Equações e Desigualdades de 1º Grau

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Equações de primeiro grau
Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada 
com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais 
importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.
Sentença com palavras Sentença matemática
2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14
Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se 
posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o 
objetivo do estudo de equações.
Equações do primeiro grau em 1 variável
Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações importantes. Observe a 
balança:
A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. 
No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?
2 melancias + 2Kg = 14Kg
Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação 
poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:
2x + 2 = 14
Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e 
aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.
Podemos ver que toda equação tem:
 Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou 
incógnitas;
 Um sinal de igualdade, denotado por =.
 Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda;
 Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da direita.
A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa 
que provém do Latim e significa igual.
2 x + 2 = 14
1o. membro sinal de igualdade 2o. membro
As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.
Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de x.
2x + 2 = 14 Equação original
2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros
2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros
x = 6 Solução
Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela 
permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação 
por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma 
equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.
Exemplos:
1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-
se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para 
a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:
c + a = 22
c + (c - 4) = 22
2c - 4 = 22
2c - 4 + 4 = 22 + 4
2c = 26
c = 13
Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.
2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm 
uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Solução: Identificaremos a população da cidade A com a letra a e a população da cidade com a letra 
b. Assumiremos que a=3b. Dessa forma, poderemos escrever:
a + b = 100.000
3b + b = 100.000
4b = 100.000
b = 25.000
Resposta: Como a=3b, então a população de A corresponde a: a=3×25.000=75.000 habitantes.
3. Uma casa com 260m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de 
cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140m2?
Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.
3x + 140 = 260
3x = 260 -140
3x = 120
x = 40
Resposta: Cada quarto tem 40m2.
Exercícios: Resolver as equações
1. 2x + 4 = 10
2. 5k - 12 = 20
3. 2y + 15 - y = 22
4. 9h - 2 = 16 + 2h
Desigualdades do primeiro grau em 1 variável
Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também 
denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos 
quatro sinais:
 < menor
 > maior
 < menor ou igual
 > maior ou igual
Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode(m) assumir uma 
ou mais incógnitas na equação proposta.
Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:
2x + 2 < 14
Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos:
Passo 1 2x + 2 < 14 Escrever a equação original
Passo 2 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtrair o número 2 dos dois membros
Passo 3 2x < 12 Dividir pelo número 2 ambos os membros
Passo 4 x < 6 Solução
Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6:
S = {1, 2, 3, 4, 5}
Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade
2x + 2 < 14
obteremos o conjunto solução:
S = {2, 4}
Observação: Se há mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades 
"disfarçadas" em uma.
Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as (duas) 
desigualdades:
12 < 2x + 2 < 20
poderemos seguir o seguinte processo:
12 < 2x + 2 < 20 Equação original
12 - 2 < 2x + 2 - 2 < 20 - 2 Subtraímos 2 de todos os membros
10 < 2x < 18 Dividimos por 2 todos os membros
5 < x < 9 Solução
O conjunto solução é:
S = {6, 7, 8, 9}
Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades
12 < 2x + 2 < 20
obteremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:
S = Ø = { }
Desigualdades do primeiro grau em 2 variáveis
Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação 
com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma 
geral típica, pode ser:
a x + b y < c
onde a, b e c são valores dados.
Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais:
2x + 3y > 0
observamos que o conjunto solução contém os pares:
(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...
Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível 
exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma 
solução geométrica satisfatória.
Processo geométrico:
(1) Traçamos a reta 2x+3y=0;
(2) Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta;
(3) Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x+3y>0, colorimos a região que contém este ponto, caso contrário, 
colorimos a região que está do outro lado da reta.
(4) A região colorida é o conjunto solução para a desigualdade.
Sistemas linear de equações do primeiro grau
Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo 
de equação poderá ter mais do que uma incógnita.
Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas 
equações do primeiro nessas duas incógnitas.
Exemplo: Seja o sistema de duas equações:
2 x + 3 y = 38
3 x - 2 y = 18
Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem 
simultaneamente a ambas as equações.
x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números 
reais:
S = { (10,6) }
Método de substituição para resolver este sistema
Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na idéia básica de isolar o valor algébrico de uma 
das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação.
Para entender o método, consideremos o sistema:
2 x + 3 y = 38
3 x - 2 y = 18
Para extrair o valor de x na primeira equação, usaremos o seguinte processo:
2x + 3y = 38 Primeira equação
2x + 3y - 3y = 38 - 3y Subtraímos3y de ambos os membros
2x = 38 - 3y Dividimos ambos os membros por 2
x = 19 - (3y/2) Este é o valor de x em função de y
Substituímos aqora o valor de x na segunda equação 3x-2y=18:
3x - 2y = 18 Segunda equação
3(19 - (3y/2)) - 2y = 18 Após substituir x, eliminamos os parênteses
57 - 9y/2 - 2y = 18 multiplicamos os termos por 2
114 - 9y - 4y = 36 reduzimos os termos semelhantes
114 - 13y = 36 separamos variáveis e números
114 - 36 = 13y simplificamos a equação
78 = 13y mudamos a posição dos dois membros
13 y = 78 dividimos ambos os membros por 6
y = 6 Valor obtido para y
Substituindo y=6 na equação x=19-(3y/2), obtemos:
x = 19 - (3×6/2) = 19 - 18/2 = 19-9 = 10
Exercício: Determinar a solução do sistema:
x + y = 2
x - y = 0
Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no 
plano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.
Relação entre sistemas lineares e retas no plano
No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma ax+by=c, representa uma reta no plano 
cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado 
como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.
Reta 1: ax + by = c
Reta 2: dx + ey = f
Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes.
Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de:
Retas concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na 
interseção das duas retas;
Retas paralelas: quando o não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas 
paralelas;
Retas coincidentes: quando o admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.
Exemplos das três situações
Tipos de retas Sistema
Concorrentes x + y = 2x - y = 0
Paralelas x + y = 2x + y = 4
Coincidentes x + y = 22x + 2y = 4
Problemas com sistemas de equações:
1. A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-
se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.
Solução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema 
de equações será:
C + A = 22
C - A = 4
Resposta: C = 13 e A = 9
2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm 
uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Solucão: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o 
sistema de equações será:
A + B = 100000
A = 3B
Resposta: A = 75000, B= 25000.
3. Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de 
cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2?
Solução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências 
com a letra O. Assim, o sistema será:
3D + O = 260
O = 140
Resposta: D = 40
Desigualdades com 2 Equações em 2 variáveis
Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais 
incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma 
geral pode ter a seguinte forma típica:
a x + b y < c
d x + e y > f
onde as constantes: a, b, c, d, e, f; são conhecidas.
Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:
2x + 3y > 6
5x + 2y < 20
Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível 
exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma 
solução geométrica satisfatória.
Processo geométrico:
(1) Traçar a reta 2x+3y=6 (em vermelho);
(2) Escolher um ponto fora da reta, como o par (2,2) e observar que ele satisfaz à primeira desigualdade;
(3) Devemos colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2) (em verde);
(4) Traçar a reta 5x+2y=20 (em azul);
(5) Escolher um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2) (não é necessário que 
seja o mesmo) e observamos que ele satisfaz à segunda desigualdade;
(6) Colorir o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)
(7) Construir a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.
(8) Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.
Esta situação gráfica é bastante utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia e Processos 
de otimização. Um dos ramos da Matemática que estuda este assunto é a Pesquisa Operacional.
Equações do segundo grau 
Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: 
adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.
Exemplos:
1. a x + b = 0
2. a x² + bx + c = 0
3. a x4 + b x² + c = 0
Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:
ao x
n + a1 x
n-1 + ... + an-1 x
1 + an = 0
onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação 
algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado 
coeficiente do termo dominante.
Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, 
dizemos que esta é uma equação do segundo grau.
A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)
Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de 
Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a 
Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um 
século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material 
construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a 
uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.
