
EstatísticaDescritiva e uma segunda fase em que se procura tirar conclusões para a população:
1ª Fase Estatística Descritiva 
Procura-se descrever a amostra, pondo em evidência as características principais e as propriedades. 
2ª Fase Estatística Indutiva 
Conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de uma análise descritiva da amostra), expressas por meio 
de proposições, imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a existência de leis (na população). 
No entanto, ao contrário das proposições deduzidas, não podemos dizer que são falsas ou verdadeiras, já 
que foram verificadas sobre um conjunto restrito de indivíduos, e portanto não são falsas, mas não foram 
verificadas para todos os indivíduos da População, pelo que também não podemos afirmar que são 
verdadeiras ! 
Existe, assim, um certo grau de incerteza (percentagem de erro) que é medido em termos de Probabilidade.
Considerando o que foi dito anteriormente sobre a Estatística Indutiva, precisamos aqui da noção de 
Probabilidade, para medir o grau de incerteza que existe, quando tiramos uma conclusão para a população, 
a partir da observação da amostra.
8- Dados, tabelas e gráficos
Distribuição de frequência
Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os visualmente 
mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou categorias, verificando-se o 
número de indivíduos pertencentes a cada classe.
1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto:
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor 
das observações:
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor 
das observações:
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar 
compreendido entre 5 a 20. 
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: 
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e 
superior)
Distribuições simétricas
A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma classe 
média
 
Caso especial de uma distribuição simétrica
Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de dados que 
distribuem-se em forma de sino.
Distribuições Assimétricas
A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados:
 
Distribuições com "caudas" longas 
Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos concentrados 
na região central da distribuição.
9- Medidas de tendência Central
As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para dados 
agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média harmônica, quartis. 
Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e variância.
Medidas 
Média aritmética
Média aritmética para dados 
agrupados
Média aritmética ponderada
Mediana 1) Se n é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais
Moda Valor que ocorre com mais frequência.
Média geométrica
Média harmônica
Quartil
Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode 
dar uma imagem distorcida dos dados.
Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de localização do 
centro, é a média.
Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais frequência nas 
aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média).
A média possui uma particularidade bastante interessante, que consiste no seguinte: 
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o 
resultado obtido é igual a zero. 
A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações: 
Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média.
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida.
9.1- Moda
Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o 
intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. 
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a 
classe modal
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, 
apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes 
a mediana.
9.2- Mediana 
A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo: 
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao 
meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são 
maiores ou iguais à mediana 
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: 
Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. 
Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.
9.3-Considerações a respeito de Média e Mediana
Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n , X2:n , ... , Xn:n 
então uma expressão para o cálculo da mediana será:
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados.
1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 
2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores 
do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.
Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito 
grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes 
valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado 
utilizar a mediana.
A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 
1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana 
2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior que a 
mediana
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser inferior à 
mediana. 
10 - Medidas de dispersão
Introdução
No capítulo anterior, vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de dados. 
Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados através das seguintes medidas:
10.1- Medidas de dispersão
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade 
ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a 
principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.
10.2- Variância 
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das 
observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra 
menos um.
 
10.3- Desvio padrão 
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que 
a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os 
dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão: 
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a 
dispersão dos dados. 
Algumas propriedadesdo desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados. 
 
11. Distribuição Normal
A distribuição normal é a mas importante distribuição estatística, 
considerando a questão prática e teórica. Já vimos que esse tipo de distribuição apresenta-se em formato 
de sino, unimodal, simétrica em relação a sua média.
Considerando a probabilidade de ocorrência, a área sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer que a 
probabilidade de uma observação assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área 
compreendida entre esses dois pontos.
68,26% => 1 desvio
95,44% => 2 desvios
99,73% => 3 desvios
Na figura acima, tem as barras na cor marrom representando os desvios padrões. Quanto mais afastado do 
centro da curva normal, mais área compreendida abaixo da curva haverá. A um desvio padrão, temos 
68,26% das observações contidas. A dois desvios padrões, possuímos 95,44% dos dados compreendidos e 
finalmente a três desvios, temos 99,73%. Podemos concluir que quanto maior a variabilidade dos dados em 
relação à média, maior a probabilidade de encontrarmos o valor que buscamos embaixo da normal.
Propriedade 1:
"f(x) é simétrica em relação à origem, x = média = 0;
Propriedade 2:
"f(x) possui um máximo para z=0, e nesse caso sua ordenada vale 0,39;
Propriedade3:
"f(x) tende a zero quando x tende para + infinito ou - infinito;
Propriedade4:
"f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem média + DP e média - DP, ou quando z tem dois pontos de inflexão cujas 
abscissas valem +1 e -1.
Funções, Constante, 1º e 2 Grau 
Tipos particulares de funções 
FUNÇÃO CONSTANTE 
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3 
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x . 
Veja o gráfico a seguir: 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹ 0 .
Exemplos : 
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) 
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1). 
Propriedades da função do 1º grau : 
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta . 
 
2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ¹ 0 f é dita função afim .
Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) - excepcional 
matemático suíço - 1701/1783).
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
abcissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta . 
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. 
Exercício resolvido: 
1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10. 
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b 
Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a \ a = - 15 
Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b \ b = 35.
Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35. 
Agora resolva esta:
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é 
igual a:
*a) 2 
b) -2 
c) 0 
d) 3 
e) -3 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ¹ 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 ) 
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical . 
 
Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c : 
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo 
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde: 
xv = - b/2a 
yv = - D /4a , onde D = b
2 - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da 
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) ymax = - D / 4a ( a < 0 )
8) ymin = - D /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax
2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma 
fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2) 
Exercícios Resolvidos 
1 - UCSal - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto 
(-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25 
b) o seu valor mínimo é 1,25 
c) o seu valor máximo é 0,25 
d) o seu valor mínimo é 12,5 
*e) o seu valor máximo é 12,5. 
SOLUÇÃO:
Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:
y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função. 
Portanto, poderemos escrever:
y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3) 
Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:
8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)
8 = a(1)(-4) = - 4.a
Daí vem: a = - 2 
A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)
y = -2x2 + 6x - 4x + 12
y = -2x2 + 2x + 12 
Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12.
Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.
Isto já elimina as alternativas B e D. 
Vamos então, calcular o valor máximo da função.
D = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100
Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5
Logo, a alternativa correta é a letra E. 
2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
*a) 1/2 
b) 2 
c) 1 
d) 4 
e) -1/2 
SOLUÇÃO:
Seja x o número procurado.
O quadrado de x é x2 .
O número x excede o seu quadrado , logo: x - x2.
Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2 . 
Podemos escrever:
y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.
O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função). 
Assim,
xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2
Logo, a alternativa correta é a letra A . 
Geometria Básica
Volume 
Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa. Nesse cálculo, temos que 
ressaltar as três dimensões do sólido, observando o seu formato. O entendimento de volume é usado, 
mesmo que intuitivamente, em nossas ações no dia-a-dia, por exemplo: antes de estacionar um carro, 
calculamos mentalmente o espaço do carro e verificamos se tal espaço é compatível com as dimensões do 
carro, ao instalar uma TV em um móvel, conferimos, primeiro, se o espaço disponível pode comportar a TV, 
entre outros exemplos.
Alguns sólidos geométricos são formados por polígonos e esses polígonos recebem o nome de faces do 
polígono. Já o segmento que une duas faces do polígono recebe o nome de aresta do sólido. Assim como 
no cálculo da área, o cálculo do volume de um sólido depende do formato do sólido. Mas, de forma geral, o 
volume de um sólido geométrico é calculado a partir do produto de sua base por sua altura. Por enquanto, 
calcularemos o volume de alguns sólidos, como: o paralelepípedo retângulo, o cubo e o cilindro.
Paralelepípedo Retângulo
O paralelepípedo retângulo é um sólido cujas seis faces são 
retângulos. Para calcular o volume do paralelepípedo retângulo 
é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. 
Mas, como a base do paralelepípedo retângulo tem o formato 
retangular, exprimimos o valor de sua área por b x c. Portanto, 
se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do 
paralelepípedo retângulo, acharemos o valor do volume (V) 
desse sólido:
V = a x b x c
Cubo
O cubo é um sólido geométrico cujas seis faces são quadrados de 
mesmo lado. Para calcular o volume do cubo é necessário fazer oproduto da área de sua base pela altura. Mas, como a base do cubo é 
um quadrado de lado a, o valor de sua área é, então, definido pelo 
lado ao quadrado (a²). Sendo assim, se multiplicarmos o valor da área 
da base pela altura (a) do cubo, acharemos o valor do volume (V) 
desse sólido:
V = a x a x a ou V = a³
Cilindro
Cilindro é um sólido geométrico que pode ser entendido como um círculo 
prolongado até uma altura h. O cilindro possui duas faces iguais e de formato 
circular. Para calcular o volume do cilindro, deve-se fazer o produto da área de 
sua base pela altura. No caso do cilindro, sua base é um círculo, portanto a área 
de sua base é igual a (pi) x r². Multiplicando esse valor pela altura (h) do cilindro, 
achamos o seu volume (V):
V = (pi) x r² x h 
Área 
Área é a região plana interna delimitada pelos lados de um polígono. Tal conceito é amplamente usado no 
dia-a-dia, como na medição de um terreno, na delimitação de um espaço, entre outros. O valor da área de 
um polígono varia de acordo com seu formato.
Cada polígono tem uma forma peculiar para calcular sua área. Exemplificaremos alguns conhecidos, tais 
como: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango e círculo.
Retângulo
Já sabemos que o retângulo possui dois lados iguais chamados de base e 
outros dois lados iguais chamados de altura. Para sabermos o valor da 
área de um retângulo (A), devemos multiplicar a medida da base (b) pela 
medida da altura (h).
A = b x h
Quadrado
No quadrado, podemos aplicar o mesmo raciocínio usado para calcular a área do 
retângulo, multiplicando a medida da base pela medida da altura, mas, como no 
quadrado a medida de todos os lados é igual (l):
A = l x l ou A = l²
Paralelogramo
Se observarmos a figura ao lado, podemos notar que o 
paralelogramo é semelhante a um retângulo com os lados 
inclinados. Se tirarmos uma das partes inclinadas do paralelogramo 
e a enxertarmos no outro lado, formaremos um retângulo. Assim, a 
área do paralelogramo é calculado da mesma forma da área do 
retângulo, ou seja, multiplica-se o valor da base (b) pelo valor da 
altura (h).
A = b x h
Triângulo
No caso do triângulo, pode-se notar que ele é exatamente metade de um 
retângulo, portanto, num retângulo cabem dois triângulos, ambos de mesma 
área. Por conseguinte, a área do triângulo é metade da área do retângulo, ou 
seja:
A = b x h / 2
Losango
Ao traçar as diagonais, maior (D) e menor (d) do losango, o dividimos em quatro triângulos de áreas iguais, 
onde cada um tem a oitava parte da área do retângulo de base igual ao valor da diagonal menor do losango 
e de alura igual ao valor da diagonal maior. Logo, a área do losango é igual a quatro vezes a área de um 
dos quatro triânglos, resultando na metade da área desse retângulo. Portanto:
A = D x d / 2
Trapézio
Dado um trapézio, como o da figura ao lado, contendo a base 
menor (b), a base maior (B) e a altura (h). Se ao lado desse 
trapézio colocarmos um segundo trapézio, idêntico ao 
primeiro, mas invertido, ou seja, sua base menor voltada para 
cima e sua base menor voltada para baixo, formaremos um 
paralelogramo de base igual à soma das bases do trapézio e 
de mesma altura do trapézio. Assim, encontramos a área 
desse paralelogramo multiplicando sua base pela altura. Note 
que o valor achado é igual a área dos dois trapézios idênticos. 
Portanto, para calcular a área do trapézio, basta dividir o valor 
encontrado para a área do paralelogramo.
A = [(B + b) x h] / 2
Círculo
Considere um círculo de raio r. Divida-o em várias partes iguais, corte-o de 
forma que os pedaços sejam de formato triangular e abra a figura, formando 
um retângulo de base igual a 2x(pi)x r e altura igual ao próprio raio r do 
círculo. Portanto a área desse retângulo é achada multiplicando sua base 
pela altura. Deve-se notar que a área desse retângulo é o dobro da área do 
círculo, sendo assim, acha-se a área do círculo dividindo a área do retângulo 
por 2.
A = (pi) x r² 
Perímetro 
Perímetro é a soma das medidas dos lados de um polígono. Notoriamente, tal conceito é muito simples, 
basta verificar se todos os lados estão representados pelas mesmas unidades de comprimento e somá-los. 
Alguns casos valem ser ressaltados:
Retângulo
No retângulo, a medida de suas duas bases (b) são iguais, assim como a 
medida de suas duas alturas (h). Como perímetro é a soma de todos os 
lados, portanto seu perímetro é:
P = 2 x b + 2 x h
Polígonos Regulares
Nos polígonos regulares, tem-se uma particularidade: a medida de todos os lados é semelhante. Assim, o 
perímetro desses polígonos será o produto do número de lados (n) pela medida do lado (l), ou seja:
P = n x l
 
Medidas de Volume 
Quando falamos de medidas de volume, tem-se que mencionar que tal conceito vem sendo usado desde a 
antiguidade e, atualmente, convive-se com ele no dia-a-dia. Diversas são as atividades onde são usados o 
conhecimento sobre volume, como na construção de uma barragem, faz-se necessário calcular o volume de 
concreto para a obra; em um caminhão de transporte, onde é necessário conhecer o volume de carga total 
desse caminhão; na construção de uma piscina, onde é preciso conhecer o volume de água que a piscina 
suporta; em um botijão de gás, onde nele está marcado o volume de gás que ele contém, etc.
A unidade padrão de volume é o metro cúbico (m³), já que a unidade padrão de comprimento é o metro (m). 
Para calcular o valor de um volume, pode-se usar os múltiplos ou submúltiplos da unidade padrão de 
volume, se o valor for muito maior ou menor de que o metro cúbico, respectivamente. Os múltiplos são o 
quilômetro cúbico (km³), o hectômetro cúbico (hm³) e o decâmetro cúbico (dam³); os submúltiplos são o 
decímetro cúbico (dm³), o centímetro cúbico (cm³) e o milímetro cúbico (mm³).
Cada unidade de medida de volume vale 1000 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma 
mudança de unidade entre as medidas de volume, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade 
maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do 
número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento um pouco mais viável, pode-se deslocar a 
vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se 
desloca três casas decimais para a esquerda ou para a direita.
Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade 
mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a direita.
Ex: 0,0059 cm³ para mm³
Haverá a mudança para uma unidade de volume inferior, assim, desloca-se a vírgula três casas para a 
direita.
Portanto, o valor será de 0,0059 x 1000 = 5,9 mm³
Menor -> Maior: deve-se dividir por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a 
vírgula se desloca três casas decimais para a esquerda.
Ex: 526000 dm³ para dam³
Haverá a mudança para duas unidades de volume superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para a 
esquerda.
Portanto, o valor será de 526000 : 1000000 = 0,526 dam³ 
Medidas de Superfície 
Não se sabe ao certo quando foi usado pela primeira o cálculo da área de uma superfície. O que se sabe é 
que é algo muito antigo, antes mesmo de Cristo. No Egito Antigo, essa noção era utilizada para calcular o 
valor do imposto que um agricultor tinha que pagar ao faraó pelo uso da terra nas proximidades do rio Nilo. 
O valor de tal imposto era proporcional à extensão de terra que o agricultor possuía.
Atualmente, podemos citar vários exemplos de aplicação do cálculo da área de uma superfície: para saber a 
extensão de um terreno rural ou urbano, para estimar a área da superfície de um rio, para calcular o valor 
da área de uma figura geométrica, etc.
Como a unidade padrão de comprimento é o metro (m), aunidade padrão de superfície é o metro quadrado 
(m²). Assim como na unidade de comprimento, a unidade de superfície tem seus múltiplos e submúltiplos, 
que são usados para medir superficies maiores ou menores do que o metro quadrado. Os múltiplos são o 
quilômetro quadrado (km²), o hectômetro quadrado (hm²) e o decâmetro quadrado (dam²); os submúltiplos 
são o decímetro quadrado (dm²), o centímetro quadrado (cm²) e o milímetro quadrado (mm²).
Cada unidade de medida de superfície vale 100 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma 
mudança de unidade entre as medidas de superfície, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade 
maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do 
número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento mais simples, pode-se deslocar a vírgula para 
a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se desloca duas 
casas decimais para a esquerda ou para a direita.
Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 100 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade 
mudada, a vírgula se desloca duas casas decimais para a direita.
Ex: 0,09 m² para cm²
Haverá a mudança para duas unidades de superfície inferiores, assim, desloca-se a vírgula quatro casas 
para a direita.
Portanto, o valor será de 0,09 x 10000 = 900 cm²
Menor -> Maior: deve-se dividir por 100 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a 
vírgula se desloca duas casas decimais para a esquerda.
Ex: 2000 dm² para hm²
Haverá a mudança para três unidades de superfície superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para 
a esquerda.
Portanto, o valor será de 2000 : 1000000 = 0,002 hm² 
Medidas de Comprimento 
Durante muito tempo as unidades de medida eram muitas, variavam de acordo com o povoado. Por 
exemplo: um povoado mais ao Norte usava um palmo de mão como referência para medir comprimento e 
um outro povoado mais ao Sul usava o pé como unidade. Assim, tornava-se inviável estabelecer relações 
comerciais, o que impedia o progresso de grande parte dos povoados. Devido a essa dificuldade, tornou-se 
necessário estabelecer uma unidade padrão de comprimento, algo que fosse aceito por todos. Isso 
aconteceu no final do século XVIII, quando reformadores franceses escolheram uma comissão de cinco 
matemáticos para que elaborassem um sistema padronizado, foi quando definiu-se o metro (m) como 
unidade internacional de comprimento e seu valor é igual a fração 1/300.000.000 da distância percorrida 
pela luz, no vácuo em um segundo.
Dependendo do que vai ser medido, fica inviável medir usando o metro. Portanto deve-se usar medidas 
maiores ou menores do que o metro, múltiplos ou submúltiplos, respectivamente. Os múltiplos são o 
quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam). Já os submúltiplos são o decímetro (dm), centímetro 
(cm) e milímetro (mm).
Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de comprimento, deve-se multiplicar, se a 
mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor 
para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento mais simples, 
pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança.
Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 10 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, 
a vírgula se desloca uma casa decimal para a direita.
Ex: 3,7 dm para mm
Haverá a mudança para duas unidades de comprimento inferiores, assim, desloca-se a vírgula duas casas 
para a direita.
Portanto, o valor será de 3,7 x 100 = 370 mm
Menor -> Maior: deve-se dividir por 10 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a 
vírgula se desloca uma casa decimal para a esquerda.
Ex: 680 cm para dam
Haverá a mudança para três unidades de comprimento superiores, assim, desloca-se a vírgula três casas 
para a esquerda.
Portanto, o valor será de 680 : 1000 = 0,68 dam 
Juros Compostos
O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior 
rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, 
e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital 
com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e 
financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um 
maior rendimento, originando mais lucro.
Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao 
mês. Qual será o valor ao final da aplicação?
A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros 
compostos.
No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.
Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:
M = C * (1 + i)t, onde:
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: tempo de aplicação 
Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de 
uma calculadora científica.
Exemplo 2
Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 
1,5% durante um ano?
C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses
M = C * (1 + i)t
M = 7000 * (1 + 0,015)12
M = 7000 * (1,015)12 
M = 7000 * 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.
Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante.
Exemplo 3 
Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de 
R$ 15.237,43?
M: R$ 15.237,43
t: 10
i: 2% a.m. = 2/100 = 0,02
M = C * (1 + i)t
15237,43 = C * (1 + 0,02)10
15237,43 = C * (1,02)10
15237,43 = C * 1,218994
C = 15237,43 / 1,218994
C = 12500,00
O capital é de R$ 12.500,00.
Calculando a taxa de juros da aplicação.
Exemplo 4
Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que gerou o 
montante de R$ 10.145,93?
C: R$ 8.000,00
M: R$ 10.145,93
t: 12
i: ?
A taxa de juros da aplicação foi de 2%.
Calculando o tempo da aplicação. (Uso de técnicas de logaritmo)
Exemplo 5
Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês, para que 
produza um montante de R$ 1.444,89?
C: R$ 800,00
M: R$ 1.444,89
i: 3% a.m.= 3/100 = 0,03
t: ?
1.444,89 = 800 * (1 + 0,03)t 
1.444,89 = 800 * 1,03t
1.444,89/800 = 1,03t
1,03t = 1,806 (aplicar propriedade dos logaritmos)
log1,03t = log1,806
t * log1,03 = log1,806
t * 0,013 = 0,257
t = 0,257/0,013
t = 20
O capital deverá ficar aplicado por 20 meses. 
Na tabela dos 100 primeiros números naturais destacamos em azul os números primos, portanto os 
números primos entre 1 e 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 
71, 73, 79, 83, 89, 97.
Juros Simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros 
gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado 
ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
 
J = P . i . n
 
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
 
 Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e 
devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. 
 Montante = Principal + Juros
 Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
 
