3 Transformada de Laplace, Método das Frações Parciais e Função de Transferência

Prévia do material em texto

09/02/2018 1/34
Transformada de Laplace
Método das Frações Parciais
Funções e Transferência
Engenharia Elétrica e Engenharia de Computação
Controle I
2018
Natal, Prof. Jan Erik, Msc.
09/02/2018 2/34
Transformada de Laplace
09/02/2018 3/34
Transformada de Laplace
O Método da Transformada de Laplace é um método operacional que pode ser
usado vantajosamente para resolver Equações diferenciais Ordinárias – EDO’s.
Este método possui a propriedade de transformar as operações integro -
diferenciais em operações algébricas.
Definição: Seja f(t) uma função definida para t  0. Então, a transformada de
Laplace de f(t), denotada por ℒ{𝑓(𝑡)}, é definida por:
𝓛 𝒇 𝒕 = 𝑭 𝒔 = න
𝟎
∞
𝒇(𝒕)𝒆−𝒔𝒕𝒅𝒕
em que s é uma variável auxiliar de transformação (é também chamada de
variável complexa s =  + j, com).
09/02/2018 4/34
Transformada de Laplace
Simbolicamente, podemos representar
Equações 
Diferenciais 
Ordinárias
Solução da 
equação 
diferencial
Equação 
Algébrica
Solução da 
equação 
algébrica
-1
09/02/2018 5/34
Transformada de Laplace
Ex.: Calcular a transformada de Laplace da função Degrau unitário aplicada no
tempo t = 0. A função Degrau unitário é dada por: f(t)=1, t0, cujo
Gráfico é o seguinte:
09/02/2018 6/34
Transformada de Laplace
Solução:
s
1
)s(F 
Resposta:
09/02/2018 7/34
Transformada de Laplace
Transformadas mais comuns
09/02/2018 8/34
Transformada de Laplace
Propriedades da Transformada de Laplace
▪ Propriedade da diferenciação:
▪ Propriedade da Integração:
▪ Propriedade da Homogeneidade:
▪ Propriedade da aditividade:
ℒ
𝑑2𝑓 𝑡
𝑑𝑡
= 𝑠2𝐹(𝑠), para condições iniciais nulas.
09/02/2018 9/34
Transformada de Laplace
Exemplos
Ex.: Calcular a Transformada de Laplace de f(t)=t2
Solução: Usando a Tabela, para f(t)=tn, tem-se:
Ex.: Idem, para f(t)=e-5t
Solução: Usando a Tabela, para f(t)=eat, em que a=-5, tem-se:
09/02/2018 10/34
Transformada de Laplace
Tabela com outras transformadas
09/02/2018 11/34
Transformada de Laplace
Exercícios em sala de aula
Resolva as transformadas de Laplace abaixo:
a) ℒ 3𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 4𝑡
b) ℒ 𝑒−3𝑡 −
2𝑡2
3
c) ℒ{׬ 𝑡. 𝑑𝑡}
d) ℒ{
𝑑 3𝑡
𝑑𝑡
+ 2}
e) ℒ 𝑡3 + 2𝑒𝑡 + 3 cos 2𝑡
f) ℒ{𝑒−2𝑡 cos 2𝑡 }
09/02/2018 12/34
Transformada Inversa de Laplace
09/02/2018 13/34
Transformada Inversa de Laplace
Dado F(s), determinar a Transformada Inversa de Laplace consiste em
calcular a função primitiva f(t). Esta operação é indicada por L-1. A
representação é:
Equações 
Diferenciais 
Ordinárias
Solução da 
equação 
diferencial
Equação 
Algébrica
Solução da 
equação 
algébrica
-1
09/02/2018 14/34
Transformada Inversa de Laplace
A operação para obter a Transformada Inversa de Laplace (L-1) é
realizada conhecendo-se a Transformada Direta, termo a termo.
Ex.: Calcular ℒ−1
3
2𝑠 + 1
= ℒ−1
3
2
𝑠 +
1
2
=
3
2
ℒ−1
1
𝑠 +
1
2
=
3
2
𝑒−
1
2 𝑡
Usando a tabela da transformada de Laplace, porém no processo 
inverso, temos que:
09/02/2018 15/34
Transformada Inversa de Laplace
A ℒ−1 do exemplo anterior foi relativamente fácil de calcular, devido
tratar-se de uma expressão cuja Transformada Inversa de Laplace
torna-se diretamente conhecida da tabela, após simplesmente dividir o
numerador e o denominador por 2. Entretanto, nem todas as
expressões são redutíveis a expressões tabeladas por um manuseio
algébrico direto. Quando se deparar com expressões que não estejam
tabeladas, é necessário decompô-las em expressões mais
simples, cuja transformada inversa possa ser obtida diretamente de
tabelas. Neste caso, torna-se necessário usar o Método das
Frações Parciais.
09/02/2018 16/34
Métodos das Frações Parciais
09/02/2018 17/34
Neste caso, a expressão racional é do tipo
em que N(s) é um numerador em função de s e p1, p2, ..., pn são
as raízes do polinômio do denominador, sendo p1, p2, ... ,pn
números reais ou complexos distintos.
)ps)...(ps)(ps(
)s(N
n21 
Solução: Observe que esta expressão normalmente não se
encontra nas tabelas publicadas nos livros técnicos
especializados, exigindo, portanto, uma decomposição em Frações
Parciais, como se segue.
Ex.: Calcular
ℒ−1
4𝑠 − 5
𝑠2 − 𝑠 − 2
Método das Frações Parciais
A expressão não possui fatores repetidos (raízes reais e diferentes)
09/02/2018 18/34
Para o método prosseguir, é necessário determinar os valores de a1 e de a2,
tais que as expressões sejam equivalentes. Os valores procurados são
dados por:
 
