Pendulo Simples

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO MAR E PETRÓLEO 
ENGENHARIA DE EXPLORAÇÃO E PRODUÇÃO DE PETRÓLEO 
 
 
 
ANA KAROLINA LACERDA LOBO 
BEATRIZ DOS SANTOS SANTANA 
LORENA CARDOSO BATISTA 
 
 
 
 
 EXPERIMENTO Nº 02: PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Salinópolis, Pará 
Abril, 2018
 
Ana Karolina Lacerda Lobo 
Beatriz dos Santos Santana 
Lorena Cardoso Batista 
 
 
 
 
EXPERIMENTO Nº 02: PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
Relatório apresentado como requisito para 
avaliação da disciplina Laboratório de Física I 
da Universidade Federal do Pará. 
Orientador: Dr. Cledson Santana Lopes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Salinópolis, Pará 
2018 
Laboratório de Física I Pêndulo Simples 
 
3 
 
1. Introdução 
 Os movimentos oscilatórios ou periódicos são aqueles que se repetem em 
intervalos regulares ou intermitentes. O cotidiano está cercado destes 
movimentos, diante disso as oscilações desempenham um papel fundamental 
em todos os ramos da física (mecânica, óptica, acústica). 
 Dentre esses movimentos, existe um chamado “pêndulo simples”, o qual 
consiste em um sistema composto por uma massa acoplada a um fio leve e 
inextensível de comprimento “L” no qual sua extremidade superior é fixada a 
um ponto que permite sua livre oscilação. A massa “m” fica presa em sua 
extremidade inferior e está sujeita à força restauradora causada pela 
gravidade. 
 Diversos pêndulos são estudados por físicos, já que estes os descrevem 
como um instrumento de fácil previsão de movimentos e que possibilitou vários 
avanços tecnológicos. Alguns exemplos são: os pêndulos físicos, cônicos, de 
Foucalt, duplos, espirais e invertidos. No entanto, o modelo mais simples e que 
tem maior utilização é o Pêndulo Simples. Tal objeto consiste em uma massa 
presa por uma de suas extremidades a um fio flexível e inextensível e livre por 
outra, representado a seguir na figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 01: pêndulo simples 
 
Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o 
pêndulo realiza oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas 
forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão com o fio e o peso da 
massa m. 
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4 
 
2. Objetivos 
 Descrever o que acontece quando o pêndulo é deslocado da sua 
posição de equilíbrio e depois solto. 
 Medir o tempo médio de uma oscilação completa (período). 
 Medir o período de oscilação do pêndulo para diferentes deslocamentos 
da posição de equilíbrio. 
 Medir o período de oscilação do pêndulo com diferentes massas. 
 Medir o período de oscilação do pêndulo com diferentes comprimentos. 
 Interpretar gráficos e tabelas obtidas. 
 Verificar valores que influenciam no período do pêndulo. 
 Determinar o valor da aceleração da gravidade local. 
 
3. Fundamentos Teóricos 
O pêndulo simples compõe-se um curto corpo de massa m pendurado 
em um ponto fixo por um fio inextensível e de peso desprezível. Quando esta 
distante de sua posição de equilíbrio e abandonado, o corpo oscila em torno 
desta posição. Na figura abaixo (Figura 02), desprezando-se a resistência do 
ar, estão representadas as forças que atuam sobre a massa: a tração (T) do 
fio e peso (P). 
Na figura temos os seguintes elementos: 
 
  é o comprimento do fio. 
 x é a projeção do movimento da massa 
sobre o eixo horizontal. 
  é o ângulo formado entre a posição 
de equilíbrio e o ponto de máxima 
extensão, medido em radianos. 
 T é a força tração na corda. 
 P é a força peso. 
 Pt é a força restauradora. 
 Figura 02: Forças atuantes no pêndulo  m é a massa pendular 
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A parte tangencial do peso, Pt , é a força reanimadora do movimento 
oscilatório do pêndulo e sua intensidade é dada por: 
 
 (Eq.1) 
 
Sendo: 
 Pt é a força reanimadora 
 P é a força peso que é dada por: 
 
(Eq.2) 
Onde: 
 m é a massa e g a gravidade 
 
O ângulo θ, expresso em radianos que por definição é dado pelo 
quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um 
pêndulo é x e o raio de aplicação do mesmo, no caso, dado por , assim: 
 
 
 (Eq.3) 
 
Para curtas amplitudes de oscilação ( < 10º), o valor do arco BC na 
figura 02 é aproximadamente igual à projeção do movimento da massa sobre o 
eixo horizontal x, sendo o triângulo ABC praticamente retângulo, e 
consequentemente 𝒔𝒆𝒏   𝒙/𝒚. Substituindo este resultado na equação (1) 
temos a seguinte equação para a componente tangencial da força na condição 
de pequenas oscilações: (considerando o ângulo  < 10º). 
 