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
 
 Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a.durante 145 dias.
 SOLUÇÃO:
 M = P . ( 1 + (i.n) )
 M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42
 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 
dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
 Exercícios sobre juros simples:
 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias.
 0.13 / 6 = 0.02167
 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195
 j = 1200 x 0.195 = 234
 
 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.
 Temos: J = P.i.n
 A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d.
 Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular 
diretamente:
 J = 40000.0,001.125 = R$5000,00
 
 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?
 Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30)
 Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,
 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Daí, vem:
 P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67
 
 4 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado 
através de capitalização simples?
 Objetivo: M = 2.P
 Dados: i = 150/100 = 1,5
 Fórmula: M = P (1 + i.n)
 Desenvolvimento:
2P = P (1 + 1,5 n)
2 = 1 + 1,5 n
n = 2/3 ano = 8 meses
Exercícios
1) O juro produzido por um capital de 5.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 6% a.a. durante 2 anos é igual a:
a) 500,00
b) 1.200,00
c) 1.000,00
d) 800,00
e) 600,00
2) O juro de uma aplicação de 1.000,00 em 18 meses, se a taxa de juros é de 42% a.a. é de:
a) 720,00
b) 420,00
c) 756,00
d) 630,00
e) 1.200,00
3) A quantia a ser aplicada em uma instituição financeira que paga a taxa de juros simples de 8% a.a., para que se 
obtenha 1.000,00 no fim de 4 anos é:
a) 320,00
b) 543,47
c) 238,09
d) 570,00
e) 757,58
4) Um capital aplicado a 5% ao mês a juro simples, triplicará em:
a) 3 anos
b) 80 meses
c) 40 meses
d) 12 meses
e) 50meses
5) Um principal de R$ 5.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 2,2% a.m., atingindo, depois de certo período, um 
montante equivalente ao volume de juros gerados por outra aplicação de R$ 12.000,00 a 5% a.m. durante 1 ano. O 
prazo de aplicação do primeiro principal foi de:
a) 10 meses
b) 20 meses
c) 2 anos
d) 1,5 ano
e) 30 meses
6) A taxa de juros simples relativa a uma aplicação de R$ 10.000,00 por um período de 10 meses, que gera um 
montante de R$ 15.000,00 é de:
a) 48% a.a.
b) 15% a.m.
c) 10% a.m.
d) 100% a.a.
e) 5% a.m.
7) Uma loja oferece um relógio por R$ 3.000,00 à vista ou 20% do valor à vista, como entrada, e mais um pagamento de 
R$ 2.760,00 após 6 meses. A taxa de juros cobrada é de:
a) 30% a.a.
b) 1% a.d.
c) 3% a.m.
d) 360% a.a.
e) 12% a.a.
8) As taxas de juros ao ano, proporcionais às taxas 25% a.t.; 18% a.b.; 30% a.q. e 15% a.m., são, respectivamente:
a) 100%; 108%; 90%; 180%
b) 100%; 180%; 90%; 108%
c) 75%; 26%; 120%; 150%
d) 75%; 150%; 120%; 26%
e) 100%; 150%; 120%; 108%
9) As taxas de juros bimestrais equivalentes às taxas de 120% a.a.; 150% a.s.; 86% a.q. e 90% a.t. são 
respectivamente:
a) 40%; 100%; 86%; 120%
b) 60%; 43%; 50%; 20%
c) 20%; 50%; 43%; 60%
d) 120%; 86%; 100%; 40%
e) 20%; 43%; 50%; 60%
10) Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$ 3.000,00. Que 
taxa equivalente semestral recebeu?
a) 10%
b) 40%
c) 6,6%
d) 8,4%
e) 12%
11) Os juros simples comercial e exato das propostas abaixo relacionadas são, respectivamente:
• R$ 800,00 a 20% a.a., por 90 dias 
• R$ 1.100,00 a 27% a.a., por 135 dias 
• R$ 2.800,00 a 30% a.a., por 222 dias 
a) 111,38 e 109,85; 518,00 e 510,90; 40,00 e 39,45
b) 40,00 e 39,45; 111,38 e 109,85; 518,00 e 519,90
c) 39,45 e 40,00; 109,85 e 111,38; 510,90 e 518,00
d) 40,00 e 39,95; 109,85 e 111,38; 518,00 e 510,90
e) 40,00 e 111,38; 39,45 e 109,85; 510,90 e 518,00
12) O juro simples exato do capital de R$ 33.000,00, colocado à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 1945 a 28 de maio 
do mesmo ano, foi de:
a) R$ 664,52
b) R$ 660,00
c) R$ 680,00
d) R$ 658,19
e) R$ 623,40
13) A quantia de R$ 1.500,00 foi aplicada à taxa de juros de 42% a.a., pelo prazo de 100 dias. O juro dessa aplicação se 
for considerado juro comercial e juro exato, será, em R$, respectivamente:
a) 175,00 e 172,12
b) 172,12 e 175,00
c) 175,00 e 172,60
d) 172,60 e 175,00
e) 170,00 e 175,00
14) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado à taxa de 25% a.a. em 12 de fevereiro de 1996. Se o resgate for efetuado 
em 03 de maio de 1996, o juro comercial recebido pelo aplicador foi, em R$, de:
a) 138,89
b) 138,69
c) 140,26
d) 140,62
e) 142,60
15) Certa pessoa obteve um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de juros simples de 12% a.a. Algum tempo depois, 
tendo encontrado quem lhe emprestasse R$ 150.000,00 à taxa de juros simples de 11% a.a., liquidou a dívida inicial e, 
na mesma data, contraiu novo débito. Dezoito meses depois de ter contraído o primeiro empréstimo, saldou sua 
obrigação e verificou ter pago um total de R$ 22.500,00 de juros. Os prazos do primeiro e do segundo empréstimo são, 
respectivamente:
a) 12 meses e 6 meses
b) 18 meses e 6 meses
c) 6 meses e 12 meses
d) 6 meses e 18 meses
e) 12 meses e 18 meses
16) João fez um depósito a prazo fixo por 2 anos. Decorrido o prazo, o montante, que era de R$ 112.000,00, foi 
reaplicado em mais um ano a uma taxa de juros 15% superior à primeira. Sendo o montante de R$ 137.760,00 e o 
regime de capitalização juros simples, o capital inicial era, em R$:
a) 137.760,00
b) 156.800,00
c) 80.000,00
d) 96.000,00
e) 102.000,00
17) O prazo em que um capital colocado à taxa de 5% a.a., rende um juro comercial igual a 1/50 de seu valor é igual a:
a) 144 dias
b) 146 dias
c) 150 dias
d) 90 dias
e) 80 dias
18) Uma pessoa sacou R$ 24.000,00 de um banco sob a condição de liquidar o débito no final de 3 meses e pagar ao 
todo R$ 24.360,00. A taxa de juro cobrada pelo uso daquele capital foi de:
a) 4,06% a.a.
b) 6% a.a.
c) 4,5% a.a.
d) 8% a.a.
e) 1% a.m.
19) Um agricultor, possuidor de um estoque de 5.000 sacas de café, na esperança de uma alta do produto, rejeita uma 
oferta de compra desse estoque ao preço de R$ 80,00 a saca. Dois meses mais tarde, forçado pelas circustâncias, 
vende o estoque ao preço de R$ 70,00 a saca. Sabendo-se que a taxa corrente de juro é de 6% a.a., o prejuízo real do 
agricultor, em R$, foi de:
a) 350.000,00
b) 50.000,00
c) 54.000,00
d) 38.000,00
e) 404.000,00
20) A taxa de juros anual a que de ser colocado um capital para que produza 1/60 de seu valor em 4 meses é de:
a) 7,2%
b) 8%
c) 4%
d) 6%
e) 5%
21) Um negociante obteve R$ 100.000,00 de empréstimo à taxa de 7% a.a. Alguns meses depois, tendo encontrado 
quem lhe oferecesse a mesma importância a 6% a.a., assumiu o compromisso com essa pessoa e, na mesma data, 
liquidou a dívida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro empréstimo, saldou o débito e verificou que 
pagou, ao todo, R$ 6.250,00 de juros. O prazo do primeiro empréstimo foi de?
a) 9 meses
b) 6 meses
c)11 meses
d) 3 meses
e) 7 meses
22) Uma pessoa deposita num banco um capital que, no fim de 3 meses (na época do encerramento das contas), se 
eleva, juntamente com o juro produzido, a R$ 18.180,00. Este montante, rendendo juro à mesma taxa e na mesma 
conta, produz, no fim de 6 meses, outro montante de R$ 18.543,60. O capital inicial foi de, em R$:
a) 18.000,00
b) 16.000,00
c) 15.940,00
d) 17.820,00
e) 17.630,00
23) A taxa de juro do banco foi de:
a) 48% a.a.
b) 3% a.m.
c) 8% a.a.
d) 10% a.a.
e) 4% a.a.
24) O prazo para que o montante produzido por um capital de R$ 1.920,00, aplicado a 25% a.a., se iguale a um outro 
montante produzido por um capital de R$ 2.400,00 aplicado a 15% a.a., admitindo-se que os dois capitais sejam 
investidos na mesma data, é de:
a) 4 meses
b) 6 anos
c) 6 meses
d) 2 anos
e) 4 anos
25) Emprestei R$ 55.000,00, durante 120 dias, e recebi juros de R$ 550,00. A taxa mensal aplicada foi de:
a) 2,5% a.m.
b) 25,25% a.m.
c) 2,25% a.m.
d) 0,25% a.m.
e) 4% a.m.
26) Uma pessoa deposita R$ 30.000,00 num banco que paga 4% a.a. de juros, e receber, ao fim de certo tempo, juros 
iguais a 1/6 do capital. O prazo de aplicação desse dinheiro foi de:
a) 60 meses
b) 80 meses
c) 50 meses
d) 4 anos
e) 2100 dias
27) Uma pessoa emprestou certo capital a 6% a.a. Depois de um ano e meio retirou o capital e os juros e aplicou 
novamente o total, desta vez a 8% a.a. Sabendo que no fim de 2 anos e meio, após a segunda aplicação, veio a retirar 
o montante de R$ 26.160,00. O capital emprestado no início foi de, em R$:
a) 20.000,00
b) 21.800,00
c) 23.600,00
d) 19.000,00
e) 19.630,00
28) O capital que, aplicado a uma taxa de 3/4% a.m., produz R$ 10,80 de juros anuais é, em R$:
a) 144,00
b) 97,20
c) 110,00
d) 90,00
e) 120,00
29) Um capital aumentado de seus juros durante 15 meses se elevou a R$ 264,00. Esse mesmo capital diminuído de 
seus juros durante 10 meses ficou reduzido a R$ 224,00. A taxa empregada foi de:
a) 18% a.a.
b) 8% a.a.
c) 1% a.m.
d) 0,5% a.m.
e) 0,01% a.d.
30) Certa pessoa emprega metade de seu capital juros simples, durante 2 anos, à taxa de 5% a.a. e metade durante 3 
anos, à taxa de 8% a.a., obtendo, assim, o rendimento total de R$ 2.040,00. O seu capital é de, em R$:
a) 6.000,00
b) 12.000,00
c) 14.000,00
d) 7.000,00
e) 12.040,00
31) A taxa mensal de um capital igual R$ 4.200,00, aplicado por 480 dias e que rendeu R$ 1.232,00 de juros é de:
a) 2,08%
b) 8.08%
c) 1,83%
d) 3,68%
e) 2,44%
32) (TTN/89) Calcular os juros simples que um capital de 10.000,00 rende em um ano e meio aplicado à taxa de 6% a.a. 
Os juros são de:
a) 700,00
b) 1.000,00
c) 1.600,00
d) 600,00
e) 900,00
33) (TTN/89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é 
de:
a) 1.100,00
b) 1.000,00
c) 1.392,00
d) 1.200,00
e) 1.399,68
34) (TTN/92) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se obtenha os mesmos juros simples que os produzidos 
por Cr$ 400.000,00 emprestados a 15% ao mês, durante o mesmo período?
a) Cr$ 420.000,00
b) Cr$ 450.000,00
c) Cr$ 480.000,00
d) Cr$ 520.000,00
e) Cr$ 500.000,00
Gabarito:
1E – 2D – 3E – 4C – 5B – 6E – 7A – 8A – 9C – 10A – 11B – 12B – 13C – 14D – 15C -16C – 17A – 18B – 19C – 20E – 
21D – 22A – 23E – 24E – 25D – 26C – 27A – 28E – 29B – 30B – 31C – 32E – 33D – 34E
Logaritmos
Antes de iniciarmos o estudo de logaritmos, é importante revermos alguns pequenos conceitos de 
exponenciais.
Sendo: , dizemos que c é o expoente, b é a base e a é a potência.
Dependendo dos valores de a e b:
- poderá não haver valores de c que satisfaçam a igualdade 
Exemplo: 
- poderá haver um único valor de c que satisfaça a igualdade 
Exemplo: (No caso, o único valor de c = 0)
- poderá haver infinitos números que satisfaça a igualdade 
Exemplo: 
Deduzimos assim que sendo b>0, e a>0, existe um único valor real c que satisfaça 
.
A partir disso, podemos definir o que é logaritmo, bem como iniciar o estudo de suas propriedades.
 se, e somente se, 
Onde b>0, e a>0
Não decore a definição de logaritmo, procure compreender. Para tanto, vamos ver alguns exemplos 
baseados em simples exercícios.
Ex.1) Transforme as seguintes potências em logaritmos e vice-versa.
a) 
Resolução: 
Notem que 3>0, e 9>0
b) 2³ = 8
Resolução: 
c) 
Resolução: 
Notem que 10>0, e 100>0
Estejam sempre atendos a tais propriedades. Caso seja vestibulando, o exame tentará te "pegar" neste 
ponto, pois é comum os estudantes se esquecerem disso.
Muitos devem estar pensando... Mas que inutilidade? Afinal, para que servem os logaritmos?
O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ele 
é fundamental, também, em outras matérias como por exemplo na Química para o cálculo do pH (potencial 
de hidrogênio). A análise, permite-nos saber se uma solução é ácida, básica ou neutra. Na física, utilizamos 
logaritmos em acústica para determinarmos a intensidade (decibel) de um som. Não entraremos nestes 
detalhes.
Uma curiosidade da Química:
Em uma solução de 1 litro, encontramos 0,01 mol de íons hidrogênio. Esta solução é ácida, básica ou 
neutra?
A concentração de íons hidrogênio é de 0,01 mol/l, ou seja, [H] = 
Assim, concluímos que . Trata-se, portanto, de uma solução ácida, pois o pH<7.
Inseri este exemplo, só para terem uma noção de que as ciências são intimamentes ligadas. 
Conhecimentos de matemática são utilizados constantemente na física, na química, na biologia e em 
demais matérias.
Propriedades fundamentais de logaritmos:
1) 
2) 
3)
4) 
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
4) 
Propriedades de logaritmos II
Para x>0, y>0, b>0 e , temos:
1) 
2) 
3) 
Exemplos:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Propriedade - Mudança de base
Sendo x>0, b>0, , c >0 e 
Exemplos:
1) 
2) Dado que , determine
Resolução: 
Observação: Os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos decimais. 
Quando a base do logaritmo não é indicada, trata-se de um logaritmo decimal.
Para finalizarmos, vamos ver alguns exercícios resolvidos e uma questão da Universidade Estadual de 
Londrina - UEL, presente no nosso simulado.
Exercícios resolvidos:
Ex.R.1) Dados log2=0,3 e log3=0,4, calcule:
a) log6
Resolução: 
b) log9
Resolução: 
c) log5
Resolução: 
d) 
Resolução: 
Matrizes e Determinantes 
Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma 
tabela rectangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a 
matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n)
Exemplos:
A = ( 1 0 2 -4 5) ® Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5)
B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1.
Notas:
1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.
Exemplo:
A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3 , dita simplesmente de ordem 3 .
2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde aij é um elemento da linha i e 
coluna j da matriz.
Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31 = 4 , a33= 3 , a3,2 = 5 , etc.
3) Matriz Identidade de ordem n : In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i ¹ j .
Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é:
A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente deordem 3 é:
4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-
versa.
Exemplo:
A matriz At é a matriz transposta da matriz A .
Notas: 
4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica.
4.2) Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas .
4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At = 0 (matriz nula) .
Produto de matrizes
Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao número 
de linhas de B.
Amxn x Bnxq = Cmxq
Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m 
x q .
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:
Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da 
segunda matriz, obtido da seguinte forma:
L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:
Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto P 
de ordem 3x3.
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ¹ B x A
DETERMINANTES
Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz 
quadrada , calculado de acordo com regras específicas .
É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante .
Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem 
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:
• O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :
• det (A) = ½ A½ = ad - bc
Exemplo:
Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relação Fundamental daTrigonometria ) . Portanto, o 
determinante da matriz dada é igual à unidade.
Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).
SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS(1798 - 1861), foi professor 
na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.
Nota: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof. SARRUS nos livros de 
Matemática do segundo grau, que apresentam (ou mais simplesmente apenas citam) o nome do professor, 
na forma REGRA DE SARRUS, para o cálculo dos determinantes de terceira ordem. Graças ao Prof. José 
Porto da Silveira - da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, pudemos disponibilizar a valiosa 
informação acima! O Prof. SARRUS, foi premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de um 
trabalho que versava sobre as integrais múltiplas, assunto que vocês estudarão na disciplina Cálculo III, 
quando chegarem à Universidade. 
Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira:
1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante.
2 - Efetue os produtos em "diagonal" , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal 
positivo para os resultados à direita.
3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada.
Exemplo:
.2 3 5
.1 7 4
Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 77.
Principais propriedades dos determinantes
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 
P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( At ).
P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.
P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.
P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.
P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica 
multiplicado (ou dividido) por esse número.
P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, 
multiplicada por um número real qualquer.
P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) .
Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz identidade de ordem n . Nestas 
condições , podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1 ; 
logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A).
Notas: 
1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO 
INVERSÍVEL .
2) se det A ¹ 0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .
P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de 
ordem n , forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal 
principal.
P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k Î R então det(k.A) = kn . det A
Exemplos:
1) Qual o determinante associado à matriz?
Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando 
os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO.
2) Calcule o determinante:
Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA Þ DETERMINANTE NULO , conforme 
propriedade P3 acima. Logo, D = 0.
3) Calcule o determinante:
Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90
Exercícios propostos:
1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. Se 
o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5
b) 5 
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ¹ j . 
Se det (3A) = 1296 , então n é igual a:
Resp: n = 4
3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde 
aij = i + j se i ³ j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A?
Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 82
4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o determinante da 
matriz 5 A é igual a:
Resp: zero
Matrizes e Determinantes II
1 - Definições:
1.1 - Chama-se Menor Complementar ( Dij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante 
que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir :
Podemos escrever: 
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante 
que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:
Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como 
exercício!
1.2 - Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) 
i+j . Dij .
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a: 
cof(a23) = (-1)
2+3 . D23 = (-1)
5 . 10 = - 10.
2 - Teorema de Laplace
• O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila 
qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
• Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já 
conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só 
recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse 
teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 
4ª ordem, a sua aplicaçãoresultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de 
determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for 
Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.
• Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou 
coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.
• Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês.
3 - Cálculo da inversa de uma matriz.
a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde In é a matriz 
identidade de ordem n.
b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo 
cofator. 
Símbolo: cof A .
c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz:
Onde: A-1 = matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .
 