Seja a equação:
a x² + b x + c = 0
com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:
x² + (b/a) x + c/a = 0
Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:
x² + (b/a) x = -c/a
Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto 
somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:
x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²
Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:
[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²
Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz 
quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais 
rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de 
uma forma fácil.
Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número 
real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:
x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]
ou
x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]
que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:
contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer 
significado em Matemática.
Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:
x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a
ou
x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a
A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:
onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do 
segundo grau, definido por:
D = b² - 4ac
Equação do segundo grau
Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:a x² + b x + c = 0
onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. 
Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao 
quadrado.
Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
1. 2 x² + 7x + 5 = 0
2. 3 x² + x + 2 = 0
Equação incompleta do segundo grau
Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente 
a é diferente de zero.
Exemplos:
1. 4 x² + 6x = 0
2. 3 x² + 9 = 0
3. 2 x² = 0
Resolução de equações incompletas do 2o. grau
Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:
x² = 0
significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.
Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante 
para o segundo membro para obter:
x² = -c/a
Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais 
contrários.
Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:
x (ax + b) = 0
e a equação terá duas raízes:
x' = 0 ou x" = -b/a
Exemplos gerais
1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.
2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]
3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.
4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0
Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.
1. x² + 6x = 0
2. 2 x² = 0
3. 3 x² + 7 = 0
4. 2 x² + 5 = 0
5. 10 x² = 0
6. 9 x² - 18 = 0
Resolução de equações completas do 2o. grau
Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-
la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.
Para esse discriminante D há três possíveis situações:
1. Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
2. Se D=0, há duas soluções iguais:
x' = x" = -b / 2a
3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:
x' = (-b + R[D])/2a
x" = (-b - R[D])/2a
Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, 
analisando os tipos de raízes da equação.
Equação a b c Delta Tipos de raízes
x²-6x+8=0 1 -6 8 4 reais e diferentes
x²-10x+25=0 
x²+2x+7=0 
x²+2x+1=0 
x²+2x=0 
O uso da fórmula de Bhaskara
Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:
x² - 5 x + 6 = 0
1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
2. Escrever o discriminante D = b²-4ac.
3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=1
4. Escrever a fórmula de Bhaskara:
5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:
x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3
x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2
Exercícios
1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:
a. x² + 9 x + 8 = 0
b. 9 x² - 24 x + 16 = 0
c. x² - 2 x + 4 = 0
d. 3 x² - 15 x + 12 = 0
e. 10 x² + 72 x - 64 = 0
2. Resolver as equações:
a. x² + 6 x + 9 = 0
b. 3 x² - x + 3 = 0
c. 2 x² - 2 x - 12 = 0
d. 3 x² - 10 x + 3 = 0
Equações fracionárias do segundo grau
São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.
Exemplos:
1. 3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0
2. 3/(x²-4)+1/(x-2)=0
Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os 
denominadores, uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração 
com denominador igual a 0. Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos 
denominadores das frações, se houver necessidade.
1. Consideremos o primeiro exemplo:
3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0
x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo 
comum entre os termos como:
MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)
Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:
[3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0
o que significa que o numerador deverá ser:
3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0
que desenvolvido nos dá:
x2 + 3x - 13 = 0
que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não 
existirão números reais satisfazendo esta equação.
2. Consideremos agora o segundo exemplo:
(x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)
O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e 
MMC somente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, 
teremos uma sequência de expressões como:
(x+3)(x+4)=2x(2x-1)
x² + 7x + 12 = 4x² - 2x
-3x² + 9x + 12 = 0
3x² - 9x - 12 = 0
x² - 3x - 4 = 0
(x-4)(x+1) = 0
Solução: x'=4 ou x"= -1
3. Estudemos outro exemplo:
3/(x²-4)+1/(x-2)=0
O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2. 
Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:
3 + (x+2)=0
cuja solução é x= -5
Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:
1. x + 6/x = -7
2. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)
3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x
4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1
Equações bi-quadradas
São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:
a x4 + b x² + c = 0
Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da 
substituição:
y = x²
para gerar
a y² + b y + c = 0
Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o 
procedimento final deve ser mais cuidadoso, uma vez que
x² = y' ou x² = y"
e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.
Exemplos:
1. Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, 
assim:
x² = 4 ou x² = 9
o que garante que o conjunto solução é:
S = { 2, -2, 3, -3}
2. Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e 
desse modo:
x² = -4 ou x² = 9
o que garante que o conjunto solução é:
S = {3, -3}
3. Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou 
y"= -9 e dessa forma:
x² = -4 ou x² = -9
o que garante que o conjunto solução é vazio.
Equações transcendentais - Exponenciais
Equações Exponenciais
FUNÇÃO EXPONENCIAL
a) Definição
Dado um número real a, a > 0 e a diferente de 1, definimos função exponencial de base a à função f de R em R que 
associa a cada x real o número real ax. Simbolicamente:
Observações, Propriedades e Exemplos:
• A função exponencial é definida somente para base a positiva, uma vez que se a é negativo teríamos valores 
da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à 
raiz quadrada de -2 (ver a propriedade P7 do artigo sobre Radiciação ), que pertence ao conjunto dos números 
complexos, contradizendo a definição da função exponencial;
• A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, 
uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o 
conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma 
indeterminação para x = 0;
• A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;
• Qualquer que seja a função exponencial temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) 
pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico 
cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;
• Uma função f é dita crescentese dados x1 < x2 pertencentes ao seu domínio, então as imagens 
correspondentes obedecem a relação f(x1) < f(x2);
• Uma função f é dita decrescente se x1 < x2 então f(x1) > f(x2);
• No caso da função exponencial ela é crescente se, e somente se, a > 1. E decrescente se, e somente se, 0 < a 
< 1. A demonstração da propriedade não será feita aqui;
• A função exponencial é injetora, ou seja, dados x1 diferente de x2 então f(x1) é diferente de f(x2). Esta 
propriedade é decorrência direta da propriedade acima;
• Como a base a é maior que zero, temos que ax > 0 para todo x real. Daqui segue que o conjunto imagem da 
função exponencial é o conjunto dos números reais positivos;
• Da propriedade acima concluí-se que a curva representativa (gráfico) da função está toda acima do eixo dos x;
• Exemplos de funções exponenciais:
b) Teoremas
Neste tópico serão apresentados os principais teoremas sobre as funções exponenciais.
T1. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, a > 1, então:
Não será apresentada a demonstração que depende de outros fatos não tratados aqui.
T2. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, a > 1, então:
Demonstração:
Daqui, pelo teorema T1 temos:
T3. Dados a e x pertencentes ao conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:
Demonstração:
Pelo teorema T1, vem que:
T4. Dados a, x1 e x2 pertencentes aos conjunto dos reais, 0 < a < 1, então:
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
a) Definição
Equações exponenciais são, simplesmente, equações com incógnita no expoente.
Exemplos:
Os dois métodos fundamentais utilizados na resolução de equações exponenciais são:
• Método de redução a uma base comum;
• Método que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.
b) Método de redução a uma base comum
Este método, como o próprio nome diz, consiste no uso de técnicas que permitam, através de transformações baseadas 
nas propriedades de potências, reduzir ambos os membros de uma equação a uma potência de mesma base. É claro 
que o método só poderá ser utilizado caso seja possível a redução.
Como a função exponencial é injetora podemos concluir que:
ou seja, que potências iguais e de mesma base têm expoentes iguais.
c) Exercícios Resolvidos
Os exercícios foram selecionados visando apresentar técnicas de soluções diferenciadas.
Para termos uma equação devemos ter uma igualdade,ou seja, alguma coisa igualada à outra.
E para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente X) colocada no 
expoente (potência). Para resolvê-las utilizamos métodos que se valem das propriedades que acabamos de estudar.
