Método da Bissecção em Cálculo Numérico

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Cálculo Numérico
Tema 02.1: Método da Bissecção
Alexandre Zabot
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Índice
1 Contexto: O Problema de encontrar uma Raiz
2 Apresentando o Método da Bissecção
3 Aplicando o Método da Bisseção
4 Taxa de convergência
5 Exercícios
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção2 / 23
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O Problema de encontrar uma Raiz
Um zero da função f(x)
Determine uma raiz, ou solução, de uma equação na forma
f(x) = 0
para uma dada função f.
Uma raiz desta equação também é chamada um zero da função f.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção3 / 23
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O Problema de encontrar uma Raiz
Um zero da função f(x)
Determine uma raiz, ou solução, de uma equação na forma
f(x) = 0
para uma dada função f.
Uma raiz desta equação também é chamada um zero da função f.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção3 / 23
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O Problema de encontrar uma Raiz
2x = x2
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção4 / 23
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Índice
1 Contexto: O Problema de encontrar uma Raiz
2 Apresentando o Método da Bissecção
3 Aplicando o Método da Bisseção
4 Taxa de convergência
5 Exercícios
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção5 / 23
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Técnica da Bisseção
Hipóteses
1 f uma função contínua definida no intervalo [a, b]
2 f(a) e f(b) de sinais opostos
3 Raiz única em (a, b)
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção6 / 23
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Técnica da Bisseção
O médoto divide repetidamente pela metade (bisseção) subintervalos de
[a, b] e, em cada passo, localiza a metade que contém p.
Passos Computacionais
Faça a0 = a e b0 = b, e seja p0 o ponto médio de [a, b]:
p0 = a0 +
b0 − a0
2
=
a0 + b0
2
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Se f(p0) = 0, então p = p0, e terminamos.
Se f(p0) 6= 0, então f(p0) tem o mesmo sinal que f(a0) ou f(b0).
� Se f(p0) e f(a0) têm o mesmo sinal, p ∈ (p0, b0). Faça a1 = p0 e
b1 = b0.
� Se f(p0) e f(a0) têm sinais opostos, p ∈ (a0, p0). Faça a1 = a0 e
b1 = p0.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção7 / 23
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Técnica da Bisseção
O médoto divide repetidamente pela metade (bisseção) subintervalos de
[a, b] e, em cada passo, localiza a metade que contém p.
Passos Computacionais
Faça a0 = a e b0 = b, e seja p0 o ponto médio de [a, b]:
p0 = a0 +
b0 − a0
2
=
a0 + b0
2
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Se f(p0) = 0, então p = p0, e terminamos.
Se f(p0) 6= 0, então f(p0) tem o mesmo sinal que f(a0) ou f(b0).
� Se f(p0) e f(a0) têm o mesmo sinal, p ∈ (p0, b0). Faça a1 = p0 e
b1 = b0.
� Se f(p0) e f(a0) têm sinais opostos, p ∈ (a0, p0). Faça a1 = a0 e
b1 = p0.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção7 / 23
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Técnica da Bisseção
O médoto divide repetidamente pela metade (bisseção) subintervalos de
[a, b] e, em cada passo, localiza a metade que contém p.
Passos Computacionais
Faça a0 = a e b0 = b, e seja p0 o ponto médio de [a, b]:
p0 = a0 +
b0 − a0
2
=
a0 + b0
2
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Se f(p0) = 0, então p = p0, e terminamos.
Se f(p0) 6= 0, então f(p0) tem o mesmo sinal que f(a0) ou f(b0).
� Se f(p0) e f(a0) têm o mesmo sinal, p ∈ (p0, b0). Faça a1 = p0 e
b1 = b0.
� Se f(p0) e f(a0) têm sinais opostos, p ∈ (a0, p0). Faça a1 = a0 e
b1 = p0.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção7 / 23
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Técnica da Bisseção
O médoto divide repetidamente pela metade (bisseção) subintervalos de
[a, b] e, em cada passo, localiza a metade que contém p.
Passos Computacionais
Faça a0 = a e b0 = b, e seja p0 o ponto médio de [a, b]:
p0 = a0 +
b0 − a0
2
=
a0 + b0
2
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Se f(p0) = 0, então p = p0, e terminamos.
Se f(p0) 6= 0, então f(p0) tem o mesmo sinal que f(a0) ou f(b0).
� Se f(p0) e f(a0) têm o mesmo sinal, p ∈ (p0, b0). Faça a1 = p0 e
b1 = b0.
� Se f(p0) e f(a0) têm sinais opostos, p ∈ (a0, p0). Faça a1 = a0 e
b1 = p0.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção7 / 23
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Técnica da Bisseção
O médoto divide repetidamente pela metade (bisseção) subintervalos de
[a, b] e, em cada passo, localiza a metade que contém p.
