Ve1 2008.2

Prévia do material em texto

Nome: Turma:
VE1 de Equações Diferenciais e Métodos Matemáticos (29/9/2007)
Questão 1 2 3 4 Total
Pontuação
Máximo 24 28 25 25 102
1) Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Justifique brevemente as suas respostas (por exemplo, se
usando comparação, diga isto e apenas cite a série usada na comparação).
[6] a)
∑∞
n=1
e−n.
[6] b)
∑∞
n=1
(
1
n2
+ 3n+12
5n−11
)
.
[6] c)
∑∞
n=0
1+n+n
2
√
1+n2+n8
.
[6] d)
∑∞
n=0
(√
n+ 1−√n
)
2) Seja p um número não inteiro. Considere a seguinte série de potências (chamada de série Binomial):
f (x) =
∞∑
n=0
p (p− 1) (p− 2) ... (p− n+ 1)
n!
xn
(para n = 0, o numerador não tem termo algum, e é, por convenção, 1).
[8] a) Calcule o raio de convergência R desta série.
[10] b) Mostre que y = f (x) é a solução por série de potências (para x ∈ (−R,R)) do seguinte Problema de Valor Inicial{
(x+ 1) y′ − py = 0
y (0) = 1
[10] c) Determine uma fórmula simples (sem somatórios) para f (x). [Dica: RESOLVA este P.V.I. por algum outro método
que deixe claro que a solução que você encontrou é única, pelo menos em volta de x = 0; então esta solução tem de ser f (x).]
3) Encontre uma solução y (t) (em série) para a EDO abaixo
2t2y′′ +
(
t2 − t
)
y′ + y = 0
4) [5] a) Seja f (t) uma função e seja F (s) sua transformada de Laplace. Escreva f (t) em função da transformada de Laplace
inversa de F ′ (s) da maneira mais simples possível.
[20] b) Use a Transformada de Laplace para encontrar soluções admissíveis da EDO
ty′′ + 2y′ − ty = 0
que satisfaçam y (0) = c0.
1