Exercícios propostos
1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu 
determinante é igual a:
*a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3
e) -4
2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz:
Resp: 15
3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i ³ j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos 
elementos da diagonal secundária.
Resp: 12
4 - As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. 
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5 
b) 5 
c) 1/40 
d) 1/20 
e) 20
5 - Dadas as matrizes A = (aij)3x4 e B = (bij)4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento 
c12 da matriz C = A.B é:
a)12 
b) 11 
c) 10 
d) 9 
*e) inexistente
Os números inteiros: o conjunto Z 
Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números 
inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número.
É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números 
inteiros Z, ou seja: N ⊂ Z.
Define-se o módulo de um número inteiro como sendo o número sem o seu sinal algébrico. Assim é que , 
representando-se o módulo de um número inteiro x qualquer por |x|, poderemos citar como exemplos:
| –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etc
O módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo.
Chama-se oposto (ou simétrico aditivo) de um número inteiro a ao número – a.
Propriedades dos números inteiros:
1 – Todo número inteiro n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1. 
Exemplos: suc(– 3) = – 3 + 1 = - 2; suc(3) = 3 + 1 = 4.
2 – Dados dois números inteiros m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições :
m = n [ m igual a n ] (igualdade)
m > n [ m maior do que n ] (desigualdade)
m < n [ m menor do que n] (desigualdade).
Esta propriedade é conhecida como Tricotomia.
Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ≥ ou ≤ os quais possuem a seguinte leitura:
a ≥ b [ a maior do que b ou a = b ].
a ≤ b [ a menor do que b ou a = b ]
Assim por exemplo, x ≤ 3, significa que x poderá assumir em Z os valores
3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, - 4, ...
Já x < 3, teríamos que x seria 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ...
É óbvio que o zero é maior do que qualquer número negativo ou na sua forma equivalente, qualquer número 
negativo é menor do que zero.
... –10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...
Operações em Z
1 – Adição: a + b = a mais b.
A adição de dois números inteiros obedece às seguintes regras:
a ) números de mesmo sinal : somam-se os módulos e conserva-se o sinal comum.
Exemplos:
(-3) + (-5) + (-2) = - 10
(-7) + (-6) = - 13
b) números de sinais opostos: subtraem-se os módulos e conserva-se o sinal do maior em módulo.
Exemplos:
(-3) + (+7) = + 4
(-12) + (+5) = -7
Propriedades:
Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
1.1 – Fechamento: a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Diz-se então que o 
conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à adição.
1.2 – Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c
1.3 – Comutativa: a + b = b + a
1.4 – Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.
1.5 – Unívoca: o resultado da adição de dois números inteiros é único.
1.6 – Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número inteiro a ambos os 
membros, ou seja, se a > b então a + c > b + c.
2 – Subtração: Observa-se que a subtração (diferença) é uma operação inversa da adição.
Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto Z é fechado em relação à 
subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números inteiros, sempre será um outro número inteiro. 
Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais, mas possui 
resultado no conjunto Z dos números inteiros, ou seja -7.
A subtração de dois números inteiros será feita de acordo com a seguinte regra:
a – b = a + (-b)
Exemplos:
10 – (-3) = 10 + (+3) = 13
(-5) – (- 10) = (-5) + (+10) = +5 = 5
(-3) – (+7) = (-3) + (-7) = - 10
3 – Multiplicação: é um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número inteiro a si próprio n 
vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x n
Na igualdade a . n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.
A multiplicação de números inteiros, dar-se-á segundo a seguinte regra de sinais:
(+) x (+) = +
(+) x (-) = -
(-) x (+) = -
(-) x (-) = +
Apresentaremos uma justificativa para a regra acima, mais adiante neste capítulo, ou seja, o porquê 
de MENOS x MENOS ser MAIS!
Exemplos:
(-3) x (-4) = +12 = 12
(-4) x (+3) = -12
Propriedades:
Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
3.1 – Fechamento: a multiplicação de dois números inteiros é sempre outro número inteiro. Dizemos então 
que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à operação de multiplicação.
3.2 – Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c
3.3 – Comutativa: a x b = b x a
3.4 – Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.
3.5 – Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números inteiros é único.
3.6 – Uma desigualdade não se altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo número inteiro 
positivo, ou seja, se a > b então a . c > b . c
3.7 - Uma desigualdade muda de sentido, se multiplicarmos ambos os membros por um mesmo número 
inteiro negativo, ou seja: a > b então a . c < b . c
Exemplo: 10 > 5. Se multiplicarmos ambos os membros por (-1) fica - 10 < - 5. Observe que o sentido da 
desigualdade mudou.
3.8 – Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).
A propriedade distributiva acima, nos permite apresentar uma justificativa simples, através de um exemplo, 
para o fato do produto de dois números negativos resultar positivo, conforme mostraremos a seguir:
Considere o seguinte produto:
A = (7 – 5) x (10 – 6) cujo resultado já sabemos ser 2 x 4 = 8.
Desenvolvendo o primeiro membro, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à 
adição,
vem:
A = (7x10) + [7x(-6)] +[(-5)x10] + [(-5)x(-6)]
A = 70 – 42 – 50 + [(-5)x(-6)]
Como já sabemos que A = 8, substituindo fica:
8 = 70 – 42 – 50 + [(-5)x(-6)]
Isolando o produto [(-5)x(-6)], vem:
[(-5)x(-6)] = 8 – 70 + 42 + 50 = 8 + 42 + 50 – 70 = 100 – 70 = 
30
Observa-se então que realmente 
[(- 5)x(- 6)] = 30 = + 30.
4 – Potenciação: é um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que 
multiplicando-se um número inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... xa que será 
indicado pelo símbolo a n , onde a será denominado base e n expoente. Assim é que, por exemplo, 53 = 
5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.
Com base nas regras de multiplicação de números inteiros, é fácil concluir que:
a) Toda potencia de base negativa e expoente par não nulo, tem como resultado um número positivo.
Exemplos:
(-2)4 = +16 = 16
(-3)2 = +9 = 9
(-5)4 = +625 = 625
(-1)4 = + 1 = 1
b) Toda potencia de base negativa e expoente ímpar, tem como resultado um número negativo.
Exemplos:
(-2)3 = - 8
(-5)3 = - 125
(-1)13 = - 1
5 – Divisão: O conjunto Z dos números inteiros não é fechado em relação à divisão, pois o quociente de 
dois números inteiros nem sempre é um inteiro.
A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às mesmas regras vistas para a 
multiplicação, ou seja:
(+) : (+) = +
(+) : (-) = -
(-) : (+) = -
(-) : (-) = +
Exemplos:
(–10) : (– 2) = + 5 = 5
(– 30) : (+ 5) = – 6
Para finalizar, vamos mostrar duas regras de eliminação de parêntesis ( ), que poderão ser bastante úteis:
R1) Todo parêntese precedido do sinal + pode ser eliminado, mantendo-se os sinais das parcelas interiores.
Exemplo:
+ (3 + 5 – 7) = 3 + 5 – 7 = 1
R2) Todo parêntese precedido do sinal – pode ser eliminado, desde que sejam trocados os sinais das 
parcelas interiores.
Exemplos:
– (3 + 4 – 7) = – 3 – 4 + 7 = 0
– (–10 – 8 + 5 – 6 ) = 10 + 8 – 5 + 6 = 19
– (–8 – 3 – 5 ) = 8 + 3 + 5 = 16
Exercícios resolvidos
1 – A temperatura de um corpo variou de – 20º C para 20º C. Qual a variação total da temperatura do 
corpo?
Solução: Sendo ∆T a variação total da temperatura, vem:
∆T = Tfinal – Tinicial = 20 – (– 20) = 20 + 20 = 40 º C.
2 – Um veículo movendo-se a uma velocidade de 20 m/s, parou após 50 m. Qual a variação da velocidade 
até o veículo parar?
Solução: Sendo ∆v a variação total da velocidade, vem:
∆V = vfinal – vinicial = 0 – 20 = – 20 m/s.
Números Racionais
Um número racional é o que pode ser escrito na forma
m
n
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. 
Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de 
divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: 
ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os 
números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}
Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o 
conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.
Todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para 
frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a 
palavra racionais para nos referirmos aos números racionais.
 
Representação, ordem e simetria dos racionais
Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada. 
Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida 
como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da 
esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é 
adotada por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.
Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva. 
Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor 
do que s, escrevemos:
r < s
Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à 
direita na reta numerada.
Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é 
caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q 
que é 0. Como exemplo, temos que:
(a) O oposto de 3/4 é -3/4.
(b) O oposto de 5 é -5.
Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um 
espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do 
ponto virtual -q ao espelho. 
Módulo de um número racional
O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto 
-q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:
|q| = max{-q,q}
Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.
Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a 
origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional. 
A soma (adição) de números racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição 
entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:
a 
b
+
c 
d
=
ad+bc 
bd
Propriedades da adição de números racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda 
é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a + b = b + a
Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:
q + 0 = q
Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que
q + (-q) = 0
Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de 
adição do número p com o oposto de q, isto é:
p - q = p + (-q)
Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais. 
A Multiplicação (produto) de números racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto 
de dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:
a 
b
×
c 
d
=
ac 
bd
O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem 
nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale 
em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de 
dois números com sinais diferentes é negativo.
Propriedades da multiplicação de números racionais
Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um 
número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
Comutativa: Para todos a, b em Q:
a × b = b × a
Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:
q × 1 = q
Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que
q × q-1 = 1
Esta última propriedade pode ser escrita como:
a 
b
×
b 
a
= 1
Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de 
multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:
p ÷ q = p × q-1
Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da 
forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?
A divisão de números racionais esclarecea questão:
a 
b
÷
c 
d
=
a 
b
×
d 
c
=
ad 
bc
Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é 
também desnecessária no conjunto dos números racionais. 
Propriedade distributiva (mista)
Distributiva: Para todos a, b, c em Q:
a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) 
Potenciação de números racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o 
número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125
(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8
(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25
(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25
Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o 
expoente é n=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do 
quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser 
obtido por V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo. 
Raízes de números racionais
A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número 
racional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que o 
número q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).
Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste 
trabalho. Assim:
r = Rn[q] equivale a q = rn
Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz 
n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número 
racional q por R[q].
A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número 
racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.
Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.
Exemplos:
(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.
(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.
(c) R[144] = 12 pois 12²=144.
(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.
Observação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números 
racionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada 
mais tarde no contexto dos Números Complexos.
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o 
aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número 
negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outro 
número racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos são 
válidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.
Exemplos:
(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.
(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.
(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.
(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.
Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:
(1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.
(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional. 
Média aritmética e média ponderada
Média aritmética: Seja uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média aritmética 
entre esses n números é a soma dos mesmos dividida por n, isto é:
A= x1 + x2 + x3 +...+ xn
n
Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:
12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33
então a idade média do grupo pode ser calculada pela média aritmética:
A=
12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33 
 9
=
352
 9
= 39,11
o que significa que a idade média está próxima de 39 anos.
Média aritmética ponderada: Consideremos uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., 
xn, de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn. A média 
aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, 
isto é:
P=
x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pn 
 p1 + p2 + p3 +...+ pn
Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por 
sub-grupos com as seguintes características:
12 ganham R$ 50,00
10 ganham R$ 60,00
20 ganham R$ 25,00
15 ganham R$ 90,00
7 ganham R$ 120,00
Para calcular a média salarial (por dia) de todo o grupo devemos usar a média aritmética ponderada:
P=
50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7 
 12 + 10 + 20 + 15 + 7
=
3890 
64
=60,78
Médias geométrica e harmônica
Média geométrica: Consideremos uma coleção formada por n números racionais não negativos: x1, x2, 
x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses números, isto 
é:
G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]
Exemplo: A a média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:
G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013
Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro 
é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média 
geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.
A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.
G = R[a × b] = R[64] = 8
Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só 
pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas 
dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.
Interpretação gráfica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente 
de uma forma bastante simples.
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e 
BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.
Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um 
compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferencia começando em A e terminando em C. O 
segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do 
segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.
Média harmônica: Seja uma coleção formada por n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A média 
harmônica H entre esses n números é a divisão de n pela soma dos inversos desses n números, isto é:
PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS E ARITMÉTICAS
Progressão Aritmética
 Definição
É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo. É a soma do anterior com uma constante, 
denominada razão. Esta razão e representada pela letra r.
 Elementos
a1 - 1
o termo
an - termo genérico (ou n-ésimo termo)
r - razão
n - número de termos
Sn - soma dos termos
TM - termo médio
 Fórmula do termo Geral da P.A.
an = a1 + (n-1).r 
 Interpolação Aritmética
Interpolar ou inserir 'k' meios aritméticos entre os termos a1 e an significa formar uma progressão aritmática 
de 'k + 2' termos, onde a1 e an são extremos.
Soma dos Termos da P.A.
A soma dos termos de uma P.A. limitada (ou finita) é igual ao produto da semi-soma dos extremos pelo 
número de termos.
Termo Médio de uma P.A.
Consequência da Fórmula da Soma
P.A. de número ÍMPAR de termos Sn = TM .
Si - Sp = TM
onde: Si = a1 + a3+ a5 + ... e Sp = a2 + a4 + a6 + ...
P.A. de número PAR de termos: 
Representação de 3 termos na P.A.
Quando três termos desconhecidos estão em progressãoaritmética, pode-se usar o seguinte artifício: 
(x-r) ; x ; (x+r)
 
Exercícios - PROGRESSÃO ARITMÉTICA - P.A.
Questões
1-) Encontre o termo geral da P.A. (2, 7, ...).
2-) Encontre o termo geral da P.A. (7/3, 11/4, ...).
3-) Qual é o décimo quinto termo da P.A. (4, 10, ...).
4-) Qual é o centésimo número natural par ?
5-) Ache 0 5o termo da P.A. (a+b ; 3a-2b ; ...).
6-) Ache o sexagésimo número natural ímpar.
7-) Numa P.A. de razão 5, o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44 ?
8-) Ache a1 numa P.A., sabendo que r=1/4 e a17=21.
9-) Quantos termos tem uma P.A. finita, de razão 3, sabendo-se que o primeiro termo é -5 e o último é 16 ?
10-) Calcule o número de termos da P.A. (5, 10, ..., 785).
11-) Qual é o primeiro termo de uma P.A. cujo sétimo termo é 46, sendo o termo precedente 39 ? 
12-) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos ?
13-) Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5 ? 
14-) Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são divisíveis por 8 ?
15-) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37. 
16-) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para que a razão da interpolação seja 8 ?
17-) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que podem ser interpolados entre 10 e 500.
18-) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no quilometro 3 e outro no 
quilometro 88. Entre eles serão colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones 
consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais marcos quilométricos deverão ficar esses 
novos telefones.
19-) (ITA-SP) Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem 
por 7 ? 
20-) Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um determinado produto e, em 1988, produziu 
23330 unidades do mesmo produto. Sabendo que a produção anual desse produto vem crescendo em 
progressão aritmética, pede-se:
a) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987 ?
b) Quantas unidades foram produzidas em 1991 ? 
Respostas
Questão 1
Dados: a1 = 2 ; r = 7 - 2 = 5 ; an = ? ; n = ? 
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
an = 2 + (n -1).5 
an = 2 + 5n - 5 
an = 5n - 3
Resposta: an = 5n - 3
Questão 2
Dados: a1 = 7/3 ; r = 11/4 - 7/3 = (33 - 28)/12 = 5/12 ; an = ? ; n = ? 
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
an = 7/3 + (n -1). 5/12 
an = 7/3 + 5/12n - 5/12 
an = 5/12n + 28/12 - 5/12 
an = 5/12n + 23/12 
Resposta: an = 5/12n + 23/12 ou an = (5n + 23)/12
Questão 3
Dados: a1 = 4 ; r = 10 - 4 = 6 ; an = a15 = ? ; n = 15 
Resolução: 
an = a1 + (n-1).r
a15 = 4 + (15 -1).6 
a15 = 4 + 14.6 
a15 = 4 + 84 
a15 = 88 
Resposta: a15 = 88
Questão 4
Dados: a1 = 0 ; r = 2 - 0 = 2 ; an = a100 = ? ; n = 100 
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
a100 = 0 + (100 -1).2 
a100 = 0 + 99.2 
a100 = 198 
Resposta: a100 = 198
Questão 5
Dados: a1 = a+b
r = (3a-2b)-(a+b) 
r = 3a-2b - a-b 
r = 2a-3b 
an = a5 = ? ; n = 5
Resolução: 
an = a1 + (n-1).r
a5 = a+b + (5-1).(2a-3b) 
a5 = a+b + 4.(2a-3b) 
a5 = a+b +8a-12b 
a5 = 9a - 11b 
Resposta: a5 = 9a - 11b
Questão 6
Dados: a1 = 1 ; r = 3 - 1 = 2 ; an = a60 = ? ; n = 60
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
a60 = 1 + (60 -1).2 
a60 = 1 + 59.2 
a60 = 1 + 118 
a60 = 119 
Resposta: a60 = 119
Questão 7
Dados: a1 = 4 ; r = 5 ; an = 44 ; n = ? 
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
44 = 4 + (n-1).5 
44 = 4 + 5n -5 
44 -4 + 5 = 5n 
45 = 5n 
45/5 = n 
9 = n ou n = 9 
Resposta: 9a posição
Questão 8
Dados: a1 = ? ; r = 1/4 ; a17 = 21 ; n = 17 
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
a17 = a1 + (17-1).(1/4) 
21 = a1 + 16/4
21 = a1 + 4
21 - 4 = a1
17 = a1
Resposta: a1 = 17
Questão 9
Dados: a1 = -5 ; r = 3 ; an = 16 ; n = ? 
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
16 = -5 + (n-1).3
16 = -5 + 3n -3
16 = 3n - 8
16 + 8 = 3n 
24 = 3n
24/3 = n
8 = n
Resposta: n = 8
Questão 10
Dados: a1 = 5 ; r = 5 ; an = 785 ; n = ? 
Resolução: 
an = a1 + (n-1).r
785 = 5 + (n-1).5
785 = 5 + 5n -5
785 = 5n
785/5 = n 
157 = n 
Resposta: n = 157
Questão 11
Dados: a1 = ? ; an = a7 = 46 ; a6 = 39 ; r = a7 - a6 ; r = 46 - 39 ==> r = 7 ; n = 7 
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
46 = a1 + (7-1).7 
46 = a1 + 6.7 
46 = a1 + 42 
46 - 42 = a1 
4 = a1
Resposta: a1 = 4
Questão 12
Dados: P.A.(105,...,994); a1 = 105 ; an = 994 ; r = 7 ; n = ? 
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
994 = 105 + (n-1).7 
994 = 105 + 7n - 7 
994 = 105 - 7 + 7n
994 = 98 + 7n
994 - 98 = 7n
896 = 7n 
896/7 = n 
128 = n
Resposta: n = 128
Questão 13
Dados: P.A.(0,...,95);a1 = 0 ; an = 95 ; r = 5 ; n = ? 
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
95 = 0 + (n-1).5 
95 = 0 + 5n - 5 
95 + 5 = 5n 
100 = 5n
100 = 5n
100/5 = n
20 = n
Resposta: n = 20
Questão 14
1-) Calculamos a quantidade de números, entre 100 e 500, que são divisíveis por 8.
Dados: P.A.(104,...,496); a1 = 104 ; an = 496 ; r = 8 ; n = ? 
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
496 = 104 + (n-1).8 
496 = 104 + 8n - 8 
496 = 96 + 8n 
496 - 96 = 8n 
400 = 8n 
400/8 = n 
50 = n 
2-) Calculamos a quantidade de todos os números, entre 100 e 500.
Dados: P.A.(100,...,500); a1 = 100 ; an = 500 ; r = 1 ; n = ? 
Resolução: 
an = a1 + (n-1).r
500 = 100 + (n-1).1 
500 = 100 + n - 1 
500 = 99 + n 
500 - 99 = n 
401 = n
3-) Calculamos o número de termos que não são divisíveis por 8, fazendo: n = 401 - 50 = 351
Resposta: n = 351
Questão 15
P.A.(1, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _,37)
Dados: a1 = 1 ; r = ? ; an = a13 = 37 ; n = 13 
Resolução: 
an = a1 + (n-1).r
a13 = 1 + (13-1).r 
37 = 1 + 12.r 
37 -1 = 12r 
36 = 12r 
36/12 = r 
3 = r 
Calculamos as 11 interpolações:
a2 = a1 + r = 1+3 = 4
a3 = a2 + r = 4+3 = 7
a4 = a3 + r = 7+3 = 10
a5 = a4 + r = 10+3 = 13
a6 = a5 + r = 13+3 = 16
a7 = a6 + r = 16+3 = 19
a8 = a7 + r = 19+3 = 22
a9 = a8 + r = 22+3 = 25
a10 = a9 + r = 25+3 = 28
a11 = a10 + r = 28+3 = 31
a12 = a11 + r = 31+3 = 34
Resposta: an = P.A.(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37)
Questão 16
Dados: P.A.(2,...,66); a1 = 2 ; an = 66 ; r = 8 ; n = ? 
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
66 = 2 + (n-1).8 
66 = 2 + 8n - 8 
66 = 8n - 6 
66 + 6 = 8n 
72 = 8n 
72/8 = n 
9 = n 
Subtraímos 2 termos dos 9 termos encontrados: n = 9 - 2 = 7. 
Resposta: n = 7
Questão 17
Dados: P.A.(10, _, _, _, _, _, _,500); a1 = 10 ; an = a8 = 500 ; r = ? ; n = 8 
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
500 = 10 + (8-1).r 
500 = 10 + 7.r 
500 - 10 = 7r 
490 = 7r 
490/7 = r 
70 = r
Calculamos as 6 interpolações:
a2 = a1 + r = 10+70 = 80
a3 = a2 + r = 80+70 = 150
a4 = a3 + r = 150+70 = 220
a5 = a4 + r = 220+70 = 290
a6 = a5 + r = 290+70 = 360
a7 = a6 + r = 360+70 = 430
Calculamos a média aritmética:
M.A. = Adição dos termos / número de termos adicionados = (a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7) / 6 
M.A. = (80 + 150 + 220 + 290 + 360 + 430) / 6 = 1530 / 6 = 255
Resposta: M.A. = 255
Questão 18
P.A.(3,..,88)
Dados: a1 = 3 ; r = ? ; an = a18 = 88 ; n = 18 
Resolução: 
an = a1 + (n-1).r
a18 = 3 + (18-1).r 
88 = 3 + 17.r 
88 - 3 = 17r
85 = 17r 
85/17 = r 
5 = r 
Calculamos as 16 interpolações:
a2= a1 + r = 3+5 = 8
a3= a2 + r = 8+5 = 13
a4= a3 + r = 13+5 = 18
a5= a4 + r = 18+5 = 23
a6= a5 + r = 23+5 = 28
a7= a6 + r = 28+5 = 33
a8= a7 + r = 33+5 = 38
a9= a8 + r = 38+5 = 43
a10= a9+ r = 43+5 = 48
a11= a10+ r = 48+5 = 53
a12= a11+ r = 53+5 = 58
a13= a12+ r = 58+5 = 63
a14= a13+ r = 63+5 = 68
a15= a14+ r = 63+5 = 73
a16= a15+ r = 73+5 = 78
a17= a16+ r = 78+5 = 83
Resposta: Marcos quilométricos: 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83
Questão 19
Dados: M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000. 
M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.
M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.
M(1) = 1, 2, ..., 10000.
Resolução:
Para múltiplos de 5, temos: an =a1+ (n-1).r => 10000 = 1000 + (n - 1). 5 => n = 9005 / 5 => n = 1801.
Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r => 9996 = 1001 + (n - 1). 7 => n = 9002 / 7 => n = 1286.
Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r => 9975 = 1015 + (n - 1).35 => n = 8995 / 35 => n = 257.
Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r => 10000 = 1000 + (n - 1).1 => n = 9001. 
Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles aparecem no conjunto dos 
múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma vez tal conjunto de múltiplos). 
Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).
Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171 
Resposta: n = 6171
Questão 20
P.A.(6530, _ , 23330)
Dados: a1 = 6530 ; r = ? ; an = 23330 ; n = 3
Resolução:
an = a1 + (n-1).r
a3 = 6530 + (3-1).r 
23330 = 6530 + 2.r 
23330 - 6530 = 2r 
16800 = 2r 
16800/2 = r 
8400 = r
a2 = a1 + r 
a2 = 6530 + 8400 
a2 = 14930
P.A.(6530, 14930, 23330, _ , _, _) 
Dados: 
a1 = 6530 ; r = 8400 ; an = a6 = ? ; n = 6
Resolução: 
an = a1 + (n-1).r
a6 = 6530 + (6-1).8400 
a6 = 6530 + 5.8400 
a6 = 6530 + 42000 
a6 = 48530 
Resposta: a) 14930; b) 48530
 
