Aulas 1 Movimento v2016

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MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 1 1 
 
Fenômenos de 
Transferência 
EET-214 
 
versão 2016 
 
Prof. Marcelo Borges Mansur 
marcelo.mansur@metalmat.ufrj.br 
 
 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 2 
Programa 
 
(I) Transferência de quantidade de movimento (Mecânica dos fluidos) (6 semanas) 
(II) Transferência de calor (6 semanas) 
(III) Transferência de massa (3 semanas) 
 
Forma de Avaliação 
3 provas, frequência 75% obrigatória 
 
Bibliografia 
• Fenômenos de Transporte: fundamentos e aplicações nas Engenharias Metalúrgica e 
de Materiais V. Seshadri, R.P. Tavares, C.A. Silva, I.A. Silva, ABM. 
• Introdução à Mecânica dos Fluidos R.W. Fox, A.T. McDonald, P.J. Pritchard, LTC 
• Fundamentos da Transferência de Calor e Massa F.P. Incropera, D.P. DeWitt, LTC 
• Diffusion: mass transfer in fluid systems E.L. Cussler, Cambridge 
• Transport Phenomena R.B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot, John Wiley 
• Princípios da Transmissão de Calor F. Kreith, Ed. Edgard Blücher 
• Transport Phenomena in Metallurgy G.H. Geiger, D.R. Poirier, Addison-Wesley Publ. 
 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 3 
Fenômenos de Transferência 
Limitação termodinâmica: com que velocidade (taxa) os fenômenos ocorrem? 
 
 
 
 
 
Transferência de quantidade de 
movimento (momentum): escoamento 
de fluidos 
- Lei de Newton 
dx
dT
kqx 
dx
dC
Dj AABx,A 
dx
dVy
yx 
Transferência de calor 
- Lei de Fourier 
Transferência de massa 
- Lei de Fick 
 
 
 
 
 
 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 4 
Fenômenos de Transferência em Metalurgia 
Transferência de calor 
Solidificação do aço no 
lingotamento 
Transferência de calor 
Trocas térmicas entre gases e sólidos para 
determinar a taxa de aquecimento dos 
sólidos na sinterização e no alto-forno 
Transferência de massa 
Reações de redução dos óxidos de 
ferro no alto-forno e reações de 
dessulfuração e descarburação no 
refino 
Transferência de massa 
Difusão de hidrogênio no aço 
laminado 
Transferência de movimento 
Movimento dos gases ao longo dos leitos 
de sinterização e de alto-forno 
 
Transferência de movimento 
Escoamento do aço nas panelas de refino 
e no lingotamento 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 5 
Módulo I 
 
Transferência de Movimento 
Fundamentos 
- Fluidos, escoamento, tensões 
Abordagem integral (macroscópica) 
- Conservação de massa 
- Conservação de quantidade de movimento 
- Conservação de energia 
Aplicações em metalurgia 
- Escoamento interno (dutos, vazamento de panelas) 
- Escoamento externo (ao redor de esferas) 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 6 
Fundamentos 
• Fluidos 
– Substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma 
tensão de cisalhamento (tangencial), por menor que seja esta tensão 
Sólido 
Placa (móvel) 
Fluido 
Superfície (fixa) Superfície (fixa) 
Placa (móvel) 
t0 
t1 
t2 
t0 
t1 
Fluidos escoam e não conseguem preservar sua forma (assume a forma do recipiente), sólidos tendem a se 
deformar! Um sólido deforma-se quando uma tensão de cisalhamento é aplicada, mas sua deformação não 
aumenta continuamente com o tempo. Desde que o limite elástico do sólido não seja excedido, essa 
deformação é proporcional à tensão de cisalhamento 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 7 
Fundamentos 
• Métodos de análise 
 
– Sistema: quantidade fixa e identificável 
de massa, separada do meio externo por 
fronteiras definidas, fixadas ou móveis, 
através das quais não ocorre 
transferência de massa. Ex: conjunto 
pistão-cilindro (termodinâmica) 
 
– Volume de controle: volume arbitrário no 
espaço, através do qual fluidos escoam. 
O volume de controle é envolto por uma 
superfície de controle, que pode ser real 
ou imaginária, e pode estar em repouso 
ou em movimento. Ex: escoamento de 
fluidos em dutos 
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Fundamentos 
• Equações básicas 
– Princípios de conservação: massa, quantidade de movimento e energia 
– Leis básicas: 2ª lei de Newton, 1ª e 2ª leis da termodinâmica 
 
Leis básicas + Princípios de conservação Equações básicas 
• Abordagens: integral x diferencial 
– Volume de Controle (VC) finito: equações integrais 
– Volume de Controle (VC) infinitesimal: equações diferenciais 
• Métodos de descrição 
– Euleriano: avalia as propriedades de um escoamento qualquer em um 
ponto no espaço, em função do tempo 
– Lagrangiano: acompanha os elementos identificáveis de massa (ex: 
partículas) 
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• Dimensões e unidades 
- Dimensões básicas (SI): massa (M), comprimento (L), tempo (t) e temperatura (T) 
- Dimensões secundárias ou dependentes 
Fundamentos 
Quantidade Dimensão Unidade (SI) Natureza 
Massa 
Comprimento 
Tempo 
Temperatura 
Aceleração 
Velocidade angular 
Área 
Densidade 
Viscosidade dinâmica 
Viscosidade cinemática 
Energia, trabalho 
Força 
Quantidade de movimento 
Pressão 
Tensão 
Potência 
Calor específico 
Velocidade 
Volume 
M 
L 
t 
T 
L/t² 
1/t 
L² 
M/L³ 
M/Lt 
L²/t 
ML²/t² 
ML/t² 
ML/t 
M/Lt² 
M/Lt² 
ML²/t³ 
L²/t²T 
L/t 
L³ 
kg 
m 
s 
K (ºC) 
m/s² 
1/s 
m² 
kg/m³ 
kg/m.s 
m²/s 
J (N.m) 
N (kg.m/s²) 
kg.m/s 
Pa (N/m²) 
Pa (N/m²) 
W (N.m/s) 
J/kg.K 
m/s 
m³ 
escalar 
escalar 
escalar 
escalar 
vetorial 
vetorial 
escalar 
escalar 
escalar 
escalar 
escalar 
vetorial 
vetorial 
escalar 
tensorial 
escalar 
escalar 
vetorial 
escalar 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 10 
Fundamentos 
• Dimensões e unidades (cont.) 
Unidade Unidade do SI 
1 ft (pé) = 12 in 
1 in (polegada) 
1 lbm (libra massa) 
1 btu (unidade térmica britânica) 
1 cal (caloria) 
1 lbf = 1 slug.ft/s² 
1 kgf 
1 hp 
0,3048 m 
0,0254 m 
0,45359 kg 
1055 J 
4,184 J 
4,4482 N 
9,8 N 
745,7 W 
Alguns fatores de conversão importantes: 
100 373 212 672 
°C K °F °R 
0 273 32 492 
180
492R
180
32F
100
273K
100
C 






Outras unidades usuais: 
- dina: g.cm/s² (força) 
- poundal: lbm.ft/s² (força) 
- Pascal: N/m² (pressão) 
- J (joule): N.m (energia) 
- W (watt): J/s (potência) 
- erg: g.cm²/s² (energia) 
- slug = 32,2 lbm (massa) 
- poise: g/cm.s (viscosidade) 
- psia: lbf/in² (absoluta) 
- psig: lbf/in² (relativa ou manométrica) 
g = 9,8 m/s² = 32,2 ft/s² 
Livro texto!! 
- Fox, capítulo 1 
- Exemplos resolvidos 
- Texto complementar 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 11 
Fundamentos 
• Pressão 
Pressão é normalmente definida como a força 
por unidade de área, agindo na direção normal 
à superfície em consideração hLíquido
Área
Vácuo
gh
A
Ahg
A
Vg
A
mg
A
F
P 




Pressão absoluta = Pressão relativa + Pressão atmosférica 
12 hhh 
Texto complementar 
- Didático 
- Drive 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 12 
Fundamentos 
Fluidos são constituídos de moléculas em constante movimento 
 
 
Engenharia: interesse em efeitos macroscópicos de muitas moléculas 
 
efeitos que são mensuráveis 
 
fluido considerado substância divisível infinitamente 
 
meio contínuo (continuum) 
 
propriedades são funções contínuas do espaço e do tempo 
 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 13 
Fundamentos 
• Campo de velocidadeFluido em movimento  campo de velocidades 
 
 
 
 em que u, v e w são funções de x, y, z e t !!! 
 