Não existe uma fórmula mágica para resolução de equações exponenciais, existe um objetivo a ser alcançado. Quando 
nos deparamos com uma equação exponencial devemos procurar um método de IGUALAR AS BASES de ambos os 
lados da igualdade. Isso mesmo, o objetivo é esse IGUALAR AS BASES. Veja abaixo vários exemplos resolvidos.
Esta é a nossa equação exponencial. Temos uma igualdade e veja que sua variável (X) está como 
expoente do termo à esquerda desta igualdade.
Bom, o nosso objetivo é igualar as bases, vamos fatorar ambos os lados:
O lado esquerdo já estava fatorado. Agora temos os dois lados com a mesma base. Chegamos ao 
objetivo. Agora devemos “CORTAR” as bases de ambos os lados.
Pronto, com as bases “cortadas” mantemos os expoentes e calculamos uma equação do primeiro grau.
x=2 Esta é a solução!!
Vejam agora um exemplo um pouquinho mais difícil:
O nosso objetivo é sempre o mesmo, igualar as bases. Vamos fatorar ambos os lados.
Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação
Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos cortar e resolver a equação do primeiro grau 
novamente.
2x-2=5 Aplicando as propriedades operatórias.
2x=5+2
2x=7
x=7/2 Esta é a solução
Vamos aumentar mais uma vez o nível.
Novamente começamos fatorando.
Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e radiciação.
Com as bases iguais vamos operar os expoentes
Esta é a nossa solução x=4
Mais um exemplo um pouco mais difícil.
Este exemplo é um pouco mais difícil pois tem um expoento no expoente. Note que teremos que 
igualar as bases duas vezes. Preste atenção. Vamos fatorar
Agora podemos cortar as bases. Sobram os expoentes.
Temos outra equação exponencial. Novamente vamos fatorar e igualar as bases.
Corta-se as bases.
x+1=2
x=2-1
x=1 Esta é a nossa solução, x=1
Novamente vamos aumentar a dificuldade:
Como sempre, vamos fatorar.
Vamos aplicar as propriedades operatórias de potenciação para multiplicação e divisão de 
mesma base.
Pronto, objetivo alcançado. Cortando…
8x-7=x-3
8x-x=7-3
7x=4
x=4/7 Esta é a solução
Agora com mais raízes.
Esta parece ser bem mais difícil, né?? Mas a dificuldade é a mesma, você precisa ter os 
mesmo conhecimentos para resolve-la. As bases já estão definidas, vai ser 2. O que devemos 
fazer é transformar o lado esquerdo em uma única raiz usando as propriedades de radiciação. 
Vamos primeiro trabalhar no 2 mais de dentro.
Agora é só fazer a multiplicação de potências de mesma base.
Uma raiz já foi. Vamos fazer a mesma coisa com as outras.
Mais uma vez para matar a última raiz.
Bases iguais, corta-las…
Agora é só operar e isolar “x”.
Esta é a nossa solução.
Veja uma que precisa de Bhaskara para resolver:
Precisamos igualar as bases mas nenhum dos lados da igualdade pode ser fatorado. Iremos usar uma 
propriedade que aprendemos na lição passada: qualquer número elevado na potência zero vale 1 
(Xo=1). Então o lado direito da igualdade pode ser 3o.
Agora com as bases igualadas vamos corta-las.
x2-x-6=0 Agora é uma equação do segundo grau. Aplicando Bhaskara achamos suas raízes.
{-2 e 3} Esta é a solução, “x” pode ser qualquer um destes valores.
Última agora
3·2x+3=
192
A única diferença deste exemplo é que antes de fatorar para tentar igualar as bases temos que “passar” o três 
que está multiplicando para o lado direito dividindo.
2x+3=1
92/3
Efetuando o cálculo
2x+3=6
4
Agora sim!!! Fatoramos para igualar as bases.
2x+3=2
6
Cortando…
x+3=6
x=6-3
x=3 Esta é a nossa solução.
Faça agora alguns exercícios que utilizam este mesmo método para resolução. Após isso veja mais exemplos 
resolvidos com outros métodos de resolução.
Exercícios:
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
7) 
 Se , então “x” vale:
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
9) (PUC-RS) A soma das raízes da equação é:
(A) -4
(B) -2
(C) -1
(D) 2
(E) 4
10) (UFRGS) Sabendo-se que , tem-se que vale:
(A) -4
(B) -2
(C) 0
(D) 
(E) 2
11) (UFRGS) O valor de x que verifica a equação é:
(A) -1
(B) 
(C) 0
(D) 
(E) 1
12) (UFRGS) A solução da equação é
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
13) (UFRGS) Sabendo que então vale
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
14) (PUCRS) A soma das raízes da equação é:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
GABARITO
01- 05- {3; 1} 09- D 13- E
02- ±2 06- {9; 1} 10- D 14- A
03- {4; 3} 07- -1 11- A
04- 1 08- B 12- B
Equações transcendentais: Logarítmicas
Para isto é necessário acrescentar a seu repertório de conhecimentos a definição e propriedades dos 
logaritmos.
Definição
Dados a e b números reais e positivos, com a diferente de 1, definimos logaritmo de b na base a, o 
número x, cuja potência de grau x de a é igual a b. Ou seja:
Observações e consequências da definição:
1. Na expressão a esquerda a é denominado a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo;
2. Como a e b são ambos positivos e a é diferente de 1, existe um único valor de x que satisfaz a 
primeira igualdade na expressão acima;
3. Decorre da definição de logaritmo que loga1 = 0, pois a0 = 1. Em outras palavras, que o logaritmo 
de 1 em qualquer base é igual 0;
4. Do mesmo modo, observe que logaa = 1, uma vez que a potênciade grau 1 de a é o próprio a. Ou 
seja, que o logarítmo da base, qualquer que seja a base satisfazendo, claro, as condições da 
definição, é igual a 1;
5. Substituindo o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos que alogab = b;
6. logab = logac <=> b = c. Decorrência direta da definição (b = alogac) e do fato acima (alogac = c). 
Traduzindo: dois logaritmos em um mesma base são iguais se e somente se os logaritmandos são 
iguais;
7. Note que de 6. pode-se afirmar, ainda, que em uma igualdade ao se aplicar o logaritmo aos seus 
membros essa igualdade não se altera;
8. Ao conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (a > 0 e diferente 
de 1), denominamos de sistema de logaritmos de base a;
9. Entre a infinidade de sistemas de logaritmos de base a, dois são particularmente importantes: 
o sistema de logaritmo decimais ou de base 10 e o sistema de logaritmo neperiano (também 
chamado de sistema de logaritmos naturais) ou de base e (e = 2,71828…, irracional);
10.O logaritmo decimal é representado pela notação log10x ou simplesmente log x. E o neperiano por 
logex ou ln x;
11.Fato histórico 1: Henry Briggs, Matemático Inglês (1561-1630) foi quem primeiro destacou a 
vantagem dos logaritmos de base 10, publicando a primeira tabela (ou tábua) de logaritmos de 1 a 
1000 em 1617;
12.Fato histórico 2: O nome neperiano vem de John Neper, Matemático Escocês (1550-1617), autor do 
primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. O nome natural é devido ao fato de que 
no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma lei exponencial de base e.
Exemplos:
Antilogaritmo
Sejam a e b dois números reais positivos com a diferente de 1. Se o logaritmo de b na base a é igual a x, 
então b é oantilogaritmo de x na base a. Em símbolos:
Exemplos:
Propriedades dos Logaritmos
L1. O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é 
igual a soma dos logaritmos dos fatores. Isto é:
Demonstração:
Fazendo z = loga(b.c) temos, usando a definição de logaritmo, que:
az = b.c
Daqui, obtemos pela observação 5. acima:
az = alogab.alogac => az = alogab+logac => z = logab + logac
Substituindo z na última igualdade fica concluída a demonstração.
Uma outra forma, também simples e similar a anterior, de demonstrar a propriedade L1 é esboçada a seguir. 
