Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 Dinâmica de um Ponto Material: Impulso e Quantidade de Movimento Prof. Alexandre Mikowski Joinville - SC Universidade Federal de Santa Catarina Campus de Joinville Curso de Engenharia da Mobilidade 2 Conteúdos da Aula � Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento; � Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais; � Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais; � Colisão; � Momento Angular; � Relação entre Momento de uma Força e Momento Angular; � Princípios do Impulso e Momento Angulares. 3 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento ∑ == dt vd mamF� Equação do movimento: ou Rearranjando os termos e integrando ∑ ∫∫ = 2 1 2 1 v v t t vdmdtF 12 2 1 vmvmdtF t t −=∑∫ Princípio do impulso e quantidade de movimento 4 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento vmpL =ou � Quantidade de Movimento ou Momento Linear : ( )∫= 2 1 t t dttFI � Impulso: ( )12 2 1 ttFdtFI c t t c −== ∫ou 5 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento ∑∫ =+ 21 2 1 vmdtFvm t t 6 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento ∑∫ =+ 21 2 1 vmdtFvm t t � Equações Escalares: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 21 21 2 1 2 1 2 1 z t t zz y t t yy x t t xx vmdtFvm vmdtFvm vmdtFvm ∑∫ ∑∫ ∑∫ =+ =+ =+ 7 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais � Equação do movimento: ∑ ∑= dt vd mF ii Rearranjando os termos e integrando ( ) ( )∑ ∑∫∑ =+ 21 2 1 ii t t iii vmdtFvm 8 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais � Massa G do sistema: ∑= iiG rmrm � Derivada temporal: ∑= iiG vmvm ( ) ( )∑∫ =+ 21 2 1 G t t iG vmdtFvm Reescrevendo o princípio 9 Conservação da Quantidade de Movimento para um Sistema de Pontos Materiais ( ) ( )21 GG vmvm = A soma dos impulsos externos que agem num sistema de pontos materiais é nula Conservação da quantidade de movimento ( ) ( )21 GG vv = A velocidade do centro de massa não varia quando a soma dos impulsos externos é nula 10 Colisão Uma colisão, choque ou impacto entre dois corpos ocorre quando estes entram em contato durante um breve intervalo de tempo, desenvolvendo forças impulsivas. 11 Colisão 12 colisão central 13 � Fases (a) a (e) das colisões, impomos: Colisão ( ) ( ) ( ) ( )2211 BBAABBAA vmvmvmvm +=+ � Durante a fase de deformação, fases (a) até (c), temos: ( ) vmPdtvm AAA =− ∫1 � Para a fase de restituição, fases (d) e (e), temos: ( )2AAA vmRdtvm =− ∫ 14 � Coeficiente de restituição: Razão entre o impulso de restituição e o de deformação. Colisão ( ) ( ) vv vv Pdt Rdt e A A − − == ∫ ∫ 1 2Para o corpo A →→→→ Para o corpo B →→→→ ( ) ( )1 2 B B vv vv Pdt Rdt e − − == ∫ ∫ 15 � Coeficiente de restituição: Razão entre o impulso de restituição e o de deformação. Colisão ( ) ( ) ( ) ( )11 22 BA AB vv vv e − − = • Colisão elástica →→→→ e = 1 • Colisão plástica →→→→ e = 0 Impulso de deformação é oposto ao impulso de restituição. Não há impulso de restituição. 16 O princípio do trabalho e energia não pode ser usado na análise de problemas de colisão, pois não é possível saber como as forças internas de deformação ou restituição variam ou deslocam seus pontos de aplicação durante o processo de colisão. Colisão colisão oblíqua 17 Colisão colisão oblíqua “Os corpos afastam-se entre si com velocidades desconhecidas (módulo, direção e sentido)”. 18 Momento Angular vmrHO ×= � Formulação vetorial: zyx zyxO mvmvmv rrr kji H = 19 É definido como o “momento” da quantidade de movimento do ponto material, em relação ao ponto O. Momento Angular ( ) ( )( )mvdH zO = � Formulação escalar: 20 Os momentos (ou torques) em relação ao ponto O de todas as forças que agem no ponto material podem ser relacionados com o momento angular do ponto material. Relação entre Momento Angular de uma Força e o Momento Angular . vmF =∑ � Se a massa é constante: � Multiplicação vetorial: . vmrFr ×=×∑ 21 Relação entre Momento Angular de uma Força e o Momento Angular � O momento: . vmrFrMO ×=×= ∑∑ � Derivada do produto do momento angular:( ) ... vmrvmrvmr dt dHO ×+×=×= ou ∑=×= OO MvmrH .. Ou ainda . OO HM =∑ 22 Relação entre Momento Angular de uma Força e o Momento Angular � O momento: O momento (ou torque) resultante, em relação a O, de todas as forças agindo no ponto material é igual à derivada temporal do momento angular desse ponto em relação a O. . OO HM =∑ � 2a lei de Newton: dt pdpLF ===∑ .. ou 23 Relação entre Momento Angular de uma Força e o Momento Angular � Sistema de Pontos Materiais: . OO HM =∑ ( ) ( ) ( )Oiiiii HfrFr .=×+× ( ) ( ) ( ) Oiiiii HfrFr ∑∑∑ =×+× . 24 Princípios do Impulso e Momento Angulares � Reescrevendo a equação: . OO HM =∑ ( ) ( )122 1 OO t t O HHdtM −=∑∫ � Temos: ou ( ) ( )21 2 1 O t t OO HdtMH =+∑∫ � Impulso angular: Princípio do impulso e momento angulares para um ponto material. ( )∫∫ ×= 2 1 2 1 t t t t O dtFrdtM 25 Princípios do Impulso e Momento Angulares � Formulação vetorial: ( ) ( )21 2 1 O t t OO HdtMH =+∑∫ 21 2 1 vmdtFvm t t =+∑∫ Princípio do impulso e quantidade de movimento. Princípio do impulso e momento angulares. 26 Princípios do Impulso e Momento Angulares � Formulação escalar: plano x-y: ( ) ( ) ( ) ( ) 21 21 2 1 2 1 y t t yy x t t xx vmdtFvm vmdtFvm =+ =+ ∑∫ ∑∫ ( ) ( )21 2 1 O t t OO HdtMH =+∑∫ 27 Princípios do Impulso e Momento Angulares � Conservação do Momento Angular: ( ) ( )21 2 1 O t t OO HdtMH =+∑∫ Quando os impulsos angulares sobre um ponto material são nulos durante o intervalo de tempo, temos: ( ) ( )21 OO HH = 28 Referência Bibliográfica � HIBBELER, R. C. Dinâmica – Mecânica para engenharia; 10ª edição, São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011.
Compartilhar