Quando as propriedades em todos os pontos de um campo de escoamento 
não variam com o tempo  escoamento em regime permanente 
 
)t,z,y,x(VV


kˆwjˆviˆuV 

)z,y,x(ou0
t



)z,y,x(VVou0
t
V 




MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 14 
Fundamentos 
• Escoamento uni, bi e tridimensional 
 
Embora o campo de escoamento seja intrinsecamente tridimensional, análise 1-D 
ou 2-D são adequadas para fornecer soluções aproximadas, por exemplo: 
 
 
 
 
r 
x 
1-D 
2-D 
V = 0 na interface sólido-fluido 
(condição de não-deslizamento) 
 iˆaev bx  iˆeaxv bt2     jˆbyiˆtaxv 2     kˆz/1yxav 32/122    jˆbyztiˆaxyv Exemplo: Para os campos de velocidade abaixo, definir se o escoamento é uni, bi, ou tri-dimensional e permanente/transiente 
 
 
 
 
 
 
Escoamento 
permanente 
através de um 
tubo retilíneo com 
seção divergente 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 15 
Fundamentos 
Trajetórias: caminho traçado por uma partícula de fluido em movimento 
 
Linha de emissão (raias): linhas unindo partículas de fluido que passaram, 
em um dado momento, por um determinado ponto fixo no espaço 
 
Linhas de Fluxo ou de corrente: linhas traçadas no campo de escoamento 
de forma que, em um dado instante do tempo, elas são tangentes à direção do 
escoamento em todos os pontos no campo de escoamento 
 
 
 
 
 
 
Escoamento permanente  trajetórias, raias e linhas de fluxo são idênticas 
no campo de escoamento 
 
Escoamento transiente  trajetórias, raias e linhas de fluxo não coincidem 
no campo de escoamento 
 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 16 
Fundamentos 
• Campo de tensões 
As tensões resultam de forças agindo em alguma parte do meio. São 
necessárias 9 quantidades para especificar o estado de tensão de um fluido. 
Forças de superfície: forças agindo sobre as fronteiras de um meio por 
contato direto. Ex: pressão, atrito 
Forças de campo: forças desenvolvidas sem contato físico e distribuídas 
sobre o volume do fluido. Ex: gravitacional, eletromagnética 
 
A 
Ft 
Fn 
F 
C 
Tensão em um ponto 
A
F
limtensão
0A







A


F


A

 n

F


A


→ porção da superfície, em torno do ponto C, 
 na qual age 
 A orientação de é dada pelo vetor unitário normal 
→ pode ser decomposta em duas componentes, 
 uma normal e a outra tangente à superfície 
n
n
0A
n
A
F
lim
n 


 n
t
0A
n
A
F
lim
n 



Tensão normal Tensão de cisalhamento 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 17 
Fundamentos 
• Campo de tensões 
Quantidades vetoriais  sistemas de coordenadas ortogonais 
Coordenadas cartesianas  tensões agindo em planos cujas normais direcionadas para 
 fora estão nas direções x, y e z 
y
z
x
F
y
C
F
x
F
z

xy
C

xx

xz
y
x
z
x
x
0A
xx
A
F
lim
x 



x
y
0A
xy
A
F
lim
x 



x
z
0A
xz
A
F
lim
x 
















zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 18 
Fundamentos 
• Campo de tensões 
y 
x 
z 
τxy 
σxx 
τxz 
σyy 
τyx 
τyz 
τzy 
τzx 
σzz 
O primeiro índice indica o plano no qual 
a tensão atua e o segundo índice indica a 
direção a qual a tensão atua 
Origem das tensões: 
 
- Para o sólido, as tensões são 
desenvolvidas quando um material é 
deformado ou cisalhado elasticamente 
 
- Para um fluido, as tensões de 
cisalhamento aparecem devido ao 
escoamento viscoso 
 
- Para um fluido em repouso, não há 
tensões de cisalhamento 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 19 
Fundamentos 
• Classificação dos fluidos 
Fluidos podem ser classificados em função da relação entre a tensão aplicada e a taxa de 
deformação do mesmo 
 
 
y
x
y
x

l
M M' P P'
N O
Força, F
x
velocidade, u
elemento fluido
no tempo t + dt
elemento fluido
no tempo t
y
x
y
x
0A
yx
dA
dF
A
F
lim
y





Durante o intervalo de tempo t, o 
elemento fluido é deformado da posição 
MNOP para a posição M’NOP’ 
dt
d
t
limdeformaçãodetaxa
0t






Para avaliar yx, deseja-se expressar 
d/dt em termos de quantidades 
mensuráveis !! 
y
u
t 



 dy
du
dt
d
yx 


Distância entre os pontos M e M’: l = u t (*) 
Para ângulos pequenos:   tan() = l / y 
 l = y  (**) 
 
Igualando para l: 
Tomando-se o limite em ambos 
os lados da igualdade: 
Portanto, o elemento fluido quando 
submetido a uma tensão de cisalhamento 
yx sofre uma deformação cuja taxa é 
proporcional a du/dy !! 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 20 
Fundamentos 
• Classificação dos fluidos 
τ 
du/dy 
μ2 > μ1 Newtoniano 
μ1 Newtoniano 
Plástico de 
Bingham 
Fluido expansível 
(dilatante) 
Pseudoplástico 
Fluidos Newtonianos 
Fluidos para os quais a tensão 
de cisalhamento é diretamente 
proporcional à taxa de 
deformação 
 
Fluidos Não-newtonianos 
Fluidos para os quais a tensão 
de cisalhamento não é 
proporcional à taxa de 
deformação 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 21 
Fundamentos 
• Classificação dos fluidos 
Fluidos Newtonianos 
A tensão é diretamente proporcional à taxa de deformação 
 
Deformação de fluidos Newtonianos diferentes: água e glicerina 
 
Glicerina irá apresentar maior resistência à deformação que a água 
 
Diz-se que a glicerina é mais viscosa que a água 
dy
du
yx 
 = viscosidade absoluta (ou dinâmica) 
 
A viscosidade é uma medida do cisalhamento viscoso, que, por sua vez, resulta da troca 
de quantidade de movimento entre moléculas em constante movimento   = (T) 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 22 
Fundamentos 
• Classificação dos fluidos 
Fluidos Não-newtonianos 
n
yx
dy
du
k
Modelos de potência 
dy
du
dy
du
dy
du
k
1n
yx 

 = viscosidade aparente 
Pseudoplástico: fluido para o qual a viscosidade 
aparente diminui com o aumento da taxa de 
deformação. Ex: soluções de polímeros de alto peso 
molecular, polpa de papel e tintas de impressoras 
 
Dilatante: fluido para o qual a viscosidade aparente 
aumenta com o aumento da taxa de deformação. Ex: 
suspensões de amido, suspensões de areia 
 
Plástico de Bingham: fluido que se comporta como 
um sólido até que uma tensão crítica mínima seja 
excedida e, subsequentemente, exibe uma relação 
linear entre tensão e taxa de deformação. Ex: 
suspensões de argila, pasta de dentes, cimentos 
Tixotrópico: fluidos que apresentam diminuição 
na viscosidade aparente com o tempo, sob a 
aplicação de tensão de cisalhamento constante. 
Ex: algumas tintas, margarina, creme de 
barbear, ketchup 
 
Reopético: fluidos que apresentam aumento na 
viscosidade aparente com o tempo, sob a 
aplicação de tensão de cisalhamento constante. 
Ex: clara de ovo, Maionese 
 
Viscoelástico: fluido que retorna parcialmente 
ao estado original após deformação, quando a 
tensão aplicada é retirada. Ex: alguns 
shampoos, leite condensado, gelatina em águaMBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 23 
Fundamentos 
• Descrição e classificação de escoamentos de fluidos 
Escoamento não-viscoso 
os efeitos de viscosidade são desprezados, ou seja, a viscosidade do fluido é suposta nula 
 
Escoamento viscoso 
camada limite
x
y
U U U
No escoamento viscoso, o fluido em contato direto com uma superfície sólida tem a mesma 
velocidade que a superfície, logo, não há deslizamento na superfície !! 
 