Fazendo:
z = loga(b.c), x = logab e y = logac
vamos provar que z = x + y.
Aplicando a definição de logaritmo nas expressões acima obtemos, respectivamente:
az = bc, ax = b e ay = c
Substituindo b e c na primeira igualdade vem que:
az = axay => az = ax+y => z = x + y
A propriedade L1 é válida para o logaritmo do produto de n fatores (n > 2) reais e positivos, ou seja:
loga(b1.b2. … .bn) = logab1 + logab2 + … + logabn
A prova pode ser feita utilizando-se o método de indução sobre n, que consiste em:
• demonstrar que é verdadeira para n = 2 – já feita;
• supor que é válida para n = p > 2 e demonstrar que é verdadeira para n = p + 1.
Deixo para vocês a demonstração com a seguinte dica: agrupar como produto de dois fatores de modo a 
aplicar L1 e após utilizar a hipótese para n = p.
L2. O logaritmo do quociente de dois números reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) 
é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor nessa mesma base. Em símbolos:
Demonstração:
De maneira semelhante à adotada na propriedade L1, fazendo z = loga(b/c) obtemos:
Como consequência direta da propriedade L2 temos que:
Cologaritmo
Dados a e b dois números reais positivos, com a diferente de 1, define-se cologaritmo de b na base a ao 
oposto do logaritmo de b nessa base a. Ou seja:
cologab = -logab = loga(1/b)
L3. O logaritmo da potência de grau x de b em qualquer base a (a, b reais positivos, x real e a diferente de 
1) é igual ao produto do expoente x pelo logaritmo de b na base a. Em símbolos:
Demonstração:
Novamente fazemos uso do procedimento utilizado na demonstração das propriedades anteriores:
Fica como exercício a demonstração das propriedades L2 e L3 com o uso da segunda técnica adotada para 
provar a propriedade L1.
Como consequência da propriedade L3 temos que: o logaritmo da raiz de índice n de b na base a é igual ao 
produto do inverso do índice n pelo logaritmo do radicando na base a, i.e.:
Observações sobre as Propriedades L1, L2 e L3
• São válidas somente quando temos expressões logarítmicas que envolvam as operações de 
multiplicação, divisão e potenciação;
• Essas propriedades não permitem obter o logaritmo de uma soma ou diferença [loga(b + c) ou 
loga(b - c)]. Nestes casos, será necessário primeiro obter o valor da soma ou da diferença.
Mudança de Base
É muito comum, e você já deve ter se deparado com o fato, ter expressões ou equações logarítmicas em 
que seus membros estejam em bases diferentes.
Como na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos em uma mesma base é 
fundamental saber como isto é feito.
Você deve se lembrar (se não, volte às observações) que no início deste artigo mencionei como importante 
o sistema de logaritmo decimais ou de base 10, para o qual foi construída, pelo matemático Henry Briggs, 
uma tábua de logaritmos que possibilita determinar o seu valor para qualquer número real positivo.
Não abordaremos aqui os conceitos de mantissa e característica do logaritmo decimal utilizados para 
determinar seu valor com o auxílio da tabela. Fica apenas o registro de sua importância no uso das 
propriedades de mudança de base que apresentamos a seguir.
L4. Dados a, b e c números reais positivos, com a e c diferentes de 1, tem-se que:
Demonstração:
Fazendo logab = x, logcb = y e logca = z provemos que x = y/z (note que z é diferente de zero, pois por 
definição a é diferente de 1). De fato:
Como consequência da propriedade L4 temos:
1. logab = logcb.logac: a demonstração é feita transformando logcb para a base a no segundo membro 
da igualdade;
2. logab = 1/logba: transforme logab para a base b.
Exercícios Resolvidos
1. Resolver a equação 3x = 7 (lembra-se, a do início do artigo):
Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:
log 3x = log 7
Pela propriedade L3:
x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,771
2. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de 
R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?
Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de 
juros compostos cuja fórmula é:
onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.
Solução:
Sejam M1 e M2 os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:
M1 = 50000(1 + 0,05)t e M2 = 45000(1 + 0,06)t
Temos que determinar o tempo para que M1 = M2. Assim:
Introdução à estatística 
1- Objeto da estatística
Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, resumir, 
analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou desvio 
padrão.
A estatística fornece-nos as técnicas para extrair informação de dados, os quais são muitas vezes 
incompletos, na medida em que nos dão informação útil sobre o problema em estudo, sendo assim, é 
objetivo da Estatística extrair informação dos dados para obter uma melhor compreensão das situações que 
representam.
Quando se aborda uma problemática envolvendo métodos estatísticos, estes devem ser utilizados mesmo 
antes de se recolher a amostra, isto é, deve-se planejar a experiência que nos vai permitir recolher os 
dados, de modo que, posteriormente, se possa extrair o máximo de informação relevante para o problema 
em estudo, ou seja para a população de onde os dados provêm.
Quando de posse dos dados,procura-se agrupá-los e reduzi-los, sob forma de amostra, deixando de lado a 
aleatoriedade presente. 
Seguidamente o objetivo do estudo estatístico pode ser o de estimar uma quantidade ou testar uma 
hipótese, utilizando-se técnicas estatísticas convenientes, as quais realçam toda a potencialidade da 
Estatística, na medida em que vão permitir tirar conclusões acerca de uma população, baseando-se numa 
pequena amostra, dando-nos ainda uma medida do erro cometido.
2- População e amostra
Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. Obviamente teria se 
uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a população, do que uma pequena parcela 
representativa, denominada amostra. Observa-se que é impraticável na grande maioria dos casos, estudar-
se a população em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, entre outros motivos.
A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é confiável e 
proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para que a inferência seja válida, 
é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de determinação correta da população, 
falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra.
Quando não é possível estudar, exaustivamente, todos os elementos da população, estudam-se só alguns 
elementos, a que damos o nome de Amostra.
Quando a amostra não representa corretamente a população diz-se enviesada e a sua utilização pode dar 
origem a interpretações erradas.
3- Recenseamento
Recenseamento é a contagem oficial e periódica dos indivíduos de um País, ou parte de um País. Ele 
abrange, no entanto, um leque mais vasto de situações. Assim, pode definir-se recenseamento do seguinte 
modo: 
Estudo científico de um universo de pessoas, instituições ou objetos físicos com o propósito de adquirir 
conhecimentos, observando todos os seus elementos, e fazer juízos quantitativos acerca de características 
importantes desse universo. 
4- Estatística descritiva e estatística indutiva
Sondagem
Por vezes não é viável nem desejável, principalmente quando o número de elementos da população é muito 
elevado, inquirir todos os seus elementos sempre que se quer estudar uma ou mais características 
particulares dessa população.
Assim surge o conceito de sondagem, que se pode tentar definir como:
Estudo científico de uma parte de uma população com o objetivo de estudar atitudes, hábitos e preferências 
da população relativamente a acontecimentos, circunstâncias e assuntos de interesse comum. 
5- Amostragem
Amostragem é o processo que procura extrair da população elementos que através de cálculos 
probabilísticos ou não, consigam prover dados inferenciais da população-alvo.
 
Tipos de Amostragem
Não Probabilística
Acidental ou conveniência
Intencional
Quotas ou proporcional
Desproporcional
Probabilística
Aleatória Simples
Aleatória Estratificada
Conglomerado
Não Probabilística
A escolha de um método não probabilístico, via de regra, sempre encontrará desvantagem frente ao método 
probabilístico. No entanto, em alguns casos, se faz necessário a opção por este método. Fonseca (1996), 
alerta que não há formas de se generalizar os resultados obtidos na amostra para o todo da população 
quando se opta por este método de amostragem.
5.1- Acidental ou conveniência
Indicada para estudos exploratórios. Frequentemente utilizados em super mercados para testar produtos.
