Módulo I Produtos Notáveis, Fatoração, Potenciação, Raízes e Racionalização

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Profª . Luiza Lopes Carvalho
Departamento de Ciências Econômicas
Universidade Federal Fluminense – UFF
luiza.lopesc@hotmail.com
MATEMÁTICA I
Produtos Notáveis 
O que são os Produtos Notáveis?
 No cálculo algébrico, algumas expressões representadas por produtos de expressões algébricas, aparecem com muita frequência. Pela importância que representam no cálculo algébrico, essas expressões são denominadas Produtos Notáveis. 
 Os produtos notáveis são utilizados desde a antiguidade, os gregos, por exemplo, faziam o seu uso e há registros na obra de Euclides de Alexandria Elementos na forma de representações geométricas.   
Expressões Algébricas: Chamamos de Expressões Algébricas uma expressão que envolve números, letras e operações indicadas entre eles. Ex.: 5 . (x + 2) – 8
O quadrado da soma de dois termos
Produtos Notáveis
 EXERCÍCIOS 
 O quadrado da soma de dois termos
1- Resolva: 
2- Simplifique
Produtos Notáveis
O quadrado da diferença de dois termos
Produtos Notáveis
5
 EXERCÍCIOS 
 O quadrado da diferença de dois termos
1- Resolva
2- Simplifique 
Produtos Notáveis
Produto da soma pela diferença de dois termos
Produtos Notáveis
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 EXERCÍCIOS 
 Produto da soma pela diferença de dois termos
1- Resolva
Produtos Notáveis
Fatoração
O que significa o termo Fatorar?
 Fatorar significa transformar a soma e a subtração de expressões algébricas ou equações em um produto com fatores. Podemos entender a fatoração como sendo a simplificação das sentenças matemáticas. 
 
Fator comum em evidência: Nessa modalidade de fatoração é preciso verificar cada um dos algarismos, para precisar se os coeficientes poderão ser divididos por determinado número de forma exata.
Fatoração
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EXECÍCIOS
Fator comum em evidência
Fatoração
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Agrupamento: Essa técnica se baseia em juntar todos os termos que forem iguais para, se possível, colocá-los em evidência.
Fatoração
12
EXECÍCIOS
Agrupamento
Fatoração
13
Diferença de quadrados: Esse tipo de fatoração consiste em transformar um polinômio expresso na forma de uma diferença de dois quadrados, em um produto da soma pela diferença de dois termos.
Fatoração
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EXECÍCIOS
 Diferença de quadrados
1- Fatore completamente as expressão abaixo:
Fatoração
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 EXERCÍCIOS 
 (TRT-2011) Indagado sobre o número de processos que havia arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática, respondeu: - O número de processos que arquivei é igual a (12,25)2 – (10,25)2. Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que:
a) 38 < x < 42
b) x > 42
c) x < 20
d) 20 < x < 30
e) 30 < x < 38
Produtos Notáveis
Trinômio do quadrado perfeito: O quadrado perfeito (x + y)2 é composto por dois fatores (x e y). A resolução dele é um trinômio x2+2xy+y2. O primeiro monômio é o quadrado do primeiro termo; o segundo monômio é duas vezes o primeiro termo vezes o segundo; e o terceiro monômio é o quadrado do segundo termo.
Fatoração
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 Regra do Trinômio do quadrado perfeito
Fatoração
18
EXECÍCIOS
 Trinômio do quadrado perfeito
1- Simplifique a expressão 
Fatoração
C
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EXECÍCIO TESTE
 
Fatoração
+0,5
D
20
Potenciação
 Potenciação: É uma multiplicação em série de um número por si mesmo. Assim, o símbolo , sendo a um número inteiro e n um número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a: 
 
 
Arquimedes
 Cuidado com os sinais!
Potenciação
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 Propriedades de potenciação
Potenciação
1.
2.
23
 Propriedades de potenciação
Potenciação
3.
4.
24
 Propriedades de potenciação
Potenciação
5.
6.
25
 Propriedades de potenciação
Potenciação
7.
26
 Quadro resumo das Propriedades
Potenciação
27
EXECÍCIOS
 
Potenciação
1.
2.
3.
D
A
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Radiciação
 Radiciação: A radiciação é o processo de se extrair raízes de um número. Representamos por  , onde n é denominado índice da raiz e a é chamado radicando e a é definido como a raiz.    
 
 
 Propriedades dos radicais 
Radiciação
1.
2.
3.
4.
30
 Propriedades dos radicais
1- Calcule a raiz indicada: 
Radiciação
5.
6.
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 Propriedades dos radicais
 1- Calcule a raiz indicada (GABARITO): 
Radiciação
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 Propriedades dos radicais
 1- Calcule a raiz indicada (GABARITO): 
Radiciação
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Racionalização de denominadores
 Qual o objetivo da racionalização de denominadores?
 A racionalização de denominadores é o processo de tornar um denominador irracional em um número racional sem alterar o valor numérico de uma fração.
 
 O denominador é uma raiz quadrada:  quando temos um radical de índice dois, podemos eliminá-lo multiplicando-o por ele mesmo, e além disto, para que nova a fração seja equivalente à fração original, também precisamos multiplicar o numerador pelo mesmo valor. 
Racionalização de denominadores
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 O denominador não é uma raiz quadrada:   Podemos concluir que o fator racionalizante de um denominador   é igual a 
Racionalização de denominadores
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 O denominador é uma soma ou diferença de duas raízes quadradas:  Para fazê-lo precisamos recorrer a um produto notável, mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos.
 
 Logo, o fator racionalizante de um denominador 
 será   e vice-versa.
Racionalização de denominadores
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