Pode-se dividir o escoamento em duas regiões distintas: na região adjacente à superfície, tensões de 
cisalhamento estão presentes (gradientes de velocidade, du/dy), e esta região é denominada camada 
limite. Fora da camada limite o gradiente de velocidade é zero, e, nesta região, pode-se aplicar a 
teoria de escoamento não-viscoso para analisar o escoamento. 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 24 
Fundamentos 
• Descrição e classificação de escoamentos de fluidos 
Escoamento laminar e turbulento 
No regime laminar, a estrutura do escoamento é caracterizada pelo movimento em lâminas ou 
camadas, não havendo mistura macroscópica de camadas de fluido adjacentes. A estrutura do 
escoamento no regime turbulento é caracterizada pelo movimento tridimensional aleatório das 
partículas do fluido sobreposto ao movimento médio do fluido. 





VDVD
Re
Representa a razão entre as forças de inércia (favorável ao movimento) e 
viscosas (desfavorável ao movimento). 
 
Laminar: forças viscosas >>> forças de inércia  Re pequeno 
 
Turbulento: forças viscosas <<< forças de inércia  Re grande 
Nº de Reynolds 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 25 
Fundamentos 
• Descrição e classificação de escoamentos de fluidos 
Escoamento incompressível e compressível 
Escoamento incompressível é aquele no qual variações na densidade são desprezíveis. Ex: líquidos 
em geral e gases com número de Mach M < 0,3 (M  V/c, onde V é a velocidade do fluido e c a 
velocidade do som). Escoamento compressível é aquele no qual variações na densidade são 
significativas. Ex: gases com M > 0,3 
Escoamentos interno e externo 
Livro texto!! 
- Fox, capítulo 2 
- Estudar exemplo 2 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 26 
Equações básicas na forma integral para um volume de controle 
Volume de controle  sistema ? 
  
meios fluidos são capazes de distorções e 
deformações contínuas com o tempo 
  
difícil identificar e acompanhar a mesma massa 
de fluido em todos os instantes 
  
Na maioria das vezes, estamos interessados no 
efeito do movimento de um fluido sobre um 
dispositivo ou uma estrutura 
abordagem de Engenharia: macroscópica 
3 
volume de controle 
1 2 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 27 
Leis básicas para um sistema 
• Conservação de massa 
A conservação da massa exige que a massa, M, do sistema seja constante: 
 
 
 
• 2ª lei de Newton 
A soma de todas as forças externas atuando sobre o sistema é igual à taxa de variação com o tempo 
de sua quantidade de movimento linear: 
 
 
 
• Princípio da quantidade de movimento angular 
A taxa de variação da quantidade de movimento angular é igual à soma de todos os torques 
atuando sobre o sistema: 
 
 
 
0
dt
dM
sistema

   ddmM Msistema
em que 
sistema
dt
Pd
F



em que 
   dVdmVP Msistema

sistema
dt
Hd
T



em que 
    dVrdmVrH Msistema

MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 28 
Leis básicas para um sistema 
• 1ª lei da termodinâmica 
Trata-se da conservação de energia em um sistema: 
 
 
 
 
u = energia interna específica 
  calor é adicionado ao sistema pelo meio ambiente ao seu redor 
  trabalho é realizado pelo sistema sobre o meio ambiente 
 
 
• 2ª lei da termodinâmica 
Se uma quantidade de calor for transferida para um sistema à temperatura T, então a variação de 
entropia do sistema satisfaz a relação: 
 
 
 
 
 
 
em que 
ou em termos de taxa 
sistemadt
dE
WQ      deedmE Msistema
gz
2
V
ue
2

0Q 
0W 
T
Q
dS


T
Q
dt
dS 

em que 
   dssdmS Msistema
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 29 
Relação entre as derivadas do sistema e formulação para o 
volume de controle 
N = propriedade extensiva do sistema 
 = propriedade intensiva (propriedade extensiva por unidade de massa) 
    ddmN Msistema
sSN
eEN
VrHN
VPN
1MN







Como deduzir uma descrição para volume de controle a partir da 
descrição de sistema de escoamento? 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 30 
Relação entre as derivadas do sistema e formulação para o 
volume de controle 
II
III
I
linhas de corrente
no tempo t
0
y
x
z
y
x
z
sub-região (1)
sub-região (3)
volume de
controle
sistema
tempo t
0
tempo t
0
 +t
Sistema: consiste das mesmas partículas fluidas 
e, consequentemente, deve mover-se com o 
campo de escoamento. 
 
Volume de controle (fixo no espaço em relação ao 
sistemas de coordenadas xyz) 
 
Massa cruza a fronteira do VC 
 
Variação da propriedade N 
O sistema é escolhido de forma que a massa na região I entra no 
volume de controle durante o intervalo de tempo t, e a massa na 
região III deixa o volume de controle durante o mesmo intervalo: 
em t0 + t: o sistema ocupa as regiões II e III 
 
em t0: sistema e volume de controle coincidem 
     
ttIIIIvcttIIIIItts 000
NNNNNN


   
00 tvcts
NN 
   
t
NN
dt
dN
00 tstts
0tsistema
lim 




Substituindo:    
t
NNNN
lim
dt
dN 00 tvcttIIIIvc
0ts 




       
     321
t
N
lim
t
N
lim
t
NN
lim
dt
dN ttI
0t
ttIII
0t
tvcttvc
0ts
0000













MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 31 
Relação entre as derivadas do sistema e formulação para o 
volume de controle 
       
     321
t
N
lim
t
N
lim
t
NN
lim
dt
dN ttI
0t
ttIII
0t
tvcttvc
0ts
0000













Termo (1): 
   
 









vc
vctvcttvc
0t
d
tt
N
t
NN
lim
00
Termo (2): Vista ampliada de uma sub-região típica da região III 
Fronteira do sistema 
no tempo to + t

V

Superfície de controle 
III

dA

       dAcosddAcosdNd ttttttIII 000   
   
ttsctt
III
0
III0
dAcosN

   
 
 




 

 


III
III
III0
sc
sc
0t
sc
0t
ttIII
0t
AdcosV
dAcos
t
lim
t
dAcos
lim
t
N
lim


scIII = superfície comum à região III e ao volume de controle 
 = distância percorrida, durante o intervalo de tempo t e 
ao longo de uma linha de corrente existente em t0, por 
uma partícula fluida que estava sobre a superfície do 
sistema nesse mesmo instante 
AddAeV
t
lim
0t





MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 32 
Relação entre as derivadas do sistema e formulação para o 
volume de controle 
Termo (3): Vista ampliada de uma sub-região típica da região I 
dA

Ad

V

(1)
superfície de
controle I
fronteira do sistema
no tempo t
0
 + t
linha de corrente
no tempo t
0
Para a sub-região (1): 
   
   tt
ttttI
0
00
dAcos 
dNd




 dAcosd  
  
sinal negativo: 
2

 (sempre!!!!) 
 