Progressão Geométrica
Definição
É uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior com uma constante, 
denominada razão, representada pela letra 'q'. 
Elementos
a1 - 1
o termo
an - termo genérico, termo geral (ou n-ésimo termo)
q - razão
n - número de termos
Sn - soma dos termos
Pn- produto dos termos
Fórmula do Termo Geral da P.G.
an = a1 . q
n-1 
Produtos dos Termos de uma P.G. 
O produto dos 'n' termos de uma P.G. é dado por:
ou 
Soma dos Termos da P.G.
P.G. limitada (ou finita)
 ou 
P.G. ilimitada (ou infinita) decrescente
Obs.: para -1 < q < 1 e o número de termos tendendo ao infinito.
 Termo Médio de uma P.G.
TM2 = a1.an
Representação de 3 termos na P.G.
Para representar três termos em P.G., sendo dado o produto dos termos, use:
 
Exercícios - PROGRESSÃO GEOMÉTRICA - P.G.
Questões
1-) Escreva os cinco primeiros termos de cada P.G., sendo dados:
a) a1 = 2 e q = 3
Resposta: P.G. (2, 6, 18, 54, 162, ...) 
b) a1 = 3 e q = -1
Resposta: P.G. (3, -3, 3, -3, 3, ...) 
c) a1 = -6 e q = 1/2
Resposta: P.G. (-6; -3; -1,5; -0,75; -0,375; ...) ou (-6; -3; -3/2; -3/4; -3/8; ...) 
d) a1 = -2 e q = 5/4
Resposta: P.G. (-2; -5/2; -25/8; -125/32; -625/128; ...) 
e) a1 = 7 e q = 0
Resposta: P.G. (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) 
f) a1 = q = 1
Resposta: P.G. (1, 1, 1, 1, 1, ...) 
2-) Calcule o valor do primeiro termo de uma P.G., sabendo que o quarto termo é -108 e a razão é q = 3.
3-) A soma do 2o com o 3o termo de uma P.G. vale 16 e o produto do 1o com o 3o é 16. Determine essa P.G. 
sabendo que ela é crescente.
Resolução:
a2 + a3 = 16 (I)
a1 . a3 = 16 (II)
Fazer a3 = a1 . q
 2 e substituir em (II).
a1 . a1 . q
 2 = 16
a1
 2 .q 2 = 16
Extrair a raiz quadrada dos dois membros.
a1 .q = 4
a1 = 4/q
Se a2 = a1 .q
a2 = 4/q . q
a2 = 4 
Como a2 + a3 = 16, temos:
a3 = 12
q = a3 / a2 = 12/4 = 3
Daí a1 = 4/q
a1 = 4/3 
Resposta: P.G. (4/3, 4, 12, ...) 
4-) Interpole quatro meios geométricos entre 1/8 e 4.
5-) Interpole seis meios geométricos entre 1 e 2187.
Resolução:
an = a1. q
n-1
2187 = 1.q 8-1
2187 = 1.q 7
Fatorando 2187, temos: 2187 = 37.
Então, 37 = q 7
Se os expoentes são iguais, as bases das potências também são iguais. Logo, q = 3
a2 = a1 . q 
a3 = a2 . q 
a4 = a3 . q 
a5 = a4 . q 
a6 = a5 . q 
a7 = a6 . q 
P.G.(1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187) 
6-) Uma pessoa aplicou R$ 8.000,00 à taxa de 2,5 por cento ao mês. Calcule por quanto tempo esse 
dinheiro deve ficar aplicado para que o montante seja de R$ 11.586,38. (Use log 1,025 = 0,0107 e log 
1,4129732 = 0,1501.)
7-) Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. (7, 14, ...).
Resolução:
Sn = a1. (q
n-1) / q-1
S6 = 7.(2
6-1) / 2-1
S6 = 7.(64-1) / 1
S6 = 7.63
S6 = 441
Porcentagem
* Definição
PORCENTAGEM pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado em 
100 unidades.
É visto com freqüência as pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou redução nos 
preços de produtos ou serviços.
Alguns exemplos:
- O Leite teve um aumento de 25%
Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 25,00
- O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans
Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00
- Dos funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados.
Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa.
 
* Noção da porcentagem em números
Exemplos:
 
a)
 
60 de 150 dias de trabalho = 90 dias
100
 
O número 90 dias de trabalho representa : PORCENTAGEM
 
b)
 
70 de R$ 120,00 de compra = R$ 84,00
100
 
O valor de R$ 84,00 representa : PORCENTAGEM
 
* O que é taxa de porcentagem
É definido como taxa de porcentagem o valor obtido aplicando uma determinada taxa a um certo valor. 
Também pode-se fixar a taxa de porcentagem como o numerador de uma fração que tem como 
denominador o número 100.
 
* Como calcular porcentagem
 
Todo o cálculo de porcentagem, como informado, é baseado no número 100.
 
O cálculo de tantos por cento de uma expressão matemática ou de um problema a ser resolvido é indicado 
pelo símbolo (%), e pode ser feito, na soma, por meio de uma proporção simples.
 
Para que se possam fazer cálculos com porcentagem (%), temos que fixar o seguinte:
 
1) A taxa está para porcentagem (acréscimo, desconto, etc), assim como o valor 100 está para a quantia a 
ser encontrada.
 
Exemplificando:
 
Um título tem desconto 10%, sobre o valor total de R$ 100,00. Qual o valor do título?
 
30% : R$ 100,00
 
100% : X
 
X = R$ 30,00
 
2) O número que se efetua o cálculo de porcentagem é representado por 100.
 
Exemplificando:
 
Efetue o cálculo 10% de 50
 
100% : 50
 
10% : X
 
X = 5
 
Obs. Nos dois exemplos dados foram usados o sistema de cálculo de regra de três, já ensinados em 
tutoriais anteriores.
 
3) O capital informado tem sempre por igualdade ao 100.
 
Exemplificando:
 
Efetua-se o resgate de um cheque pré-datado no valor de R$ 150,00 e obtem-se um desconto de 20%
 
100% : R$ 150,00
 
20% : X
 
X = R$ 30,00
 
* Exemplos para fixação de definição
 
1) Um jogador de basquete, ao longo do campeonato, fez 250 pontos, deste total 10% foram de cestas de 
02 pontos. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos.
 
10% de 250 = 10 X 250 = 2500 = 25
 100 100
 
Portanto, do total de 250 pontos o jogador fez 25 pontos de 02 pontos.
 
2) Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual 
de lucro ?
 
Neste caso é procurado um valor de porcentagem no qual são somados os R$ 300,00 iniciais com a 
porcentagem aumentada e que tenha como resultado o valor de R$ 340,00
 
300 + 300.X/100 = 340
 
3X = 340 – 300
 
X = 40/3
 
X = 13,333 (dízima periódica)
 
Assim, a taxa de lucro obtida com esta operação de revenda foi de 13,33%
 
* Fator Multiplicante
Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso se houver acréscimo 
no valor, é possível fazer isto diretamente através de uma operação simples, multiplicando o valor do 
produto/serviço pelo fator de multiplicação.
 
Veja:
 
Tenho um produto X, e este terá um acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao prazo de 
pagamento. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 1,30. Caso o mesmo produto ao invés 
de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 1,20.
 
Observe esta pequena tabela:
 
Exemplo:Aumente 17% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, temos R$ 20,00 * 1,17 = R$ 23,40
 
E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.
 
Da mesma forma como é possível, ter um fator multiplicante quando se tem acréscimo a um certo valor, 
também no decréscimo ou desconto, pode-se ter este fator de multiplicação.
 
Neste caso, faz-se a seguinte operação: 1 – taxa de desconto (isto na forma decimal)
 
Veja:
 
Tenho um produto Y, e este terá um desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta multiplicar o valor 
do mesmo pelo número 0,70. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o 
fator multiplicante é 0,80.
 
Observe esta pequena tabela:
Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de um produto de R$ 58,00, temos R$ 58,00 * 0,93 = R$ 53,94
 
E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.
 
* Exercícios resolvidos de porcentagem
 
Os exercícios propostos estão resolvidos, em um passo-a-passo prático para que se possa acompanhar a 
solução de problemas envolvendo porcentagem e também para que se tenha uma melhor fixação sobre o 
conteúdo.
 
1) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%?
 
Solução:
 
100% : 555
17 X
 
X = 555x17 /100 = 9435/100
 
X = 94,35
 
Temos o valor da mercadoria: R$ 555,00 + R$ 94,35
 
Preço Final: R$ 649,35
 
Obs. Este cálculo poderia ser resolvido também pelo fator multiplicador: R$ 555,00 * 1,17 = R$ 649,35
 
2) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matéria. Qual o número máximo de faltas que este aluno 
pode ter sabendo que ele será reprovado, caso tenha faltado a 30% (por cento) das aulas ?
 
Solução:
 
100% : 30
30% : X
 
X = 30.30 / 100 = 900 / 100 = 9
 
X = 9
 
Assim, o total de faltas que o aluno poderá ter são 9 faltas.
 
3) Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação financeira efetuada pelos consumidores. 
Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido quanto?
 
100% : 15.250
0,7% : X
 
Neste caso, use diretamente o sistema de tabela com fator multiplicador. O capital principal que é o valor do 
cheque é : R$ 15.250,00 * 0,98 = R$ 14.945,00
 
Assim, o valor líquido do cheque após descontado a alíquota será de R$ 14.945,00. Sendo que os 2% do 
valor total representam a quantia de R$ 305,00.
 
Somando os valores: R$ 14.945,00 + R$ 305,00 = R$ 15.250,00
 
 
1 - NOÇÕES DE LÓGICA 
 
1.1 - DEFINIÇÕES INICIAIS 
 
PROPOSIÇÃO é toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que pode ser valorada como 
VERDADEIRA (V) ou FALSA (F). 
Estas sentenças devem ser declarativas, pois as interrogativas, as exclamativas ou outras não 
podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas. 
Exemplos: 
- O Brasil é um país da América do Sul. 
- 2 é um número par. 
 
PROPOSIÇÃO SIMPLES ou ATÔMICA é quando a proposição não contém qualquer outra 
proposição. 
 
PROPOSIÇÃO COMPOSTA ou MOLECULAR é quando se pode extrair dela uma outra 
proposição. 
Exemplos: 
- Proposição simples: A terra é redonda. 
- Proposição Composta: Eduarda é filha de Luís e Cláudia. Dessa proposição pode se extrair as 
proposições: Eduarda é filha de Luís e Eduarda é filha de Cláudia. 
 
 
1.2 - CONECTIVOS LÓGICOS 
 
Conectivos lógicos são palavras ou expressões que frequentemente estão presentes nas 
proposições. São eles: “não”, ”e”,” “ou, “se …então”,” se e somente se”. 
Exemplo: Se Luís Felipe não é adulto então ele é criança ou adolescente. 
Essa é uma proposição composta com os conectivos lógicos “não”, “se … então”, e “ou”. 
 
 
Os conectivos agem sobre as proposições compostas a que estão ligados de modo que seu 
valor lógico (verdadeiro ou falso) depende somente 
a) do valor lógico de cada uma das proposições componentes; 
b) e da forma como essas preposições estão ligadas pelos conectivos lógicos utilizados. 
Exemplo 
Proposições Valor Lógico 
3 é um número primo V 
3 é um número fracionário F 
3 é um número primo e fracionário F 
3 é um número primo ou fracionário V 
 
 
1.3 - PRINCIPAIS ESTRUTURAS LÓGICAS E SUAS DENOMINAÇÕES 
 
Estruturas 
Fundamentais 
Denominações Representações Exemplos 
Não A Negação ∼A 10 não é um 
número par 
A ou B Disjunção A ∨ B 10 é um número par 
ou é um número 
primo 
Ou A ou B Disjunção Exclusiva A ∨ B Ou 10 é um número 
par ou 10 é um 
número primo 
A e B Conjunção A ∧ B 10 é um número par 
e 10 é um não primo 
Se A, então B Condicional A → B Se 10 é um número 
par então 10 é um 
número primo 
A se e somente se B Bicondicional A ↔ B 10 é um número par 
se e somente se 10 
é um número primo. 
 
 
 
1.4 - TABELAS-VERDADE DAS ESTRUTURAS FUNDAMENTAIS 
 
Negação (∼A, A , ¬A) 
Dada uma proposição A chama-se negação de A à preposição A acrescida do conectivo “não” 
ou de outro equivalente. 
Exemplo: A: 10 é um número par 
 ∼ A: 10 não é um número par. 
Outras formas de se expressar a negação: 
Não é verdade que A 
É falso que A 
 
Tabela-verdade da negação 
 
A ∼∼∼∼A 
V F 
F V 
 
Disjunção (A ∨ B) 
Disjunção é a proposição composta formada por duas preposições quaisquer que estão ligadas 
pelo conectivo “ou” 
Exemplo: 
A: 5 é um número primo 
B: 10 é um número ímpar 
A ∨ B 5 é um número primo ou 10 é um número ímpar. 
 
 
5 
 
Tabela-verdade da disjunção (A ∨ B) 
 
A B A ∨∨∨∨ B 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Exemplos 
 
A B A ∨∨∨∨ B 
5 é um número primo (V) 10 é um número par (V) 5 é um número primo ou 10 é 
um número par (V) 
5 é um número primo (V) 10 é um número ímpar (F) 5 é um número primo ou 10 é 
um número ímpar (V) 
5 é um número par (F) 10 é um número par (V) 5 é um número par ou 10 é 
um número par (V) 
5 é um número par (F) 10 é um número ímpar (F) 5 é número par ou 10 é um 
número ímpar (F) 
 
CONCLUSÃO: Para uma disjunção ser verdadeira basta uma das proposições ser verdadeira. 
 
Disjunção Exclusiva (A ∨ B) 
Disjunção exclusiva é uma preposição composta formadas por duas preposições quaisquer em 
cada uma delas tem está precedida pelo conectivo “ou” 
Exemplo 
A: 5 é um número primo 
B: 10 é um número par 
 
 
A ∨ B: Ou 5 é um número primo ou 10 é um número par. 
 
Tabela-verdade da disjunção (A ∨ B) 
 
A B A ∨∨∨∨ B 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 
Exemplo: 
 
A B A ∨∨∨∨ B 
5 é um número ímpar (V) 10 é um número par (V) Ou 5 é um número ímpar ou 
10 é um número par (F) 
5 é um número ímpar (V) 10 é um número ímpar (F) Ou 5 é um número ímpar ou 
10 é um número é ímpar (V) 
5 é um número par (F) 10 é um número par (V) Ou 5 é um número par ou 10 
é um número par (V) 
5 é um número par (F) 10 é um numero ímpar (F) Ou 5 é um número par ou 10 
é um número ímpar (F) 
CONCLUSÃO: Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando as preposições têm 
valores lógicos contrários 
 
Conjunção (A ∧ B) 
Conjunção é a preposição composta por duas preposições quaisquer ligadas pelo conectivo “e” 
Exemplo: 
A: 5 é um número primo 
 
 
B: 10 é um número par 
A ∧ B: 5 é um número primo e 10 é um número par. 
 
Tabela-verdade da conjunção (A ∧ B) 
 
A B A ∧∧∧∧ B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Exemplo 
 
A B A ∧∧∧∧ B 
5 é um número ímpar (V) 10 é um número par (V) 5 é um número ímpar e 10 é 
um número par (V) 
5 é um número ímpar (V) 10 é um número ímpar (F) 5 é um número ímpar e 10 é 
um número ímpar (F) 
5 é um número par (F) 10 é um número par (V) 5 é um número par e 10 é um 
número par (F) 
5 é um número par (F) 10 é um número ímpar (F)5 é um número par e 10 é um 
número ímpar (F) 
 
CONCLUSÃO: Uma conjunção só é verdadeira se as duas preposições são verdadeiras. 
 
Condicional (A → B) 
Em uma preposição condicional “Se A, então B” a preposição precedida da conjunção “se” é 
chamada “condição” ou “antecedente”, enquanto a preposição B, precedida da proposição 
“então” é denominada de “conclusão” ou “conseqüente” 
 
 
Exemplo 
A: 5 é um número ímpar 
B: O dobro de 5 é um número par 
A → B: Se 5 é um número ímpar, então o dobro de 5 é um número par. 
Outras formas de expressar a condicional 
Se A, B 
B, se A 
A implica B 
A somente se B 
A é suficiente para B 
B é necessário para A 
 
 
 
Tabela-verdade da condicional (A → B) 
 
A B A →→→→ B 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
Exemplo 
Considere a afirmativa: “Se um número é ímpar seu dobro é par” e as seguintes possibilidades: 
 
A B A →→→→ B 
 
 
Um número é ímpar (V) O dobro do número é par (V) Se um número é ímpar, então 
seu dobro é par(V) 
Um número é ímpar (V) O dobro do número é ímpar 
(F) 
Se um número é ímpar seu 
dobro é par (F) 
Um número é par (F) O dobro do número é par (V) Se um número é ímpar, então 
seu dobro é par (V) (porque 
nada se disse sobre o dobro de 
um número par. Como uma 
preposição deve ser verdadeira 
ou falsa e essa não é falsa, 
então ela é verdadeira) 
Um número é par (F) O dobro do número é ímpar Se um número é par, então 
seu dobro é ímpar (V) (como o 
dobro do número ser par 
estava condicionado ao fato 
do número ser ímpar e sendo o 
número par não 
necessariamente ele deveria 
ser par, logo a preposição não 
é falsa. Portanto ela é 
verdadeira) 
 
IMPORTANTE: Usualmente quando se tem uma condicional é necessário que as preposições A 
e B se relacionem de alguma forma ou guardem uma relação de causa ou efeito. Mas, segundo 
as regras da Lógica, mesmo quando não existem essas relações entre A e B, a proposição A 
→→→→ B só é falsa se A é verdadeira e B é falsa. 
 
Bicondicional (A ↔ B) 
Bicondicional é uma preposição composta de duas preposições quaisquer ligadas pelo 
conectivo “se e somente se”. 
Exemplo: 
A: 14 é múltiplo de 7 
B: 14 é divisível por 7 
A ↔ B: 14 é múltiplo de 7 se e somente se 14 é divisível por 7 
Outras formas de se expressar a bicondicional 
 
 
A se e só se B 
Todo A é b e todo B é A. 
Todo A é B e reciprocamente. 
Se A então B e reciprocamente. 
A é necessário e suficiente para B. 
A é suficiente para B e B é suficiente para A. 
A é necessário para B e B é necessário para A. 
 
Tabela-verdade da condicional (A ↔ B) 
 
A B A ↔↔↔↔ B 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
Exemplo 
 
A B A ↔↔↔↔ B 
14 é múltiplo de 7 (V) 14 é divisível por 7 (V) 14 é múltiplo de 7 se e somente se 
14 é divisível por 7 (V) 
14 é múltiplo de 7 (V) 14 não é divisível por 7F 14 é múltiplo de 7 se e somente se 
14 não é divisível por 7 (F) 
14 não é múltiplo de 7 
(F) 
14 é divisível por 7 (V) 14 não é múltiplo de 7 se e 
somente se 14 é múltiplo de 7 (F) 
14 não é múltiplo de 7 
(F) 
14 não é divisível por 7 (F) 14 não é múltiplo de 7 se e 
somente se 14 não é divisível por 7 
(V) 
 
 
 
CONCLUSÃO: Uma preposição bicondicional só é verdadeira se as preposições que a compõem 
têm o mesmo valor lógico. 
 
 
1.5 - OUTRAS DEFINIÇÕES 
 
Sentenças abertas: A expressão P(x) é uma sentença aberta na variável x se, e somente se, 
P(x) se tornar uma preposição sempre que substituirmos a variável x por qualquer elemento 
de um certo conjunto denominado universo do discurso. 
 