 
(Eq.4) 
Sendo: 
 m é a massa do pendular 
 g é a gravidade 
 x a deformação 
  raio de aplicação 
𝑃𝑡  P sen  = m g sen  
𝑃 = 𝑚 . 𝑔 
𝑃𝑡  
𝑚 𝑔 𝑥

 
 
 
θ = 
𝑥

 
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6 
 
 
Sendo assim, empregando a Segunda Lei de Newton à equação acima e 
fazendo uma equivalência com o Movimento Harmônico Simples (M.H.S) do 
sistema massa-mola, temos as seguintes equações que descrevem o 
movimento da massa pendular : 
 
I) Equação do movimento 
 
 𝑚𝑎 = 
−𝑚𝑔

 𝑥 (Eq.5) 
 
II) Frequência Angular 
 
 ω = √
𝐾𝑝ê𝑛𝑑𝑢𝑙𝑜
𝑚
= √
𝑚𝑔

𝑚
 (Eq.6) 
 
III) Período de Oscilação 
 
 
(Eq.7) 
 
Sendo as variáveis nas equações: 
 m é a massa 
 g é a gravidade 
  é o raio 
 T é o período 
 ω é a frequência angular 
 
4. Materiais Utilizados 
 Balança 
 Caixa de Madeira 
 Tripé Universal 
 Massas 
 Cronômetro 
𝐾𝑝ê𝑛𝑑𝑢𝑙𝑜 = 
𝑚𝑔

 
ω = √
𝑔

 
T = 
2π
ω
= 2π √

g
 
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 Pêndulo 
 Linha 
 Régua de 1 metro 
 
5. Experimentos e Atividades 
 
 
5.1 Procedimento experimental e resultados 
 
Primeiramente o pêndulo foi preso ao tripé, logo em seguida o 
comprimento do fio do pêndulo foi regulado para 0,5 m. A posteriori o pêndulo 
foi deslocado de sua posição de equilíbrio para uma amplitude de 10 cm para a 
direita. Então o pêndulo foi solto para observação inicial, então foi observado 
que inicialmente as oscilações permanecem constantes, após algum tempo 
devido à resistência do ar sobre as peças que constituem o pêndulo (fio e 
massa) ocorre um amortecimento juntamente com a perda de energia e os 
movimentos enfraquecem. A equação a seguir (Eq.8) expressa essa força de 
arraste: 
 
(Eq.8) 
 
Onde: 
 p é a densidade do fluido onde ocorre o deslocamento do corpo em 
kg/m³ 
 v é a velocidade do corpo em m/s 
 A é área de contato em m² 
 CD é uma constante adimensional que depende do número de 
Reynolds pVrc 
 
O numero de Reynolds é dado pela equação a seguir (Eq.9): 
 
 (Eq.9) 
 
Onde: 
F = 
1
2
𝐶𝐷𝐴𝑝𝑣² 
R = 
pVrc
𝑁
 
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8 
 
 R é o número de Reynolds adimensional. 
 V é a velocidademáxima de deslocamento do corpo em m/s. 
 p é a densidade do fluido onde ocorre o deslocamento do corpo em 
kg/m³. 
 Rc é a dimensão característica do corpo em m 
 N é viscosidade do fluido em Kg/m/s. 
 