Intencional
O entrevistador dirige-se a um grupo em específico para saber sua opinião. Por exemplo, quando de um 
estudo sobre automóveis, o pesquisador procura apenas oficinas.
5.2- Quotas ou proporcional
Na realidade, trata-se de uma variação da amostragem intencional. Necessita-se ter um prévio 
conhecimento da população e sua proporcionalidade. Por exemplo, deseja-se entrevistar apenas indivíduos 
da classe A, que representa 12% da população. Esta será a quota para o trabalho. Comumente também 
substratifica-se uma quota obedecendo a uma segunda proporcionalidade.
5.3- Desproporcional
Muito utilizada quando a escolha da amostra for desproporcional à população. Atribui-se pesos para os 
dados, e assim obtém-se resultados ponderados representativos para o estudo.
Probabilística
Para que se possa realizar inferências sobre a população, é necessário que se trabalhe com amostragem 
probabilística. É o método que garante segurança quando investiga-se alguma hipótese. Normalmente os 
indivíduos investigados possuem a mesma probabilidade de ser selecionado na amostra.
5.4- Aleatória Simples
É o mais utilizado processo de amostragem. Prático e eficaz, confere precisão ao processo de amostragem. 
Normalmente utiliza-se uma tabela de números aleatórios e nomeia-se os indivíduos, sorteando-se um por 
um até completar a amostra calculada
Uma variação deste tipo de amostragem é a sistemática. Em um grande número de exemplos, o 
pesquisador depara-se com a população ordenada. Neste sentido, tem-se os indivíduos dispostos em 
sequência o que dificulta a aplicação exata desta técnica.
Quando se trabalha com sorteio de quadras de casas por exemplo, há uma regra crescente para os 
números das casas. Em casos como este, divide-se a população pela amostra e obtém-se um coeficiente 
(y). A primeira casa será a de número x, a segunda será a de número x + y; a terceira será a de número x + 
3. y.
Supondo que este coeficiente seja 6. O primeiro elemento será 3. O segundo será 3 + 6. O terceiro será 3 + 
2.6. O quarto será 3 + 3.6, e assim sucessivamente.
Aleatória Estratificada
Quando se deseja guardar uma proporcionalidade na população heterogênea. Estratifica-se cada 
subpopulação por intermédio de critérios como classe social, renda, idade, sexo, entre outros.
5.5- Conglomerado
Em corriqueiras situações, torna-se difícil coletar características da população. Nesta modalidade de 
amostragem, sorteia-se um conjunto e procura-se estudar todo o conjunto. É exemplo de amostragem por 
conglomerado, famílias, organizações e quarteirões.
6- Dimensionamento da amostra
Quando deseja-se dimensionar o tamanho da amostra, o procedimento desenvolve-se em três etapas 
distintas:
• Avaliar a variável mais importante do grupo e a mais significativa;
• Analisar se é ordinal, intervalar ou nominal;
• Verificar se a população é finita ou infinita;
Variável intervalar e população infinita
Variável intervalar e população finita
Variável nominal ou ordinal e população infinita
Variável nominal ou ordinal e população finita
Obs.: A proporção (p) será a estimativa da verdadeira proporção de um dos níveis escolhidos para a variável 
adotada. Por exemplo, 60% dos telefones da amostra é Nokia, então p será 0,60.
A proporção (q) será sempre 1 - p. Neste exemplo q, será 0,4. O erro é representado por d.
Para casos em que não se tenha como identificar as proporções confere-se 0,5 para p e q.
7- Tipos de dados
Basicamente os dados, dividem-se em contínuos e discretos. O primeiro é definido como qualquer valor 
entre dois limites quaisquer, tal como um diâmetro. Portanto trata-se de um valor que ser "quebrado". São 
dados contínuos, questões que envolvem idade, renda, gastos, vendas, faturamento, entre muitas outras.
Quando fala-se em valores discretos, aborda-se um valor exato, tal como quantidade de peças defeituosas. 
Comumente utiliza-se este tipo de variáveis para tratar de numero de filhos, satisfação e escalas nominais 
no geral.
O tipologia dos dados determina a variável, ela será portanto contínua ou discreta. Isto quer dizer que ao 
definir-se uma variável com contínua ou discreta, futuramente já definiu-se que tipo de tratamento se dará a 
ela.
De acordo com o que dissemos anteriormente, numa análise estatística distinguem-se essencialmente duas 
fases: 
Uma primeira fase em que se procura descrever e estudar a amostra: 
EstatísticaDescritiva e uma segunda fase em que se procura tirar conclusões para a população:
1ª Fase Estatística Descritiva 
Procura-se descrever a amostra, pondo em evidência as características principais e as propriedades. 
2ª Fase Estatística Indutiva 
Conhecidas certas propriedades (obtidas a partir de uma análise descritiva da amostra), expressas por meio 
de proposições, imaginam-se proposições mais gerais, que exprimam a existência de leis (na população). 
No entanto, ao contrário das proposições deduzidas, não podemos dizer que são falsas ou verdadeiras, já 
que foram verificadas sobre um conjunto restrito de indivíduos, e portanto não são falsas, mas não foram 
verificadas para todos os indivíduos da População, pelo que também não podemos afirmar que são 
verdadeiras ! 
Existe, assim, um certo grau de incerteza (percentagem de erro) que é medido em termos de Probabilidade.
Considerando o que foi dito anteriormente sobre a Estatística Indutiva, precisamos aqui da noção de 
Probabilidade, para medir o grau de incerteza que existe, quando tiramos uma conclusão para a população, 
a partir da observação da amostra.
8- Dados, tabelas e gráficos
Distribuição de frequência
Quando da análise de dados, é comum procurar conferir certa ordem aos números tornando-os visualmente 
mais amigáveis. O procedimento mais comum é o de divisão por classes ou categorias, verificando-se o 
número de indivíduos pertencentes a cada classe.
1. Determina-se o menor e o maior valor para o conjunto:
2. Definir o limite inferior da primeira classe (Li) que deve ser igual ou ligeiramente inferior ao menor valor 
das observações:
3. Definir o limite superior da última classe (Ls) que deve ser igual ou ligeiramente superior ao maior valor 
das observações:
4. Definir o número de classes (K), que será calculado usando . Obrigatoriamente deve estar 
compreendido entre 5 a 20. 
5. Conhecido o número de classes define-se a amplitude de cada classe: 
6. Com o conhecimento da amplitude de cada classe, define-se os limites para cada classe (inferior e 
superior)
Distribuições simétricas
A distribuição das frequências faz-se de forma aproximadamente simétrica, relativamente a uma classe 
média
 
Caso especial de uma distribuição simétrica
Quando dizemos que os dados obedecem a uma distribuição normal, estamos tratando de dados que 
distribuem-se em forma de sino.
Distribuições Assimétricas
A distribuição das freqüências apresenta valores menores num dos lados:
 
Distribuições com "caudas" longas 
Observamos que nas extremidades há uma grande concentração de dados em relação aos concentrados 
na região central da distribuição.
9- Medidas de tendência Central
As mais importante medidas de tendência central, são a média aritmética, média aritmética para dados 
agrupados, média aritmética ponderada, mediana, moda, média geométrica, média harmônica, quartis. 
Quando se estuda variabilidade, as medidas mais importantes são: amplitude, desvio padrão e variância.
Medidas 
Média aritmética
Média aritmética para dados 
agrupados
Média aritmética ponderada
Mediana 1) Se n é impar, o valor é central, 2) se n é par, o valor é a média dos dois valores centrais
Moda Valor que ocorre com mais frequência.
Média geométrica
Média harmônica
Quartil
Sendo a média uma medida tão sensível aos dados, é preciso ter cuidado com a sua utilização, pois pode 
dar uma imagem distorcida dos dados.
Pode-se mostrar, que quando a distribuição dos dados é "normal", então a melhor medida de localização do 
centro, é a média.