logo: cos < 0 
 
Como volume é uma quantidade 
escalar necessariamente positiva: 
 
- cos 
Para toda região I: 
   
ttsctt
I
0
I0
dAcosN

  
 
 




I
0
sc
ttI
0t
AdcosV
t
N
lim

MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 33 
Relação entre as derivadas do sistema e formulação para o 
volume de controle 
Finalmente: 
   



IIII scscvc
s
AdcosVAdcosVd
tdt
dN 
Superfície de controle sc: 
pIIII scscscsc 
em que scp é caracterizada pela inexistência de fluxo através da superfície   = /2 ou 0V 
Desta forma: 
  


 scvc
s
AdcosVd
tdt
dN 
AdVAdcosV


  


 scvc
s
AdVd
tdt
dN 
sdt
dN
 


vc dt
 sc AdV

AdV


E a equação final é: 
 
Interpretação física da equação: 
é a taxa de variação com o tempo da propriedade extensiva arbitrária N dentro do 
volume de controle 
é a taxa líquida de fluxo da propriedade extensiva N através da superfície de controle 
o produto indicado é escalar; o sinal depende do sentido do vetor velocidade em 
relação ao vetor área 
é a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva arbitrária do sistema 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 34 
Conservação de massa 
Relação entre sistema e volume de controle: 
  


 scvc
s
AdVd
tdt
dN 
Previamente estabelecido: N = M   = 1 
 
Desta forma: 
  


 scvc
s
AdVd
tdt
dM 
Para sistema: 
0
dt
dM
s

Portanto, o princípio de conservação de massa para volume de controle é representado por: 
  


 scvc AdVdt
0

0AdV 

0AdV 

0AdV 

Primeiro termo: taxa de variação de massa dentro do volume de controle 
Segundo termo: taxa de fluxo de massa ou vazão em massa através da superfície de controle 
 
fluxo para fora através da superfície de controle 
fluxo para dentro através da superfície de controle 
fluxo tangente à superfície de controle 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 35 
Conservação de massa 
Casos especiais 
 
Escoamento incompressível  massa específica constante 
  = constante  não é função do tempo e do espaço !!! 
Portanto, 
  


  


 scvcscvc AdVdt
0AdVd
t
0

 vc d
 


 sc AdVt
0

em que 
Logo: 
Para um volume de controle não deformável, 
tetancons
  sc AdV0

Importante: equação válida para escoamento incompressível, em regime 
permanente ou transiente !!! 
 sc AdV

  sc AdV0

 taxa de fluxo de volume ou vazão em volume 
 para escoamento incompressível, a vazão em volume para dentro de um volume de 
controle deve ser igual à vazão em volume para fora do volume de controle. 
Vazão Q: 
  A AdVQ

Magnitude da velocidade média, , em uma seção: 
V
  A AdVA
1
A
Q
V

MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 36 
Conservação de massa 
Casos especiais 
 
Escoamento permanente compressível 
  sc AdV0

para escoamento compressível, em regime permanente, a vazão em massa para dentro de um volume de 
controle deve ser igual à vazão em massa para fora do volume de controle. 
 
Escoamento incompressível uniforme em uma seção n  velocidade constante através de toda a área da 
seção n: 
   cosAVAdVouAVAdV nnnAnnnA nn

0AdV 

0AdV 

 massa escoa para fora através da superfície de controle 
 massa escoa para dentro através da superfície de controle 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 37 
Conservação de massa 
1. Considerar o escoamento permanente de água ( = 1000 kg/m3) através do dispositivo 
abaixo. As áreas são: A1= 0,2 m
2, A2= 0,5 m
2 e A3= A4= 0,4 m
2. A vazão em massa 
através da seção (3) é dada como 0,4 kg/s. A vazão em volume entrando pela seção (4) 
é de 0,1 m3/s, e Determine a velocidade de escoamento na seção (2). 
s/miˆ0,1V1 

1
4
3
2
30o
60o
x
y
Considerações: 
(1) Escoamento permanente (dado) 
(2) Escoamento incompressível (água) 
(3) Propriedades uniformes em cada seção em que o 
fluido cruza as fronteiras do VC 
  


 scvc AdVdt
0

Para escoamento permanente: 
  sc AdV0

Volume de controle: 4 seções em que a massa flui através da superfície de controle 
0AdVAdVAdVAdVAdV
4321 AAAAsc
     

Para propriedades 
uniformes em cada 
área e  = constante: 
11AA AVVdAAdV 11
  


1V

1A

MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 38 
Conservação de massa 

3V

3A

333AA mAVVdAAdV 33


  

4A

4V

444AA QAVVdAAdV 44
  

s/kg6,2991,010004,02,011000QmAVAdV 4311A2
  

s/kg6,299AVAdV 22A2


s/m5992,0
A
6,299
V
2
2 


s/mjˆ5992,0V2 

MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 39 
Conservação de massa 
2. O fluido em contato direto com uma fronteira sólida estacionária tem velocidade zero, ou 
seja, não há deslizamento na fronteira. O escoamento sobre uma placa plana adere à 
superfície da placa e forma uma camada limite, como mostrado na figura abaixo. O 
escoamento à montante da placa é uniforme com velocidade U = 30 m/s. A distribuição 
de velocidades dentro da camada limite (0 ≤ y ≤ ) ao longo de cd é aproximada por 
 
 
 
e a espessura da camada limite na posição d é  = 5 mm. O fluido é o ar, com massa 
específica  = 1,24 kg/m³. Supondo que a largura da placa perpendicular ao eixo y seja 
w = 0,6 m, calcular a vazão em massa através da superfície bc do volume de controle 
abcd. 
 
2
yy
2
U
u















x
y
U
U
VC
a d
b c
borda da camada
limite
s/kg0372,0mbc 
Resposta: 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 40 
Conservação de massa 
3. No escoamento incompressível através do dispositivo mostrado na figura abaixo, as 
velocidades podem ser consideradas uniformes ao longo das seções de entrada e de 
saída. Se o fluido em escoamento é a água, determinar uma expressão para a vazão de 
massa na seção (3). As seguintes condições são conhecidas: A1 = 0,1 m
2, A2 = 0,2 m
2, A3 
= 0,15 m2, V1 = 5 m/s, V2 = 10+5 cos(4t) m/s 
 
Definição do volume de controle: 
 
 
 
 
 
4. Água escoa em regime permanente através de um tubo de comprimento L e raio R = 3 m. 
Calcule a velocidade uniforme na entrada, U, se a distribuição de velocidade na saída é 
dada por: 
 
 
5. Água é drenada de um tanque cilíndrico com 0,3 m de diâmetro, por um furo no fundo. No 
instante em que a profundidade da água é 0,6 m, a vazão em massa é observada como 
sendo 4 kg/s. Determine a taxa de variação do nível da água neste instante. 
y
escoamento
1
3
2
x
escoamento
VOLUME DE CONTROLE







2
2
max
R
r
1uu
Resposta: U = umax/2 
Resposta: - 5,66 x 10-2 m/s 
s/kg)t4cos(10002500m3 
Resposta: 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 41 
Conservação de quantidade de movimento 
Relação entre sistema e volume de controle: 
  


 scvc
s
AdVd
tdt
dN 
Previamente estabelecido: 
 
Desta forma: 
Para sistema: 
Portanto, o princípio de conservação de quantidade de movimentopara volume de controle é 
representado por: 
Primeiro termo: taxa de variação de quantidade de movimento dentro do volume de controle 
Segundo termo: taxa líquida de fluxo de quantidade de movimento saindo da superfície de controle 
VPN


  


 scvc
s
AdVVdV
tdt
Pd 

sistemaosobre
s
F
dt
Pd 


Para a situação em que o sistema coincide com o volume de controle: 
controledevolumeosobresistemaosobre
FF


A força resultante inclui todas as forças de campo e de superfície atuando sobre o sistema: F
BS FFF


  


 scvcBS AdVVdVt
FFF

MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 42 
Conservação de quantidade de movimento 
Todas as forças (e momentos) agindo sobre o volume de controle devem ser mostradas de forma tal que 
possam ser consideradas sistematicamente na aplicação das equações básicas!! 
 