Passos Computacionais
Faça a0 = a e b0 = b, e seja p0 o ponto médio de [a, b]:
p0 = a0 +
b0 − a0
2
=
a0 + b0
2
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Se f(p0) = 0, então p = p0, e terminamos.
Se f(p0) 6= 0, então f(p0) tem o mesmo sinal que f(a0) ou f(b0).
� Se f(p0) e f(a0) têm o mesmo sinal, p ∈ (p0, b0). Faça a1 = p0 e
b1 = b0.
� Se f(p0) e f(a0) têm sinais opostos, p ∈ (a0, p0). Faça a1 = a0 e
b1 = p0.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção7 / 23
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Técnica da Bisseção
O médoto divide repetidamente pela metade (bisseção) subintervalos de
[a, b] e, em cada passo, localiza a metade que contém p.
Passos Computacionais
Faça a0 = a e b0 = b, e seja p0 o ponto médio de [a, b]:
p0 = a0 +
b0 − a0
2
=
a0 + b0
2
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Se f(p0) = 0, então p = p0, e terminamos.
Se f(p0) 6= 0, então f(p0) tem o mesmo sinal que f(a0) ou f(b0).
� Se f(p0) e f(a0) têm o mesmo sinal, p ∈ (p0, b0). Faça a1 = p0 e
b1 = b0.
� Se f(p0) e f(a0) têm sinais opostos, p ∈ (a0, p0). Faça a1 = a0 e
b1 = p0.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção7 / 23
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O Método da Bisseção para resolver f(x) = 0
Dividindo o Intervalo pela metade para refinar a Raiz
x
y
 f (a)
 f (p2)
 f (p1)
 f (b)
y 5 f (x)
a 5 a1 b 5 b1p p1p2
p3
a1 b1p1
p2a2 b2
p3a3 b3
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção8 / 23
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O Método da Bisseção
Critério de Parada do Algoritmo
Seja � a tolerância.
Tamanho do intervalo: b− a
2< �
Convergência do valor da raiz:
|pN − pN−1| < �
|pN − pN−1|
|pN| < �, pN 6= 0
Valor da função:
|f(pN)| < �
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção9 / 23
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O Método da Bisseção
Critério de Parada do Algoritmo
Seja � a tolerância.
Tamanho do intervalo: b− a
2
< �
Convergência do valor da raiz:
|pN − pN−1| < �
|pN − pN−1|
|pN| < �, pN 6= 0
Valor da função:
|f(pN)| < �
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção9 / 23
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O Método da Bisseção
Critério de Parada do Algoritmo
Seja � a tolerância.
Tamanho do intervalo: b− a
2
< �
Convergência do valor da raiz:
|pN − pN−1| < �
|pN − pN−1|
|pN| < �, pN 6= 0
Valor da função:
|f(pN)| < �
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção9 / 23
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O Método da Bisseção
Critério de Parada do Algoritmo
Seja � a tolerância.
Tamanho do intervalo: b− a
2
< �
Convergência do valor da raiz:
|pN − pN−1| < �
|pN − pN−1|
|pN| < �, pN 6= 0
Valor da função:
|f(pN)| < �
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção9 / 23
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O Método da Bisseção
O melhor critério
Em geral é melhor usar
b− a
2
< �
pois fornece um limitante superior para o erro.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção10 / 23
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Índice
1 Contexto: O Problema de encontrar uma Raiz
2 Apresentando o Método da Bissecção
3 Aplicando o Método da Bisseção
4 Taxa de convergência
5 Exercícios
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção11 / 23
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Resolvendo f(x) = x3 + 4x2 − 10 = 0
Exemplo: O Método da Bissecção
Sabendo que f(x) = x3 + 4x2 − 10 = 0 tem uma raiz em [1, 2], use o
método da Bissecção para determinar uma aproximação para a raiz com
uma tolerância de 10−4.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção12 / 23
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O Mét. da Bissecção aplicado a f(x) = x3 + 4x2 − 10
n an bn pn sig f (an) sig f (pn) (b-a)/2
0 1.000000 2.000000 1.500000 - + 0.5
1 1.000000 1.500000 1.250000 - - 0.25
2 1.250000 1.500000 1.375000 - + 0.12
3 1.250000 1.375000 1.312500 - - 0.062
4 1.312500 1.375000 1.343750 - - 0.031
5 1.343750 1.375000 1.359375 - - 0.016
6 1.359375 1.375000 1.367188 - + 0.0078
7 1.359375 1.367188 1.363281 - - 0.0039
8 1.363281 1.367188 1.365234 - + 0.002