Universo do discurso: conjunto de todos os valores que a variável x pode assumir. 
 
Exemplo: 
Universo do discurso: Conjunto de todos os números inteiros 
Sentença aberta: O dobro de um número inteiro é igual a 6. 
Sentença matemática aberta: 2x = 6 
Observe que a sentença aberta é uma preposição verdadeira para x = 3 e falsa para todos os 
demais números inteiros. Entretanto, a preposição conseguida quando se substitui x por todos 
os valores do universo ela não tem necessariamente verdadeira. 
 
Tautologia Uma preposição composta é uma tautologia se ela for sempre verdadeira, 
independente dos valores lógicos das preposições que a compõem. 
Exemplo: Se 2 é um número par e primo, então 2 é um número par ou 2 é um número primo. 
 
Tabela-verdade da tautoplogia 
 
A B A ∧∧∧∧ B A ∨∨∨∨ B A ∧∧∧∧ B→→→→ A ∨∨∨∨ B 
2 é número par 2 é número 2 é um número 2 é um número 
par ou um 
Se 2 é um 
número par e 
 
 
(V) primo (V) par e primo (V) número primo 
(V) 
primo, então 2 é 
um número par 
ou um número 
primo (V) 
2 é um número 
par (V) 
2 não é um 
número primo 
(F) 
2 é um número 
par e não é 
primo (F) 
2 é um número 
par ou não é um 
número primo 
(V) 
Se 2 é um 
número par e 
primo então 2 é 
um número par 
ou é um número 
primo (V) 
2 não é um 
número par (F) 
2 é um número 
primo (V) 
2 não é um 
número par e é 
um número 
primo (F) 
2 não é um 
número par ou 2 
é um número 
primo (V) 
Se 2 é um 
número par e 
primo, então 2 é 
um número par 
ou um número 
primo (V) 
2 não é um 
número par (F) 
2 não é um 
número primo 
(F) 
2 não é um 
número par e 
um número 
primo (F) 
2 não é um 
número par ou 2 
não é um 
número primo 
(F) 
Se 2 é um 
número par e 
primo então 2 é 
um número par 
ou um número 
primo (V) 
 
 
Contradição 
Uma proposição composta formada por uma ou mais proposições é uma contradição se, e 
somente se, independente dos valores lógicos de suas preposições componentes, ela é sempre 
falsa. 
Exemplo 
Um número é par se e somente se ele não é par. 
 
Tabela-verdade da Contradição 
 
A ∼∼∼∼A A ↔↔↔↔ B 
 
 
V F F 
F V F 
 
OBSERVAÇÃO: A negação de uma tautologia é sempre uma contradição e a negação se uma 
contradição é sempre uma tautologia. 
 
Contingência 
Uma preposição composta é uma contingência se seu valor lógico depende dos valores lógicos 
das preposições que a compõem. 
Proposições equivalentes:Duas proposições são equivalentes se são compostas pelas mesmas 
proposições simples e têm tabelas-verdade idênticas. (A ⇔ B) 
 
 
1.6 - LEIS FUNDAMENTAIS DO PENSAMENTO LÓGICO 
 
1ª Lei: Princípio da Identidade: Se uma preposição qualquer é verdadeira então ela é 
verdadeira. ( P → P) 
2ª Lei: Princípio da não contradição: Nenhuma preposição pode ser verdadeira e também 
falsa. ∼(P ∧ ∼P) 
3ª Lei: Princípio do terceiro excluído:Uma proposição ou verdadeira ou é falsa. (ou P ou ∼P) 
 
1.7 - REGRAS DE EQUIVALÊNCIAS 
 
Leis da Comutatividade 
� A ∧ B ⇔ B ∧ A 
� A ∨ B ⇔ B ∨ A 
� A ∨ B ⇔ B ∨ A 
� A ↔ B ⇔ B ↔ B 
 
Leis de Associatividade 
� (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) 
 
 
� (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) 
 
Leis da Distributividade 
� A ∧ (B ∨ C) ⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) 
� A ∨ (B ∧ C) ⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) 
 
Lei da dupla negação 
� ∼ (∼ A) ⇔ A 
 
Lei das Equivalências da Condicional 
� A → B ⇔ ∼A ∨ B 
� A → B ⇔ ∼B → ∼A 
 
Leis das Equivalências da Bicondicional 
� A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A) 
� A ↔ B ⇔ (A ∧ B) ∨ (∼B ∧ ∼A) 
� A ↔ B ⇔ ∼ (A ∨ B) 
 
1.8 - TABELA DAS NEGAÇÕES DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
 
Proposição Negação direta Equivalente da negação 
A e B Não (A e B) Não A e não B 
A ou B Não (A ou B) Não A ou não B 
Se A então B Não (se A então B) A e não B 
A se e somente se B Não (A se e somente se B) Ou A ou B 
Todo A é B Não (todo A é B) Algum A não é B 
Algum A é B Não (algum Aé B) Nenhum A é B 
 
 
 
1.9 - PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
 
Na Lógica clássica (aristotélica) usa-se apenas quatro tipos de proposições, denominadas 
proposições categóricas. Elas podem ser universais ou particulares e são 
 
 Afirmativas Negativas 
Universais Todo A é B Nenhum A é B 
Particulares Algum A é B Algum A não é B 
 
 
1.10 - DIAGRAMAS LÓGICOS 
 
Diagrama lógico é um esquema de representação das relações entre as diversas partes que 
compõem uma proposição. O modelo mais usado são os diagramas de Venn-Euler. 
Nesses modelos, o universo do discurso (conjunto de tudo que se admite como possível em 
um dado contexto) é representado por um retângulo e cada proposição é indicada por uma 
região delimitada dentro do universo do discurso. 
 
 
Ao representar uma estrutura lógica por um diagrama, somente as regiões para as quais o 
resultado da tabela-verdade da estrutura representada for verdadeiro serão sombreadas. 
 
 
Diagrama da Negação 
 
 A 
1 
2 
U 
Uma proposição é verdadeira em qualquer 
ponto dentro de sua região e falsa em todos os 
demais pontos do universo. Assim, na região 1 
do diagrama ao lado A é verdadeira e na região 
B ela é falsa. 
 
 
 
 
Diagrama da Conjunção 
 
A B
 
 
 
Diagrama da Disjunção 
 
A BA
 
 
 
Diagrama da disjunção exclusiva 
 
A 
∼A 
Se a proposição for representada pelo conjunto A, 
então a negação “não A” corresponderá ao 
conjunto complementar de A. 
A ∧ B corresponde à interseção A ∩ B 
A ∨ B corresponde à união A ∪ B 
 
 
A BA
 
 
 
Diagrama da Condicional 
 
a) Sombreando somente as regiões correspondentes aos resultados V da tabela-verdade da 
proposição condicional. 
 
A BA B
 
 
b) Como a inclusão do conjunto A no conjunto B 
 
A A
B
 
 
 
A ∨ B corresponde ao conjunto (A – B) ∪ (B-A) 
 
 
Diagrama da Bicondicional 
 
A
A=B
 
 
A BB
 
 
1.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS I 
 
1) Considere a seguinte afirmativa : “Todos os bons alunos tiram notas boas” Em relação a essa 
proposição é correto afirmar que 
(a) Alguns bons estudantes não tiram notas boas. 
(b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto dos alunos que tiram notas boas. 
(c) Todo bom estudante tira notas boas. 
(d) Nenhum bom estudante tira notas boas. 
(e) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto dos estudantes que tiram notas boas. 
 
 
2) ) Considere a seguinte afirmativa : “Todo brasileiro gosta de samba” Em relação a essa 
proposição é correto afirmar que 
(a) toda pessoa que gosta de samba é brasileira. 
A ↔ B corresponde à igualdade dos conjuntos A e B 
A (V) e B (V) 
(V) B A
 (F)B~ e (F)A ~
(V) B e (V)A 
↔→



 
 
 
(b) toda pessoa que não é brasileira não gosta de samba. 
(c) toda pessoa que não gosta de samba não é brasileira. 
(d) algum brasileiro não gosta de samba. 
(e) alguma pessoa que não gosta de samba é brasileira. 
 
 
3) Se Duda é bonita então Marina é graciosa. Se Marina é graciosa então Cláudia é autoritária. 
Sabe-se que Cláudia não é autoritária. Nessas condições é correto afirmar que 
(a) Duda não é graciosa. 
(b) Marina não é bonita. 
(c) Duda não é autoritária. 
(d) Cláudia não é bonita. 
(d) Duda não é bonita 
 
 
4) Todo atleta é musculoso. Nenhum mineiro é musculoso. Nessas condições é correto afirmar 
que 
(a) algum atleta é mineiro. 
(b) nenhum atleta é mineiro. 
(c) nenhum atleta é musculoso. 
(d) alguém que é musculoso é mineiro. 
(e) nenhum mineiro é atleta. 
 
 
5) Se tem sol faz calor. Nessas condições é correto afirmar que 
(a) Ter sol é condição necessária para fazer calor. 
(b) Fazer calor é condição suficiente para ter sol. 
(c) Fazer sol é condição necessária e suficiente 
 
 
(d) Fazer sol é condição suficiente para fazer calor. 
(e) Fazer calor é condição necessária e suficiente para ter sol. 
 
 
6) Represente por diagrama de Venn-Euler 
a) Algum A é B 
b) Algum A não é B 
c) todo A é B 
d) nenhum A é B 
7) Considere as seguintes proposições 
 
I – 4+3 = 7 e 2 + 6 = 8 
II – 5 > 2 e 10 < 12 
III – 4 = 7 e 5 < 1 
 
Em relação a elas é correto afirmar que 
a) todas são falsas. 
b) I e II são falsas 
c) somente III é falsa 
d) Somente I é verdadeira. 
e) somente II é falsa. 
 
 
8) Considere as proposições 
 
I – 2 + 3 = 5 ou 4 + 5 = 9 
II – 8 < 3 e 6 < 5 
 
 
III – 3 < 0 ou 2 = 8 
 
Em relação a elas é correto afirmar que 
a) todas as proposições são falsas 
b) somente III é falsa 
c) somente II é falsa 
d) I e II são falsas. 
e) I é falsa ou II é falsa. 
 
 
9) Assinale a afirmativa falsa. 
a) Se 2 é ímpar, então 5 é ímpar. 
b) Se 4 ímpar, então 1 é menor que 5. 
c) Se 6 é par, então 5 é menor que 2. 
d) Se 3 é maior que 2, então 8 é menor que 9. 
e) Se 5 é par, então 3 é maior que 7 
 
 
10) A negação da proposição “Todas as mulheres são vaidosas” é 
a) todos os homens são vaidosos. 
b) algumas mulheres são vaidosas. 
c) nenhuma mulher é vaidosa. 
d) todos os homens não são vaidosos. 
e) nenhum homem é vaidoso 
 
 
 
 
11) Considere as proposições 
 
P1: Todos os bebês são pequenos 
P2: Pessoas pequenas têm baixa estatura 
P3: Quem sabe jogar vôlei não tem baixa estatura. 
 
Assinale a única alternativa que é uma conseqüência lógica das três proposições apresentadas. 
a) Bebês não sabem jogar vôlei. 
b) Pessoas de baixa estatura são bebês. 
c) Pessoas de baixa estatura não sabem jogar vôlei. 
d) Pessoas pequenas não sabem jogar vôlei. 
 
 
As questões 12 e 13, a seguir referem-se ao seguinte texto: “Os sobrenomes de Ana, Beatriz 
e Carla são Arantes, Braga e Castro, mas não necessariamente nesta ordem. A de sobrenome 
Braga, que não é Ana, é mais velha que Carla e a de sobrenome Castro é a mais velha das 
três.” 
 
12) (Apostila MRE/2009 - Vestcon) Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são respectivamente 
a) Arantes, Braga e Castro. 
b) Arantes, Castro e Braga 
c) Castro, Arantes e Braga 
d) Castro, Braga e Arantes. 
e) Braga, Arantes e Castro 
 
 
13) (Apostila MRE/2009 - Vestcon) Nomeando-as em ordem crescente de idade, teremos 
a) Ana, Beatriz e Carla. 
 
 
b) Carla, Ana e Beatriz. 
c) Beatriz, Carla e Ana. 
d) Ana, Carla e Beatriz 
e) Carla, Beatriz e Ana 
 
 
14) (AFC/96) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, 
então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga 
com Carla, logo 
a) Carla não fica em casa e Beto Não Briga com Glória. 
b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. 
c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. 
d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. 
e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. 
 
 
15) (AFC/96) Três irmãs – Ana, Maria e Cláudia – foram a uma festa com vestidos de cores 
diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião 
perguntou qual era uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco” A de branco 
falou: “Eu sou Maria”E a de preto disse “Cláudia é quem está de branco” Como o anfitrião 
sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz a verdade e que Cláudia nunca diz 
a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos 
vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente, 
a) preto, branco, azul. 
b) preto, azul, branco. 
c) azul, preto, branco. 
d) azul, branco, preto. 
e) branco, azul, preto.16) (Apostila MRE/2009 - Vestcon) Dizer que é verdade que “para todo x, se x é rã e se x é 
verde, então x está saltando” é logicamente equivalente a dizer que não é verdade que 
a) algumas rãs que não são verdes estão saltando. 
b) algumas rãs verdes estão saltando. 
c) nenhuma rã verde não está saltando. 
d) existe uma rã verde que não está saltando. 
e) algo que não seja uma rã verde está saltando. 
 
 
17) “Se você não estudar, então será reprovado. Sobre essa proposição é correto afirmar que 
a) não estudar é condição suficiente para ser reprovado. 
b) não estudar é condição necessária para ser reprovado. 
c) se você estudar então será aprovado. 
d) você será reprovado só se não estudar. 
e) mesmo que você não estude você não será reprovado 
 
 
18) Se os pais de professores são sempre professores, então é correto afirmar que 
a) os filhos de não professores nunca são professores. 
b) os filhos de não professores sempre são professores. 
c) os filhos de professores sempre são professores 
d) os filhos de professores quase sempre são professores. 
e) alguns filhos de professores são professores. 
 
 
19) Sejam x e y dois números reais quaisquer. Sendo assim, assinale a alternativa correta. 
a) Se é verdade que x ≠ y então é falso que x ≥ y. 
 
 
b) Se é verdade que x > y e então é verdade que x ≥ y. 
c) Se é verdade que x ≠ y, então é falso que x ≤ y. 
d) Se é verdade que x < y, então é falso que x ≤ y 
e) Se é verdade que x ≥ y, então é verdade que x ≠ y 
 
 
20) Sejam x e y dois números reais quaisquer e as afirmativas 
 
I – Se é falso que x < y, então é verdadeiro que x > y. 
II – Se é falso que x < y, então é verdade que x ≥ y. 
III – Se é falso que x = y, então é verdade que ou x < y ou x > y 
 
Em relação as essas afirmativas é correto dizer que 
a) Todas as afirmativas são falsas. 
b) As afirmativas I e III são falsas 
c) As afirmativas I e II são verdadeiras. 
d) As afirmativas II e III são verdadeiras. 
e) Todas as afirmativas são verdadeiras 
 
 
21) (VUNESP) Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo: 
a) o conjunto de marinheiros contém o conjunto dos republicanos. 
b) o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros. 
c) todos os republicanos são marinheiros. 
d) algum marinheiro não é republicano. 
e) nenhum marinheiro é republicano. 
 
 
 
 
22) (VUNESP) Assinale a afirmativa que apresenta uma contradição. 
a) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião. 
b) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano é não é espião. 
c) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano 
d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. 
e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano. 
 
 
23) (VUNESP) Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. Alguns que conhecem 
Maria não a admiram. Logo: 
a) todos que conhecem Maria a admiram. 
b) ninguém admira Maria. 
c) Alguns que conhecem Maria não conhecem João. 
d) quem conhece João admira Maria. 
e) só quem conhece João e Maria conhece Maria. 
 
 
24) (VUNESP) Valter tem inveja de quem é mais rico do que ele. Geraldo não é mais rico do 
que quem o inveja. Logo: 
a) quem não é mais rico do que Valter é mais pobre que Valter. 
b) Geraldo é mais rico do que Valter. 
c) Valter não tem inveja de quem é mais rico do ele. 
d)Valter inveja só quem é mais rico do que ele. 
e) Geraldo não é mais rico que Valter 
 
 
 
 
25) (VUNESP) Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de gasolina e a banca de 
jornal, e o posto de gasolina fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo: 
a) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria. 
b) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a padaria. 
c) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de jornal. 
d) a padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina. 
e) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria. 
 
 
26) (VUNESP) Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana. Fátima corre tanto 
quanto Juliana. Logo: 
a) Fátima corre menos do que Rita. 
b) Fátima corre mais que Marta. 
c)Juliana corre menos do que Rita 
d) Marta corre mais do que Juliana. 
e) Juliana corre menos do que Marta. 
 
27) (BACEN – Analista) Aldo, Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. 
A seguir estão registradas as declarações dadas pelos três, após a conclusão do projeto. 
- Aldo: Não é verdade que benê e Caio executaram o projeto. 
- Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou. 
- Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo e Benê o executaram. 
 
Se somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS por 
a) Aldo 
b) Benê 
c) Caio 
d) Aldo e Benê 
 
 
e) Aldo e Caio 
 
 
28) (BACEN – Analista) Sejam as proposições: 
 
p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. 
q: fazer frente ao fluxo positivo. 
 
Se p implica q, então 
a) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para 
fazer frente ao fluxo positivo. 
b) Fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares 
por parte do Banco Central. 
c) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para 
fazer frente ao fluxo positivo. 
d) Fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora 
de dólares por parte do Banco Central. 
e) A atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e 
nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. 
 
 
29) (IPER – Técnico) Quando não vejo Lúcia, não passeio e fico deprimido. Quando chove, não 
passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio, não vejo Lúcia. Quando chove e 
estou deprimido, não passeio. 
Hoje passeio. Portanto, hoje 
a) vejo Lúcia, e não estou deprimido, e não chove e faz calor. 
b) não vejo Lúcia, e estou deprimido, e chove e faz calor. 
c) não vejo Lúcia, e estou deprimido, e não chove, e não faz calor. 
d) vejo Lúcia, e não estou deprimido, e chove, e faz calor. 
e) vejo Lúcia, e estou deprimido, e não chove, e faz calor. 
 
 
 
 
30) (IPER – Técnico) Considerando “toda prova de Lógica é difícil” uma proposição verdadeira, 
é correto inferir que 
a) “nenhuma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. 
b) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. 
c) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição falsa e verdadeira. 
d) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. 
e) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição verdadeira e falsa. 
 
 
1.12 - GABARITO I 
 
Questão Questão 
1 e 2 c 3 e 4e 
5 d 6 a 
A B
 
 
6b 
A BA
 
 
6c 
B
A
 
6d 
A
B
 
7 c 
 
8 e 9 b 
10 c 11 a 12 d 13 e 
14 a 15 b 16 a 17a 
18 a 19b 20 d 21b 
 
 
22 a 23 c 24 e 25 e 
26 b 27 e 28 c 29 d 
30 b 
 
 
2 – ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
2.1 - PRICÍPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO 
 
Em análise Combinatória há dois princípios fundamentais – o Princípio Aditivo e o Princípio 
Multiplicativo ou Princípio Fundamental da Contagem 
Vejamos um exemplo de um problema em que se usa o princípio aditivo para resolvê-lo. 
 
Em uma escola foi feita uma enquete para saber quem prefere futebol ou vôlei. O resultado foi 
o seguinte: 230 alunos gostam de futebol, 150 gostam de vôlei e 80 alunos gostam dos dois 
esportes. Quantos alunos tem essa escola? 
 
Em princípio parecemser 230 + 150 + 80 = 460 alunos. Entretanto, há que se observar que 
entre os alunos que gostam de futebol podem existir alunos que também gostam de vôlei, 
portanto, o número de alunos que gostam somente de futebol é 230 – 80 = 150. Da mesma 
maneira, o número de alunos que gostam somente de vôlei é 150 – 80 = 70. Sendo assim, o 
número de alunos da escola será: 
 
Número de alunos que gostam só de futebol + número de alunos que gostam só de vôlei + 
número de alunos que gostam de futebol e vôlei, ou seja, 150 + 70 + 80 = 300 alunos. 
 
