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5a Lista. A estrutura algébrica: GRUPO. Disciplina: Aritmética e Álgebra (01/abril/2011).
1. Mostre que R× R− {(0, 0)} munido da operação ∆ definida por (a, b)∆(c, d) = (ac− bd, ad+ bc) é um grupo abeliano.
2. Mostre que R munido da operação ∆ tal que x∆y = x+ y − 3 é um grupo comutativo.
3. Sejam A um conjunto não vazio e RA o conjunto das aplicações de A em R. Definimos uma “adição” e uma “multiplicação”
em R4 como segue: sendo f e g funções de A em R, temos:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ A
(f.g)(x) = f(x).g(x), ∀x ∈ A
Mostre que RA é grupo aditivo. Mostre que, em geral, RA não é grupo multiplicativo.
4. Sejam a, b, c elementos de um grupo multiplicativo G. Prove que (abc)−1 = c−1b−1a−1. Obtenha a ∈ G tal que abcxb = c.
5. Se a, b e c são três elementos quaisquer de um grupo multiplicativo G, demonstre que existe um único x ∈ G tal que
axbc = abx.
6. Verifique se B é subgrupo do grupo multiplicativo Q∗.
B =
{
1 + 2m
1 + 2n
| m, n ∈ Z
}
7. Para todo n ∈ N∗, o conjunto Rn é definido da seguinte forma:
Rn = {(a1, a2, · · · , an) | ai ∈ R}
Sabendo que Rn é um grupo em relação à adição assim definida:
(a1, · · · , an) + (b1, · · · , bn) = (a1 + b1, · · · , an + bn),
verifique se H1 = {(a1, · · · , an) ∈ Rn | a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an} é subgrupo de Rn.
8. Determine todos os subgrupos do grupo aditivo Z4.
9. Prove que, se H1 e H2 são subgrupos do grupo G, então H1 ∩H2 também é subgrupo de G.
10. Verifique em cada caso se f é um homomorfismo:
(a) f : Z→ Z dada por f(x) = kx, sendo Z o grupo aditivo dos inteiros e k um inteiro dado.
(b) f : R∗ → R∗ dada por f(x) = |x|, sendo R∗ o grupo multiplicativo dos reais.
(c) f : Z→ R∗+ dada por f(x) = 2x, em que Z é o grupo aditivo e R∗+ é grupo multiplicativo.
11. Determine todos os homomorfismos injetores e sobrejetores.
(a) f : R∗ → R∗ dada por f(x) = |x|, sendo R∗ o grupo multiplicativo dos reais.
(b) f : Z→ Z× Z dada por f(x) = (x, 0), em que Z e Z× Z denotam grupos aditivos.
(c) f : Z× Z→ Z dada por f(x, y) = x em que Z e Z× Z denotam grupos aditivos.
12. Prove que a aplicação f : Z→ C∗ dada por f(n) = in é um homomorfismo do grupo aditivo Z no grupo multiplicativo C∗.
Determine N(f).
13. Mostre que f : Z→ 2Z dada por f(n) = 2n, ∀n ∈ Z, é um isomorfismo do grupo aditivo Z no grupo aditivo 2Z.
14. Sejam a e b elementos de um grupo multiplicativo G. Supondo o(ab) = h > 0, mostre que o(ba) = h.
15. Sejam os grupos (G, ·) e (J, ·) e seja G× J o produto direto de G por J. Determine os núcleos das aplicações abaixo.
(a) f1 : G× J → G dada por f1(x, y) = x.
(b) f2 : G× J → J dada por f2(x, y) = y.
(c) f3 : G→ G× J dada por f3(x) = (x, 1).
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(d) f4 : G× J → J ×G dada por f4(x, y) = (y, x).
(e) f5 : J → G× J dada por f5(y) = (1, y).
16. Prove que um grupo G é abeliano se, e somente se, f : G→ G definida por f(x) = x−1 é um homomorfismo.
17. Seja f : G → J um homomorfismo de grupos. Se H é um subgrupo de J, mostre que f−1(H) = {x ∈ G | f(x) ∈ H} é um
subgrupo de G e que N(f) ⊂ f−1(H).
18. Suponha que M e N sejam dois subgrupos normais de G e que M ∩ N = {e}. Mostre que para todo n ∈ N e para todo
m ∈M tem-se mn = nm.
19. Demonstre que, se H é um subgrupo normal de G e o ı́ndice (G : H) é um número primo, então G/H é ćıclico.
20. Sejam H e K subgrupos de um grupo finito. Se o(h) = p e o(k) = q, onde p e q são números primos distintos, mostre que
H ∩K = {e}.
21. Seja G um grupo finito cuja ordem é um número primo p. Mostre que G é ćıclico.
22. Seja G um grupo e suponha que o(G) ≤ 5. Mostre que G é abeliano.
23. Prove que se G é um grupo finito e H é um subgrupo de G, H 6= G, então G e H não são isomorfos.
24. Prove que todo subgrupo de um grupo abeliano é um subgrupo normal.
25. Prove que se G é um grupo qualquer então Z(G) é um subgrupo normal de G.
26. Mostre que (Z∗m, ·) é um grupo se, e somente se, m é um número primo, m > 1.
27. Seja G um grupo multiplicativo. Mostre que H = {x ∈ G | xa = ax, ∀ a ∈ G} é um subgrupo normal de G.
28. Seja G um grupo qualquer, g um elemento fixo em G. Definamos ψ : G → G por ψ(x) = gxg−1. Demonstrar que ψ é um
isomorfismo de G em G.
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