apostila de teoria cap 6

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Capítulo 6: Escoamentos viscosos em tubulações________________________________________________________ 
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Prof. André Vitor Bonora FACENS – Faculdade de Engenharia de Sorocaba 
 
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Capítulo 6 
 
Escoamentos viscosos em tubulações 
 
 
6.1 Experiência de Reynolds 
 
 Em homenagem a Osborne Reynolds, cientista irlandês (ver apêndice L). 
 
 
Osborne Reynolds (1842 – 1912) 
 
Na fig. 6.1(a) mostra-se o aparato experimental projetado por Reynolds, que, 
na segunda metade do século XIX, utilizou numa experiência por ele realizada. 
 
 
Fig. 6.1: experiência de Reynolds: (a) aparato (b) resultados 
 
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Objetivo da experiência: estudar a relação entre as forças que agem num 
escoamento de fluidos, a saber: forças de inércia (movimento da massa fluida) e de 
viscosidade (ação das tensões de cisalhamento). 
 
Funcionamento do aparato: um corante apropriado (que não influencia na densidade 
da água) é inserido lentamente na corrente fluida, fazendo-se com que o conjunto de 
partículas fluidas que passam pela agulha injetora do corante se tornem visíveis, 
fornecendo-se uma idéia mais clara da trajetória das mesmas. 
 
Observações feitas por Reynolds na sua experiência: em velocidades baixas, o filete 
visível de partículas fluidas formava um único filamento ao longo do tubo, 
característica de escoamento laminar (filetes formando “lâminas” paralelas) 
demonstrado na fig. 6.1(b). À medida que a velocidade aumentava, o filete tornava-
se mais ondulado, até quase desaparecer no meio da corrente fluida. Neste caso, as 
partículas fluidas formam pequenos “turbilhões” (vórtices) ao longo da tubulação, 
fazendo-se com que sua trajetória se torne caótica (indefinida), característica de 
escoamento turbulento, demonstrado na fig. 6.1(b). Entre os escoamentos laminar 
e turbulento, ocorria um fenômeno onde as flutuações dos dados experimentais 
eram mais acentuadas, chamada zona de transição, conforme ilustrada na fig. 
6.1(b). 
Ao relacionar as forças que agem no escoamento, Reynolds deduziu um 
parâmetro adimensional dado por: 
 
 Parâmetro este mundialmente conhecido como NÚMERO DE REYNOLDS, 
onde: 
ρ = massa específica do fluido 
V = velocidade média do escoamento 
L = dimensão característica da superfície de controle (SC) 
µ = viscosidade dinâmica do fluido escoante 
 
 Sabendo-se que: 
 
onde: ν = viscosidade cinemática do fluido escoante, o Número de Reynolds também 
pode ser dado por: 
 
µ
ρ LVNNy R
..ReRe Re ====
ρ
µ
ν =
ν
LVy .Re =
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A dimensão característica L depende da SC utilizada como parâmetro de 
estudo e, de uma forma geral, pode ser dada por: 
 
m
m
P
AL .4=
 
 
onde: Am = área molhada da SC = superfície na qual o fluido escoará totalmente 
Pm = perímetro molhado = perímetro efetivo da SC por onde escoará o fluido 
 
No caso de tubos circulares de diâmetro D tem-se que: 
 
DLDPDA mm =→=→= .
.
pi
pi
4
2
 
 
No caso de tubos retangulares de altura h e base b tem-se que: 
 
hb
hbLhbPhbA mm +
=→+=→=
..
).(.
22 
 
 
Como a maioria dos estudos em FT será feita em tubos circulares, pode-se 
escrever o Número de Reynolds da seguinte forma: 
 
 
Onde: Q = vazão em volume ou volumétrica do fluido na tubulação 
 m& = vazão em massa ou mássica do fluido na tubulação 
 
6.2 Classificação do escoamento em tubulações pelo Número de Reynolds 
 
 Pela sua experiência, Reynolds ainda concluiu que, independentemente dos 
parâmetros do escoamento (velocidade, massa específica, diâmetro, viscosidade) 
desde que relacionados pela equação acima, o escoamento do fluido em 
tubulações poderia ser classificado conforme a faixa de Rey ao qual está inserido, 
isto é: 
 
Rey < 2300 (alguns autores adotam 3000): escoamento LAMINAR. 
 