Após a observação inicial o pendulo foi novamente recolocado no seu 
ponto de equilíbrio de deslocado 10 cm a direita, e após solto. Juntamente com 
o soltar do pêndulo o cronômetro foi ativado para marcar o tempo de uma (1) 
oscilação completa repetindo o mesmo procedimento por cinco (5) vezes. 
Segue abaixo a tabela 01 com os tempos obtidos: 
 
 
 
Tabela 01 – Tempo de uma oscilação completa. 
 Nº de medidas Tempo de oscilação 
1º medida 01,46 segundos 
2º medida 01,19 segundos 
3º medida 01,31 segundos 
4º medida 01,15 segundos 
5º medida 01,14 segundos 
 
Como podemos observar as cinco medidas obtiveram resultados 
diferentes, isso se dá pelo da resistência do ar além de fatores de clima, vento 
e condições locais, pois assim como visto na Teoria dos Erros as medidas 
possuem um grau de incerteza devido aos equipamentos e erros humanos, por 
isso que sempre se devem realizar várias medições. Então para uma melhor 
verificação dos resultados foi realizado uma medição de 10 oscilações 
cronometrando o intervalo de tempo e depois determinando o tempo médio de 
uma oscilação completa. Esse procedimento foi realizado para se obter uma 
maior exatidão nos valores além de o mesmo levar em consideração a 
resistência do ar após determinado tempo. A tabela 02 a seguir demonstra 
tanto o tempo quanto o tempo médio da oscilação 
 
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9 
 
Tabela 02 – Tempo de oscilação em 10 vezes 
Nº de Medida Tempo (10 oscilações) Tempo Médio 
1º Medida 13,19 segundos 1,31 segundos 
 
Lembrando que para se calcular o tempo médio devemos apenas dividir 
o tempo total pelo número de oscilações. Com os valores que possuímos já 
podemos ter a frequência de oscilação deste pêndulo levando em consideração 
o número de oscilações completas realizadas em 1 segundo pelo móvel e 
representada por f. 
Para iniciar usaremos a Equação 7 para calcular o período desse 
pendulo, relembrando a formula de período: 
 
 
 
 
Substituindo com os valores já encontrados, temos: 
 
I) 
 
 
 
II) 
 
 
 
III) 
 
 
IV) 
 
 
 
T = 
2π
ω
= 2π √

g
 
T = 2π √
0,5
9.8
 
T = 2π √0,05 
T  2π 0,22 
T  1.38 segundos 
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10 
 
Então agora que se tem o dado valor do período é possível calcular a 
frequência visto que a frequência é o inverso do período então apenas 
precisamos aplicar na formula. 
 
I) (Eq.10) 
 
Aplicando o valor do período, temos: 
 
II) 
 
 
III) 
 
 
O próximo procedimento a ser realizado o deslocamento do ponto de partida do 
pêndulo irá avaliar se a frequência e o período se alteram, os resultados podem 
ser encontrados na tabela 03 a seguir: 
 
Tabela 03 – As variações com diferentes deslocamentos. 
Deslocamento 
(m) 
Tempo de 5 
oscilações (s) 
Período (s) Frequência (Hz) 
0,05 metros 6,43 segundos 0,45 segundos 2,22 Hz 
0,1 metros 6,62 segundos 0,62 segundos 1,61 Hz 
0,15 metros 6,80 segundos 0,77 segundos 1,30 Hz 
0,20 metros 6,50 segundos 0,88 segundos 1,13 Hz 
0,25 metros 6,91 segundos 1,00 segundos 1,00 Hz 
 
 Com estes dados já é possível fazer algumas analises gráficas onde 
poderemos observar o comportamento do pêndulo com os as mais variadas 
amplitudes e frequências diferentes, primeiramente o gráfico 01 irá demonstrar 
o que ocorre no período x deslocamento e o gráfico 02 mostrara e explicara os 
diferentes valores do gráfico de frequência x deslocamento. 
f = 
1
T
 
f = 
1
1,38
 
f  0,72 Hz 
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11 
 
 
O gráfico 01 mostra que com o aumento do período, o deslocamento do 
pêndulo também cresce. 
 