Sendo a Distribuição Normal uma das distribuições mais importantes e que surge com mais frequência nas 
aplicações, (esse fato justifica a grande utilização da média).
A média possui uma particularidade bastante interessante, que consiste no seguinte: 
se calcularmos os desvios de todas as observações relativamente à média e somarmos esses desvios o 
resultado obtido é igual a zero. 
A média tem uma outra característica, que torna a sua utilização vantajosa em certas aplicações: 
Quando o que se pretende representar é a quantidade total expressa pelos dados, utiliza-se a média.
Na realidade, ao multiplicar a média pelo número total de elementos, obtemos a quantidade pretendida.
9.1- Moda
Define-se moda como sendo: o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos, ou, o 
intervalo de classe com maior frequência se os dados são contínuos. 
Assim, da representação gráfica dos dados, obtém-se imediatamente o valor que representa a moda ou a 
classe modal
Esta medida é especialmente útil para reduzir a informação de um conjunto de dados qualitativos, 
apresentados sob a forma de nomes ou categorias, para os quais não se pode calcular a média e por vezes 
a mediana.
9.2- Mediana 
A mediana, é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados, definida do seguinte modo: 
Ordenados os elementos da amostra, a mediana é o valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao 
meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são 
maiores ou iguais à mediana 
Para a sua determinação utiliza-se a seguinte regra, depois de ordenada a amostra de n elementos: 
Se n é ímpar, a mediana é o elemento médio. 
Se n é par, a mediana é a semi-soma dos dois elementos médios.
9.3-Considerações a respeito de Média e Mediana
Se se representarmos os elementos da amostra ordenada com a seguinte notação: X1:n , X2:n , ... , Xn:n 
então uma expressão para o cálculo da mediana será:
Como medida de localização, a mediana é mais robusta do que a média, pois não é tão sensível aos dados.
1- Quando a distribuição é simétrica, a média e a mediana coincidem. 
2- A mediana não é tão sensível, como a média, às observações que são muito maiores ou muito menores 
do que as restantes (outliers). Por outro lado a média reflete o valor de todas as observações.
Como já vimos, a média ao contrário da mediana, é uma medida muito influenciada por valores "muito 
grandes" ou "muito pequenos", mesmo que estes valores surjam em pequeno número na amostra. Estes 
valores são os responsáveis pela má utilização da média em muitas situações em que teria mais significado 
utilizar a mediana.
A partir do exposto, deduzimos que se a distribuição dos dados: 
1. for aproximadamente simétrica, a média aproxima-se da mediana 
2. for enviesada para a direita (alguns valores grandes como "outliers"), a média tende a ser maior que a 
mediana
3. for enviesada para a esquerda (alguns valores pequenos como "outliers"), a média tende a ser inferior à 
mediana. 
10 - Medidas de dispersão
Introdução
No capítulo anterior, vimos algumas medidas de localização do centro de uma distribuição de dados. 
Veremos agora como medir a variabilidade presente num conjunto de dados através das seguintes medidas:
10.1- Medidas de dispersão
Um aspecto importante no estudo descritivo de um conjunto de dados, é o da determinação da variabilidade 
ou dispersão desses dados, relativamente à medida de localização do centro da amostra.
Supondo ser a média, a medida de localização mais importante, será relativamente a ela que se define a 
principal medida de dispersão - a variância, apresentada a seguir.
10.2- Variância 
Define-se a variância, como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das 
observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra 
menos um.
 
10.3- Desvio padrão 
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que 
a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os 
dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão: 
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, maior será a 
dispersão dos dados. 
Algumas propriedadesdo desvio padrão, que resultam imediatamente da definição, são:
o desvio padrão será maior, quanta mais variabilidade houver entre os dados. 
 
11. Distribuição Normal
A distribuição normal é a mas importante distribuição estatística, 
considerando a questão prática e teórica. Já vimos que esse tipo de distribuição apresenta-se em formato 
de sino, unimodal, simétrica em relação a sua média.
Considerando a probabilidade de ocorrência, a área sob sua curva soma 100%. Isso quer dizer que a 
probabilidade de uma observação assumir um valor entre dois pontos quaisquer é igual à área 
compreendida entre esses dois pontos.
68,26% => 1 desvio
95,44% => 2 desvios
99,73% => 3 desvios
Na figura acima, tem as barras na cor marrom representando os desvios padrões. Quanto mais afastado do 
centro da curva normal, mais área compreendida abaixo da curva haverá. A um desvio padrão, temos 
68,26% das observações contidas. A dois desvios padrões, possuímos 95,44% dos dados compreendidos e 
finalmente a três desvios, temos 99,73%. Podemos concluir que quanto maior a variabilidade dos dados em 
relação à média, maior a probabilidade de encontrarmos o valor que buscamos embaixo da normal.
Propriedade 1:
"f(x) é simétrica em relação à origem, x = média = 0;
Propriedade 2:
"f(x) possui um máximo para z=0, e nesse caso sua ordenada vale 0,39;
Propriedade3:
"f(x) tende a zero quando x tende para + infinito ou - infinito;
Propriedade4:
"f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem média + DP e média - DP, ou quando z tem dois pontos de inflexão cujas 
abscissas valem +1 e -1.
Funções, Constante, 1º e 2 Grau 
Tipos particulares de funções 
FUNÇÃO CONSTANTE 
Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k, onde k não depende de x .
Exemplos:
a) f(x) = 5
b) f(x) = -3 
Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x . 
Veja o gráfico a seguir: 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹ 0 .
Exemplos : 
f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) 
f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1). 
Propriedades da função do 1º grau : 
1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta . 
 
2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ¹ 0 f é dita função afim .
Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) - excepcional 
matemático suíço - 1701/1783).
3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de
abcissa x = - b/a .
4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .
5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta . 
6) se a > 0 , então f é crescente .
7) se a < 0 , então f é decrescente .
8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem. 
Exercício resolvido: 
1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10. 
SOLUÇÃO:
Podemos escrever:
5 = 2.a + b
-10 = 3.a + b 
Subtraindo membro a membro, vem:
5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)
15 = - a \ a = - 15 
Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:
5 = 2.(- 15) + b \ b = 35.
Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35. 
Agora resolva esta:
A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) é 
igual a:
*a) 2 
b) -2 
c) 0 
d) 3 
e) -3 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ¹ 0 .
Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 ) 
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical . 
 
Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c : 
1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .
2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo 
3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde: 
xv = - b/2a 
yv = - D /4a , onde D = b
2 - 4ac
4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes da 
equação ax2 + bx + c = 0 .
5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .
6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.
7) ymax = - D / 4a ( a < 0 )
8) ymin = - D /4a ( a > 0 )
9) Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )
10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)
11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax
2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma 
fatorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2) 
Exercícios Resolvidos 
1 - UCSal - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto 
(-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:
a) o seu valor máximo é 1,25 
b) o seu valor mínimo é 1,25 
c) o seu valor máximo é 0,25 
d) o seu valor mínimo é 12,5 
*e) o seu valor máximo é 12,5. 
SOLUÇÃO:
Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:
y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função. 
Portanto, poderemos escrever:
y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)
y = a(x + 2)(x - 3) 
Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:
8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)
8 = a(1)(-4) = - 4.a
Daí vem: a = - 2 
A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)
y = -2x2 + 6x - 4x + 12
y = -2x2 + 2x + 12 
Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12.
Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.
Isto já elimina as alternativas B e D. 
Vamos então, calcular o valor máximo da função.
D = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100
Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5
Logo, a alternativa correta é a letra E. 
2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
*a) 1/2 
b) 2 
c) 1 
d) 4 
e) -1/2 
SOLUÇÃO:
Seja x o número procurado.
O quadrado de x é x2 .
O número x excede o seu quadrado , logo: x - x2.
Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2 . 
Podemos escrever:
y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.