2300 < Rey < 4000: ZONA DE TRANSIÇÃO 
 
4000 < Rey < 105: escoamento TURBULENTO LISO 
µpiνpiµpi
ρ
νµ
ρ
..
.4
..
.4
..
..4...Rey
D
m
D
Q
D
QDVDV &
=====
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105 < Rey < 106: escoamento TURBULENTO MISTO 
 
Rey > 106: escoamento TURBULENTO RUGOSO 
 
 O Número de Reynolds não tem como função apenas a de classificar o 
escoamento. Pode-se afirmar com certeza que praticamente tudo o que está 
relacionado com escoamento tem seu estudo em função de Rey, desde a calibração 
de instrumentos até o estudo de modelos reduzidos de barragens, eclusas, 
comportas e, juntamente com os Números de Froude e de Mach, em estudos de 
modelos reduzidos de aviões, automóveis etc. 
 
 
6.3 Perda de carga 
 
6.3.1 Definição 
 
Define-se perda de carga como sendo a conversão irreversível de energia 
mecânica ao longo do escoamento em duas formas de energia: energia térmica 
indesejada mais a perda de energia através da transferência de calor ao longo do 
escoamento. 
 Se o escoamento fosse admitido como sem atrito, a velocidade numa seção 
seria uniforme e a equação de Bernoulli para escoamento ideal preveria perda de 
carga nula. 
 Portanto, como no estudo de um fluido real o atrito é relevante, deve-se 
completar a eq. de Bernoulli com o termo de perda de carga, que se denominará a 
equação de Bernoulli para escoamento real, dada por: 
 
 
Onde: ht = perda de carga total entre os pontos de estudo. 
 
 Unidades: 
No SI: [ht] = m2/s2 
 
No SIG: [ht] = ft2/s2 
 
 Outra forma de escrever a equação de Bernoulli para escoamento real é: 
 
 
 
 
Unidades: 
).(
2 21
2
2
2
121 zzg
VVPPht −+
−
+
−
=
ρ
)(
.
21
2
2
2
121
2
zz
g
VVPP
g
hH tt −+
−
+
−
==
γ
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No SI: [Ht] = m 
 
No SIG: [Ht] = ft 
 
 O futuro engenheiro deve ter percebido que esta última forma de escrever a 
eq. de Bernoulli para escoamento real é bem mais prática que a anterior. 
 
 
 6.3.1.1 Perda de Carga Distribuída (Hl) 
É devida à ação das tensões de cisalhamento ao longo da tubulação e é 
função das seguintes grandezas: velocidade média V do fluido escoante (ou vazão 
em volume Q), massa específica ρρρρ do fluido escoante, comprimento L da tubulação 
(ou do trecho considerado), viscosidade dinâmica µµµµ do fluido escoante,diâmetro D 
da tubulação, rugosidade e do material do tubo (altura média da rugosidade da 
parede da tubulação, cujos dados para tubos novos estão do apêndice G) e a 
aceleração da gravidade g. Relacionando-se dimensionalmente estas grandezas 
(ver apêndice E) pode-se escrever a perda de carga distribuída pela equação 
abaixo, denominada Equação de Darcy-Weisbach: 
 
 
Onde: f = fator de atrito da tubulação ou fator de atrito de Darcy que, por sua vez, é 
função de e/D (rugosidade relativa da tubulação) e de Rey. 
 
 
Henry Darcy (1803 – 1858) 
 
 
g
Q
D
Lf
g
V
D
LfH l
.
.8
..
.2
.. 2
2
5
2
pi
==
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Julius Lugwig Weisbach (1806 – 1871) 
 
 Henry Darcy, cientista francês, e Julius Lugwig Weisbach, cientista alemão, 
foram praticamente os pioneiros nos estudos do fator de atrito f em tubulações e 
fizeram várias experiências utilizando-se de tubos horizontais e de diâmetro 
constante. Em suas experiências, eles notaram que o mesmo fator de atrito f dado 
pela sua equação anterior era função ainda da variação da pressão manométrica ∆∆∆∆p 
no tubo. A equação do valor de f, determinada por estes cientistas, é dada por: 
 
2
52
2
...8
...
..
...2
QL
pgD
VL
pDgf
γ
pi
γ
∆
=
∆
=
 
 
 
 Para obtenção da perda de carga distribuída a determinação do valor de f é 
de fundamental importância. No apêndice O estão discriminados vários métodos 
para obtenção de f que deverão ser analisados com muita atenção. Serão descritos 
a seguir alguns métodos dentre os descritos no apêndice O. 
No início do século XX o cientista alemão Johann Nikuradse (1894 –1979) 
realizou experiências sobre a relação entre f e Rey com tubos de vidro e simulou a 
perda de carga em seu interior utilizando grãos de areia colados delicadamente nas 
paredes dos mesmos, com uma cola especial. Os grãos de areia eram selecionados 
com máxima precisão, o que levou a Nikuradse a ter alto conhecimento em 
granulometria. Seus estudos foram correlacionados em diagramas, denominados 
ábacos de Nikuradse, ilustrados na fig. 6.2. 
 
