aula 8 funcoes de transferencia

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AULA 8 – FUNÇÕES DE 
TRANSFERÊNCIA 
André Pinho 
2º semestre 2018 
Funções de Transferência (tempo contínuo) 
• Background: Transformada de Laplace 
ℒ 𝑥(𝑡) = 𝑋(𝑠) 
𝑋 𝑠 ≜ 𝑥(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
 
• s é uma variável complexa 
𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 
𝑋 𝜎 + 𝑗𝜔 = [𝑥(𝑡)𝑒−𝜎𝑡]𝑒−𝑗𝜔 𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformada de Laplace 
• Background: Transformada de Laplace 
• Seja 𝑥 𝑡 = 𝑢(𝑡) 
 
𝑋 𝑠 = 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
 
 
𝑋 𝑠 =
𝑒−𝑠𝑡
−𝑠
∞
0
=
1
𝑠
, 𝜎 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformada de Laplace 
• Background: Transformada de Laplace 
• Seja 𝑥 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡𝑢(𝑡) 
 
𝑋 𝑠 = 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
= 𝑒−(𝑠+𝑎)𝑡𝑑𝑡
∞
0
 
 
𝑋 𝑠 =
𝑒−(𝑠+𝑎)𝑡
−(𝑠 + 𝑎)
∞
0
=
1
𝑠 + 𝑎
, 𝜎 > −𝑎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformada de Laplace 
• Background: Transformada de Laplace 
𝑋 𝑠 = ℒ
𝑑𝑓 𝑡
𝑑𝑡
𝑢(𝑡) 
𝑋 𝑠 = 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
 
𝑋 𝑠 = 𝑒−𝑠𝑡𝑓
∞
0
− 𝑓(−𝑠𝑒−𝑠𝑡)𝑑𝑡
∞
0
 
𝑋 𝑠 = −𝑓 0 + + 𝑠 𝑓𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
∞
0
= 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓 0 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformada de Laplace 
• Background: Transformada de Laplace 
 
𝑋 𝑠 = ℒ
𝑑𝑛𝑓 𝑡
𝑑𝑡𝑛
𝑢(𝑡) 
 
𝑋 𝑠 = 𝑠𝑛𝐹 𝑠 − 𝑠𝑛−1𝑓 0 − ⋯ − 𝑓𝑛−1(0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformada de Laplace 
• Background: Transformada de Laplace 
 
𝑋 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 
𝑋 𝑠 = 𝑓𝑑𝑡
∞
0
𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 
 
𝑋 𝑠 =
𝐹(𝑠)
𝑠
+
1
𝑠
 𝑓𝑑𝑡 
0+
=
𝐹(𝑠)
𝑠
+
𝑓−1(0+)
𝑠
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformada de Laplace 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformada de Laplace 
• Decomposição em Frações parciais 
1) Raízes reais e diferentes: 
𝑠−1
𝑠2+3𝑠+2
 
2) Raízes reais e iguais: 
1
𝑠(𝑠2+6𝑠+9)
 
3) Raízes complexas: 
1
𝑠2+4𝑠+5
=
1
(𝑠+2+𝑗)(𝑠+2−𝑗)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformada de Laplace 
• Fórmula de Desenvolvimento de Heaviside 
 
ℒ−1
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
= 
𝑌(𝑎𝑘)
𝑋′(𝑎𝑘)
𝑛
𝑘=1
𝑒𝑎𝑘𝑡 
𝑎𝑘 são as 𝑛 raízes distintas de 𝑋(𝑠) 
1)
𝑠−1
𝑠2+3𝑠+2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções de Transferência 
• Modelagem em equações diferenciais lineares 
de segunda ordem com coeficientes constantes. 
𝑎𝑦′′ 𝑡 + 𝑏𝑦′ 𝑡 + 𝑐𝑦 𝑡 = 𝑓(𝑡) 
𝑦 0 = 𝑦0 , 𝑦
′ 0 = 𝑦0
′ 
– 𝑎, 𝑏 e 𝑐 => propriedades físicas do sistema 
(resistência, capacitância, indutância, massa, 
constante de elasticidade de mola, etc) 
– 𝑓(𝑡) => entrada do sistema 
– 𝑦0 𝑒 𝑦0
′ => estado inicial 
– 𝑦(𝑡) => solução no tempo 𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções de Transferência 
• Aplicando a Transformada de Laplace 
𝑎𝑦′′ 𝑡 + 𝑏𝑦′ 𝑡 + 𝑐𝑦 𝑡 = 𝑓(𝑡) 
 