9 1.363281 1.365234 1.364258 - - 9.8×10−4
10 1.364258 1.365234 1.364746 - - 4.9×10−4
11 1.364746 1.365234 1.364990 - - 2.4×10−4
12 1.364990 1.365234 1.365112 - - 1.2×10−4
13 1.365112 1.365234 1.365173 - - 6.1×10−5
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção13 / 23
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O Mét. da Bissecção aplicado a f(x) = x3 + 4x2 − 10
n an bn pn sig f (an) sig f (pn) (b-a)/2
0 1.000000 2.000000 1.500000 - + 0.5
1 1.000000 1.500000 1.250000 - - 0.25
2 1.250000 1.500000 1.375000 - + 0.12
3 1.250000 1.375000 1.312500 - - 0.062
4 1.312500 1.375000 1.343750 - - 0.031
5 1.343750 1.375000 1.359375 - - 0.016
6 1.359375 1.375000 1.367188 - + 0.0078
7 1.359375 1.367188 1.363281 - - 0.0039
8 1.363281 1.367188 1.365234 - + 0.002
9 1.363281 1.365234 1.364258 - - 9.8×10−4
10 1.364258 1.365234 1.364746 - - 4.9×10−4
11 1.364746 1.365234 1.364990 - - 2.4×10−4
12 1.364990 1.365234 1.365112 - - 1.2×10−4
13 1.365112 1.365234 1.365173 - - 6.1×10−5
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção13 / 23
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O Mét. da Bissecção aplicado a f(x) = x3 + 4x2 − 10
n an bn pn sig f (an) sig f (pn) (b-a)/2
0 1.000000 2.000000 1.500000 - + 0.5
1 1.000000 1.500000 1.250000 - - 0.25
2 1.250000 1.500000 1.375000 - + 0.12
3 1.250000 1.375000 1.312500 - - 0.062
4 1.312500 1.375000 1.343750 - - 0.031
5 1.343750 1.375000 1.359375 - - 0.016
6 1.359375 1.375000 1.367188 - + 0.0078
7 1.359375 1.367188 1.363281 - - 0.0039
8 1.363281 1.367188 1.365234 - + 0.002
9 1.363281 1.365234 1.364258 - - 9.8×10−4
10 1.364258 1.365234 1.364746 - - 4.9×10−4
11 1.364746 1.365234 1.364990 - - 2.4×10−4
12 1.364990 1.365234 1.365112 - - 1.2×10−4
13 1.365112 1.365234 1.365173 - - 6.1×10−5
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção13 / 23
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O Mét. da Bissecção aplicado a f(x) = x3 + 4x2 − 10
n an bn pn sig f (an) sig f (pn) (b-a)/2
0 1.000000 2.000000 1.500000 - + 0.5
1 1.000000 1.500000 1.250000 - - 0.25
2 1.250000 1.500000 1.375000 - + 0.12
3 1.250000 1.375000 1.312500 - - 0.062
4 1.312500 1.375000 1.343750 - - 0.031
5 1.343750 1.375000 1.359375 - - 0.016
6 1.359375 1.375000 1.367188 - + 0.0078
7 1.359375 1.367188 1.363281 - - 0.0039
8 1.363281 1.367188 1.365234 - + 0.002
9 1.363281 1.365234 1.364258 - - 9.8×10−4
10 1.364258 1.365234 1.364746 - - 4.9×10−4
11 1.364746 1.365234 1.364990 - - 2.4×10−4
12 1.364990 1.365234 1.365112 - - 1.2×10−4
13 1.365112 1.365234 1.365173 - - 6.1×10−5
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção13 / 23
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Índice
1 Contexto: O Problema de encontrar uma Raiz
2 Apresentando o Método da Bissecção
3 Aplicando o Método da Bisseção
4 Taxa de convergência
5 Exercícios
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção14 / 23
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Velocidade de Convergência do Método da Bissecção
Teorema
Suponha que f ∈ C[a, b] e f(a) · f(b) < 0. O Método da Bissecção gera
uma sequência {pn}∞n=0 que se aproxima de um zero p de f com
|pn − p| ≤ b− a
2n+1
, quando n ≥ 0.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção15 / 23
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Resultado Teórico para o Método da Bissecção
Limitante Conservativo para o Erro
O Teorema fornece apenas um limitante para o erro de aproximação, que
pode ser muito menor.
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Resultado Teóricopara o Método da Bissecção
Exemplo: Usando o Limitante do Erro
Determine o número de iterações necessárias para resolver
f(x) = x3 + 4x2 − 10 = 0 com uma precisão de 10−3 usando a0 = 1 e
b0 = 2.
Resposta
En ≤ b− a
2n+1
→ (n+ 1) ≥ log2b− aEn ∴ n = 9
De fato, na tabela E9 = 9.8× 10−4 ≈ 10−3.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção17 / 23
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Resultado Teórico para o Método da Bissecção
Exemplo: Usando o Limitante do Erro
Determine o número de iterações necessárias para resolver
f(x) = x3 + 4x2 − 10 = 0 com uma precisão de 10−3 usando a0 = 1 e
b0 = 2.