O gráfico 02 mostra uma curva de decrescimento constante onde 
podemos ver que quando for aumentado o deslocamento (amplitude) menor 
será o período e a frequência isso pode ser explicado pela resistência do ar já 
que a amplitude será maior a resistência implicara mais efeito nesta massa, 
sendo assim, a oscilante aumentando o tempo para o pêndulo completar uma 
oscilação irá diminuir, assim sendo, o período diminui e a frequência aumenta. 
No entanto, os experimentos podem confirmar que o período e a frequência 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5 10 15 20 25 30
P
e
rí
o
d
o
 (
s
) 
Deslocamento (cm) 
GRÁFICO 01: Período x Deslocamento 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 5 10 15 20 25 30
F
re
q
u
ê
n
c
ia
 (
H
z
) 
Deslocamento (cm) 
GRÁFICO 02: Frequência x Deslocamento 
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não variam com as mudanças de massa, justamente por serem independentes 
de massa e dependentes apenas da aceleração da gravidade e do 
comprimento do pêndulo. 
 A próxima parte do experimento irá levar em consideração o peso das 
massas do pêndulo então vamos compara-las com duas tabelas uma com os 
valores para um peso mais leve e a outra com os valores para um peso maior, 
o que se espera é que o tempo para o pêndulo completar uma oscilação irá 
diminuir, assim sendo, o período diminui e a frequência aumenta. No entanto, 
os experimentos podem confirmar que o período e a frequência não variam 
com as mudanças de massa, justamente por serem independentes de massa e 
dependentes apenas da aceleração da gravidade e do comprimento do 
pêndulo. 
 
Tabela 04 – Valores para peso de massa de 0.097 kg 
Nº de 
Medidas 
Tempo de 5 
oscilações (s) 
Período (s) Frequência (Hz) 
1 6,44 segundos 1,28 segundos 0,78 Hz 
2 6,59 segundos 1,31 segundos 0,76 Hz 
3 6,48 segundos 1,29 segundos 0,77 Hz 
4 6,40 segundos 1,28 segundos 0,78 Hz 
5 6,53 segundos 1,30 segundos 0,77 Hz 
 
 
Tabela 05 – Valores para peso de massa de 0.031 kg 
 
O tempo para o pêndulo completar uma oscilação irá diminuir, assim 
sendo, o período diminui e a frequência aumenta. No entanto, os experimentos 
podem confirmar que o período e a frequência não variam com as mudanças 
de massa, justamente por serem independentes de massa e dependentes 
apenas da aceleração da gravidade e do comprimento do pêndulo. 
Nº de 
Medidas 
Tempo em 5 
oscilações (s) 
Período (s) Frequência (Hz) 
1 6,33 segundos 1,26 segundos 0,79 Hz 
2 6,30 segundos 1,26 segundos 0,79 Hz 
3 6,40 segundos 1,28 segundos 0,78 Hz 
4 6,59 segundos 1,31 segundos 0,76 Hz 
5 6,64 segundos 1,32 segundos 0,75 Hz 
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E o que ocorre com esse pêndulo quando variamos o seu comprimento? 
Podemos observar o que acontece olhando a tabela 06 a seguir: 
 
Tabela 06 – Valores com o comprimento do pêndulo alterado, 
Nº Comprimento 
do pêndulo (cm) 
Tempo em 10 
oscilações (s) 
Período (s) Frequência (HZ) 
1 30 cm 11,34 segundos 1,06 segundos 0,92 Hz 
2 18 cm 09,13 segundos 0,84 segundos 1,19 Hz 
3 25 cm 10,74 segundos 0,99 segundos 1,00 Hz 
4 21 cm 10,73 segundos 0,91 segundos 1,09 Hz 
5 14 cm 08,73 segundos0,74 segundos 1,35 Hz 
 
 
 Como demonstrado na tabela e juntamente com o gráfico, quando o 
comprimento do pêndulo aumentar a frequência do pêndulo irá diminuir 
demonstrando assim que ambos são inversamente proporcionais um ao outro. 
Pode-se observar esse caso vendo a equação 10 novamente onde: 
 
 
 
 
 
Podemos também dizer que ao aumentar o comprimento de um pêndulo, 
o período também aumentará em razão do mesmo ser o inverso da frequência, 
desse modo, a frequência diminuirá, em virtude de serem inversamente 
proporcionais. E analisando a equação retornamos novamente a equação do 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 5 10 15 20 25 30 35
P
e
rí
o
d
o
 (
s
) 
Comprimento (cm) 
GRÁFICO 03: Periodo x Comprimento 
f = 
1
T
 
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período de um pêndulo simples em função do seu comprimento e da 
aceleração gravitacional. 
 