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Fig. 6.2: ábacos de Nikuradse 
 
 Conjuntamente, Lewis F. Moody, cientista norte americano (1880 – 1953), 
utilizando tubos comerciais, levantou dados da correlação de f e Rey, mostrando-os 
num diagrama que leva seu nome, o diagrama de Moody, ilustrado na fig. 6.3. 
 
 
 
 
 
 
 
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Fig. 6.3: Diagrama de Moody 
 
Para se obter o valor de f (eixo vertical esquerdo), toma-se o valor de e/D 
(eixo vertical direito) e determina-se a curva de e/D empírica (se esta curva já existir 
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no gráfico, utiliza-se a existente). Após isto, toma-se o valor de Rey (eixo horizontal) 
e sobe-se verticalmente até a curva de e/D. Ao encontrar-se a curva de e/D, dirige-
se até o eixo vertical esquerdo de f. Se o escoamento for laminar, não há a 
necessidade do valor de e/D, pois a reta do escoamento laminar encontra-se no lado 
esquerdo do gráfico, antes do valor de Rey igual a 2300. 
A fig. 6.4 ilustra a metodologia supra descrita. 
 
 
Fig. 6.4: diagrama de Moody - descrição de utilização 
 
Alguns cientistas deduziram algumas equações que, computacionalmente, 
abrangem a maioria das situações práticas. São: 
 
I) Escoamento laminar: o valor de f para este escoamento não depende de e/D. 
Sua determinação é dada pelos estudos conjuntos de dois cientistas: 
Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen, físico alemão e engenheiro hidráulico e 
a Jean Louis Marie Poiseuille, médico e cientista francês, que estudaram 
o escoamento laminar em tubos capilares (tubos de pequeno diâmetro 
como, por exemplo, as veias e artérias do sistema circulatório sangüíneo). 
Com estes estudos, estes cientistas deduziram uma equação que leva 
seus nomes (ver apêndice F), a Equação de Hagen-Poiseuille: 
 
4
.
...128
D
QLp
pi
µ
=∆
 
 
 Onde: Q = vazão em volume no interior do tubo capilar; 
 ∆∆∆∆p = variação de pressão no interior do tubo; 
 D = diâmetro efetivo do tubo; 
 µ = viscosidade dinâmica do fluido escoante; 
 L = comprimento do tubo; 
 
 
 
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Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797 - 1884) 
 
 
Jean Louis Marie Poiseuille (1797 – 1869) 
 
Como a única perda de carga no interior do tubo é a distribuída, pode-se 
escrever a variação de pressão em termos da equação de Bernoulli para 
escoamento geral juntamente com a equação da perda de carga distribuída, o 
que resulta: 
 
2
2
5
..8
..
pi
ρ Q
D
Lfp =∆
 
 
Igualando-se as equações da variação de pressão e isolando-se o fator de 
atrito f tem-se que: 
 
II) Eq. de Blasius: Paul R. H. Blasius, cientista alemão (1883 – 1970) 
correlacionou os dados dos outros cientistas e determinou que, numa faixa de 
Rey da ordem de 4000 < Rey < 105 e somente para tubos lisos (e/D = 10-6 ) 
o valor de f poderia ser calculado por: 
 
 
Rey
64
=f
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90 
 
III) Eq. de Colebrook: em homenagem a Cyril Frank Colebrook, cientista 
galês: 
 
 
Cyril Frank Colebrook (1910 – 1997) 
 
Colebrook propôs a utilização, por meio dos cálculos dos coeficientes de 
resistência ao fluxo, uma dependência linear entre Rey e e/D. Esta proposta é 
fundamentada nas observações de Prandtl e Nikuradse. A equação de Colebrook é 
largamente utilizada no mundo inteiro, com diferentes denominações: 
 
 
O futuro engenheiro deve ter percebido que a eq. de Colebrook é uma 
equação transcendente (implícita), isto é, para ser resolvida é necessário cálculo 
iterativo (Cálculo Numérico). 
Mas, R. W. Miller, P. K. Swamee e A. K. Jain (séc. XX), cientistas estudiososdos trabalhos de Colebrook, sugeriram que, se a 1a iteração fosse calculada por sua 
equação, o valor de f por Colebrook teria um erro de cálculo da ordem de 1%, erro 
mais do que aceito em todas as aplicações práticas vistas aqui em FT. 
 Portanto, para se utilizar a equação de Colebrook (a menos que um 
computador ou calculadora programável o faça) deve-se calcular a 1a iteração de 
Colebrook pela equação de Miller-Swamee-Jain, dada por: 
 
 
 
25,0Rey
3164,0
=f
2
50
512
73
2
−
















+−=
,.
,
,
.
f
f
Rey
e/Dlog
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91 
 
Assim sendo, após o cálculo de fo deve-se substituí-lo no lugar do valor de f 
no interior da equação de Colebrook e efetuar o cálculo do fator de atrito f final. 
 