𝑎 𝑠2𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦′ 0 + 𝑏 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0 + 𝑐𝑌(𝑠) = 𝐹(𝑠) 
 
𝑌 𝑠 𝑎𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐 − 𝑎𝑠 + 𝑏 𝑦0 − 𝑦
′
0 = 𝐹(𝑠) 
 
𝑌 𝑠 =
𝑎𝑠 + 𝑏 𝑦0 + 𝑦
′
0
𝑎𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐
+
𝐹(𝑠)
𝑎𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐
= Φ 𝑠 + Ψ(𝑠) 
 
𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌 𝑠 = ℒ−1 Φ 𝑠 + ℒ−1 Ψ(𝑠) = 𝜙 𝑡 + 𝜓(𝑡) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções de Transferência 
• Continuando 
– Solução homogênea 
𝑦 𝑡 = 𝜙 𝑡 
 
𝑎𝑦′′ 𝑡 + 𝑏𝑦′ 𝑡 + 𝑐𝑦 𝑡 = 0,
 𝑦 0 = 𝑦0 , 𝑦
′ 0 = 𝑦0
′ 
– Solução não homogênea e sistema relaxado 
𝑦 𝑡 = 𝜓 𝑡 
 
𝑎𝑦′′ 𝑡 + 𝑏𝑦′ 𝑡 + 𝑐𝑦 𝑡 = 𝑓(𝑡),
 𝑦 0 = 0 , 𝑦′ 0 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções de Transferência 
• Continuando 
Ψ(𝑠) =
1
𝑎𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝑐
𝐹(𝑠) 
 
Ψ 𝑠 = 𝐻 𝑠 𝐹(𝑠) 
• Função de Transferência 
𝐻 𝑠 =
Ψ 𝑠
𝐹(𝑠)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções de Transferência 
• Utilizando a propriedade da Transformada de 
Laplace : 
 
𝜓 𝑡 = ℒ−1 𝐻 𝑠 𝐹(𝑠) = ℎ 𝑡 ∗ 𝑓 𝑡 
 
𝜓 𝑡 = ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑓 𝜏 𝑑𝜏
𝑡
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções de Transferência 
• Exemplo: sistema massa mola 
𝑦(𝑡) 
 
 𝑓(𝑡) 
 
𝑚𝑦′′ 𝑡 + 𝑘𝑦 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 
𝑦 0 = 0 , 𝑦′ 0 = 0 
𝑚𝑠2𝑌 𝑠 + 𝑘𝑌 𝑠 = 𝐹 𝑠 
𝑌 𝑠 =
𝐹(𝑠)
𝑚𝑠2 + 𝑘
 
𝐻 𝑠 =
1
𝑚𝑠2 + 𝑘
=
1
𝑚 
𝑠2 + 𝑘 𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções de Transferência 
• Exemplo: sistema massa mola 
 
 
𝐹 𝑠 
1
𝑚 
𝑠2 + 𝑘 𝑚 
 𝑌(𝑠) 
 
 
 
 
 
 
 
Funções de Transferência 
• Determine a função de transferência do circuito 
abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções de Transferência 
• Determine a função de transferência, 
conhecendo entrada e saída de um sistema LIT: 
 
𝑥 𝑡 = 𝑒−3𝑡𝑢 𝑡 
 
𝑦 𝑡 = [𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡]𝑢 𝑡 
 
• Determine também a equação diferencial que 
governa o comportamento do sistema