Resposta
En ≤ b− a
2n+1
→ (n+ 1) ≥ log2b− aEn ∴ n = 9
De fato, na tabela E9 = 9.8× 10−4 ≈ 10−3.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção17 / 23
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O Método da Bissecção
Considerações Finais
O Método da Bissecção tem algumas desvantagens significativas:
I Convergência lenta, pois N pode se tornar muito grande antes que
p− pN se torne suficientemente pequeno.
I É possível que uma boa aproximação intermediária seja descartada de
modo inadvertido.
Entretanto, o método sempre converge para uma solução e, por esta
razão, é muitas vezes usado para prover uma boa aproximação inicial
para um método mais eficiente.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção18 / 23
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O Método da Bissecção
Considerações Finais
O Método da Bissecção tem algumas desvantagens significativas:
I Convergência lenta, pois N pode se tornar muito grande antes que
p− pN se torne suficientemente pequeno.
I É possível que uma boa aproximação intermediária seja descartada de
modo inadvertido.
Entretanto, o método sempre converge para uma solução e, por esta
razão, é muitas vezes usado para prover uma boa aproximação inicial
para um método mais eficiente.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção18 / 23
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O Método da Bissecção
Considerações Finais
O Método da Bissecção tem algumas desvantagens significativas:
I Convergência lenta, pois N pode se tornar muito grande antes que
p− pN se torne suficientemente pequeno.
I É possível que uma boa aproximação intermediária seja descartada de
modo inadvertido.
Entretanto, o método sempre converge para uma solução e, por esta
razão, é muitas vezes usado para prover uma boa aproximação inicial
para um método mais eficiente.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção18 / 23
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O Método da Bissecção
Considerações Finais
O Método da Bissecção tem algumas desvantagens significativas:
I Convergência lenta, pois N pode se tornar muito grande antes que
p− pN se torne suficientemente pequeno.
I É possível que uma boa aproximação intermediária seja descartada de
modo inadvertido.
Entretanto, o método sempre converge para uma solução e, por esta
razão, é muitas vezes usado para prover uma boa aproximação inicial
para um método mais eficiente.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção18 / 23
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Índice
1 Contexto: O Problema de encontrar uma Raiz
2 Apresentando o Método da Bissecção
3 Aplicando o Método da Bisseção
4 Taxa de convergência
5 Exercícios
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção19 / 23
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Questão de Prova I
1 [2.5 pontos] Uma gamela de comprimento L tem seção transversal
semicircular com raio r (veja a figura abaixo). Quando a gamela está cheia
com água até uma distância h do topo, o volume V de água é
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção20 / 23
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Questão de Prova II
V = L
[
pir2
2
− r2 arcsin
(h
r
)
− h
√
(r2 − h2)
]
Suponha que L = 3 m, r = 0.3 m e V = 0.25 m3. Use o Método da
Bissecção para determinar a profundidade da água na gamela com precisão
de 0.05 m. Use como precisão, no Método da Bissecção, a metade do
intervalo no passo. (DICA: Como intervalo inicial de busca, considere o
valor máximo e mínimo que h pode assumir).
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Questão de Prova III
Gabarito da questão
(i) Primeiro precisamos montar uma equação do tipo f(x) = 0 isolando
todos os termos da equação em um só lado:
f(h) ≡ VL −
pir2
2
+ r2 arcsin
(h
r
)
+ h
√
(r2 − h2) = 0
(ii) Em seguida, usamos a dica do enunciado para encontrar o intervalo
inicial de busca. A altura de água na gamela pode variar de [0, r] = [0, 0.3].
(iii) Assim, aplicamos o método da Bissecção:
n an bn pn f(an) f(pn) �n
0 0.0000 0.3000 0.1500 -0.0580 0.0281 0.1500
1 0.0000 0.1500 0.0750 -0.0580 -0.0135 0.0750
2 0.0750 0.1500 0.1125 -0.0135 0.0078 0.0375
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção22 / 23
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Questão de Prova IV
∴ h ' p2 = (0.1125± 0.0375)m .
(iii) Prova Real: Substituindo h = 0.1125 m na equação original de V
encontramos V(0.1125) = 0.23 m3, portanto a resposta está coerente com
o valor esperado (V = 0.25) m3. Atenção, você não deve testar o valor de
f(h) para ver se está perto de zero, pois pode ter cometido um erro ao
manipular a equação de V(h) para f(h) e assim não encontrará o erro.
Você sempre deve fazer os testes com as equações originais, que não
foram manipuladas no desenvolvimento.
Alexandre Zabot Cálculo Numérico Tema 02.1: Método da Bissecção23 / 23
	Contexto: O Problema de encontrar uma Raiz
	Apresentando o Método da Bissecção
	Aplicando o Método da Bisseção
	Taxa de convergência
	Exercícios