B
 = forças de campo  por unidade de massa: 
  vcB dBdmBF

Se força da gravidade for única força de campo atuante  força de campo por unidade de massa é 
g

A força de superfície decorrente da pressão é: 
  AS ApdF

A equação da quantidade de movimento é vetorial: 
  


 scvcBSx AdVudut
FFF
xx

  


 scvcBSy AdVvdvt
FFF
yy

  


 scvcBSz AdVwdwt
FFF
zz

Os sentidos positivos das componentes da velocidade u, v e w, e as componentes das forças Fx, Fy e Fz, 
são estabelecidos em relação ao sistema de coordenadas. 
 
Etapas para determinar o fluxo de quantidade de movimento através de uma porção qualquer de uma 
superfície de controle: 
 
 1) Determinar o sinal de AdV    cosVdAcosVdAAdV 
2) Determinar o sinal de cada componente da velocidade u, v e w:   cosVdAuAdVu 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 43 
Conservação de quantidade de movimento 
6. A água que sai de um bocal estacionário atinge uma placa plana. A água deixa o bocal a 
15 m/s e a área do bocal é 0,01 m2. Supondo que a água é dirigida normal à placa, e que 
flui ao longo desta, determine a força horizontal sobre o suporte da placa. 
bocal 
placa 
Solução: 
Definir sistema de coordenadas e escolher volume de controle 
adequado: a água proveniente do bocal cruza a superfície de controle 
através da área A1 (considerada igual à área do bocal), e considera-se 
que a mesma deixa o VC tangencialmente à superfície da placa no 
sentido +y ou -y. 
Equações Básicas: 
  


 scvc AdVdt
0

  


 scvcBS AdVVdVt
FFF

Considerações: 
(1) Escoamento permanente 
(2) Escoamento incompressível 
(3) Escoamento uniforme em cada seção em que o fluido cruza as 
fronteiras do VC 
Para escoamento permanente: 




sc
BS
sc
AdVVFFF
0AdV


MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 44 
Conservação de quantidade de movimento 
bocal 
placa 
y 
 
 x 
A 
VC1 
VC1 selecionado de forma que a área da 
superfície esquerda, A, seja igual à área da 
superfície direita. O diagrama de forças 
atuando sobre VC1 é mostrado ao lado: 
P
a
P
a
R
x
R
y
M
z
x
y
W
VC1 corta o suporte 
 
Rx > 0 e Ry > 0 = componentes da força de 
reação do suporte sobre o 
VC 
Mz = momento de reação (em relação ao 
eixo z) do suporte sobre o VC 
 
A pressão atmosférica age sobre todas as 
superfícies do VC 
 
W = força de campo 
F horizontal?  componente x da eq. quantidade de movimento: 
 
 como então 
  scBSx AdVuFFF xx

0F
xB
   scS AdVuF x

Forças de superfície, FS, atuando sobre o volume de controle: 
FS = Rx 
)positivaaconsiderad(
controledevolume
osobreortesupdoforça
direitaerfíciesup
asobre)negativosentido(
esquerdaparaatua;aatmosféric
pressãoàdevidoforça
esquerdaerfíciesup
asobre)positivosentido(
direitaparaatua;aatmosféric
pressãoàdevidoforça
xaa RAPAP 
  
1Ascx
AdVuAdVuR

  dAVudAVuR 11A 1x 1   mkg
sN
m01,0
s
m15
m
kg
999
s
m15R
2
2
3x



kN25,2Rx 
 atua no sentido oposto ao considerado 
A força horizontal, Kx, atuando sobre o suporte é: kN25,2RK xx 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 45 
Conservação de quantidade de movimento 
bocal placa 
y 
 
 x 
Ap 
VC2 
F horizontal?  componente x da eq. quantidade de movimento: 
VC2 selecionado de forma que as áreas 
das superfícies esquerda e direita sejam 
iguais à área da placa Ap. O diagrama de 
corpo livre para VC2 é apresentado na 
figura ao lado: 
B
xp
a
Bx = força de reação horizontal da placa sobre 
o VC (considerada positiva) 
 
A pressão atmosférica age sobre a superfície 
esquerda do VC (e sobre as duas superfícies 
horizontais) 
 
A força de campo não tem componente na 
direção x 
  scS AdVuF x
   kN25,2dAVudAVuBApF 11A 1xpaS 1x  
kN25,2ApB pax 
Para determinar a 
força líquida sobre a 
placa, é necessário 
construir um 
diagrama de corpo 
livre da placa: 
W
R
x
M
z
R
y
P
a
B
x
P
a
  xpaxx RApB0F
  kN25,2ApkN25,2ApRApBR papaxpaxx 
kN25,2RK xx 
Portanto, a força horizontal sobre o suporte é: 
Observar que a escolha de VC2 resultou na 
necessidade de um novo diagrama de corpo livre. Em 
geral, é vantajoso selecionar o volume de controle de 
forma que a força haja explicitamente sobre o 
volume de controle. 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 46 
Conservação de quantidade de movimento 
7. Considere o problema simplificado de escoamento de água sobre uma placa plana de comprimento L 
e largura w conforme mostrado na figura. Na borda da placa a velocidade é uniforme e igual a U. Ao 
final da placa a velocidade apresenta variação linear. Utilizando os princípios de conservação de 
massa e quantidade de movimento, avalie a tensão de cisalhamento sobre a placa. Considerar que a 
pressão é uniforme ao longo do escoamento. 
 
 
 
 
 
8. Uma bomba a jato d’água tem área de 0,01 m2 e velocidade do jato de 30 m/s. O jato fica dentro de 
uma corrente secundária de água com velocidade Vs = 3 m/s. A área total do duto (a soma das áreas 
do jato principal e da corrente secundária) é de 0,075 m2. A água é totalmente misturada e deixa a 
bomba como um escoamento uniforme. As pressões do jato e da corrente secundária são iguais na 
entrada da bomba. Determine a velocidade na saída da bomba e o aumento de pressão, P2 - P1. 
 
Resposta: P2 - P1 = 84240 Pa 
Resposta: 
UU
h
(1)
(2)
(3)
(4)
L

V
s
 = 3 m/s
V
j
 = 30 m/s
L6
hU2
yx


MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 47 
Conservação de quantidade de movimento 
9. Água está escoando em regime permanente através de um cotovelo de 180o, conforme mostrado. Na 
entrada do cotovelo a pressão manométrica é 96 KPa. A água descarrega à pressão atmosférica. 
Admita que as propriedades são uniformes nas áreas de entrada e de saída (A1 = 2600 mm
2; A2 = 650 
mm2 e v1 = 3,05 m/s. Determine a componente horizontal da força necessária para manter o cotovelo 
no lugar. 
 
 
 
 
10. Apresenta-se na figura abaixo um cotovelo redutor de 30º. O fluido é a água. Avalie as componentes 
da força que deve ser provida pelos tubos adjacentes para manter o cotovelo no lugar. 
 