O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função). 
Assim,
xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2
Logo, a alternativa correta é a letra A . 
Geometria Básica
Volume 
Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa. Nesse cálculo, temos que 
ressaltar as três dimensões do sólido, observando o seu formato. O entendimento de volume é usado, 
mesmo que intuitivamente, em nossas ações no dia-a-dia, por exemplo: antes de estacionar um carro, 
calculamos mentalmente o espaço do carro e verificamos se tal espaço é compatível com as dimensões do 
carro, ao instalar uma TV em um móvel, conferimos, primeiro, se o espaço disponível pode comportar a TV, 
entre outros exemplos.
Alguns sólidos geométricos são formados por polígonos e esses polígonos recebem o nome de faces do 
polígono. Já o segmento que une duas faces do polígono recebe o nome de aresta do sólido. Assim como 
no cálculo da área, o cálculo do volume de um sólido depende do formato do sólido. Mas, de forma geral, o 
volume de um sólido geométrico é calculado a partir do produto de sua base por sua altura. Por enquanto, 
calcularemos o volume de alguns sólidos, como: o paralelepípedo retângulo, o cubo e o cilindro.
Paralelepípedo Retângulo
O paralelepípedo retângulo é um sólido cujas seis faces são 
retângulos. Para calcular o volume do paralelepípedo retângulo 
é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. 
Mas, como a base do paralelepípedo retângulo tem o formato 
retangular, exprimimos o valor de sua área por b x c. Portanto, 
se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do 
paralelepípedo retângulo, acharemos o valor do volume (V) 
desse sólido:
V = a x b x c
Cubo
O cubo é um sólido geométrico cujas seis faces são quadrados de 
mesmo lado. Para calcular o volume do cubo é necessário fazer oproduto da área de sua base pela altura. Mas, como a base do cubo é 
um quadrado de lado a, o valor de sua área é, então, definido pelo 
lado ao quadrado (a²). Sendo assim, se multiplicarmos o valor da área 
da base pela altura (a) do cubo, acharemos o valor do volume (V) 
desse sólido:
V = a x a x a ou V = a³
Cilindro
Cilindro é um sólido geométrico que pode ser entendido como um círculo 
prolongado até uma altura h. O cilindro possui duas faces iguais e de formato 
circular. Para calcular o volume do cilindro, deve-se fazer o produto da área de 
sua base pela altura. No caso do cilindro, sua base é um círculo, portanto a área 
de sua base é igual a (pi) x r². Multiplicando esse valor pela altura (h) do cilindro, 
achamos o seu volume (V):
V = (pi) x r² x h 
Área 
Área é a região plana interna delimitada pelos lados de um polígono. Tal conceito é amplamente usado no 
dia-a-dia, como na medição de um terreno, na delimitação de um espaço, entre outros. O valor da área de 
um polígono varia de acordo com seu formato.
Cada polígono tem uma forma peculiar para calcular sua área. Exemplificaremos alguns conhecidos, tais 
como: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango e círculo.
Retângulo
Já sabemos que o retângulo possui dois lados iguais chamados de base e 
outros dois lados iguais chamados de altura. Para sabermos o valor da 
área de um retângulo (A), devemos multiplicar a medida da base (b) pela 
medida da altura (h).
A = b x h
Quadrado
No quadrado, podemos aplicar o mesmo raciocínio usado para calcular a área do 
retângulo, multiplicando a medida da base pela medida da altura, mas, como no 
quadrado a medida de todos os lados é igual (l):
A = l x l ou A = l²
Paralelogramo
Se observarmos a figura ao lado, podemos notar que o 
paralelogramo é semelhante a um retângulo com os lados 
inclinados. Se tirarmos uma das partes inclinadas do paralelogramo 
e a enxertarmos no outro lado, formaremos um retângulo. Assim, a 
área do paralelogramo é calculado da mesma forma da área do 
retângulo, ou seja, multiplica-se o valor da base (b) pelo valor da 
altura (h).
A = b x h
Triângulo
No caso do triângulo, pode-se notar que ele é exatamente metade de um 
retângulo, portanto, num retângulo cabem dois triângulos, ambos de mesma 
área. Por conseguinte, a área do triângulo é metade da área do retângulo, ou 
seja:
A = b x h / 2
Losango
Ao traçar as diagonais, maior (D) e menor (d) do losango, o dividimos em quatro triângulos de áreas iguais, 
onde cada um tem a oitava parte da área do retângulo de base igual ao valor da diagonal menor do losango 
e de alura igual ao valor da diagonal maior. Logo, a área do losango é igual a quatro vezes a área de um 
dos quatro triânglos, resultando na metade da área desse retângulo. Portanto:
A = D x d / 2
Trapézio
Dado um trapézio, como o da figura ao lado, contendo a base 
menor (b), a base maior (B) e a altura (h). Se ao lado desse 
trapézio colocarmos um segundo trapézio, idêntico ao 
primeiro, mas invertido, ou seja, sua base menor voltada para 
cima e sua base menor voltada para baixo, formaremos um 
paralelogramo de base igual à soma das bases do trapézio e 
de mesma altura do trapézio. Assim, encontramos a área 
desse paralelogramo multiplicando sua base pela altura. Note 
que o valor achado é igual a área dos dois trapézios idênticos. 
Portanto, para calcular a área do trapézio, basta dividir o valor 
encontrado para a área do paralelogramo.
A = [(B + b) x h] / 2
Círculo
Considere um círculo de raio r. Divida-o em várias partes iguais, corte-o de 
forma que os pedaços sejam de formato triangular e abra a figura, formando 
um retângulo de base igual a 2x(pi)x r e altura igual ao próprio raio r do 
círculo. Portanto a área desse retângulo é achada multiplicando sua base 
pela altura. Deve-se notar que a área desse retângulo é o dobro da área do 
círculo, sendo assim, acha-se a área do círculo dividindo a área do retângulo 
por 2.
A = (pi) x r² 
Perímetro 
Perímetro é a soma das medidas dos lados de um polígono. Notoriamente, tal conceito é muito simples, 
basta verificar se todos os lados estão representados pelas mesmas unidades de comprimento e somá-los. 
Alguns casos valem ser ressaltados:
Retângulo
No retângulo, a medida de suas duas bases (b) são iguais, assim como a 
medida de suas duas alturas (h). Como perímetro é a soma de todos os 
lados, portanto seu perímetro é:
P = 2 x b + 2 x h
Polígonos Regulares
Nos polígonos regulares, tem-se uma particularidade: a medida de todos os lados é semelhante. Assim, o 
perímetro desses polígonos será o produto do número de lados (n) pela medida do lado (l), ou seja:
P = n x l
 
Medidas de Volume 
Quando falamos de medidas de volume, tem-se que mencionar que tal conceito vem sendo usado desde a 
antiguidade e, atualmente, convive-se com ele no dia-a-dia. Diversas são as atividades onde são usados o 
conhecimento sobre volume, como na construção de uma barragem, faz-se necessário calcular o volume de 
concreto para a obra; em um caminhão de transporte, onde é necessário conhecer o volume de carga total 
desse caminhão; na construção de uma piscina, onde é preciso conhecer o volume de água que a piscina 
suporta; em um botijão de gás, onde nele está marcado o volume de gás que ele contém, etc.
A unidade padrão de volume é o metro cúbico (m³), já que a unidade padrão de comprimento é o metro (m). 
Para calcular o valor de um volume, pode-se usar os múltiplos ou submúltiplos da unidade padrão de 
volume, se o valor for muito maior ou menor de que o metro cúbico, respectivamente. Os múltiplos são o 
quilômetro cúbico (km³), o hectômetro cúbico (hm³) e o decâmetro cúbico (dam³); os submúltiplos são o 
decímetro cúbico (dm³), o centímetro cúbico (cm³) e o milímetro cúbico (mm³).