Isto porque, segundo o teorema: 
 
Sendo A e B conjuntos finitos, o número de elementos da união de A e B é dado por: 
n(AҐB) = n(A) + n(B) - n(AnB); 
Razão e Proporção
RAZÃO
Conceitualmente a razão do número a para o número b, sendo b ≠ 0, é igual ao quociente de a por b que podemos 
representar das seguintes formas:
•
• 
As razões acima podem ser lidas como:
• razão de a para b 
• a está para b 
• a para b 
Em qualquer razão, ao termo a chamamos de antecedente e ao termo b chamamos de consequente.
Razão inversa ou recíproca
Vejamos as seguintes razões:
 e 
Elas são tidas como razões inversas ou recíprocas.
Note que o antecedente de uma é o consequente da outra e vice-versa.
Uma propriedade das razões inversas é que o produto delas é sempre igual a 1, isto se deve ao fato de uma ser o 
inverso multiplicativo da outra.
Agora vejamos as seguintes razões:
 e 
A primeira razão possui os números 1 e 2 como seu respectivo antecedente e consequente, já a segunda razão possui 
o número 2 como o seu antecedente e o número 1, omitido, como o seu consequente. Em função disto, pelo 
antecedente de uma ser o consequente da outra e vice-versa, estas duas razões também são inversas uma em relação 
a outra.
Apesar de uma razão ser apresentada na forma de uma fração ou de uma divisão, você pode calcular o seu valor final a 
fim de se obter o seu valor na forma decimal. Por exemplo:
A razão de 15 para 5 é 3, pois 15 : 5 = 3 na forma decimal, ou seja, 15 é o triplo de 5.
Neste outro caso, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal.
Razão centesimal
Como visto acima, a razão de 3 para 4 é 0,75, pois 3 : 4 = 0,75 na forma decimal, ou seja, 3 equivale a 75% de 4. 75% 
nada mais é que uma razão de antecedente igual 75 e consequente igual a 100. É por isto é chamada de razão 
centesimal.
Exemplos
O salário de Paulo é de R$ 2.000,00 e João tem um salário de R$ 1.000,00. Qual a razão de um salário para outro?
Temos: Salário de Paulo : Salário de João.
Então:
A razão acima pode ser lida como a razão de 2000 para 1000, ou 2000 está para 1000. Esta razão é igual a 2, o que 
equivale a dizer que o salário de Paulo é o dobro do salário de João, ou seja, através da razão estamos fazendo uma 
comparação de grandezas, que neste caso são os salários de Paulo e João.
Portanto a razão de um salário para outro é igual a 2.
Eu tenho uma estatura de 1,80m e meu filho tem apenas 80cm de altura. Qual é a razão de nossas alturas?
Como uma das medidas está em metros e a outra em centímetros, devemos colocá-las na mesma unidade. Sabemos 
que 1,80m é equivalente a 180cm. Temos então a razão de 180cm para 80cm:
2,25 é a razão de nossas alturas.
Proporção
A igualdade entre razões denomina-se proporção.
Os números a, b, c e d, todos diferentes de zero, formam nesta ordem, uma proporção se, e somente se, a razão a : b 
for igual à razão c : d.
Indicamos esta proporção por:
Chamamos aos termos a e d de extremos e aos termos b e c chamamos de meios.
Veja que a razão de 10 para 5 é igual a 2 (10 : 5 = 2).
A razão de 14 para 7 também é igual a 2 (14 : 7 = 2).
Podemos então afirma que estas razões são iguais e que a igualdade abaixo representa uma proporção:
Lê-se a proporção acima da seguinte forma:
"10 está para 5, assim como 14 está para 7".
Propriedade fundamental das proporções
Qualquer que seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Assim sendo, dados os números 
a, b, c e d, todos diferentes de zero e formando nesta ordem uma proporção, então o produto de a por d será igual ao 
produto de b por c:
Segunda propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro, ou para o 
segundo termo, assim como a soma ou a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro, ou para o quarto termo. 
Então temos:
 ou 
Ou
 ou 
Terceira propriedade das proporções
Qualquer que seja a proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos 
consequentes, assim como cada antecedente está para o seu respectivo consequente. Temos então:
 ou 
Ou
 ou 
Quarta proporcional
Dados três números a, b, e c, chamamos de quarta proporcional o quarto número x que junto a eles formam a 
proporção:
Tendo o valor dos números a, b, e c, podemos obter o valor da quarta proporcional, o número x, recorrendo à 
propriedade fundamental das proporções. O mesmo procedimento utilizado na resolução de problemas de regra de três 
simples.
Terceira proporcional
Em uma proporção onde os meios são iguais, um dos extremos é a terceira proporcional do outro extremo:
Na proporção acima a é a terceira proporcional de c e vice-versa.
Exemplos
Paguei R$15,00 por 1kg de carne. Se eu tivesse pago R$25,00 teria comprado 2kg. A igualdade da razão do preço de 
compra pela quantidade, dos dois casos, resulta em uma proporção?
Os termos da nossa suposta proporção são: 15, 1, 25 e 2.
Podemos utilizar a propriedade fundamental das proporções para verificamos se tais termos nesta ordem formam ou 
não uma proporção.
Temos então:
Como 30 difere de 25, não temos uma igualdade, consequentemente não temos uma proporção.
Poderíamos também ter analisado as duas razões:
Como as duas razões possuem valores diferentes, obviamente não se trata de uma proporção.
Como uma das razões resulta em 15 e a outra resulta em 12,5, concluímos que não se trata de uma proporção, já que 
15 difere de 12,5.
A proporção não ocorreu porque ao comprar 2kg de carne, eu obteria um desconto de R$ 2,50 no preço do quilograma, 
o que deixaria as razões desproporcionais.
A soma de dois números é igual a 240. Sabe-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são 
estes números?
Para a resolução deste exemplo utilizaremos a terceira propriedade das proporções. Chamando um dos números de a e 
o outro de b, podemos montar a seguinte proporção:
Sabemos que a soma de a com b resulta em 240, assim como a adição de 5 a 7 resulta em 12. Substituindo estes 
valores na proporção teremos:
Portanto:
Concluímos então que os dois números são 100 e 140.
Quatro números, todos diferentes de zero, 10, 8, 25 e x formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor de x?
Seguindo o explicado sobre a quarta proporcional temos:
 
O valor do número x é 20.
Exercícios 1
1) Qual a razão que é igual a 2/7 e cujo antecedente seja igual a 8.
Resolução:
Vamos igualar as razões.
8 = 2
X 7
2x = 8 x 7
2x = 56
 
X = 56/2
 
X = 28
 
Desta forma a razão igual a 2/7, com antecedente igual a 8 é : 8/28 = 2/7
 
2) Almejando desenhar uma representação de um objeto plano de 5m de comprimento, usando uma escala de 
1:20, qual será o comprimento no desenho:
 
Resolução:
 
Escala: 1
 20
 
Sabendo que 1m = 100 cm.
 
Então 5m = 5 x 100 = 500 cm.
 
O comprimento no desenho será:
 
500 x 1 = 500 / 20 =
 20
 
25 cm
 
Desta forma em uma escala 1:20 em plano de 5m, o comprimento do desenho será 25 cm.
 
3) Em uma sala de aula, a razão de moças para o número de rapazes é de 5/4. Se o número total de alunosdesta 
turma é de 45 pessoas, caso exista uma festa quantas moças ficariam sem par ?
 
Resolução:
 
Primeiro vamos denominar o número de moças por X, e o número de rapazes por Y.
 
x/y = 5/4 (Igualam-se as razões)
 
x + y = 45 (Soma total de alunos)
 
x + y = 5 + 4 (Aplicação das propriedades das proporções)
 x 5
 
45/x = 9/5
 
45 x 5 = 9x
 
225 = 9x ---> x = 225/9 ---> x = 25 moças
 
Substituindo X = 25 na expressão x + y = 45, temos :
 
25 + y = 45 ---> y = 45 – 25 ----> y = 20 rapazes
 
Tendo por base que cada rapaz fique apenas com uma moça, o número de moças que ficariam sem par será : 25 – 20 = 
5 moças
 
Então, o número de moças que ficará sem par é igual a 5.
 
EXERCÍCIOS 2
01. Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é:
 
a) 20
b) 22
c) 24
d) 28
e) 32
 
 
02. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x, ...) e (12, y, 4, ...) são grandezas inversamente proporcionais.
 
 
03. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.
 
 
04. Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa 
das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 
3ª pessoa 48 anos e 6 filhos.
 
 
05. Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. 
Então, o produto dos dois números é:
 
a) 90
b) 96
c) 180
d) 72
e) -124
 
06. (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:
 
a) x = 1 e y = 6
b) x = 2 e y = 12
c) x = 1 e y = 12
d) x = 4 e y = 2
e) x = 8 e y = 12
 
 
07. Sabe-se que y é diretamente proporcional a x e que y = 10 quando x = 5. De acordo com estes dados, qual:
 
a) a sentença que relaciona y com x?
b) o gráfico da função f: [-2; 3] ® definida pela sentença anterior?ℝ
c) o valor de y quando x = 2?
 
 
08. São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um 
quarto do maior. Então a, b e c são, respectivamente, proporcionais a:
 
a) 1, 2 e 3
b) 1, 2 e 5
c) 1, 3 e 4
d) 1, 3 e 6
e) 1, 5 e 12
 
09. Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é:
 
a) 35
b) 49
c) 56
d) 42
e) 28
 
 
10. Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 
30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja 
dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente:
 
a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00
b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00
c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00
d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00
e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00
 
Resolução:
01. E
02. x = 3 e y = 6
03. As partes são: 32, 48 e 80.
04. A 1ª pessoa deve receber R$ 120.000,00, a 2ª pessoa R$ 150.000,00 e a terceira pessoa R$ 225.000,00.
05. B
06. C
07. a) y = 2x
 
 c) y = 4
08. C
09. B
10. Cvg
REGRA DE TRES SIMPLES E COMPOSTA 
Regra de três simples
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos 
quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma 
linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar 
consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a 
energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m²) Energia (Wh)
1,2--------400
1,5-------- x
Identificação do tipo de relação:
Área--------Energia
1,2---------400↓
1,5---------- X↓
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª 
coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Área--------Energia
1,2---------400↓
1,5-----------x↓
1,2X = 400.1,5
x= 400.1,5 / 1,2
x= 500
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. 
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400-----------------3
480---------------- x
2) Identificação do tipo de relação:
velocidade----------tempo
400↓-----------------3↑
480↓---------------- x↑
Obs: como as setas estão invertidas temos que inverter os numeros mantendo a primeira coluna e 
invertendo a segunda coluna ou seja o que esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na segunda 
coluna vai para cima
velocidade----------tempo
400↓-----------------X↓
480↓---------------- 3↓
480X = 400 . 3
x = 400 . 3 / 480
X = 2,5
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são 
inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª 
coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do 
mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas----preço (R$)
3------------- 120
5---------------x
3x=5.120
o três vai para o outro lado do igual dividindo
x = 5.120/3
x= 200
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o 
número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia-----Prazo para término (dias)
8↑------------------------20↓
5↑------------------------x ↓
invertemos os termos
Horas por dia-----Prazo para término (dias)
8↑-------------------------x↑
5↑------------------------20↑
5x = 8. 20
passando-e o 5 para o outro lado do igual dividindo temos:
5x = 8. 2 / 5
x = 32
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
EXERCICIOS 
1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? (R:112)
2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão6 eletricistas 
para fazer o mesmo trabalho? (R: 4)
3) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para 
fazer a mesma parede? (R:16)
4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 
refrigerantes? (R: 8)
5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo 
armário? (R:8)
6) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa 
casa? (R: 90)
7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para 
despejar 600 litros? (R: 4)
8) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ 
seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? (R: 10)
9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar 
uma parede de 15 m²? (R: 6)
10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, 
aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3)
11) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo 
são necessários para se obterem 7 kg de farinha? (R:10)
12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma 
casa? (R:10)
13) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantoas peças produzirá em 1 hora? (R:240)
14) Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 
km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? (R:4)
15)Uma maquina fabrica 5000 alfinetes em 2 horas. Qauntos alfinetes ela fabricará em 7 horas? (R:17.500)
16) Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00 quanto custarão 7,2 Kg desse mesmo 
produto? (R:43.200,00)
17) Oito operarios fazem um casa em 30 dias. quantos dias gastarão 12 operários para fazer a mesma 
casa? (R:20)
18) Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos? (R: 
420)
19) Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o mesmo trabalho em 6 dias, 
quantos homens serão necessários? (R:25)
20) Um ônibus, à velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria se 
aumentasse a velocidade para 120 Km/h? (R: 3)
21) Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o número de 
páginas desse livro? (R:360) 
Regra de três composta
regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão 
necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, 
as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↑
5↑------------------x↓----------------------125↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação 
é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é 
diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x 
com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↓
5↑------------------x↓----------------------125↓
20/ x = 160/125 . 5/8 onde os temos da ultima fração foram invertidos
simplificando fica
20/x = 4/5
4x = 20 . 5
4x = 100
x = 100 / 4
x = 25
Logo, serão necessários 25 caminhões
2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão 
montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens----- carrinhos------ dias
8-----------------20--------------5
4-------------------x-------------16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente 
proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o 
produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
20/x= 8/4 . 5/16
20 / x = 40 / 64
40x = 20 . 64
40 x = 1280
x = 1280 / 40
x = 32
Logo, serão montados 32 carrinhos 
Método mais prático de solução da regra de três composta 
Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for 
inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas. 
A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor 
que se procura. 
Veja: 
1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são 
comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.
Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração
2) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?
Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra) 
 
Assim: 22 metros custarão R$ 110,00 
3) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 
320 tortas 
Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas) 
EXERCÍCIOS
01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários 
para fabricar 28 kg de farinha? 
02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 
200 kg de milho ? 
03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se 
obterem 9 quilos de manteiga ? 
04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o 
tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ? 
05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma 
substância ? 
06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para 
escavar esse túnel em um dia e meio ? 
07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ? 
08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 
bombons ? 
09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a 
mesma velocidade média ?
10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará 
para percorrer 120 km ? 
11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um 
reservatório de 4m3 de volume? 
12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ? 
13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.
a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?
b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?
c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ? 
14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 
10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada? 
15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. 
Quanto deve medir olado menor da foto ampliada ? 
16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A 
tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que 
tem 2 m de profundidade? 
17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, 
quantas voltas essa roda dará em 315 segundos? 
18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece 
quantos gramas de gás carbônico? 
19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos 
centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ? 
20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas 
fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?
21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina 
que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros 
de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ? 
22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota 
obtida por Cristina? 
23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um 
prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ? 
24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de 
um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ? 
25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna 
sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de 
altura? 
26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 
2/5 da capacidade do mesmo tanque?
27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de 
outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?
28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de 
uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça 
quadrada ). 
29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 
390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de 
área?
30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na 
escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro 
Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius? 
31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 
11 latas dessa tinta? 
32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 
h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ? 
33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ? 
34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é 
necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos 
recenseadores precisam ser contratados ? 
35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas 
completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas 
completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ? 
36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, 
responda :
a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?
b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?
37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da 
rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado? 
38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. 
Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante 
do muro? 
39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a 
velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância? 
40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno 
congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse 
ônibus no percurso de volta? 
41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 
5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4 cm3, quantos caminhões seriam 
necessários para fazer o mesmo serviço ?
42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio 
elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o 
comprimento verdadeiro do fio? 
43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de 
largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a 
mesma quantidade de arame da tela anterior ? 
44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse 
construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma 
capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ? 
45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. 
Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam 
usadas para forrar a mesma parede ? 
46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de 
trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ? 
47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em 
quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade 
que a primeira ? 
48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo 
muro ? 
49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir 
a mesma parede em 2 horas ? 
50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. 
Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de 
azeite ? 
51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. 
Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?
52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 
cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?
53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para 
encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto? 
54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de 
tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ? 
55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 
m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o 
comprimentopara que a área do terreno seja mantida ? 
56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 
pedreiros para construir a mesma quadra ? 
57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se 
fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ? 
58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas 
páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro? 
59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a 
volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ? 
60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a 
maior enquanto a menor dá 100 voltas ? 
61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 
10 dias, correndo 14 horas por dia? 
62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas 
por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias? 
63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 
200 km, pedalando 4 horas por dia? 
64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas 
serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ? 
65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 
táxis consumiria 240.000 de combustível? 
66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, 
ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por 
minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados. 
67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 
pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 
10 horas de trabalho diário? 
68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a 
mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ? 
69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 
dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de 
comprimento ? 
70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo 
percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o 
mesmo percurso? 
71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e 
demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. 
Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ? 
72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será 
o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?
73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias? 
74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?
75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. 
Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?
76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de 
pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro 
de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros 
de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ? 
78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas 
encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão 
retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?
79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, 
com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas 
mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ? 
80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 
45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, 
desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de 
Neilson. 
81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por 
dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ? 
82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. 
Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ? 
83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade 
em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.
 
Regra de Três – Questões Objetivas 
84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em: 
a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias 
85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa : 
a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50 
86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número 
necessário de litros de água do mar será: 
a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000 
87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá: 
a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km 
88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 
máquinas gastariam quantas horas ? 
a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas 
89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de 
ração ? 
a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias 
90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas 
imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia? 
a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias 
91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 
30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por 
hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de: 
a) 2 min b) 2 min e 19 segundos 
c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos 
92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições 
equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá : 
a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros 
93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas 
suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a 
quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a: 
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 
94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas 
condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ? 
a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas 
95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de 
gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar4 horas por dia ? 
a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00 
c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00 
96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas 
por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado : 
a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.
c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia. 
97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias 
de 6 horas ganhariam : 
a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00. 
c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00
98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 
toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas 
daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ? 
a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5 
99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por 
horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :
a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias. 
100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. 
Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em: 
a) 8 dias b) 9 dias
c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.
101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão 
necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ? 
a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos 
102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 
minutos são necessários: 
a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos 
d) 5 gatos e) 6 gatos 
102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta 
mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito 
horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, 
uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas 
por dia, executando o serviço em : 
a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias 
103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir 
certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir 
a dois dias o tempo de produção, é necessário : 
a) triplicar o nº de operários
b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia
c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de
operários
d) duplicar o nº de operários
e) duplicar o nº de operários e o número de horas
trabalhadas por dia
104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) 
trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 
3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido 
anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam 
para a conclusão da obra no prazo previsto ?
a) 7h 42 min
b) 7h 44 min
c) 7h 46 min 
d) 7h 48 min
e) 7h 50 min
105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. 
Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser 
alimentados durante: 
a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias 
d) 45 dias e) 180 dias 
106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de 
trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 
frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ? 
a) 30 b) 40 c) 45 d) 50 
107 – ( Colégio Naval – 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante 
K horas por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, 
trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será :
a) b) c) d) e) 
 
Respostas dos Exercícios de Regra de Três Simples e Composta
 01) 40 kg 
02) 14 sacas
03) 42 litros 
04) 60 min
05) 60 minutos = 1 hora 
06) 8 máquinas
07) 702 litros
08) 77 caixas
09) 532 km 
10) 15 litros
11) 33 h 20 min
12) 6 minutos
13) 9 min / 54 min / 15 dias
14) 14 cm
15) 10 cm
16) 40 m3
17) 5.250 voltas
18) 110 g
19) 18 cm
20) 55 fitas
21) 56.250 litros
22) Nota 8
23) 9 metros
24) 30 m
25) 371 cm ou 3,71 m
26) 7.840 litros
27) 43.925 cm
28) 3.600 g
29) 300 azulejos
30) 40 graus
31) 770 m2
32) 42 m/s
33) 108 km/h 
34) 270 recenseadores
35) 1.034 voltas
36) a)84 min b) 1 h 24 min 
37) 14 dias
38) 10 dias
39) 4 horas
40) 60 km/h
41) 20 caminhões
42) 41 m
43) 20 metros
44) 40 dias
45) 14 peças
46) 16 pessoas
47) 4 h 15 min
48) 96 horas
49) 25 operários
50) 40 latas
51) 3 minutos
52) 10 caminhões
53) 4 horas
54) 25 m
55) 20 cm
56) 16 dias e 16 horas
57) 320 páginas
58) 420 páginas
59) 80 km/h
60) 75 voltas
61) 2.170 km
62) 2 horas
63) 4 dias
64) 150 kg
65) 50 dias
66) 250 litros
67) 32 operários
68) 15 dias
69) 16 dias 
70) 4 dias
71) 216 caixas
72) 7 kw
73) 24 ovos
74) 5 min
75) 12 máquinas
76) 5 kg
77) 9 horas
78) 1.800 toneladas
79) 18 dias
80) 300 litros
81) 360 famílias
82) 480 colares
83) 5 horas
84) letra d
85) letra b
86) letra c
87) letra d
88) letra b
89) letra c
90) letra b
91) letra c
92) letra d
93) letra c
94) letra c
95) letra b
96) letra a
97) letra a
98) letra d
99) letra c
100) letra a
101) letra c
102) letra a
103) letra e
104) letra d
105) letra d
106) letra d
107) letra e
Relação entre grandezas
Proporcionalidade entre Grandezas
Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo, a velocidade, 
comprimento, preço, idade, temperatura entre outros. As grandezas são classificadas em: diretamente 
proporcionais e inversamente proporcionais. 
Grandezas diretamente proporcionais 
São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma 
dobra a outra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é divida em duas partes iguais a outra também é 
divida à metade. 
Exemplo 1 
Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de seis cadernos custará R$ 16,00. Observe que se dobramos o 
número de cadernos também dobramos o valor dos cadernos. Confira pela tabela: 
Exemplo 2 
Para percorrer 300 km, um carro gastou 30 litros de combustível. Nas mesmas condições, quantos 
quilômetros o carro percorrerá com 60 litros? E com 120 litros? 
Grandezas inversamente proporcionais 
Uma grandeza é inversamente proporcional quando operações inversas são utilizadas nas grandezas. Por 
exemplo, se dobramos uma das grandezas temos que dividir a outra por dois, se triplicamos uma delas 
devemos dividir a outra por três e assim sucessivamente. A velocidade e o tempo são considerados 
grandezas inversas, pois aumentarmos a velocidade, o tempo é reduzido, e se diminuímos a velocidade, o 
tempo aumenta. 
Exemplo 3 
Para encher um tanque são necessárias 30 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem usadas vasilhas de 3 
litros cada, quantas serão necessárias? 
Utilizaremos 60 vasilhas, pois se a capacidade da vasilha diminui, o número de vasilhas aumenta no intuito 
de encher o tanque. 
As duas grandezas são muito utilizadas em situações de comparação, isto é comum no cotidiano. A 
utilização da regra de três nos casos envolvendo proporcionalidade direta e inversa é de extrema 
importância para a obtenção dos resultados. 
Grandeza, Razão e ProporçãoGrandeza: É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o volume 
de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandezas. Grandeza é tudo que 
você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.
Razão: é a divisão ou relação entre duas grandezas. Exemplo: se numa classe tivermos 40 meninos e 30 
meninas, qual a razão entre o número de meninos e o número de meninas?
Razão = 
Razão inversa: é o inverso da razão, assim . 
Proporção: é a igualdade entre razões. Exemplo: meu carro faz 13km por litro de combustível, então para 
26km preciso de 2L, para 39km preciso de 3L e assim por diante.
1ª situação: 
2ª situação: 
, logo formam uma proporção.
Observe , se você multiplicar em cruz o resultado será o mesmo: 26 x 3 = 2 x 39 = 78.
Numa proporção, quando multiplicamos em cruz, o resultado é o mesmo. Mas além desta propriedade, 
temos outras que serão muito úteis:
Numa proporção quando somamos termo a termo: , a razão se 
mantém.
Numa proporção quando subtraímos termo a termo: , a razão se 
mantém.
Dadas as proporções:
 