kps
kk
)s(D
)s(N
psa








em que N(s) e D(s) são o numerador e o denominador da expressão
original, com o denominador fatorado.
Método das Frações Parciais
A expressão não possui fatores repetidos (raízes reais e diferentes)
09/02/2018 19/34
Assim, tem-se:
  3
3
9
)2s(
5s4
)2s)(1s(
5s4
1sa
1s1s
1 




















  1
3
3
)1s(
5s4
)2s)(1s(
5s4
2sa
2s2s
2 

















Substituindo e calculando, temos que:
Método das Frações Parciais
A expressão não possui fatores repetidos (raízes reais e diferentes)
09/02/2018 20/34
Método das Frações Parciais
A expressão possui fatores repetidos (raízes iguais)
Neste caso, a expressão racional é do tipo:
k
1)ps(
)s(N

em que p1 é uma raiz de multiplicidade k. A decomposição em frações
parciais leva a seguinte expressão:
k
1
k
2
1
2
1
1
k
1 )ps(
b
...
)ps(
b
)ps(
b
)ps(
)s(N







09/02/2018 21/34
Método das Frações Parciais
A expressão possui fatores repetidos (raízes iguais)
em que o objetivo é determinar os valores dos coeficientes b’s que surgem
nos numeradores da decomposição. Para tanto, basta usar a seguinte fórmula:
1ps
k
1jk
jk
j
)s(D
)s(N
)ps(
ds
d
)!jk(
1
b












em que j = k, k-1, ..., 1 sendo k é a multiplicidade da raiz p1, N(s) e D(s) são o
numerador e o denominador da expressão original, com o denominador
fatorado.
Ex.: Calcular
09/02/2018 22/34
Método das Frações Parciais
A expressão possui fatores repetidos (raízes iguais)
Constata-se inicialmente que k=3 e que os termos da expansão em frações
parciais são os seguintes:
3
3
2
21
3
2
)1s(
b
)1s(
b
)1s(
b
)1s(
3s2s








O cálculo dos coeficientes b’s é feito da seguinte maneira: 
  232
)1(
32
)1(
)!33(
1
1
2
1
3
2
3
33
33
3 









 



s
s
ss
s
ss
s
ds
d
b
▪ para j=3
▪ para j=2
    02s23s2s
ds
d
!1
1
)1s(
3s2s
)1s(
ds
d
)!23(
1
b
1s1s
2
1s
3
2
3
23
23
2
















09/02/2018 23/34
Método das Frações Parciais
A expressão possui fatores repetidos (raízes iguais)
▪ para j=1
    12
2
1
3s2s
ds
d
!2
1
)1s(
3s2s
)1s(
ds
d
)!13(
1
b
1s1s
2
2
2
1s
3
2
3
13
13
1
















Assim, obtém-se que:
09/02/2018 24/34
Método das Frações Parciais
Exercícios
Encontras a transformada inversa de Laplace de H(s).
09/02/2018 25/34
Funções de Transferência
09/02/2018 26/34
Funções de Transferências
Define-seFunção de Transferência G(s) de um sistema dinâmico a razão
entre a Transformada de Laplace do sinal de saída, Y(s), e a Transformada
de Laplace do sinal de entrada, U(s), mantidas todas as condições iniciais
nulas.
ou,
0iniciaiscondiçõestodas
)s(U
)s(Y
)s(G


