Funções de Várias Variáveis

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II 
Profa. Flavia Mendes 
 Funções de várias Variáveis 
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UNIDADE 4 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 
INTRODUÇÃO 
 
Se observarmos a produção de um produto percebemos que uma grandeza depende de mais 
de uma variável. O nível de vendas de um produto pode depender não apenas do preço, mas 
também dos preços dos produtos competidores, da quantia gasta com propaganda. O custo 
total para se manufaturar um produto depende/está em função do preço da matéria prima, mão 
de obra, manutenção da fábrica e assim por diante. Nesta unidade introduziremos as ideias 
básicas do cálculo para funções de mais de uma variável. 
 
DEFINIÇÃO: Seja D um subconjunto (região) do espaço R
2
 (plano). Chama-se função f de D 
toda relação que associa, a cada par (x,y)  D, um único número real, representado por f(x,y). 
O conjunto D é o domínio da função. 
 
Assim, 
D é o domínio da função em R
2
, 
f é a função 
f(x,y) é o valor da função calculado em (x,y). 
 
 
 
 
Ex.:Uma função f(x,y) de duas variáveis (x e y) 
 f(x,y) = 2x - yx 
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Ex.:Uma função f(x,y, z) de três variáveis (x, y e z) 
f(x,y,z) = 5x y2z 
f(x,y,z) = 
 
Ex.: Se f(x,y, z) = , calcule f(0, -1, 4) 
 
 
 
 Se f(x, y) = x2 + 2y, então f(2, 3) = 
 
 
 
APLICAÇÃO: 1. Uma loja vende manteiga a $2,50 por libra e margarina a $1,40 por libra. O 
faturamento com a venda de x libras de manteiga e y libras de margarina é dado pela função 
f(x,y) = 2,50x + 1,40y. Determine e interprete f(200,300). 
f(200,300) = 2,50. 200 + 1,40. 300 = 920 
Solução: O faturamento com a venda de 200 libras de manteiga e 300 libras de margarina é $ 
920. 
 
APLICAÇÃO: 2. Suponha que durante certoperíodo de tempo o número de unidades de bens 
produzidos quando utilizando x unidades de mão de obra e y unidades de capital é 
f(x,y) = 60 . 
a) Quantas unidades do bem serão produzidas utilizando 81 unidades de mão de obra e 
16 unidades de capital? 
 
 
 
 
 
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yx
x
yxf


3
),(
2
b) O que acontece com a produção se as quantidades de mão de obra e capital forem 
dobradas? 
 
 
 
 
 
4.1 DOMINIO DAS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
Domínio das Funções de Duas Variáveis: O domínio dessas funções segue as mesmas 
regras do domínio de funções de uma variável, ou seja, o domínio é a região D  R
2
, tal que os 
valores calculados da função, para todo (x,y)  D resultem em valores finitos e reais para 
f(x,y). 
 
 
Ex.1- Achar o domínio da função f(x,y) = (y − x)
1/2.
 
A condição de existência dessa função é y - x ≥ 0 (real), portanto o seu domínio é D ={(x, y)  
R
2
 / y - x ≥ 0}. 
 
Ex.2 – Ache o domínio da função f(x, y) = x
2
 / (2x – y), 
A função é finita quando 2x – y ≠ 0. 
Assim, domínio D  (x, y) é o conjunto de pontos, tais que, D = {(x, y)  R
2
 / y ≠ 2x }. 
 
Ex.3 - Ache o domínio da função 
A função é finita quando 3x - y > 0. O domínio é o conjunto de pontos, tais que D = {(x, y)  R
2
 / 
3x - y > 0}. 
 
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Domínio das Funções de Três ou mais variáveis: associa três ou mais variáveis 
independentes a uma variável dependente. Uma função de três ou mais variáveis não pode ser 
representada geometricamente (pois se x, y, z: variáveis de saída, w variável de chegada). 
 
 
4.2REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA F(X,Y) 
Uma função de duas variáveis pode ser representada graficamente como uma superfície no 
espaço fazendo z = f(x,y). 
 
 
 
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Outros exemplos: 
 
 
 
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DIFERENÇA ENTRE 2D E 3D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.3 CURVAS DE NIVEL 
Curvas de nível são desenhos de cortes de uma determinada figura tridimensional projetados 
em um plano. Elas são utilizadas, por exemplo, por topógrafos e engenheiros civis para 
representar regiões com elevações num terreno. Em geral, as alturas a que as medidas foram 
feitas são identificadas ou indicadas por um esquema de cores. Nesses casos, cada curva 
corresponde a um nível de terreno. 
 
 
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Obs: As curvas de nível nunca se interceptam. 
 
 
 
 
 
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4.4LIMITES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
Suponha que uma chapa metálica plana tenha a forma da região 
D
 da figura abaixo. 
 
 
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A cada ponto 
),( yx
da chapa corresponde uma temperatura 
),( yxf
, que é registrada em um 
termômetro representado pelo eixo-w. Quando o ponto 
),( yx
 se move na chapa, a 
temperatura pode aumentar diminuir ou constante, portanto, o ponto do eixo-w que 
corresponde a 
),( yxf
se moverá numa direção positiva, ou numa direção negativa, ou 
permanecerá fixo, respectivamente. Se a temperatura 
),( yxf
se aproxima de um valor fixo L 
quando 
),( yx
 se aproxima de um ponto fixo (a,b) utilizamos a seguinte notação. 
 