Grandezas Proporcionais
O que estudaremos são grandezas que sejam diretamente ou inversamente proporcionais, embora existam 
casos em que essas relações não se observem, e que portanto, não farão parte de nosso estudo.
Por exemplo, "na partida de abertura de um campeonato, um jogador fez três gols, quantos gols ele fará ao 
final do campeonato sabendo que o mesmo terá 46 partidas?".
Grandezas Diretamente Proporcionais (G.D.P.)
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais, quando o aumento de uma implica no aumento da 
outra, quando a redução de uma implica na redução da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá 
com a outra.
Observação é necessário que satisfaça a propriedade destacada abaixo.
Exemplo: Se numa receita de pudim de microondas uso duas latas de leite condensado, 6 ovos e duas latas 
de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente se quiser fazer dois pudins, ou 
reduzir a metade cada quantidade de ingredientes se quiser, apenas meia receita.
Observe a tabela abaixo que relaciona o preço que tenho que pagar em relação à quantidade de pães que 
peça:
Preço
R$ 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00 
Nº de pães 1 2 5 10 20 50 
Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto se peço mais pães, pago 
mais, se peço menos pães, pago menos. Observe que quando dividimos o preço pela quantidade de pães 
obtemos sempre o mesmo valor.
Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante.
Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.)
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da 
outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você fizer com uma 
acontecerá o inverso com a outra.
Observação: É necessário que satisfaça a propriedade destacada abaixo.
Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o tempo de viagem. 
Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem.
Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade média e o tempo de viagem, para uma distância de 
600km.
Velocidade média
(km/h) 60 100 120 150 200 300 
Tempo de viagem 10 6 5 4 3 2 
(h) 
Velocidade média e Tempo de viagem são grandezas inversamente proporcionais, assim se viajo mais 
depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade média levo um tempo maior. Observe que 
quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem obtemos sempre o mesmo valor.
Propriedade: Em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante.
 
Sistema métrico decimal
1 - Medidas de comprimento 
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir comprimentos é o metro, cuja abreviação é 
m. Existem os múltiplos e os submúltiplos do metro, veja na tabela: 
Múltiplos u.f. Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetr
o
metro Decímetro centímetro Milímetro
km hm dam m Dm cm mm
1 000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos as 
relações entre algumas dessas unidades e as do sistema métrico decimal:
1 polegada = 25 milímetros
1 milha = 1 609 metros
1 légua = 5 555 metros
1 pé = 30 centímetros
Obs: valores aprximados
1.1 - Transformação de unidades de comprimento 
Observando o quadro das unidades de comprimento, podemos dizer que cada unidade de comprimento é 
10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10. 
Concluí-se então que para transformar uma unidade para um submúltiplo, basta multiplicar por 10n onde n 
é o número de colunas à direita do número na tabela. Já para passar para um múltiplo, basta dividir por 10n 
onde n é o número de colunas à esquerda do número na tabela. 
Por exemplo: 7 m = 7 x 102 cm = 700 cm
 500 m = 500 x 10-3 km = 0,5 km
2- Medidas de superfície 
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir superfícies é o metro quadrado, cuja 
representação é m2 . O metro quadrado é a medida da superfície de um quadrado de um metro de lado. 
Como na medida de comprimento, na área também temos os múltiplos e os submúltiplos:
Múltiplos u.f. Submúltiplos
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2
2.1 - Transformação de unidades de superfície
Analogamente à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a medida de área, 
porém para cada devemos multiplicar ou dividir por 102 e não 10. Veja os exemplos: 
a) 5 m2 = 5 x 102 dm2 = 500 dm2
b) 3 km2 = 3 x 106 m2 = 3 000 000 m2
c) 20 000 m2 = 20 000 x 10-6 km2 = 0,02 km2
obs. Quando queremos medir grandes porções de terra (como sítios, fazendas etc.) usamos uma unidade 
agrária chamada hectare (ha).
O hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de lado. 
1 hectare (há) = 1 hm2 = 10 000 m2 
Em alguns estados do Brasil, utiliza-se também uma unidade não legal chamada alqueire. 
- 1 alqueire mineiro é equivalente a 48 400 m2.
- 1 alqueire paulista é equivalente a 24 200 m2.
3 - Áreas das figuras geométricas planas 
Constantemente no estudo de gráficos, precisamos determinar a área compreendida entre a curva e o eixo-
x. Daremos aqui as fórmulas, para o cálculo da área, das figuras mais utilizadas na Física. 
4 - Medidas de volume
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir volume é o metro cúbico, cuja abreviatura 
é m3 . O metro cúbico (m3) é o volume ocupado por um cubo de 1 m de aresta. Como nas medidas de 
comprimento e de área, no volume também temos os múltiplos e os submúltiplos: 
Múltiplos u.f. Submúltiplos
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1 000 000 000 
m3
1000 000 
m3
1000 m3 1 m3 0,001 m3 0,00001 m3 0,000000001 m3
As mais utilizadas, além do metro cúbico, são o decímetro cúbico e o centímetro cúbico.
4.1 - Transformação de unidades de volume
Analogamente à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a medida de área, 
porém para cada devemos multiplicar ou dividir por 103 e não 10. Veja os exemplos: 
a) 8,2 m3 = 8,2 x 103 dm3 = 8 200 dm3
b) 500 000 cm3 = 500 000 x 10-6 m3 = 0,5 m3
5 - Medidas de capacidade
A unidade fundamental para medir capacidade de um sólido é o litro.
De acordo com o Comitê Internacional de Pesos e Medidas, o litro é, aproximadamente, o volume 
equivalente a um decímetro cúbico, ou seja:
1 litro = 1,000027 dm3 
Porém, para todas as aplicações práticas, simples, podemos definir: 
1 litro = 1 dm3
Veja os exemplos: 
1) Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 36 m3.Quantos 
litros de água foram consumidos? 
Solução: 36 m3 = 36 000 dm3 = 36 000 litros
2) Uma indústria farmacêutica fabrica 1 400 litros de uma vacina que devem ser colocados em ampolas de 
35 cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com essa quantidade de vacina? 
Solução: 1 400 litros = 1 400 dm3 = 1 400 000 cm3
 (1 400 000 cm3) : (35 cm3) = 40 000 ampolas.
5.1 - Outras unidades para medir a capacidade 
São também utilizadas outras unidades para medir capacidade, que são múltiplos e submúltiplos do litro: 
Múltiplos u.f. Submúltiplos
hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
hl dal l dl cl ml
100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l
Obs. 1) Não é usado nem consta da lei o quilolitro. 
Obs. 2) Além do litro, a unidade mais usado é o mililitro (ml), principalmente para medir pequenos volumes, 
como a quantidade de líquido de uma garrafa, de uma lata ou de uma ampola de injeção.
5.1.1 - Transformação de unidades de capacidade
Observando o quadro das unidades de capacidade, podemos verificar que cada unidade de capacidade é 
10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10. 
Veja os exemplos: 
1) Expressar 15 l em ml. 
Solução: 15 l = (15 x 103) ml = 15 000 ml 
2) Expressar 250 ml em cm3. 
Solução: 250 ml = 0,25 l = 0,25 dm3 = 250 cm3
Sistemas Lineares 
1 - Equação linear
Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a equação da 
forma
 a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou complexos.
a1, a2, a3, ... an são denominadoscoeficientes e b, termo independente.
Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.
Exemplos de equações lineares:
2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)
3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)
2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)
-x1 + 3x2 -7x3 + x4 = 1 (variáveis x1, x2 , x3 e x4, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1)
2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo). 
Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea.
2 - A solução de uma equação linear
Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variável), que são as equações de 
primeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 36, nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com 
duas incógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que poderemos ter um número 
infinito de pares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 
[par ordenado (4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)], ... , etc.
Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas. 
Seja por exemplo: x + y + z = 5
As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que 1+4+0 =5; x=3, y=7 e z=-5, uma vez que 
3+7- 5=5; x=10, y=-9 e y=4 (uma vez que 10-9+4=5); ... , que são compostas por 3 elementos, o que nos 
leva a afirmar que as soluções são os ternos ordenados (1,4,0), (3,7,-5) , (10, -9, 4), ... , ou seja, 
existem infinitas soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada.
De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, sãopares ordenados; 
de três variáveis, são ternos ordenados; de quatro variáveis, sãoquadras ordenadas; ... . 
Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n - uplas (lê-se ênuplas) ordenadas.
Assim, se a ênupla ordenada (r1, r2, r3 , ... , rn) é solução da equação linear
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b, isto significa que a igualdade é satisfeita para 
x1 = r1, x2 = r2 , x3 = r3 , ... , xn = rn e poderemos escrever:
a1.r1 + a2.r2 + a3.r3 + ... + an.rn = b.
3 - Exercícios resolvidos:
1 - Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p?
Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p,
6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e portanto, p = 14.
2 - Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado 
(a , b , g ) é solução.
Solução: Podemos escrever: 5a - 2b + g = 14. Daí, tiramos: g = 14 - 5a + 2b . Portanto, a solução genérica 
será o terno ordenado (a , b , 14 - 5a + 2b ).
Observe que arbitrando-se os valores para a e b , a terceira variável ficará determinada em função desses 
valores. Por exemplo, fazendo-se a = 1, b = 3, teremos
g = 14 - 5a + 2b = 14 - 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. 
Verificamos pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado 
(a , b , 14 - 5a + 2b ) a solução genérica.
Agora resolva estes:
1 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1?
Resp : S = f
2 - Determine o valor de 6p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é solução da equação
3x + 4y - 5z + 2t = 10.
Resp : -17
Sistemas Lineares II
1 - Sistema linear
É um conjunto de m equações linearesde n incógnitas (x1, x2, x3, ... , xn) do tipo:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3
.................................................................
.................................................................
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bn
Exemplo:
3x + 2y - 5z = -8
4x - 3y + 2z = 4
7x + 2y - 3z = 2
0x + 0y + z = 3
Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).
Os termos a11, a12, ... , a1n, ... , am1, am2, ..., amn são denominados coeficientes e b1,b2, ... , bn são os 
termos independentes. 
A ênupla (a 1, a 2 , a 3 , ... , a n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente 
a todas as m equações.
Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:
x + y + 2z = 7
3x + 2y - z = 11
x + 2z = 4
3x - y - z = 2
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.
Notas:
1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.
Exemplo: Os sistemas lineares
S1:
2x + 3y = 12
3x - 2y = 5
S2:
5x - 2y = 11
6x + y = 20
são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!
2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou 
COMPATÍVEL.
3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.
4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é 
DETERMINADO.
5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é 
INDETERMINADO.
6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja 
b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.
Exemplo:
x + y + 2z = 0
2x - 3y + 5z = 0
5x - 2y + z = 0
2 - Exercícios Resolvidos
2.1 - UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina)
Se os sistemas
S1:
x + y = 1
x - 2y = -5
S2:
ax - by = 5
ay - bx = -1
são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:
a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
e) 10
Solução:
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S1:
x + y = 1
x - 2y = -5
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 \ y = 2.
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1. 
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. Logo, substituindo 
em S2 os valores de x e y encontrados para o sistema S1,vem:
a(-1) - b(2) = 5 Þ - a - 2b = 5
a(2) - b (-1) = -1 Þ 2 a + b = -1
Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica:
-2 a - 4b = 10
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho), 
fica: -3b = 9 \ b = - 3 
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra 
equação em azul), teremos:
2 a + (-3) = -1 \ a = 1.
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.
Portanto a alternativa correta é a letra E.
2.2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 
2x - my = 10
3x + 5y = 8, seja impossível.
Solução:
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:
x = (10 + my) / 2
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:
3[(10+my) / 2] + 5y = 8
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:
3(10+my) + 10y = 16
30 + 3my + 10y = 16
(3m + 10)y = -14
y = -14 / (3m + 10)
Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x, deveremos ter o 
denominador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.
Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não 
possua solução.
Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:
a) 2x + 5y .- ..z = 10
.............3y + 2z = ..9
.....................3z = 15
b) 3x - 4y = 13
.....6x - 8y = 26
c) 2x + 5y = 6
....8x + 20y = 18
Resp: 
a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}
b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções.
c) sistema impossível. Não admite soluções.
TRIGONOMETRIA
O papel da trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí 
vem seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos, assim através do estudo da Trigonometria 
podemos calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, como a altura de uma torre, 
a altura de uma pirâmide, distância entre duas ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que além de seu uso na Matemática, também é usado 
no estudo de fenômenos físicos, Eletricidade, Mecânica, Música, Topografia, Engenharia entre outros.
Ponto móvel sobre uma curva
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P está localizado sobre esta curva, 
simplesmente dizemos P pertence à curva e que P é um ponto fixo na mesma. Se assumirmos que este 
ponto possa ser deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de ponto móvel.
Um ponto móvel localizado sobre uma circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer esta 
circunferência em dois sentidos opostos. Por convenção, o sentido anti-horário (contrário aos ponteiros de 
um relógio) é adotado como sentido positivo. 
Arcos da circunferência
Se um ponto móvel em uma circunferência partir de A e parar em M, ele descreve um arco AM. O ponto A é 
a origem do arco e M é a extremidade do arco. 
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco é denominado arco orientado e simplesmente 
pode ser denotado por AB se o sentido de percurso for de A para B e BA quando o sentido de percurso for 
de B para A. 
Quando não consideramos a orientação dos arcos formados por dois pontos A e B sobre uma 
circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A e B as suas extremidades.
Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por comparação com um outro arco da mesma circunferência 
tomado como a unidade de arco. Se u for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a medida do arco AB, 
é o número de vezes que o arco u cabe no arco AB.
Na figura em anexo, a medida do arco AB é 5 vezes a medida do arco u. Denotando a medida do arco AB 
por m(AB) e a medida do arco u por m(u), temos m(AB)=5 m(u).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em qualquer um dos sentidos. A medida algébrica de um 
arco AB desta circunferência, é o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A 
para B for anti-horário, e negativo se o sentido for horário. 
O número pi
Para toda circunferência, a razão entre o perímetro e o diâmetro é constante. Esta constante é denotada 
pela letra grega , que é um número irracional, isto é, não pode ser expresso como a divisão de dois 
números inteiros. Uma aproximação para o número é dada por:
 = 3,1415926535897932384626433832795...
Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) é o radiano, mas existem outras medidas 
utilizadas pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo comprimento que o raio da circunferência na qual estamos 
medindo o arco. Assim o arco tomado como unidade tem comprimento igual ao comprimento do raio ou 1 
radiano, que denotaremos por 1 rad.
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo da circunferência na qual estamos 
medindo o arco.
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo 
o arco.
Exemplo: Para determinar a medida em radianos de um arco de comprimento igual a 12 cm, em uma 
circunferência de raio medindo 8 cm, fazemos,
m(AB)=
comprimento do arco(AB)
comprimento do raio
=
12
8
Portanto m(AB)=1,5 radianos
Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma circunferência, a medida do arco é igual a C=2 r, 
então:
m(AB)=
comprimento do arco(AB)
comprimento do raio
=
2 r
r
= 2
Assim a medida em radianos de um arco de uma volta é 2 rad, isto é,
2 rad=360 graus
Podemos estabelecer os resultados seguintes
Desenho
Grau 90 180 270 360
Grado 100 200 300 400
Radiano /2 3 /2 2
0 graus = 0 grado = 0 radianos
Mudança de unidades
Consideremos um arco AB de medida R em radianos, esta medida corresponde a G graus. A relação entre 
estas medidas é obtida pela seguinte proporção,
2 rad …………… 360 graus
R rad …………… G graus
Assim, temos a igualdade R/2 =G/360, ou ainda,
R
 
=
G
180
Exemplos
1. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida 60 graus, fazemos
R
 