Resposta: Rx = -1040 N; Ry = -667 N 
Resposta: Rx = - 370,5 N 
(1)
(2)
1 2 30o
V
2p
2
=120 KPa (abs)
A
2
= 0,0081 m 2
p
1
=200 KPa (abs)
A
1
= 0,0182 m 2
Q = 0,11 m3/s
massa do joelho, M = 10 kg
volume interno, V = 0,006m3
g
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 48 
Conservação de energia 
Relação entre sistema e volume de controle: 
  


 scvc
s
AdVd
tdt
dN 
Previamente estabelecido: 
 
Desta forma: 
Para sistema: 
sistemadt
dE
WQ  
em que 
   )sistema()sistema(Msistema deedmE
gz
2
V
ue
2

0Q 
0W 
 calor é adicionado ao sistema 
pelo meio que o cerca 
 trabalho é realizado pelo 
sistema sobre o meio que o 
cerca 
eEN 
  


 scvc
s
AdVede
tdt
dE 
Para volume de controle coincidindo com sistema em t = t0:     controledevolumesistema WQWQ  
Primeira Lei da Termodinâmica para volume de controle: 
  


 scvc AdVedet
WQ


gz
2
V
ue
2

em que: Essa formulação ainda não é adequada e conveniente na 
 aplicação da 1ª lei da termodinâmica, logo examinaremos 
 o termo referente à taxa de trabalho a seguir: 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 49 
Conservação de energia 
Taxa de trabalho realizado por um VC 
outrostocisalhamennormalS WWWWW
 
SW

Trabalho de eixo = geralmente associado com a energia fornecida ou produzida pelo VC 
sdFW

 sd
 em que é uma distância infinitesimal 
VFW
t
sdF
lim
t
W
limW
0t0t



 







(i) Taxa de trabalho realizado por tensões normais 
VAdVFd nn


Trabalho realizado sobre o volume de controle  0Wnormal  AdVVAdW sc nnsc nnnormal    
(ii) Trabalho realizado por tensões de cisalhamento na SC 
 
Força de cisalhamento: = vetor tensão de cisalhamento dAFd   
dAVVdAW scsctocisalhamen   

dAVdAVdAVW )aberturas(A)sólidaerfície(supA)eixos(Atocisalhamen    

S)eixos(A WdAV


 
0dAV0V )sólidaerfície(supA  

Em superfícies sólidas: 
Termo já considerado anteriormente !! 
Então: 
dAVW )aberturas(Atocisalhamen  

Que é nulo caso a superfície de controle seja perpendicular ao 
escoamento !! 
Assim, para uma superfície de controle perpendicular a 
V

0W0V tocisalhamen 


Outros trabalhos (i) energia elétrica, (ii) energia eletromagnética (laser, radar) 
Trabalho realizado por forças agindo sobre a SC (normais e cisalhamento): 
outrostocisalhamensc nnS WWAdVWW


  
Portanto: 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 50 
Conservação de energia 
Equação do Volume de Controle: 
  


  scvcoutrostocisalhamensc nnS AdVedet
WWAdVWQ




Substituindo o volume específico  no último termo: 


1
AdVAdV sc nnsc nn

  
Portanto, 
AdVAdVede
t
WWWQ sc nnscvcoutrostocisalhamenS

    



   


 sc nnvcoutrostocisalhamenS AdVedet
WWWQ


Para a maioria dos escoamentos de interesse comum da engenharia: pnn 
p = pressão termodinâmica. Portanto, 
   


 scvcoutrostocisalhamenS AdVpedet
WWWQ


gz
2
V
ue
2

MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 51 
Conservação de energia 
11. Ar na condição padrão (P = 101 KPa, T = 15oC) entra em um compressor a 75 m/s e sai com uma 
velocidade de 125 m/s, à pressão e temperatura absolutas de 200 KPa e 345 K, respectivamente. A 
vazão em massa é de 1 kg/s. A água de refrigeração que circula em volta da carcaça do compressor 
remove 18 kJ/kg de ar. Determine a potência requerida pelo compressor. Considerar que o ar se 
comporta como gás ideal. Dados: Cp = 1 KJ/kg.K 
 
 
(1)
(2)
VC
Q 125 m/s
75 m/s
Considerações: 
1) regime permanente 
2) somente trabalho de eixo está presente 
3) o ar se comporta como gás ideal (h = cpT) 
4) variações no parâmetro z são desprezíveis 
Definição 
do VC: 
Conservação da massa: 
Ad.vd
t
0
SCVC

 


0 (1) 
s/kg1mmAv0AvAvAd.v 2111222111
SC
 

Conservação da energia: 
Ad.vpgz
2
v
ude
t
WWWQ
SC
2
VC
outrosciseixo
  









0 (2) 0 (1) 












 2
2
2
22221
2
1
1111eixo gz
2
v
pumgz
2
v
pumWQ 
Definição de entalpia: 
 puh  





 21
2
2
2
1
21eixo zzg
2
v
2
v
hhmQW 
0 (4) 
 21p21 TTchh 
 
   

















s
kg
1.
m.N
kJ
1000
1
m.kg
s.N
s
m
2
125
2
75
K345288
K.kg
kJ
1
s
kg
1
s
kg
1.
kg
kJ
18W
2
2
222
eixo

o calor foi considerado negativo por que sai do VC (o sinal negativo 
indica que a potência deve ser fornecida ao VC) 
kW80Weixo 

em que 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 52 
Conservação de energia 
 
12. Uma turbina é alimentada com 0,6 m3/s de água por meio de um tubo com 0,3 m de diâmetro. O tubo 
de descarga tem diâmetro de 0,4 m. Determine a queda de pressão através da turbina, se ela fornece 
60 kW. Considerar a densidade da água igual a 1000 kg/m3 Resposta: 75,4 KPa 
 
13. Uma bomba retira água de um reservatório através de um tubo de aspiração de 150 mm de diâmetro 
e a descarrega para um tubo de descarga de 75mm de diâmetro. A extremidade do tubo de aspiração 
está 2 m abaixo da superfície livre do reservatório. O manômetro no tubo de descarga (2 m acima da 
superfície do reservatório indica 170 kPa. A velocidade média no tubo de descarga é de 3 m/s. Se a 
eficiência (razão entre o trabalho necessário e o trabalho fornecido) da bomba for de 75%, determine 
a potência necessária para acioná-la Resposta: 3,42 KW 
 
14. Apresenta-se na figura o escoamento de água a 0,5 m3/s através de uma turbina. As pressões 
medidas nas seções (1) e (2) são 180000 Pa e -20000 Pa, respectivamente. Determine a potência 
fornecida pelo escoamento à turbina Resposta: 132 KW 
 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 53 
Aplicações em metalurgia 
• Escoamento interno: tubulações, contrações/expansões, válvulas, 
vazamento de panelas 
– Exemplos: bombeamento de líquidos, perda de carga, escoamento em canais, 
extrusão de polímeros em matrizes, esvaziamento de aço líquido em panelas 
na aciaria ou no lingotamento 
– Interesse: obter uma relação entre a queda de pressão, gravidade e vazão 
volumétrica do fluido com a geometria do sistema 
• Escoamento externo ao redor de esferas 
– Exemplo: movimento de inclusões no aço líquido 
– Interesse: saber a relação entre a velocidade de aproximação do fluido e a força 
de arraste do fluido sobre a partícula 
Força de arraste 
ou de atrito Fk 
 
Fk = A K f 
Fk força de arraste ou atrito entre fluido e sólido 
A área característica 
K energia cinética do fluido por unidade de volume 
f fator de fricção ou coeficiente de arraste 
Perdas por fricção!!! 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 54 
    f
2
V
DLFPP
4
D 2
kL0
2








Fator de fricção 
Área da superfície 
molhada ou área de 
contato fluido-sólido 
Energia cinética do fluido por unidade 
de volume avaliada em função da 
velocidade média do fluido 
Parâmetro avaliado 
experimentalmente 
relacionado à variação de 
pressão (energia) entre 2 
pontos da linha 
0 L 
L 
D 
2
L0
V
D
L2
PP
f



Usada para obter f a partir de 
dados experimentais 
Força associada à diferença de pressão = Força de fricção entre sólido efluido 
Consideração: 
(1) Regime permanente 
(2) Tubo horizontal 
(3) Diâmetro constante 
(4) Escoamento incompressível 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 55 
Fator de fricção 
f 
Re 
laminar transição 
turbulento D














 