),(),(),(),(lim
),(),(
bayxquandoLyxfouLyxf
bayx


 
 
Ou 
 
 
 
Lê-se:O limite de 
),( yxf
, quando 
),( yx
 tende para 
),( ba
, é L. 
Ou seja; 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lyxf
ou
Lyxf
yxyx
yy
xx
o
o
o





),(lim
 
),(lim
),(),( 0
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Propriedades 
 
 
Outros exemplos: 
 
 
 
OBS: Para o cálculo de limites de funções polinomiais e “funções lineares” é só substituir os 
valores para os quais de x e y estão tendendo. Para funções racionais, quando ocorre 
indeterminação, ao fazer este procedimento, deve-se então usar a regra dos “dois caminhos”. 
 
4.5CONTINUIDADE 
 
Assim, diz-se que uma função f(x,y) é contínua em (xo,yo), se lim(x,y) (xo,yo)f(x,y) existe e é igual à 
f(xo,yo). 
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Obs: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6DERIVADAS PARCIAIS 
 
 
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b) f(x,y) = - 4y 
 
 
 
 
 
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Aplicação: O volume de um cone circular reto de altura h e raio da base r é dado por: 
 
 
 
 
 
 
Ex. Seja f(x,y) = calcule 
 
 
 
 
 
4.6.1DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
 
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Exercício: Faça as segundas derivadas... 
 
 
 
 
4.6.2GRADIENTE 
Definição: Seja z = f(x,y) uma função que admite derivadas parciais de 1ª ordem no ponto 
(xo, yo). O gradiente de f no ponto (xo, yo) denotado por grad f(xo, yo) ou é um vetor 
cujas componentes são as derivadas parciais de 1ª ordem de f nesse ponto. Ou seja, 
 grad f(xo, yo) = ( ou 
Geometricamente, interpretamos o gradiente como um vetor aplicado no ponto (x0, y0) 
perpendicular a curva de nível de f em (x0, y0), i.é; ele é perpendicular a reta tangente a curva 
de nível no ponto (x0,y0). Neste caso, o vetor gradiente esta situado no plano xy e é trasladado 
paralelamente da origem para esse ponto. 
Analogamente, definimos o vetor gradiente de funções de mais de duas variáveis. Por 
exemplo, para uma função de três variáveis w = f(x,y,z), temos 
 
 
 
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Ex.: Determinar o vetor gradiente das funções: 
a) z = 5x
2
y + 
 
 
b) w = xyz
2
 
 
 
 
 
c) f(x,y) = x
2
 + no ponto (1,3) 
 
 
 
 
 
 
4.7REGRA DA CADEIA 
 
 
Caso 1:Seja z = f(x,y) sendo que x e y são funções a uma outra variável t ou seja; x=g(t) e y = 
h(t). Então z torna-se uma função a uma variável t, i.é. z = f(g(t), h(t)), desde que 
 
t
y
y
z
t
x
x
z
dt
dz










 
 
Caso 2: Seja f(x,y) uma função de duas variáveis sendo que x = g(t,s) e y = h(t,s). Então 
t
y
y
f
t
x
x
f
dt
df










e
s
y
y
f
s
x
x
f
ds
df










 
 
 
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Exemplo: 
 
1) 
  yxzyxf 2, 
 
 
2
662223222
32
7 
34322322
t
ttttttttxtxy
dt
dz
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
tytx









 
2) f(x,y) = xy + x
2
 , x(t) = t + 1 e y(t) = t + 4. Calcule
dt
dz
 
z(t) = f(t + 1, t +4) = (t + 1)(t + 4) + (t +1)
2
 = 2t
2
 + 7t + 5 
 
dt
dz
= 4t + 7 
 
 
3) Dado que 
v
u
yvuxz xy  e 2 ,e
 determine 
u
z


e
v
z


: 
 
 
 
 
 
 
 
v
u
vu
v
u
vu
v
u
vu
xyxyxy
v
u
vu
xyxyxy
v
u
v
u
v
u
vu
v
u
v
u
xy
v
u
xy
v
z
v
vu
v
u
v
x
y
v
xy
u
z












































 







2
22
2
2
2
22
2
e22e 
2eee2e
2
2e2e
1
e2e
 
 
Para o caso de funções de três variáveis, temos: 
 
 
 
 
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4.8 MAXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
Ponto de Máximo de uma função 
 
 
 
 
Ponto de mínimo de uma função 
 
 
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OBS:
 
 
TESTE DA SEGUNDA DERIVADA PARCIAL 
É um teste analítico que pode ser utilizado para determinar se um número critico fornece valor 
de mínimo, máximo ou nenhum dos dois. 
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Pontos críticos de uma Função de Duas Variáveis 
 
Como nas funções de uma variável, os extremos (máximos e mínimos) ocorrem numa(s) 
destas situações(pontos críticos): 
- Primeiras derivadas parciais nulas; 
- Primeiras derivadas parciais não definidas 
A verificação se um ponto crítico é máximo ou mínimo (ou não) envolve ou estudo do valor da 
função e dossinais das primeiras derivadas nas proximidades do ponto crítico ou dos sinais das 
segundas derivadas noponto. 
 
Nas funções de duas variáveis, não temos pontos de inflexão, como em funções de uma 
variável.Podemos ter um ponto de sela, quando numa direção à função atinge um máximo num 
ponto e em outradireção, um mínimo no mesmo ponto.O nome se dá pela semelhança com 
uma sela de cavalo: máximo na direção das pernas do cavaleiro(transversal ao cavalo ) e 
mínimo na direção longitudinal (dorso) do cavalo. 
 
 
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CONDIÇÃO SUFICIENTE PARA O PONTO CRITICO SER EXTREMANTE LOCAL 
 
 
 
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APLICAÇÕES