 
 
Onde: 
T é o período do pêndulo, 
L é o comprimento do fio e 
g é a aceleração da gravidade. 
Com os dados obtidos até o momento podemos calcular a aceleração da 
gravidade local. 
I) 
 
 
II) 
 
 
III) 
 
 
 
IV) 
 
Levando em consideração uma amplitude de 30 cm ou 0,30 metros. 
 
Assim podemos demonstrar um gráfico T X L levando em consideração 
os mesmos valores que usamos: 
𝑇 = 2𝝅 √
𝑳
𝒈
 
𝑇 = 2𝝅 √
𝑳
𝒈
 
𝑔 = 2𝝅² 
𝑳
𝑻²
 
𝑔 = 2𝝅² 
𝟎. 𝟑𝟎
(𝟏, 𝟎𝟔)²
 
𝒈 = 𝟓, 𝟒𝟑 𝒎/𝒔² 
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Assim pode-se observar que o gráfico que se pode obter o coeficiente 
angular e linear é o gráfico 3 (período x comprimento), pois o período não 
depende da amplitude do movimento ou da massa que constitui o pêndulo e 
sim do seu comprimento que é diretamente proporcional a ele. Coeficiente 
angular é 1 e o linear é 0,8 
As forças que agem sobre a partícula são seus pesos mg e a tensão T 
no fio. Decompomos mg numa componente “mg sen θ” que é tangente a 
trajetória da partícula. Esta componente tangencial é à força de restauração, 
porque sempre age em oposição ao deslocamento da partícula, de forma a 
trazê-la de volta à sua localização central, a posição de equilíbrio (θ = 0) onde 
estaria em repouso, se não estivesse oscilando. Escreve-se a força de 
restauração como: 
 
Onde o sinal negativo indica que F age em posição ao deslocamento. 
Como o ângulo θ é pequeno, então sem θ será quase igual a θ em radianos. O 
deslocamento s da partícula medido ao longo de seu arco é igual a Lθ, então 
temos que sen θ se aproxima de θ, então a equação anterior passa a ser: 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
T 
(s
) 
L (m) 
GRÁFICO 04: T x L 
𝑃𝑡  P sen  = − m g sen  
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Vendo a equação: 
 
Isso mostra que com o deslocamento agora sendo o comprimento do 
arco s em lugar de x. Desse modo, se um pêndulo simples oscila com 
pequenas amplitudes, se comporta como um oscilador linear. Aqui a amplitude 
do movimento é a amplitude angular θm, o ângulo máximo de oscilação. E a 
constante k é mg/L, a constante elástica efetiva da “mola gravitacional” que 
associamos ao pendulo. Então substituindo mg/L por k na equação, do período 
do oscilador linear: 
 
 
Então, temos que: 
 
 
Cancelando as massas temos que: 
 
 
 
6. Conclusão 
 Com o tema exposto no experimento foi possível perceber a capacidade 
de explicar os movimentos oscilatórios e periódicos que o pêndulo possui, 
entendendo a relação existente entre o comprimento e o período do mesmo e 
prevendo assim o seu comportamento através de cálculos e medidas 
realizadas em duas quantidades diferentes de massa. Por conseguinte, neste 
experimento foram explicados que quanto menores os deslocamentos, a força 
𝐹  − mg = − m g 
𝑠
𝐿
= − (
𝑚𝑔
𝐿
) 𝑠 
𝐹 = −Kx 
𝑇 = 𝑇 = 2𝝅 √
𝒎
𝒌
 
 
𝑇 = 2𝝅 √
𝒎
(
𝒎𝒈
𝑳
)
 
 
𝑇 = 2𝝅 √
𝑳
𝒈
 
 
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restauradora que opera na massa puntiforme terá sentido oposto a ele e será 
proporcional ao mesmo. Dessa forma, o sistema do pêndulo simples se 
mostrou muito importante e presente no cotidiano das pessoas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Referências Bibliográficas 
 AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DO TIPO B. 2012. em: 
< http://www.if.ufrgs.br/fis1258/index_ arquivos/TXT_05.pdf >. Acesso em 
16 de abril de 2018. 
 
 Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 33, n. 4, 4311 (2011). 
 
 HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de 
Física Mecânica. 10. ed. [S.l.]: LTC, 2016. 372 p. v. 1.