Método do Lugar Geométrico das Raízes (LGR) ou Root Locus

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EST – 2002/2003 
Profª Sónia Marques 1
Método do Lugar Geométrico das Raízes (LGR) ou Root-Locus 
 
A caracteristica básica da resposta transitória de um sistema em malha fechada é 
determinada a partir dos pólos em malha fechada. Portanto, em problemas de análise, é 
importante localizar os pólos em malha fechada no plano complexo. 
 
No projecto de sistemas em malha fechada, pretende-se ajustar os pólos em malha 
aberta de modo a colocar os pólos em malha fechada nas posições desejadas no plano 
complexo. 
 
Os pólos em malha fechada são raízes da equação caractertistica. 
 
Um método simples para detreminar as raízes da equação carcteristica foi desenvolvida 
por R. W. Evans e é extensivamente usado, denomina-se LGR ou Root-Locus. 
 
É um método pelo qual as raízes da equação carcteristica são colocados em um gráfico 
para todos os valores de um parâmetro do sistema. Este parâmetro é o ganhpo da função 
de transferência em malha fechada e varia de 0 a +∞. 
 
 
 
 
 
 
 
 
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC
+= 
A equação caracteristica é: 1 + G(s)H(s)=0 
 
 
ou GH(s) = -1 
 
 
 
| GH(s) |=1 <= CONDIÇÃO DO MÓDULO 
 
∠ GH(s)=±180º (2k+1) , k=0,1,2,3,... <= CONDIÇÃO DO ÂNGULO 
 
 
Os valores de s que satisfazem as condições de ângulo e módulo são as raízes da 
equação característica. 
 
EXEMPLO: Gráfico do LGR para 
kss
k
sR
sC
++= 2)(
)( 
A equação característica é: s2 + s + k = 0 
Deseja-se determinar o LGR desta equação confrome k varia de de 0 a +∞: k>0. 
 
G(s) 
H(s) 
É uma entidade complexa logo tem de ser desmembrada em termos 
de módulo e ângulo 
C(s) R(s) 
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Raízes da equação carcterística: ks 41
2
1
2
1 −±−= 
 
Raízes reais distintas para 1 – 4 k > 0 ⇔ k < ¼ 
Corresponde ao sub-amortecimento na resposta temporal 
a um degrau unitário, não apresentado oscilações. 
 
Raízes reais duplas para k=1/4 
Corresponde ao amortecimento critico 
 na resposta temporal 
a um degrau unitário, onde ξ=1. 
 
Raízes complexas conjugadas 
para 1 – 4 k < 0 ⇔ k >1/4 
Corresponde ao sobre-amortecimento na resposta temporal 
a um degrau unitário, apresentado oscilações. 
 
 
 
 
Prova que qualquer ponto sobre o LGR satisfaz a condição de ângulo: 
,....4,3,2,1,0 ,)12(1801
)1(
=+±=+∠−−∠=+∠ kkssss
k 
 
 
 
 
Ponto P1 
 
º180
º63
2/1
1
º117
1
2/1º90
1 21
2
1
2
1 =+⇔



==
=+=
⇔


=+∠
=∠ θθ
θ
θ
θ
θ
arctg
arctg
s
s
 
Ponto P2 
 
º180
º0
º180
1 212
1
2
1 =+⇔


=
=⇔


=+∠
=∠ θθθ
θ
θ
θ
s
s
 
 
Os pontos que não estiveram localizados no LGR não satisfazem a condição de ângulo, 
portanto não são pólos de cadeia-fechada para quaisquer valores de k. 
 
Se os pólos de cadeia-fechada forem especificadas no LGR então o valor 
correspondente de K é determinada pela condição do módulo. 
 
 
 
Plano 
complexo 
jω 
σ 
-1 0
Plano 
complexo 
jω 
σ 
-1 0
P1 +j 
θ1 θ2 
P2 
K=1/4
K=0
K=0
K=+∞ 
K=+∞ 
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EXEMPLO: s=-0.5±2j ⇒ 4/17)1(1
)1(
)(
25.0
25.0
=+=⇔=+= +−=+−= jsjs
ssk
ss
ksGH 
Basta fazer para um dos pólos complexos conjugados pois o outro é automaticamente 
igual. No cálculo de k qualquer um dos pólos pode ser utilizado. 
 
RESPOSTA TRANSITÓRIA: Efeitos da Variação de k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO DAS REGRAS GERAIS PARA A CONSTRUÇÃO DO LGR(GANHO 
POSITIVO k≥0) 
 
• Os ramos do LGR começam nos pólos da FT em cadeia aberta e terminam nos 
zeros da FT em cadeia aberta ou no infinito (caso não existam zeros). 
• Pertencem ao LGR os pontos da recta real que tenham à sua direita um número 
ímpar de pólos e zeros. 
• Comportamento assímptótico 
Assímptotas: rectas para que tendem os ramos do LGR que vão para o infinito. É 
igual ao número de pólos em malha aberta subtraído do número de zeros em 
malha aberta (assímptotas = n-m). 
Ângulo que as assímptotas fazem com o eixo real: 
1,....,4,3,2,1,0,)21( −−=−
+= mnk
mn
k πφ 
Centro assimptótico: 
mn
szerosKGHspólosKGH
m
i
n
j
−
−
=
∑∑
== 11
)()(
σ 
 
 
α 
21 ξω −n 
nξω− 
ξ=cte ξ=cte=0
ξ=cte 


=⇒=
=⇒=⇒


 −=


 −=
↓↑⇒
 º900
º011
arctg
1
arctg
unitário.degrau um a
 temporalresposta na aumentam oscilações as logo 
2
n
2
n
αξ
αξ
ξ
ξ
ξω
ξωα
ξk
Corresponde ao eixo real negativo quando os pólos em malha fechada são 
reais duplos. Na recta real negativa também existe ξ>1 que corresponde a 
quando os pólos são reais distintos. 
Corresponde ao eixo imaginário quando os pólos em 
malha fechada são imaginários puros. 
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• Ângulo de partida dos pólos complexos conjugados 
∑∑
==
−++±=
n
j
j
m
i
ij k
11
)21( θγπθ 
 
 
 
 
 
• Ângulo de chegada a zeros complexos conjugados 
 
∑∑
==
+−+±=
n
j
j
m
i
ij k
11
)21( θγπγ 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Determinação do breakaway e breakin: 
O ponto breakaway corresponde ao maior valor de k pra o qual as raízes da 
equação caracteristica ainda são reais. O ponto breakin corresponde a um ponto 
de entrada no eixo real em que se verifica um mínimo relativo no ganho k 
Como calcular? Eq. Caracteristica: 
)(
10)(1
sGH
KsKGH −=⇔=+ 
Pretende-se determinar o valor de s tal que k seja o máximo relativo: 
0
)(
10 =


−⇔=
sGHs
K
s
K
δ
δ
δ
δ 
• Ângulo de partida ou ângulo de chegada ao eixo real: 
O ângulo entre dois ramos adjacentes que se aproximam (ou se afastam) do 
mesmo ponto do eixo real é α
πλ 2= ou 
O ângulo entre dois ramos adjacentes um a chegar e o outro a partir do mesmo 
ponto do eixo real é α
πθ = com α = nº ramos que se cruzam no ponto 
considerado. 
Contribuição 
angular dos zeros 
Contribuição 
angular dos 
restantes pólos
Ângulo de partida do pólo complexo -pj 
Contribuição 
angular dos 
pólos
Contribuição angular 
dos restantes zeros 
Ângulo de chegada ao zero complexo -zj