IV) Método de Serghide: No séc XX T. K. Serghide sugeriu que o cálculo do fator 
de atrito de Darcy (f) poderia ser realizado através da aplicação da 
transformação de Shanks e do algorítimo de Steffensen (um método de 
convergência para determinação de zeros de funções mais rápido do que o de 
Newton-Raphson) nos dados da Equação de Colebrook transformando-a numa 
série convergente de três termos, dados por: 
 






+−=






+−=






+−=
y
BDeC
y
ADeB
y
DeA
Re
.51,2
7,3
/log.2
Re
.51,2
7,3
/log.2
Re
12
7,3
/log.2
 
 
O objetivo de Serghide foi transformar a Equação de Colebrook, que é uma 
equação implícita (isto é, não permite a determinação de f diretamente, 
necessitando-se da aplicação de Cálculo Numérico para tal), num método explícito. 
 Assim, pelo método de Serghide o valor de f pode ser dado por: 
 
22
.2
)( −






+−
−
−=
ABC
ABAf
 
 
6.3.1.2 Perda de carga localizada (Hs) 
 
É devida à perda de energia em dispositivos (bombas, turbinas, reatores) e 
conexões (curvas, cotovelos, tês, válvulas, placas de orifícios, etc) instalados ao 
longo da tubulação. 
A equação que determina o valor de Hs é dada por: 
 
2
9,0
74,5
7,3
log.25,0
−












+= Rey
e/D
of
g
VkH s
.2
.
2
=
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92 
Onde: k = coeficiente de perda de carga localizada da conexão ou dispositivo 
 
O valor de k é tabelado e dado pelo fabricante do dispositivo (ou conexão) 
para uma dada situação. Em geral, podem-se adotar os seguintes valores práticos: 
 
cotovelos de 90o : k = 0,9 ���� bombas (ou turbinas): k = 1 
 
Pode-se substituir a perda de carga localizada por uma perda distribuída de 
comprimento Leq que, como o próprio nome diz, é equivalente à perda localizada no 
ponto. O valor de Leq é denominado comprimento equivalente da conexão (ou 
dispositivo) e é determinado igualando-se a perda de carga distribuída com a 
localizada no tubo ao qual está conectado, isto é: 
Assim: 
 
Obs.: deve-se tomar muito cuidado com o valor de V nas conexões. Para 
todos os efeitos, adota-se como valor de V à jusante da conexão (após a mesma). 
 
 
6.3.2 Perda de carga total 
 
 É a soma das perdas distribuída e localizada. Utilizando-se o conceito 
de comprimento equivalente, a perda de carga total pode ainda ser escrita como 
sendo: 
 
g
V
D
LLfHHH eqslt
.2
.
)(
.
2+
=+=
 
 
 Onde Leq é a soma de todos os comprimentos equivalentes de todas as 
conexões do trecho considerado. 
 
 6.3.3 Critério de velocidade econômica (Ve) 
 
 Para se minimizar os efeitos da perda de carga, a velocidade média do 
fluido em escoamento não deve ultrapassar um determinado valor padronizado, 
denominado velocidade econômica (Ve). Este valor depende do tipo de tubo a ser 
utilizado, do fluido e da aplicação. 
 Como referência básica, adotam-se os seguintes valores: 
 
 
g
Vk
g
V
D
Lf eq
.2
.
.2
..
22
=
f
DkLeq
.
=
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• escoamento de água em instalações residenciais � 1 ≤ Ve ≤ 2 m/s 
 
• escoamento de água em instalações industriais � 2 ≤ Ve ≤ 3 m/s 
 
 
 6.3.4 Considerações finais sobre a perda de carga 
 
 O futuro engenheiro deve ter percebido que a perda de carga é algo 
que deve ser minimizado ao máximo possível, para que o sistema de escoamento 
tenha o maior rendimento possível. 
 Minimizar a perda de carga não é uma tarefa tão simples assim. A 
priori, pelas equações apresentadas, o futuro engenheiro deve ter percebido 
também que, para diminuir a perda de carga é necessário escolher tubos com 
diâmetros grandes ou escolher tubos lisos ou trechos de tubulações mais curtos ou 
sistemas com baixas vazões. 
 Justamente estas considerações é que devem ser levadas para os 
projetos de tubulações e, mais ainda, tentar minimizar os custos relevantes do 
projeto, bem como atingir a maior relação custo-benefício do mesmo. 
 Está lançado o desafio para quem quiser ser um bom profissional nesta 
área.