Lista 3 Dualidade e Análise de Sensibilidade

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PO1 – Lista de Exercícios 
Prof. Luciano Barboza da Silva 
Curso: Engenharia de Produção 
Lista 3: Dualidade e Análise de Sensibilidade 
 
1. Formule o Dual dos seguintes problemas: 
a. 
max 𝑍 = 3𝑥1 + 5𝑥2 
𝑠. 𝑎. 
 𝑥1 ≤ 4 
 𝑥2 ≤ 6 
 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 4 
𝑥1,𝑥2 ≥ 0 
b. 
 
min𝑍 = 4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 
𝑠.𝑎. 
 2𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 ≥ 4 
 3𝑥1 + 5𝑥2 + 𝑥3 ≥ 6 
 𝑥1,𝑥2 ≥ 0 
 
c. 
min 𝑍 = 5𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 3𝑥4 
 𝑠.𝑎. 
 2𝑥1 + 3𝑥2 + 5𝑥3 + 5𝑥4 ≥ 16 
 3𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 + 2𝑥4 ≥ 13 
 𝑥1, 𝑥2,𝑥3,𝑥4 ≥ 0 
 
2. A empresa Soluções fabrica dois tipos de termômetros: digital e de mercúrio. Cada 
unidade de termômetro: digital e de mercúrio. Cada unidade de termômetro digital 
garante lucro líquido unitário de R$ 7,00, enquanto termômetro de mercúrio gera 
lucro líquido de R$ 5,00 por unidade. A fabricação dos dois tipos de termômetros 
requer Três tipos de operação. Para a fabricação de uma unidade do termômetro 
digital, são necessários 5, 5 e 1 minutos em cada uma das operações. Já o 
termômetro de mercúrio requer 2, 5 e 3 minutos para cada operação. A 
disponibilidade, em minutos, para cada operação é de 300, 350 e 180. 
 
a. Determine a solução gráfica do modelo; 
b. Determine o acréscimo máximo permissível no lucro líquido unitário do 
termômetro digital que manteria a solução básica original inalterada. Supor 
que os demais parâmetros do modelo permaneçam constantes; 
c. Determine o decréscimo máximo permissível ao lucro unitário do 
termômetro de mercúrio que manteria a solução básica original inalterada. 
Supor que os demais parâmetros do modelo permaneçam constantes; 
d. Supondo que houve uma redução no lucro unitário de termômetros digitais 
para R$ 3,00, verificar se a solução do modelo permanece ótima; 
e. Suponha que houve um aumento no lucro unitário de termômetros de 
mercúrio para R$ 10,00, verificar se a solução do modelo permanece ótima. 
 
3. Considere o seguinte problema de maximização: 
 
max𝑍 = 4𝑥1 + 7𝑥2 
 𝑠.𝑎. 
 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6 
 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 4 
 2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6 
 𝑥1,𝑥2 ≥ 0 
 
a. Determine a solução ótima pelo método gráfico; 
b. Qual o intervalo de valores que 𝑐1 (coeficiente da variável 𝑥1, da função 
objetivo) de maneira que a solução básica original permaneça inalterada, 
supondo que 𝑐2 permanece constante? 
c. Qual o intervalo de valores que 𝑐2 (coeficiente da variável 𝑥1, da função 
objetivo) de maneira que a solução básica original permaneça inalterada, 
supondo que 𝑐1 permanece constante? 
 
 
4. Considere o seguinte problema de maximização: 
 
max𝑍 = 2𝑥1 + 3𝑥2 
 𝑠.𝑎. 
 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 3 
 𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 4 
 𝑥1,𝑥2 ≥ 0 
 
a. Determine a solução ótima pelo método gráfico; 
b. Qual o intervalo de valores que 𝑐1 (coeficiente da variável 𝑥1, da função 
objetivo) de maneira que a solução básica original permaneça inalterada, 
supondo que 𝑐2 permanece constante? 
c. Qual o intervalo de valores que 𝑐2 (coeficiente da variável 𝑥1, da função 
objetivo) de maneira que a solução básica original permaneça inalterada, 
supondo que 𝑐1 permanece constante? 
 
5. A empresa Venix de brinquedos está revendo seu planejamento de produção de 
carrinhos e triciclos. O lucro líquido por unidade de carrinho e triciclo produzido é 
de R$ 12,00 e R$ 60,00, respectivamente. As matérias primas e os insumos 
necessários para a fabricação de cada um dos produtos são terceirizados, cabendo à 
empresa os processos de usinagem, pintura e montagem. O processo de usinagem 
requer 15 minutos de mão de obra especializada por unidade de carrinho e 30 
minutos por unidade de triciclo produzida. O processo de pintura requer 6 minutos 
de mão de obra especializada por unidade de carrinho e 45 minutos por unidade de 
triciclo produzida. Já o processo de montagem necessita de 6 minutos e 24 minutos 
para uma unidade de carrinho e triciclo produzida, respectivamente. O tempo 
disponível por semana é de 36, 22 e 15 horas para os processos de usinagem, 
pintura e montagem, respectivamente. A empresa quer determinar quanto produzir 
de cada produto por semana, respeitando as limitações de recursos, de forma a 
maximizar o lucro líquido semanal. Formule o modelo de programação linear e 
responder ás seguintes questões: 
a. Determine a condição de otimalidade 𝑐1 𝑐2 que mantenha a solução ótima 
do modelo original inalterada; 
b. Suponha que houve uma redução simultânea nos lucros unitários de 
carrinhos e triciclo para R$ 10,00 e R$ 50,00, respectivamente, em função 
da concorrência do mercado. Verificar se a solução básica do modelo 
original permanecerá ótima, e determine o novo valor de Z; 
c. Supondo que os demais parâmetros permaneçam inalterados, qual o 
intervalo de variação do lucro unitário de carrinhos que matem a solução 
básica do modelo original: 
d. Supondo agora, que os demais parâmetros permaneçam inalterados, qual o 
intervalo de variação do lucro unitário de triciclos que matem a solução 
básica do modelo original; 
e. Determine o preço-sombra de cada um dos setores da empresa: usinagem, 
pintura e montagem; 
f. Determinar o intervalo de variação que cada um dos limites das restrições 
pode variar de modo que o preço-sombra permaneça constante (no valor da 
solução ótima); 
g. Supondo que a disponibilidade do setor de usinagem aumentou para 40 
horas, qual será o incremento no valor da função objetivo?