Exercícios de Álgebra em Grupo

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Lista - Álgebra
1) Qual é o resto da divisão euclidiane de 15 + 25 + 35 + · · · + 1005 por 5. Sugestão:
dividir a soma dada em 25 grupos de 4 parcelas.
2) Demonstre que:
a) a3 ≡ amod(6)
b) a3 ≡ 0, 1 ou 8mod(9)
3) Encontre um número inteiro tal que x ≡ 3mod(10), x ≡ 11mod(13), x ≡ 15mod(17).
4) Encontre um número inteiro tal que x ≡ 5mod(7), x ≡ −1mod(9), x ≡ 6mod(10).
5) Mostre que Q(
√
(2)) =
{
a + b
√
2|a, b ∈ Q} é um grupo aditivo abeliano. Deter-
minar condições sobre a, b para que Q(
√
2) seja um grupo multiplicativo.
6) No conjunto Q∗ está definida a operação a∆b = |a|b. Mostre que Q∗ munido da
operação ∆ não define uma estrutura de grupo.
7)Mostre que o conjunto das funções polinomiais de primeiro grau de R em R defi-
nem um grupo com a composição de funções.
8) Se a, b, c são elementos de um grupo G demonstre que existe um único x ∈ G que
satisfaz axbcx = abx
9) Mostre que se G é um grupo e x ∗ x = e para todo x ∈ G então G é abeliano.
10) Seja G um grupo finito. Mostre que dado x ∈ G existe n ≥ 1 tal que xn = e.
11) Verifique se A ou B é subgrupo multiplicativo de R∗
a) A =
{
a + b
√
2 ∈ R∗|a, b ∈ Q}
b) A =
{
a + b 3
√
2 ∈ R∗|a, b ∈ Q}
12) Sabendo que Q − 1 é um grupo com a operação x ∗ y = x + y − xy verifique se
A = {0,±2,±4, · · · } é um subgrupo de Q− 1.
13) Prove que se H1, H2 são subgrupos de um grupos G então H1∪H2 é sugrupo de
G se, e somente se H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1.
14) Seja G um grupo e a um elemento de G. Prove que N(a) = {x ∈ G|ax = xa} é
subgrupo de G.
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