Ondas e Linhas- P2 2009 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PTC2314 - Ondas e Linhas 2a. Prova - 05/11/2009 NOTAS:
Prova sem consulta ! Qualquer tentativa de cola será 1a. (3,5) 
 punida com nota zero! 2a. (3,0) 
Duração: 1h40min 3a. (3,5) 
TOTAL 
GABARITO
1a. Questão (3,5) Considere as linhas de transmissão mostradas abaixo, onde um resistor, de valor 100 Ω , foi 
colocado entre os dois condutores, na conexão entre as linhas e um capacitor ideal em paralelo com um resistor 
foi colocado como carga da segunda linha. Considere as linhas sem perdas e com condições iniciais quiescentes 
no instante t = 0.
100 Ω
60 V
Z
01
=100 Ω, v
1
=2×108 m/s
200 m
Z
02
=50 Ω, v
2
=2×108 m/s100 Ω
200 m
t = 0
9 nF
V
L
z = 0 z = 200 m z = 400 m
100 Ω
ρ
R
V
0
V
R
a) (0,5) Determine a amplitude do primeiro degrau de tensão excitado na linha 1, E1+, e o instante, t200, em que 
ele chegará ao ponto z = 200 m.
E1
+=60 100100100=30V
t 200=
200
2×108
=1s
E1+ = __30____V t200 = ___1______ μs
b) (0,5) Calcule a amplitude da onda refletida no final da linha 1 a partir de t200, E1–, e a amplitude da onda que 
inicia sua propagação na linha 2 a partir desse instante, E2+.
Z  z=200- , t3s =100 // Z 02=
100×50
10050=
100
3 
1  z=200=
100/3−Z 01
100/3Z 01
=100/3−100
100/3100
=−200
400
=−1
2
E1
-=1 z=200×E1
+=−
1
2×30=−15V
E2
+=V  z=200,1 st3s =E1
+E1
-=30−15=15V
E1– = ___– 15___V E2+ = ____15___V
1/6
c) (1,0) Determine a tensão em aberto, vth(t), e a impedância de entrada, Zth, do gerador de Thevenin 
equivalente visto pela carga entre os terminais da linha 2, e desenhe o gráfico cotado de VL (indicado na 
figura) em função do tempo, para 0 ≤ t ≤ 5,0μs.
V
Lvth(t)
Zth
v th  t =2v
+  z=400, t =2×E2
+×H  t−2 s=30 H  t−2s 
Z th=Z 02=50
vth(t) = __30__ H(t –_2 μ s __) V Zth =___50___ Ω.
V L  s=V ths 
100 /9×10−9 s
1001/ 9×10−9 s 
50 100/ 9×10
−9 s 
1001/ 9×10−9 s 
=
=30
s
e−s T
100
9×10−7 s1
50 100
9×10−7 s1
= 3000 e
−s T
s 4,5×10−5 s150 
=
=e−s T [ 20s − 20s13×107 ]⇒ vL t =20 H t−2 s1−e
−
t−2 s
3×10−7
d) (1,0) Desenhe os gráficos cotados de V0 e VR (indicados na figura) em função do tempo, para 0 ≤ t ≤ 5,0μs.
v L
- t =v L t −v L
+  t =
=20 H t−2s 1−e
− t−2s
3×10−7 −15 H t−2s=
=5H  t−2 s−20 H t−2se
− t−2 s
3×10−7
R=0 pois nesse sentido tem-se Z01 em paralelo com 
100 Ω = 50 Ω = Z02. Portanto:
v R
- t =vL
- t−1s =
=5 H  t−3s−20 H t−3 se
− t−3 s
3×10−7
e
v R t =15 H t−1 sH  t−3s [5−20e−
t−3 s
3×10−7 ] e
v0 t =30H  t −15H  t−2s 
H t−4 s[5−20e− t−4 s3×10−7 ]
e) (0,5) Quais os valores de regime das correntes I0 (no início da linha), IR (no resistor intermediário de 100 Ω) 
e IL (na carga)?
I 0=
60
100100 // 100=
60
10050=0,4A
I R=I L=I 0/ 2=0,2A
I0 = ___0,4___A , IR = ___0,2___A , IL =___0,2___A
2/6
t (µs)543210
V
R
(t)
20
15
t (µs)543210
V
L
(t) (V)
20
t (µs)543210
V
0
(t)
20
15
30
2a. Questão (3,0) A linha mostrada na figura abaixo tem perdas mas é sem distorção, com Z0 = 75 Ω, 
v = 2,25x108 m/s e A = 0,000234 Np/m, tendo sido construída com um dielétrico, com μ=μ0, colocado entre 
dois cilindros condutores (cabo coaxial). Uma fonte de tensão, gerando um pulso retangular de duração 1 μs e 
amplitude de 40 V com os terminais em aberto, é conectada à sua entrada.
25 Ω
+
Z
0
= 75 Ω, v=2,25×108 m/s, A = 0,000234 Np/m
900 m
600 Ω
 
–
E
g
(t)
E
g
(t)
 1 μs
40
 V
t
V
0
V
L
a) (0,5) Determine os valores da resistência por metro do condutor da linha e da condutância por metro de seu 
dielétrico.