Re
9,6
7,3
D
log6,3
f
1
11,1
Haaland (1983) 
R
u
g
o
s
id
a
d
e
 r
e
la
ti
v
a
 
Diagrama de Moody: fator de fricção para tubos 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 56 
Fator de fricção 
Material Rugosidade (mm) 
Aço comercial 0,046 
Ferro galvanizado 0,15 
Ferro fundido 0,259 
Concreto 0,3-3 
PVC 0,05 
Rugosidade para materiais usados na fabricação de tubos (Geiger & Poirier, 1980) 
Medido experimentalmente 
usando um perfilômetro 
 
Daí a condição de não 
escorregamento na superfície 
sólido-fluido (V = 0) 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 57 
Equação de Bernoulli 
- Escoamento em regime permanente 
- Válida para diversas situações práticas 
  


 scvc AdVdt
0

1 2 
P1 
V1 
A1 
z1 
u1 
Balanço 
de massa 
P2 
V2 
A2 
z2 
u2 
0 
Balanço de 
energia 
mAVAV 222111 
 















sc
2
vc
2
AdVpgz
2
V
udgz
2
V
u
t
WQ


0 
  0
m
Q
uu
m
W
2
VV
zzg
PP
12
2
1
2
2
12
1
1
2
2 















 


  0E
m
W
2
VV
zzg
PP
f
2
1
2
2
12
1
1
2
2 









 

Ef = energia mecânica por unidade de massa 
do fluido que é convertida em calor devido à 
fricção e está associado às perdas por fricção 
ao longo da tubulação (em m²/s²) 
(perdas por fricção) 
Equação válida para 
escoamentos compressíveis 
 
=PM/RT (gás ideal) 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 58 
Escoamento interno: dutos retos 
0 L 
L 
D 
Considerações: 
(1) Regime permanente 
(2) Tubo cilíndrico disposto na horizontal 
(3) Escoamento incompressível 
  0E
m
W
2
VV
zzg
PP
f
2
1
2
2
12
1
1
2
2 









 

Bernoulli 
0 0 0 
0E
PP
f
12 


Lembrando que: 
  PAPP
4
D
F L0
2
k 

  f
2
V
DLF
2
k 






Combinando-as: 
0E
P
f 







A
FP
E kf
Para o tubo cilíndrico: 
 










4
D
f
2
V
DL
E
2
2
f
2
f V
D
L
f2E 
Substituindo: 
Válido para tubulação 
cilíndrica em seções 
retas 
Re > 2100 turbulento 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 59 
Escoamento interno: dutos não-cilíndricos 
Diâmetro hidráulico equivalente (Dh) 
 
P
4A
 = D
M
h
A = área da seção transversal do duto efetivamente usada para o escoamento 
PM = perímetro molhado (comprimento da linha de contato fluido-parede do duto) 
Deve-se calcular Re e f usando o Dh !!! 
2
h
f V
D
L
f2E 
Válido para tubulação 
não-cilíndrica em 
seções retas 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 60 
Escoamento interno 
15. Estimar a queda de pressão necessária para transportar 0,25 l/s de água em um tubo 
cilíndrico de ferro galvanizado com 1,27 cm de diâmetro e 6 m de comprimento 
disposto horizontalmente. Dados da água:  = 1000 kg/m³,  = 1 cP = 0,001 Pa.s 
Considerações: (1) Regime permanente, (2) Tubo horizontal 
Eq. de Bernoulli: 
 
 Cálculo da velocidade média: 
 
Cálculo do fator de fricção: 
- Reynolds 
 
 Regime turbulento em dutos cilíndricos quando Re > 2100 
 
- Rugosidade relativa 
 
Substituindo na fórmula de Haaland: f = 0,0105 
Substituindo no balanço de forças: P = 38806 Pa 
sm974,1
4
D
Q
A
Q
V
2
















 

Re
9,6
7,3
D
log6,3
f
1
11,1
25065
VD
Re 


 0118,0
mm7,12
mm15,0
D


0V
D
L
f2
PP 212 


MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 61 
Escoamento interno 
16. Estimar a vazão ascendente de água em uma tubulação cilíndrica vertical com 6 m de 
comprimento (material = ferro fundido; D = 0,0254 m) na qual foi medida uma diferença 
de pressão de 70000 Pa. Dados da água:  = 1000 kg/m³,  = 1 cP = 0,001 Pa.s 
Considerações: (1) Regime permanente, (2) Tubo vertical, (3) Vazão ascendente 
Eq. de Bernoulli: 
 
 
A velocidade média e o fator de fricção são desconhecidos, logo substituindo a expressão do 
Reynolds no balanço de forças, tem-se o seguinte sistema não-linear cuja solução é numérica: 
 
 
 
 
 
Resolvendo (MathCAD): f = 0,009904 e Re = 39192,6 (regime turbulento Re > 2100) 
Cálculo da vazão: 













 

Re
9,6
7,3
D
log6,3
f
1
11,1



D
Re
V
sm 543,1
D
Re
V 


 sl 782,0V
4
D
Q
2



0V
D
L
f2gL
PP 212 


0
D
Re
D
L
f2gL
PP
2
12 










MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 62 
Escoamento interno 
Lança de oxigênio convertedor LD 
refrigerada com água 
Oxigênio 
Água 
Vazão: 77 m³/h 
L= 20 m 
Tubo externo: 
De = 209,1 mm 
Tubo interno: 
Di = 178,3 mm 
P2 
P1 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 63 
Escoamento interno 
17. Estimar a diferença de pressão (P1 - P2) necessária para se obter a vazão de água 
especificada na lança de oxigênio. Considerar o trecho mais externo da lança e que a 
água deve subir neste trecho. Dados:  = 970 kg/m3,  = 0,8 cP, Rugosidade do duto: 
 = 0,15 mm 
Considerações: (1) Regime permanente, (2) Tubo vertical (trecho externo), (3) Vazão ascendente 
Eq. de Bernoulli: 
 
 em que 
 
 
Cálculo de f: 
 
 
 
 
Substituindo em Bernoulli: 













 

Re
9,6
7,3
D
log6,3
f
1
11,1
h
0078,0f 
 
sm 28,2
4
DD
Q
A
Q
V
2
i
2
e



 
0308,0
DD
DD
)DD(
4
DD
4
 
P
4A
 = D
ei
2
i
2
e
ei
2
i
2
e
M
h 






85238
VD
Re h 



Pa 241303P 
0VL
DD
DD
f2gL
P 2
2
i
2
e
ie 





MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 64 
Perdas por fricção em válvulas e conexões 
 V
D
L
 2f= E
2e
f
Le = comprimento equivalente da válvula ou conexão 
É o comprimento do tubo (de mesmo diâmetro da conexão ou válvula) que 
causaria a mesma perda por fricção provocada pela válvula ou conexão 
Válidos para escoamento turbulento !! 
Em linhas contendo vários elementos, 
os comprimentos equivalentes (Le/D) 
são somados 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 65 
Perdas por fricção em contrações e expansões 
 V
2
)0,45(1
X= E
2
f

 
 tubulaçãoda al transversseçãomaior da área
 tubulaçãoda al transversseçãomenor da área
= 
X = 1 
Velocidade avaliada 
na menor área 
 
X = 1/3 
 
 
 X = 2 
 
 
 X = 1/6 
 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 66 
Perdas por fricção em contrações e expansões 
 V
2
)(1
= E
2
2
f

Velocidade avaliada 
na menor área 
Expansões repentinas: 
Expansões graduais: 
 V
2
e
= E
2f
f
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 67 
Perdas porfricção: escoamento em dutos 
18. Qual é a potência necessária para bombear água através do sistema mostrado abaixo? 
Água ( = 1000 kg/m3,  = 1 cP) deve ser descarregada no tanque superior com uma 
vazão de 0,006 m³/s. Toda a tubulação tem diâmetro interno de 4“ (10,16 cm) e 
rugosidade 0,1 mm. 
 
