Lista de exercícios III Álgebra Matricial - Espaço Vetorial – Subespaço Vetorial – Combinação linear

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LISTA DE EXERCÍCIOS III - MAT004GV - ÁLGEBRA MATRICIAL 
Espaço Vetorial – Subespaço Vetorial – Combinação linear 
 Professor: Marconi Miranda – 19/09/2018 
 
1. Dados os vetores u = (3; 1) e v = (2;4) em R2 e os escalares a = 2 e b = -1, 
determine o vetor w que é combinação linear de u e v. 
2. Sejam os vetores u = (1; -3; 2) e v = (2; 4; -1) em R3, determine o valor dos 
escalares a e b para que w = (-4; -18; 7) seja uma combinação linear de u e v. 
3. Dado V um espaço vetorial, verifique se os conjuntos abaixo são subespaços 
vetoriais de V. 
 
a. W = {(x; y) ε R2 / y = 8x} 
 
b. W = {(x; y, z) ε R3 / y = 2x e z = x -3} 
 
4. Dados os vetores ⃗ = (2; 3; 1) e ⃗⃗ = ( -6; 2; 4), determine: 
a. ⃗⃗⃗ ⃗ + 
 
 
 ⃗⃗ 
b. ⃗⃗ - 3 ⃗ 
c. ‖ ⃗ ⃗⃗‖.
 
√ 
 
 
5. a. Dados os vetores u = (1; 4) e v = (2;-3) em R2 e os escalares a = 2 e b = -3, 
determine o vetor w que é combinação linear de u e v. 
 
b. Sejam os vetores u = (1; -3; 2) e v = (2; 4; -1) em R
3
, determine o valor dos 
escalares a e b para que w = (-4; -18; 7) seja uma combinação linear de u e v. 
 
6. Verifique se: 
a. S = {(x, y, z) ε R3 / y = 5x e z = 6x} é um subespaço vetorial de R3. 
Justifique. 
b. W = {(x, y) ε R2 / x = y3 } é um subespaço vetorial de R2. Justifique. 
 
7. Se V = R2 = {(x; y) / x, y ε R2}, verifique se V é um espaço vetorial. 
8. Verifique se W ={ (
 
 
) ε M2x2 / a = b ; c = d} é um subespaço vetorial do 
espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. 
9. Verifique se S = {(x, y, z) ε R3 / x + y + z = 0} é um subespaço vetorial de R3. 
10. Verifique se T = {(x, y) ε R2 / x = 5y - 3} é um subespaço vetorial de R2. 
11. Verifique se W = {(x, y) ε R2 / y = x4 } é um subespaço vetorial de R2. 
12. Verifique se W = (2, 7) é C.L. de u=(1,2) e v = (1,-1). 
13. Dados v1 = (1,1,0) e v2 = (0,1,1) em R
3
. Verifique se os vetores abaixo são CL 
de v1 e v2: 
a. V = (2,-1,-3) 
b. W = (0,2,1) 
14. No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau 2, verifique se v = x
2
 +1 é CL de 
v1= 1 e v2 = x+1 e v3 = x
2
 +x +1 
15. Se u = (-1, k, -7) determine k, para que u seja combinação linear de v1 = (1, -3, 
2) e v2 = (2, 4, -1) em R
2
. 
16. Verifique se W = (4, 14) é C.L. de u=(2,4) e v = (2,-2). 
 
GABARITO 
1. ⃗⃗⃗ = (4; -2) 
2. a = 2 e b = -3 
3. a. Sim ; b. Não 
4. a. (-1; 4; 3) 
b. (-24; -5; 5) 
c. √ 
5. ⃗⃗⃗ = (-4; 17) 
6. a. Sim ; b. Não 
7. É um espaço vetorial 
8. É um subespaço vetorial 
9. É um subespaço vetorial 
10. Não é um subespaço vetorial 
11. Não é um subespaço vetorial 
12. É uma combinação linear para a = 3 e b = - 1. 
13. a. É uma combinação linear para a = 2 e b = - 3. 
b. Não é uma combinação linear 
 
14. É uma combinação linear 
15. K = -7 
16. É uma combinação linear para a = 3 e b = - 1.