Cada unidade de medida de volume vale 1000 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma 
mudança de unidade entre as medidas de volume, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade 
maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do 
número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento um pouco mais viável, pode-se deslocar a 
vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se 
desloca três casas decimais para a esquerda ou para a direita.
Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade 
mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a direita.
Ex: 0,0059 cm³ para mm³
Haverá a mudança para uma unidade de volume inferior, assim, desloca-se a vírgula três casas para a 
direita.
Portanto, o valor será de 0,0059 x 1000 = 5,9 mm³
Menor -> Maior: deve-se dividir por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a 
vírgula se desloca três casas decimais para a esquerda.
Ex: 526000 dm³ para dam³
Haverá a mudança para duas unidades de volume superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para a 
esquerda.
Portanto, o valor será de 526000 : 1000000 = 0,526 dam³ 
Medidas de Superfície 
Não se sabe ao certo quando foi usado pela primeira o cálculo da área de uma superfície. O que se sabe é 
que é algo muito antigo, antes mesmo de Cristo. No Egito Antigo, essa noção era utilizada para calcular o 
valor do imposto que um agricultor tinha que pagar ao faraó pelo uso da terra nas proximidades do rio Nilo. 
O valor de tal imposto era proporcional à extensão de terra que o agricultor possuía.
Atualmente, podemos citar vários exemplos de aplicação do cálculo da área de uma superfície: para saber a 
extensão de um terreno rural ou urbano, para estimar a área da superfície de um rio, para calcular o valor 
da área de uma figura geométrica, etc.
Como a unidade padrão de comprimento é o metro (m), aunidade padrão de superfície é o metro quadrado 
(m²). Assim como na unidade de comprimento, a unidade de superfície tem seus múltiplos e submúltiplos, 
que são usados para medir superficies maiores ou menores do que o metro quadrado. Os múltiplos são o 
quilômetro quadrado (km²), o hectômetro quadrado (hm²) e o decâmetro quadrado (dam²); os submúltiplos 
são o decímetro quadrado (dm²), o centímetro quadrado (cm²) e o milímetro quadrado (mm²).
Cada unidade de medida de superfície vale 100 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma 
mudança de unidade entre as medidas de superfície, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade 
maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do 
número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento mais simples, pode-se deslocar a vírgula para 
a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se desloca duas 
casas decimais para a esquerda ou para a direita.
Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 100 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade 
mudada, a vírgula se desloca duas casas decimais para a direita.
Ex: 0,09 m² para cm²
Haverá a mudança para duas unidades de superfície inferiores, assim, desloca-se a vírgula quatro casas 
para a direita.
Portanto, o valor será de 0,09 x 10000 = 900 cm²
Menor -> Maior: deve-se dividir por 100 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a 
vírgula se desloca duas casas decimais para a esquerda.
Ex: 2000 dm² para hm²
Haverá a mudança para três unidades de superfície superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para 
a esquerda.
Portanto, o valor será de 2000 : 1000000 = 0,002 hm² 
Medidas de Comprimento 
Durante muito tempo as unidades de medida eram muitas, variavam de acordo com o povoado. Por 
exemplo: um povoado mais ao Norte usava um palmo de mão como referência para medir comprimento e 
um outro povoado mais ao Sul usava o pé como unidade. Assim, tornava-se inviável estabelecer relações 
comerciais, o que impedia o progresso de grande parte dos povoados. Devido a essa dificuldade, tornou-se 
necessário estabelecer uma unidade padrão de comprimento, algo que fosse aceito por todos. Isso 
aconteceu no final do século XVIII, quando reformadores franceses escolheram uma comissão de cinco 
matemáticos para que elaborassem um sistema padronizado, foi quando definiu-se o metro (m) como 
unidade internacional de comprimento e seu valor é igual a fração 1/300.000.000 da distância percorrida 
pela luz, no vácuo em um segundo.
Dependendo do que vai ser medido, fica inviável medir usando o metro. Portanto deve-se usar medidas 
maiores ou menores do que o metro, múltiplos ou submúltiplos, respectivamente. Os múltiplos são o 
quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam). Já os submúltiplos são o decímetro (dm), centímetro 
(cm) e milímetro (mm).
Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de comprimento, deve-se multiplicar, se a 
mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor 
para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento mais simples, 
pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança.
Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 10 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, 
a vírgula se desloca uma casa decimal para a direita.
Ex: 3,7 dm para mm
Haverá a mudança para duas unidades de comprimento inferiores, assim, desloca-se a vírgula duas casas 
para a direita.
Portanto, o valor será de 3,7 x 100 = 370 mm
Menor -> Maior: deve-se dividir por 10 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a 
vírgula se desloca uma casa decimal para a esquerda.
Ex: 680 cm para dam
Haverá a mudança para três unidades de comprimento superiores, assim, desloca-se a vírgula três casas 
para a esquerda.
Portanto, o valor será de 680 : 1000 = 0,68 dam 
Juros Compostos
O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior 
rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, 
e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital 
com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e 
financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um 
maior rendimento, originando mais lucro.
Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao 
mês. Qual será o valor ao final da aplicação?
A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros 
compostos.
No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.
Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:
M = C * (1 + i)t, onde:
M: montante
C: capital
i: taxa de juros
t: tempo de aplicação 
Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de 
uma calculadora científica.
Exemplo 2
Qual o montante produzido por um capital de R$ 7.000,00 aplicados a uma taxa de juros mensais de 
1,5% durante um ano?
C: R$ 7.000,00
i: 1,5% ao mês = 1,5/100 = 0,015
t: 1 ano = 12 meses
M = C * (1 + i)t
M = 7000 * (1 + 0,015)12
M = 7000 * (1,015)12 
M = 7000 * 1,195618
M = 8369,33
O montante será de R$ 8.369,33.
Com a utilização dessa fórmula podemos também calcular o capital de acordo com o montante.
Exemplo 3 
Calcule o valor do capital que, aplicado a uma taxa de 2% ao mês, rendeu em 10 meses a quantia de 
R$ 15.237,43?
M: R$ 15.237,43
t: 10
i: 2% a.m. = 2/100 = 0,02
M = C * (1 + i)t
15237,43 = C * (1 + 0,02)10
15237,43 = C * (1,02)10
15237,43 = C * 1,218994
C = 15237,43 / 1,218994
C = 12500,00
O capital é de R$ 12.500,00.
Calculando a taxa de juros da aplicação.
Exemplo 4
Qual a taxa de juros empregada sobre o capital de R$ 8.000,00 durante 12 meses que gerou o 
montante de R$ 10.145,93?
C: R$ 8.000,00
M: R$ 10.145,93
t: 12
i: ?
A taxa de juros da aplicação foi de 2%.
Calculando o tempo da aplicação. (Uso de técnicas de logaritmo)
Exemplo 5
Por quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 800,00 a uma taxa de juros de 3% ao mês, para que 
produza um montante de R$ 1.444,89?
C: R$ 800,00
M: R$ 1.444,89
i: 3% a.m.= 3/100 = 0,03
t: ?
1.444,89 = 800 * (1 + 0,03)t 
1.444,89 = 800 * 1,03t
1.444,89/800 = 1,03t
1,03t = 1,806 (aplicar propriedade dos logaritmos)
log1,03t = log1,806
t * log1,03 = log1,806
t * 0,013 = 0,257
t = 0,257/0,013
t = 20
O capital deverá ficar aplicado por 20 meses. 
Na tabela dos 100 primeiros números naturais destacamos em azul os números primos, portanto os 
números primos entre 1 e 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 
71, 73, 79, 83, 89, 97.
Juros Simples
O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros 
gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado 
ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
 
J = P . i . n
 
Onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
 
 Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e 
devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. 
 Montante = Principal + Juros
 Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos )
 
M = P . ( 1 + ( i . n ) )
 
 Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a.