09/02/2018 27/34
Funções de Transferências
A Função de Transferência pode ser escrita como:
    
     )s(D
)s(N
K
ps ... psps
zs ... zszsK
)s(G
n21
1n21 


 
em que:
z z zn1 2 1, , , ... 
p p pn1 2, , , ... 
são os zeros do sistema
são os pólos do sistema
G s( )  0
G s( ) 
Re
Im
pólos zero
Plano complexo s
09/02/2018 28/34
Funções de Transferências
Observações importantes
▪ Em um sistema fisicamente realizável (causal) o número de pólos é maior
ou igual ao de zeros;
▪ A FT contém as unidades necessárias para relacionar a entrada à saída;
entretanto, não fornece nenhuma informação relativa à estrutura física do
sistema;
▪ Se a FT for conhecida, a saída pode ser estudada para diferentes entradas;
▪ Se a FT não for conhecida, ela pode ser determinada experimentalmente
com o auxílio de entradas conhecidas e do estudo das respectivas respostas
do sistema;
09/02/2018 29/34
Funções de Transferências
Ex.: Determinar a FT da planta modelada pela EDO:
Solução: Note que nada se escreveu sobre as condições iniciais, mesmo
porque não é necessário, visto a definição de Função de Transferência ser
bastante clara quanto à este aspecto, todas as condições iniciais devem ser
nulas !!!. Assim, tem-se:
uyy5 
Finalmente, obtém-se
1s5
1
)s(U
)s(Y
)s(G


ℒ 5 ሶy + y = ℒ{u}
09/02/2018 30/34
Funções de Transferências
Resolução de EDO´s (usando a transformada de Laplace para encontrar a FT)
Para resolver uma EDO usando Laplace, sugerimos seguir o roteiro abaixo:
1o ) aplicar a Transformada de Laplace em todos os termos da EDO;
2o) reagrupar os termos, colocando em evidência as variáveis dependente
(saída) e independente (entrada);
3o) substituir a variável independente (entrada) pela correspondente
Transformada de Laplace;
4o) calcular a Transformada Inversa de Laplace, encontrando assim a solução
da EDO no domínio do tempo.
09/02/2018 31/34
Funções de Transferências
Ex.: Resolver a EDO: 
)t(u)t(y
dt
)t(dy
RC 
, sabendo-se
que y(0)=0 e supondo uma entrada Degrau de 12 V.
Solução:
1o Passo)
 
)()()(
)()(
)(
sUsYsRCsY
tuLty
dt
tdy
RCL









2o Passo)
)s(U.
1RCs
1
)s(Y
)s(U]1RCs)[s(Y









09/02/2018 32/34
Funções de Transferências
3o Passo)
)1RCs(s
12
s
12
.
1RCs
1
)s(Y









4o Passo)
















1RCs
a
s
a
L
)1RCs(s
12
L 2111
RC12
s
12
)1RCs(s
12
)1RCs(a
12
1RCs
12
)1RCs(s
12
sa
RC
1s
RC
1s
2
0s0s
1































09/02/2018 33/34
Funções de Transferências
































1RCs
RC12
L
s
12
L
1RCs
RC12
s
12
L
)1RCs(s
12
L
11
11
Substituindo a1 e a2 , vem
t
RCety
RC
s
L
RCss
L







 



















1
11 .1212)(
1
1
.1212
)1(
12
09/02/2018 34/34
Funções de Transferências
Dicas
Neste ponto, sugere-se ao estudante que faça muitos exercícios sobre
Função de Transferência, tendo em vista que toda a Teoria de Controle Clássico
estar baseada em métodos e teoremas fundamentados no domínio do s, por
razões evidenciadas no início deste capítulo, por fugir do domínio do tempo,
onde é obrigatório lidar com derivadas e integrais, para ir para o domínio do s,
onde se tem apenas operações de natureza algébrica. Conclui-se, portanto,
que a análise feita no domínio do s, ou seja, usando FT’s fica bem mais
simplificada !
Somente a análise fica mais simplificada, porque no domínio do s as
expressões não possuem uma interpretação física. Para se fazer a
interpretação física do fenômeno, é necessário retornar para o domínio do
tempo, onde efetivamente as expressões têm uma interpretação física real.