91,44 m 
36,576 m 
24,384 m 
12,192 m 
1,524 m 
0,1 m 
Ponto 1 
Sob a água 
Ponto 2 
Descarga 
Joelho 90º 
Raio padrão 
Joelho 90º 
Raio padrão 
Joelho 90º 
Raio padrão 
Considerações: 
(1) Regime permanente 
(2) Escoamento incompressível 
Eq. Bernoulli: 
 
 
 
 
P2 = P1 = Patmosférica 
 
z2 – z1 = 1,524 + 36,576 – 12,192 = 25,908 m 
  0E
m
W
2
VV
zzg
PP
f
2
1
2
2
12
12 






Balanço de massa: 
 
 
 
 
mVAVA 2211 
2211 VAVAQ 0V1 
m/s 74,0
2
D
Q
A
Q
V
22



kg/s 6V
4
D
VAm 2
2
22 


MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 68 
Perdas por fricção: escoamento em dutos 
Cálculo das perdas por fricção: 
(1) Contração na entrada do duto que está no interior do reservatório 
 
 
 
(2) Fricção ao longo das seções retas de tubulação 
 
 turbulento!! 
 
 
 
 
(3) Fricção nos 3 joelhos 
 
 
 
Substituindo na eq. Bernoulli: 
 
 
 
 
 
 
 
Este valor depende basicamente do tipo e do projeto do equipamento usado e de suas condições de operação. A 
potência da bomba deve ser maior que o valor obtido, para compensar as perdas que ocorrem no seu interior. Daí o 
uso de um fator denominado eficiência da bomba, cujo valor depende basicamente do tipo e do projeto do 
equipamento. Para uma eficiência de 50%, por exemplo, ter-se-ia uma potência de 4,26 hp 
  0E
m
W
2
VV
zzg
PP
f
2
1
2
2
12
12 






0056,0f 
75184
001,0
1016,0.74,0.1000VD
Re 



2222
f s/m 246,00,74
2
)00,45(1
2 V
2
)0,45(1
X= E 



2222
f s/m 096,1074,0
1016,0
192,12384,24576,3644,91524,11,0
0056,0.2V
D
L
f2E 















 

Re
9,6
7,3
D
log6,3
f
1
11,1
  2222ef s/m 57,074,03.312.0,0056 V
D
L
 2f= E   0)57,0096,10246,0(
6
W
2
074,0
908,258,90
2




hp 13,2 W12,1590W 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 69 
Perdas por fricção: vazamento de panela 
19. Com base no esquema abaixo, obtenha uma expressão que relacione a velocidade de 
vazamento de uma panela com a altura de aço contida no seu interior. 
h 
Dpanela 
Dorificio 
1 
2 
Considerações: 
(1) Regime permanente 
(2) Escoamento incompressível 
Eq. Bernoulli: 
 
 
 
  0E
m
W
2
VV
zzg
PP
f
2
1
2
2
12
12 






0V1 
0 pois P1 = P2 = Patmosférica 0 (não há equipamentos para bombeamento do fluído) hzz 12 
Cálculo das perdas por fricção: 
 
(1) Contração na saída da panela 
 
 
 
(2) Fricção ao longo das seções retas da panela 
 
 
 
 
Substituindo na eq. Bernoulli: 
 
222
f V
2
45,0
V
2
)00,45(1
 V
2
)0,45(1
X= E 



0V
D
h
f2E 21
panela
panelaf  0V
2
45,0
2
V
hg 22
2
2  45,1
gh2
V2 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 70 
Perdas por fricção: vazamento de panela 
20. Calcule o tempo para esvaziar uma panela (Dpanela = 3 m, Dbocal = 7,62 cm) contendo 
inicialmente 3,3 m de altura de aço líquido ( = 7000 kg/m³). 
Considerações: 
(1) Regime transiente 
(2) Escoamento incompressível 
(3) Velocidade no bocal devido 
às perdas por fricção 
Balanço de massa: ≈ 0 45,1
gh2
V2   


scvc
AdVd
t
0

2211 AVAV
dt
d



2/1
2
orifício
2
panela
h
45,1
g2
4
D
dt
dh
4
D 


2/12/1
2
panela
2
orifício Chh
45,1
g2
D
D
dt
dh

Integrando: 
min 5,25s 1532
45,1
g2
D
D
hh
2t
2
panela
2
orifício
0 


E se houvesse um duto com uma válvula gaveta 
acoplado ao orifício de vazamento da panela? Como 
seria refeito o cálculo literal da velocidade na saída do 
duto e no tempo de esvaziamento da panela? Avalie tais 
parâmetros com relação à abertura da válvula e o 
comprimento do duto refratário, construa gráficos 
mostrando os resultados ( = 0,007 kg/m.s;  = 0,2 mm). 
h 
Dpanela 
Dorificio 
1 
2 
L 
Válvula 
gaveta 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 71 
Escoamento externo ao redor de esferas 
Força de arraste 
ou de atrito Fk 
 
Fk = A K f 
Área característica 
projeção do sólido em um 
plano perpendicular à direção 
da velocidade de aproximação 
do fluido 
Energia cinética por 
unidade de volume 
Avaliada usando a 
velocidade relativa entre o 
fluído e o corpo, 
considerando um ponto do 
fluido suficientemente 
afastado do corpo, para 
não ter a sua velocidade 
afetada por ele 
Coeficiente de arraste 
Avaliado experimentalmente 
para cada geometria do corpo, 
sendo afetado pelo Reynolds 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 72 
Escoamento externo ao redor de esferas 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 73 
Escoamento externo ao redor de esferas 
laminar Intermediário Lei de Newton 
MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 74 
Escoamento externo ao redor de esferas 
 f 
2
V ρ
4
D π
 + g ρ 
6
D π
 = g ρ 
6
D π
 
 arraste de Força + Empuxo = Peso
2
t
23
s
3
f 
2
V ρ
 
4
D π
 + g ρ 
6
D π
 = g 
6
D π
 
arraste de Força + Peso Empuxo
2
t
2
s
33


MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 75 
Escoamento externo ao redor de esferas 
21. Calcular a velocidade terminal de uma inclusão de alumina no aço líquido. Dados: 
diâmetro da inclusão D = 200 m, densidade da inclusão s = 2300 kg/m
3, viscosidade 
do aço  = 6,5 cP, densidade do aço  = 6700 kg/m3 
Considerações: (1) Regime permanente, (2) Escoamento externo, (3) Partícula menos densa 
Balanço de forças: [empuxo] = [peso] + [força de arraste] 
 
 
Incógnitas: f e Re, logo substituindo a definição do Re no balanço de forças: 
 
 
 
Como se desconhece Re, logo não se sabe de antemão que expressão usar. Adota-se, portanto, 
um procedimento de tentativa-e-erro. 
(1) Para Re < 1: Falso 
 
(2) Para 1 < Re ≤ 500: Verdadeiro 
 
Cálculo da velocidade terminal: 
 
Quanto menor a partícula, menor será Vt !! Por exemplo, D = 100 m → Vt = 0,0037 m/s 
 D = 50 m → Vt = 0,0009 m/s 
 f 
2
V ρ
4
D π
 + g ρ 
6
D π
 = g ρ
6
D π
2
t
2
s
33



D
Re
Vt f 
D
Re
2
 ρ
4
D π
 + g ρ 
6
D π
 = g ρ
6
D π
2
2
s
33








  9383,72D
μ
ρ g
ρρ
3
4
f Re 3
2s
2 
9383,72Re24
Re
24
Ref Re 22 
Re
24
f 
04,3Re 5/3Re
5,18
f  9383,72Re5,18
Re
5,18
Ref Re 4,1
5/3
22 
664,2Re 
m/s 0129,0
D
Re
Vt 



MBM v.2016 DMM-PEMM/COPPE/UFRJ 76 
 
Marcelo Borges Mansur 
marcelo.mansur@metalmat.ufrj.br