R=A Z 0=0,000234×75=0,01755/m
G=A/Z 0=0,000234/75=3,12S /m
R =__0,01755__ Ω/m G = __3,12 μ _ S/m
b) (0,5) Qual o valor da permissividade relativa do dielétrico com o qual esse cabo coaxial foi fabricado?
1
v
=L C=0 r 0⇒r=
1
v200
=
c2
v2
=
32
2,252
=1,778
εr = ___1,778___
3/6
c) (1,5) Desenhe os gráficos cotados de V0(t), VL(t) e V(z = 450 m, t) (tensão na metade da linha), explicitando 
a amplitude de todos os pulsos. Não se esqueça da atenuação da linha!
E=E g
Z 0
Z gZ 0
=40 75
2575
=30 V
B L= Lv =
900 m
2,25×108
=4s
L=
600−75
60075=
7
9 g=
25−75
2575=−1/2
e−900 A=0,81 e−450 A=0,9
d) (0,5) Desenhe o gráfico cotado da tensão ao longo da linha de transmissão no instante t = 2 μs, explicitando 
os valores da tensão nas transições do pulso.
O pulso, nesse instante, se estende de 225 m a 450 m. Sua amplitude em 225 m é: 30e−225 A=28,461 V
4/6
t (µs)1086420
V
L
(t)
12
43,2
–11,0224
t (µs)1086420
V(z=450 m,t)
12
27
17,01
–6,8891
z (m)9006754502250
v (z, t =2,0 μs)
28,461 27
t (µs)1086420
V
0
(t)
12
30
7,6545
30
8
12
16
4 24,3
18,9
15,309
-7,6545
-4,8223
-6,2001
27
17,01
-6,8891
0 900
z(m)
450225
t(μs)
2
3a. Questão (3,5) A linha da figura abaixo tem perdas desprezíveis, com Z0 = 80 Ω e velocidade de propagação 
v = 2,5108 m/s.
12 Ω
60 V
Z
0
=80 Ω, v=2,5×108 m/s
500 m
48 Ω
t = 0
z = 0 z = 500 m
i
L
i
0
a) (1,0) Admitindo que a chave tenha sido fechada há muito tempo, determine os valores de corrente e 
tensão em regime e calcule a energia armazenada na linha.
V regime=60
48
1248=48 V I regime=
60
1248=1 A
L=
Z 0
v
= 80
2,5×108
=0,32H/m C=
1
Z 0 v
=
1
80×2,5×108
=50pF/m
W=12 C l V regime
2 
1
2 L l I regime
2 =
1
2 50×10
−12×500×48212×0,32×10
−6×500×12=
=28,8×10−680×10−6=108,8 J
Vregime = __48___ V Iregime = ___1__ A W = __108,8 μ ___ J
Supondo, agora, que a chave seja aberta no instante t = 0: 
b) (1,0) Para t ≥0, determine a corrente iL(t) (corrente na terminação da linha, em função do tempo) e faça seu 
gráfico cotado, explicitando os valores relevantes. Dica: faça o zig-zag para corrente e note que, ao se abrir a 
chave, a corrente é anulada na entrada da linha.
t (μs)1086420
i
L
(t)
12
(A)
1
–0.25
0.0625
–0.015625
A corrente de 1 A é interrompida, portanto o transitório 
equivale a um gerador de corrente de –1 H(t).
Com a chave aberta a impedância do lado do gerador é 
infinita, assim os coeficientes de reflexão par a tensão são:
 l=
48−80
4880=−
1
4 g=
∞−80
∞80=1
Note que, para a corrente, devemos usar o oposto desses 
valores.
5/6
4
6
8
2
–1
–0.25
0 500
z(m)
t(μs)
10
12
1
0.25
0.0625
–0.0625
–0.015625
0
0
0
–1/4
1/16
–1/64
c) (0,5) Trace o gráfico da corrente ao longo da linha no instante t = 3,0 μs.
z (m)4003002001000
i (z, t =3,0 μs)
500
–0.25
(A)
d) (1,0) Determine a energia dissipada no resistor de 48 Ω para t > 0 e compare com o valor obtido no item (a).
W d=∫
0
∞
48 iL
2 t dt=48×12×2×10−648∑
1
∞
−1
4

2n
×4×10−6=96×10−6192×10−6× 1/16
1−1/16
=
=96×10−6192×10−6× 1
15
=108,8 J
Wdissipada = __108,8 μ ___ J
Formulário:
V  z , s =V 0, s e−s zV−  0, s  es z=V  0, s e−AB s zV−  0, s e AB s z
I  z , s =I  0, s  e−s  zI−  0,s  es z=V
  0, s 
Z0 s
e−s z−V
− 0, s
Z 0 s
es  z
 s= Rs LGsC Z0 s= RsLGsC
linhas sem perdas:  s=s  LC=B s Z0= LC
linhas sem distorção: 
R
L
=
G
C :
 s= R
Z 0
s  L C=G Z0s  LC=AB s Z0= LC
B=1
v
 s , z=V
− z , s
V z , s
=
Z z , s −Z 0
Z z , s Z 0
 L=
Z L−Z 0
Z LZ 0
g=
Z g−Z0
Z gZ0
ε0 = 8,854×10-12 F/m µ0 = 4 pi ×10-7 H/m c=
1
 μ0 ε0
≃3×108 m/s
L {u t  }=1
s
L {e− t u t }= 1
s L { xt− }=X se
−s
∑
i=1
∞
qi= q
1−q
6/6