=
60
180
Assim R= /3 ou 60 graus= /3 rad
2. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 radiano, fazemos:
1
=
G
180
Asim 1 rad=180/ graus.
Trigonometria e aplicações
Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto 
comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre 
o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.
A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da 
trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria são:
 Determinação da altura de um certo prédio.
 Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
 Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.
 Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais 
fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
 Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de 
um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.
Triângulo Retângulo
É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome 
triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°,então 
os outros dois ângulos medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, 
portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.
Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a 
posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o 
ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.
Termo Origem da palavra
Cateto Cathetós:(perpendicular)
Hipotenusa Hypoteinusa:Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:
Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida
a Hipotenusa A = Ângulo reto A=90°
b Cateto B = Ângulo agudo B<90°
c Cateto C = Ângulo agudo C<90°
Nomenclatura dos catetos
Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se 
estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e 
o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.
Ângulo Lado oposto Lado adjacente
C c cateto oposto b cateto adjacente
B b cateto oposto c cateto adjacente
Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. 
Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da 
trigonometria é extenso e minucioso.
Propriedades do triângulo retângulo
1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois 
lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra 
extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao 
vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura 
(ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o 
segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.
A hipotenusa como base de um triângulo retângulo
Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:
1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, 
indicada por a.
3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, 
indicada por a.
Projeções de segmentos
Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do 
Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.
Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes 
segmentos sobre a reta.
Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no 
último caso A'=B' é um ponto.
Projeções no triângulo retângulo
Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.
1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.
2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.
3. a = m+n.
4. h = média geométrica entre m e n. 
Relações Métricas no triângulo retângulo
Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos 
retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B 
e DÂB=C.
Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.
Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor
ABC a b c
ADC b n h
ADB c h m
Assim:
a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m
logo:
a/c = c/m equivale a c² = a.m
a/b = b/n equivale a b² = a.n
a/c = b/h equivale a a.h = b.c
h/m = n/h equivale a h² = m.n
Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:
c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²
que resulta no Teorema de Pitágoras:
a² = b² + c²
A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.
Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus 
ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O 
ângulo é indicado pela letra x.
Função Notação Definição
seno sen(x)
medida do cateto oposto a x
medida da hipotenusa
cosseno cos(x)
medida do cateto adjacente a x
medida da hipotenusa
tangente tan(x)
medida do cateto oposto a x
medida do cateto adjacente a x
Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob 
análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente 
do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.
sen(x)=
CO
H
=
CO
1
 cos(x)=
CA
H
=
CA
1
 tan(x)=
CO
CA
=
sen(x)
cos(x)
Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:
cos²(x) + sen²(x) = 1
Círculo Trigonométrico
Considere uma circunferência de raio unitário com centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e o 
ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a origem dos arcos orientados nesta circunferência e o sentido 
positivo considerado será o anti-horário. A região contendo esta circunferência e todos os seus pontos 
interiores, é denominada círculo trigonométrico
. 
Nos livros de língua inglesa, a palavra círculo se refere à curva envolvente da região circular enquanto 
circunferência de círculo é a medida desta curva. No Brasil, a circunferência é a curva que envolve a região 
circular.
Os eixos OX e OY decompõem o círculo trigonométrico em quatro quadrantes que são enumerados como 
segue:
2o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: positiva
90º<ângulo<180º
1o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: positiva
0º<ângulo<90º
3o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: negativa
180º<ângulo<270º
4o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: negativa
270º<ângulo<360º
Os quadrantes são usados para localizar pontos e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por 
convenção, os pontos situados sobre os eixos não pertencem a qualquer um dos quadrantes. 
Arcos com mais de uma volta
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. 
Por exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre uma circunferência no sentido anti-horário e 
para em um ponto M, ele descreve um arco AM. A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou igual 
a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em 
sua primeira determinação.
Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a circunferência uma ou mais vezes em um determinado 
sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos maiores do que 360º ou arcos com mais de uma 
volta. Existe uma infinidade de arcos mas com medidas diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja 
extremidade é o ponto M.
Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e pare 
em M, pode ter várias medidas algébricas, dependendo do percurso.
Se o sentido for o anti-horário, o ponto M da circunferência trigonométrica será extremidade de uma 
infinidade de arcos positivos de medidas 
m, m+2 , m+4 , m+6 , ...
Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade de uma infinidade de arcos negativos de medidas 
algébricas 
m-2 , m-4 , m-6 , ...
e temos assim uma coleção infinita dearcos com extremidade no ponto M. 
Generalizando este conceito, se m é a medida da primeira determinação positiva do arco AM, podemos 
representar as medidas destes arcos por:
µ(AM) = m + 2k
onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao conjunto Z={...,-2,-3,-1,0,1,2,3,...}.
Família de arcos: Uma família de arcos {AM} é o conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e 
extremidade em M.
Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem em A e extremidade em M, com a primeira 
determinação positiva medindo 2 /3, então os arcos desta família {AM}, medem:
Determinações positivas (sentido anti-horário)
k=0 µ(AM)=2 /3
k=1 µ(AM)=2 /3+2 =8 /3
k=2 µ(AM)=2 /3+4 =14 /3
k=3 µ(AM)=2 /3+6 =20 /3
... ...
k=n µ(AM)=2 /3+2n =(2+6n) /3
Determinações negativas (sentido horário)
k=-1 µ(AM)=2 /3-2 =-4 /3
k=-2 µ(AM)=2 /3-4 =-6 /3
k=-3 µ(AM)=2 /3-6 =-16 /3
k=-4 µ(AM)=2 /3-8 =-22 /3
... ...
k=-n µ(AM)=2 /3-2n =(2-6n) /3
Arcos côngruos e Ângulos
Arcos côngruos: Dois arcos são côngruos se a diferença de suas medidas é um múltiplo de 2 .
Exemplo: Arcos de uma mesma família são côngruos.
Ângulos: As noções de orientação e medida algébrica de arcos podem ser estendidas para ângulos, uma 
vez que a cada arco AM da circunferência trigonométrica corresponde a um ângulo central determinado 
pelas semi-retas OA e OM.
Como no caso dos arcos, podemos considerar dois ângulos orientados um positivo (sentido anti-horário) 
com medida algébrica a correspondente ao arco AM e outro negativo (sentido horário) com medida b=a-2 
correspondente ao arco AM.
Existem também ângulos com mais de uma volta e as mesmas noções apresentadas para arcos se aplicam 
para ângulos.
Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OX
Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica, com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em 
relação ao eixo horizontal OX. Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: 
µ(AM')=2 -m.
Os arcos da família {AM}, aqueles que têm origem em A e extremidades em M, têm medidas iguais a 2k
+m, onde k é um número inteiro e os arcos da família {AM'} têm medidas iguais a 2k -m, onde k é um 
número inteiro.
Arcos de mesma origem, simétricos em relação ao eixo OY
Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em 
relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM for igual a m, então a medida do arco AM' será dada 
pela expressão µ(AM')= -m.
Os arcos da família {AM'}, isto é, aqueles com origem em A e extremidade em M', medem 2k + -
m=(2k+1) -m onde k é um número inteiro.
Arcos com a mesma origem e extremidades simétricas em relação à origem
Sejam os arcos AM e AM' na circunferência trigonométrica com A=(1,0) e os pontos M e M' simétricos em 
relação a origem (0,0).
Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do arco AM' é dada por: µ(AM')= +m. Arcos 
genéricos com origem em A e extremidade em M' medem:
µ(AM') = 2k + + m = (2k+1) + m
Seno e cosseno
Dada uma circunferência trigonométrica contendo o ponto A=(1,0) e um número real x, existe sempre um 
arco orientado AM sobre esta circunferência, cuja medida algébrica corresponde a x radianos. 
Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio 
unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto 
determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo 
OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto 
B=(0,y').
A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida como o seno do arco AM 
que corresponde ao ângulo a, denotado por sen(AM) ou sen(a).
Como temos várias determinações para o mesmo ângulo, escreveremos
sen(AM)=sen(a)=sen(a+2k )=y'
Para simplificar os enunciados e definições seguintes, escreveremos sen(x) para denotar o seno do arco de 
medida x radianos.
Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao ângulo a, denotado por cos(AM) ou cos(a), é a medida 
do segmento 0C, que coincide com a abscissa x' do ponto M.
Como antes, existem várias determinações para este ângulo, razão pela qual, escrevemos
cos(AM) = cos(a) = cos(a+2k ) = x'
Tangente
Seja a reta t tangente à circunferência trigonométrica no ponto A=(1,0). Tal reta é perpendicular ao eixo OX. 
A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente t no ponto T=(1,t'). 
A ordenada deste ponto T, é definida como a tangente do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a tangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
tan(AM) = tan(a) = tan(a+k ) = µ(AT) = t'
Podemos escrever M=(cos(a),sen(a)) e T=(1,tan(a)), para cada ângulo a do primeiro quadrante. O seno, o 
cosseno e a tangente de ângulos do primeiro quadrante são todos positivos.
Um caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo horizontal OX. Neste caso:
cos(0)=1, sen(0)=0 e tan(0)=0
Ampliaremos estas noções para ângulos nos outros quadrantes
Ângulos no segundo quadrante
Se na circunferência trigonométrica, tomamos o ponto M no segundo quadrante, então o ângulo a entre o 
eixo OX e o segmento OM pertence ao intervalo /2<a< . Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o 
cosseno está relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada deste ponto. Como o ponto 
M=(x,y) possui abscissa negativa e ordenada positiva, o sinal do seno do ângulo a no segundo quadrante é 
positivo, o cosseno do ângulo a é negativo e a tangente do ângulo a é negativa.
Outro caso particular importante é quando o ponto M está sobre o eixo vertical OY e neste caso:
cos( /2)=0 e sen( /2)=1
A tangente não está definida, pois a reta OM não intercepta a reta t, pois elas são paralelas.
Ângulos no terceiro quadrante
O ponto M=(x,y) está localizado no terceiro quadrante, o que significa que o ângulo pertence ao intervalo: 
<a<3 /2. Este ponto M=(x,y) é simétrico ao ponto M'=(-x,-y) do primeiro quadrante, em relação à origem do 
sistema, indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada são negativos. O seno e o cosseno de 
um ângulo no terceiro quadrante são negativos e a tangente é positiva.
Em particular, se a= radianos, temos que
cos( )=-1, sen( )=0 e tan( )=0
Ângulos no quarto quadrante
O ponto M está no quarto quadrante, 3 /2<a< 2 . O seno de ângulos no quarto quadrante é negativo, o 
cosseno é positivo e a tangente é negativa.
Quando o ângulo mede 3 /2, a tangente não está definida pois a reta OP não intercepta a reta t, estas são 
paralelas. Quando a=3 /2, temos:
cos(3 /2)=0, sin(3 /2)=-1
Simetria em relação ao eixo OX
Em uma circunferência trigonométrica, se M é um ponto no primeiro quadrante e M' o simétrico de M em 
relação ao eixo OX, estes pontos M e M' possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais 
opostos.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo 
correspondente ao arco AM', obtemos:
sen(a) = -sen(b)
cos(a) = cos(b)
tan(a) = -tan(b)
Simetria em relação ao eixo OY
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico a M 
em relação ao eixo OY, estes pontos M e M' possuem a mesma ordenada e as abscissa são simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondente ao arco AM e b o ângulo 
correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = -tan(b)
Simetria em relação à origem
Seja M um ponto da circunferência trigonométrica localizado no primeiro quadrante, e seja M' simétrico de M 
em relação a origem, estes pontos M e M' possuem ordenadas e abscissas simétricas.
Sejam A=(1,0) um ponto da circunferência, a o ângulo correspondenteao arco AM e b o ângulo 
correspondente ao arco AM'. Desse modo:
sen(a) = -sen(b)
cos(a) = -cos(b)
tan(a) = tan(b)
Senos e cossenos de alguns ângulos notáveis
Uma maneira de obter o valor do seno e cosseno de alguns ângulos que aparecem com muita frequência 
em exercícios e aplicações, sem necessidade de memorização, é através de simples observação no círculo 
trigonométrico.
Primeira relação fundamental
Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muito importante em todas as áreas da 
Matemática e também das aplicações é:
sin²(a) + cos²(a) = 1
que é verdadeira para todo ângulo a.
Necessitaremos do conceito de distância entre dois pontos no plano cartesiano, que nada mais é do que a 
relação de Pitágoras. Sejam dois pontos, A=(x',y') e B=(x",y").
Definimos a distância entre A e B, denotando-a por d(A,B), como:
Se M é um ponto da circunferência trigonométrica, cujas coordenadas são indicadas por (cos(a),sen(a)) e a 
distância deste ponto até a origem (0,0) é igual a 1. Utilizando a fórmula da distância, aplicada a estes 
pontos, d(M,0)=[(cos(a)-0)²+(sen(a)-0)²]1/2, de onde segue que 1=cos²(a)+sin²(a).
Segunda relação fundamental
Outra relação fundamental na trigonometria, muitas vezes tomada como a definição da função tangente, é 
dada por:
tan(a) =
sen(a)
cos(a)
Deve ficar claro, que este quociente somente fará sentido quando o denominador não se anular.
Se a=0, a= ou a=2 , temos que sen(a)=0, implicando que tan(a)=0, mas se a= /2 ou a=3 /2, segue 
que cos(a)=0 e a divisão acima não tem sentido, assim a relação tan(a)=sen(a)/cos(a) não é verdadeira 
para estes últimos valores de a.
Para a 0, a , a 2 , a /2 e a 3 /2, considere novamente a circunferência trigonométrica na 
figura seguinte.
Os triângulos OMN e OTA são semelhantes, logo:
AT
MN
=
OA
ON
Como AT=|tan(a)|, MN=|sen(a)|, OA=1 e ON=|cos(a)|, para todo ângulo a, 0<a<2 com a /2 e 
a 3 /2 temos
tan(a) =
sen(a)
cos(a)
Forma polar dos números complexos
Um número complexo não nulo z=x+yi, pode ser representado pela sua forma polar:
z = r [cos(c) + i sen(c)]
onde r=|z|=R[x²+y²], i²=-1 e c é o argumento (ângulo formado entre o segmento Oz e o eixo OX) do número 
complexo z.
A multiplicação de dois números complexos na forma polar:
A = |A| [cos(a)+isen(a)]
B = |B| [cos(b)+isen(b)]
é dada pela Fórmula de De Moivre:
AB = |A||B| [cos(a+b)+isen(a+b)]
Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar os 
seus módulos e somar os seus argumentos.
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso
A = cos(a) + i sen(a)
B = cos(b) + i sen(b)
Multiplicando A e B, obtemos
AB = cos(a+b) + i sen(a+b)
Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para todo 
número complexo z e também para todo número real z:
eiz = cos(z) + i sen(z)
Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra 
forma para representar números complexos unitários A e B, como:
A = eia = cos(a) + i sen(a)
B = eib = cos(b) + i sen(b)
onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim,
ei(a+b) = cos(a+b)+isen(a+b)
Por outro lado
ei(a+b) = eia . eib = [cos(a)+isen(a)] [cos(b)+isen(b)]
e desse modo
ei(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
 + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]
Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, logo
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
sen(a+b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)
Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma
cos(a+(-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b)
sen(a+(-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a)
para obter
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
sen(a-b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b)
Seno, cosseno e tangente da soma e da diferença
Na circunferência trigonométrica, sejam os ângulos a e b com 0£a£2 e 0£b£2 , a>b, então;
sen(a+b) = sen(a)cos(b) + cos(a)sen(b)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)
Dividindo a expressão de cima pela de baixo, obtemos:
tan(a+b)=
sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)
cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)
Dividindo todos os quatro termos da fração por cos(a)cos(b), segue a fórmula:
tan(a+b)=
tan(a)+tan(b)
1-tan(a)tan(b)
Como
sen(a-b) = sen(a)cos(b) - cos(a)sen(b)
cos(a-b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)
podemos dividir a expressão de cima pela de baixo, para obter:
tan(a-b)=
tan(a)-tan(b)
1+tan(a)tan(b)
Cotangente
Seja a reta s tangente à circunferência trigonométrica no ponto B=(0,1). Esta reta é perpendicular ao eixo 
OY. A reta que passa pelo ponto M e pelo centro da circunferência intersecta a reta tangente s no ponto 
S=(s',1). A abscissa s' deste ponto, é definida como a cotangente do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a cotangente do ângulo a é dada pelas suas várias determinações
cot(AM) = cot(a) = cot(a+2k ) = µ(BS) = s'
Os triângulos OBS e ONM são semelhantes, logo:
BS
OB
=
ON
MN
Como a circunferência é unitária |OB|=1
cot(a)=
cos(a)
sen(a)
que é equivalente a
cot(a)=
1
tan(a)
A cotangente de ângulos do primeiro quadrante é positiva.
Quando a=0, a cotangente não existe, pois as retas s e OM são paralelas.
Ângulos no segundo quadrante
Se o ponto M está no segundo quadrante, de modo que o ângulo pertence ao intervalo /2<a< , então a 
cotangente de a é negativa. Quando a= /2, tem-se que cot( /2)=0.
Ângulos no terceiro quadrante
Se o ponto M está no terceiro quadrante, o ângulo está no intervalo <a<3 /2 e nesse caso, a 
cotangente é positiva. Quando a= , a cotangente não existe, as retas que passam por OM e BS são 
paralelas.
Ângulos no quarto quadrante
Se o ponto M está no quarto quadrante, o ângulo a pertence ao intervalo 3 /2<a<2 , assim a cotangente 
de a é negativa. Se a=3 /2, cot(3 /2)=0.
Secante e cossecante
Seja a reta r tangente à circunferência trigonométrica no ponto M=(x',y'). Esta reta é perpendicular à reta 
que contém o segmento OM. A interseção da reta r com o eixo OX determina o ponto V=(v,0). A abscissa do 
ponto V, é definida como a secante do arco AM correspondente ao ângulo a.
Assim a secante do ângulo a é dada pelas suas várias determinações:
sec(AM) = sec(a) = sec(a+2k ) = µ(OV) = v
A interseção da reta r com o eixo OY é o ponto U=(0,u). A ordenada do ponto U, é definida como a 
cossecante do arco AM correspondente ao ângulo a. Então a cossecante do ângulo a é dada pelas suas 
várias determinações 
csc(AM) = csc(a) = csc(a+2k ) = µ(OU) = u
Os triângulos OMV e Ox'M são semelhantes, deste modo, 
OV
OM
=
OM
Ox'
que pode ser escrito como
sec(a)=
1
cos(a)
se cos(a) é diferente de zero.
Os triângulos OMU e Ox'M são semelhantes, logo:
OU = OM
OM x'M
que pode ser escrito como
csc(a)=
1
sen(a)
desde que sen(a) seja diferente de zero.
Algumas propriedades da secante e da cossecante
Observando as representações geométricas da secante e da cossecante, podemos constatar as seguintes 
propriedades.
1. Como os pontos U e V sempre estão no exterior da circunferência trigonométrica, as suas 
distâncias até o centro da circunferência é sempre maior ou igual à medida do raio unitário. Daí 
segue que:
sec(a)<-1 ou sec(a)>1
csc(a)<-1 ou csc(a)>1
2. O sinal da secante varia nos quadrantes como o sinal do cosseno, positivo no 1o. e no 4o. 
quadrantes e negativo no 2o. e no 3o. quadrantes.
3. O sinal da cossecante varia nos quadrantes como o sinal do seno, positivo no 1o. e no 2o. 
quadrantes e negativo no 3o. e no 4o. quadrantes.
4. Não existe a secante de ângulos da forma a= /2+k , onde k é um número inteiro, pois nesses 
ângulos o cosseno é zero.
5. Não existe a cossecante de ângulos da forma a=k , onde k é um númerointeiro, pois são ângulos 
cujo seno é zero.
Relações trigonométricas com secante e cossecante
Valem as seguintes relações trigonométricas
sec²(a) = 1 + tan²(a)
csc²(a) = 1 + cot²(a)
Estas fórmulas são justificadas como segue
1+tan²(a)=1+
sen²(a)
cos²(a)
=
1
cos²(a)
=sec²(a)
1+cot²(a)=1+
cos²(a)
sen²(a)
=
1
sen²(a)
=csc²(a)
Alguns ângulos notáveis
arco xº sen(x) cos(x) tan(x) cot(x) sec(x) csc(x)
0 0º 0 1 0 não existe 1 não existe
/6 30º ½ ½ 2 2
/4 45º ½ ½ 1 1
/3 60º ½ ½ 2 2
/2 90º 1 0 não existe 0 não existe 1 
2 /3 120º ½ -½ - - -2 2
3 /4 135º ½ -½ -1 -1 -
5 /6 150º ½ -½ - - -2 2
180º 0 -1 0 não existe -1 não existe
7 /6 210º -½ -½ -2 -2
5 /4 225º -½ -½ 1 1 - -
4 /3 240º -½ -½ -2 -2
3 /2 270º -1 0 não existe 0 não existe -1 
5 /3 300º -½ ½ - - 2 -2
7 /4 315º -½ ½ -1 -1 -
11 /6 330º -½ ½ - - 2 -2
2 360º 0 1 0 não existe 1 não existe
Resolução de triângulos
Os elementos fundamentais de um triângulo são os seus lados, os seus ângulos e a sua área, resolver um 
triângulo, segnifica conhecer as medidas destes elementos. Conhecendo-se três entre estes elementos 
podemos usar as relações métricas ou as relações trigonométricas dependendo do caso, para calcular os 
outros elementos. Estas relações estão expostas na sequência.
Lei dos Senos
Seja um triângulo qualquer, como o que aparece na figura ao lado, com lados a, b e c, que são os lados 
opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do 
ângulo oposto a este lado é uma constante igual a 2R, em que R é o raio da circunferência circunscrita ao 
triângulo, isto é:
a
sen(A)
=
b
sen(B)
=
c
sen(C)
=2R
Demonstração: Para simplificar as notações iremos denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo 
nome do vértice, por exemplo para o triângulo de vértices ABC os ângulos serão A, B e C respectivamente, 
assim quando escrevermos sen(A) estaremos nos referindo ao seno do ângulo correspondente ao vértice A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa circunferência de raio R. Tomando como base do triângulo o 
lado BC, construimos um novo triângulo BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um diâmetro da 
circunferência. Este novo triângulo é retângulo em C.
Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou retângulo.
1. Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes aos vértices A e A' são congruentes, pois são 
ângulos inscritos à circunferência que correspondem a um mesmo arco BC. Então:
sen(A')=sen(A)=
a
2R
isto é,
a
sen(A)
=2R
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes
b
sen(B)
=
c
sen(C)
=2R
2. Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que correspondem aos vértices A e A', a relação 
entre eles é dada por A'= -A, pois são ângulos inscritos à circunferência correspondentes a arcos 
replementares BAC e BA'C. Então
sen( -A)=
a
2R
= sen( -A)
isto é,
a
sen(A)
=2R
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB, encontraremos os outros quocientes
b
sen(B)
=
c
sen(C)
=2R
3. Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um triângulo retângulo, é imediato que
sen(B)=
b
a
, sen(C)=
c
a
 e sen(A)=sen( /2)=1
Como, neste caso a=2R, temos,
a
sen(A)
=
b
sen(B)
=
c
sen(C)
Lei dos Cossenos
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual a diferença entre a soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados e o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno 
do ângulo formado por estes lados.
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
b² = a² + c² - 2ac cos(B)
c² = a² + b² - 2ab cos(C)
Demonstração: Temos três casos a considerar, dependendo se o triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo 
ou retângulo.
1. Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice A. A relação
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
recai no teorema de Pitágoras.
a² = b² + c²
uma vez que cos(A)=cos( /2)=0.
2. Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um triângulo acutângulo com ângulo agudo 
correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), 
passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos:
a² = h²+(c-x)² = h²+(c²-2cx+x²) = 
=(h²+x²)+c²-2cx (Eq.1)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também cos(A)=x/b, ou seja, x = b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq. 1), obtemos:
a²=b² + c² - 2bc cosA
3. Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo ABC com o ângulo obtuso correspondente ao 
vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB (altura do triângulo relativa ao lado AB), 
passando pelo vértice C. Aplicando o Torema de Pitágoras no triângulo CHB, temos que:
a² = h²+(c+x)² = h²+(c²+2cx+x²) = 
=(h²+x²)+c²+2cx (Eq.2)
No triângulo AHC, temos que b²=h²+x² e também:
cos(D)=x/b=cos( -A)=-cos(A), então, x = -b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq.2), obtemos:
a² = b² + c² - 2bc cos(A)
As expressões da lei dos cossenos podem ser escritas na forma
cos(A)=
b²+c²-a²
2bc
,cos(B)=
a²+c²-b²
2ac
,cos(C)=
a²+b²-c²
2ab
Área de um triângulo em função dos lados
Existe uma fórmula que permite calcular a área de um triângulo conhecendo-se as medidas de seus lados. 
Se a, b e c são as medidas dos lados do triângulo, p a metade do perímetro do triângulo, isto é: 2p=a+b+c, 
então,
S = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]
onde R[z] é a nossa notação para a raiz quadrada de z>0.