Mecânica das estruturas 2

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UEL – CTU, Departamento de Estruturas, 3TRU022 Mecânica II, Prof. Roberto Buchaim 
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1
3TRU022: Mecânica II 
Prof.: Roberto Buchaim 
Exercícios resolvidos 
 
Exercícios de Vigas Isostáticas 
 
 
1º Exercício - Determinar para a viga bi-apoiada abaixo as reações de apoio, e os 
diagramas dos esforços solicitantes. Usar as equações indefinidas de equilíbrio. 
 
 
 
 
Dados 
î
í
ì
=
=
ml
mKNq
8
/90 
 
1º passo: Determinação da função )(xq 
 
Conforme a figura, por semelhança de triângulos tem-se x
l
q
xq
l
q
x
xq 00 )(
)(
=\= 
 
Ou ainda , pode-se partir da equação geral da reta baxxq +=)( , com as 
condições: 
ïî
ï
í
ì
=\==Þ=
=\+==Þ=
l
q
alaqlqlx
bbaqx
0
0 .)(
00.0)0(0
 donde x
l
q
xq 0)( = , como antes. 
 
 
 
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2
2º passo: Cálculo das reações de apoio 
 
Estas são obtidas através das equações de equilíbrio, calculando-se antes o total 
de carga aplicada na viga, bem como sua posição na viga. 
 
( )ò ò =-====
l l l lq
l
l
qx
l
q
xdx
l
q
dxxqQ
0
0220
0 0
2
00
2
0
22
)( 
 
(esta expressão também é igual à área do carregamento da viga, um triângulo de 
base l e altura 0q ). 
 
Posição da resultante Q (iguala-se os momentos estáticos em relação ao ponto A 
da carga resultante e da carga distribuída ao longo da viga): 
 
[ ]ò=
l
CG xdxxqxQ
0
)(. ou ò=
l
CG dxxl
q
x
lq
0
200
2
 
 
 
 
Isolando CGx tem-se: 
 
[ ] lxl
l
l
l
l
x
l
dxx
l
q
lq
x CG
ll
CG 3
2
3
2
3
2
0
3
2
3
22
2
3
33
2
00
3
2
20
0
=\==-=ú
û
ù
ê
ë
é
== ò 
 
(posição do centro de gravidade de um triangulo retângulo de base l e altura 0q ) 
 
Cálculo das reações de apoio 
 
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3
3
 
 
 
å = 0Ma lQlRB 3
2
. = 
23
2
3
2 0 lqQR B ==\ 
3
0lqRB = 
 
3º passo: Determinação da força cortante ( )xV pela equação indefinida de 
equilíbrio: 
 
l
xq
xq
dx
xdV 0)(
)(
-=-= 
 
Integrando de 0 a x temos: 
 
ò +-= 10)( Cxdxl
q
xV 1
2
0
2
)( C
x
l
q
xV +-= 
 
Cálculo do valor da constante 1C : para 0=x tem-se 6
)0( 0
lq
RV A == 
6
0
26
0
11
00 lqCC
l
qlq
=\+×-= 
 
62
)( 020
lq
x
l
q
xV +×-= 
62
)( 0
2
2
0 lq
l
xlq
xV +×-= 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+÷
ø
ö
ç
è
æ-=
3
1
2
)(
2
0
l
xlq
xV 
 
ou ainda, denominando 
l
x
=x a abscissa adimensional, tem-se 
 
 ú
û
ù
êë
é +-=
3
1
2
)( 20 xx
lq
V 
 
å = 0Fy QRR BA =+ 
632
000 lqlqlqRA =-= donde 2
B
A
R
R = 
 
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4
4
 A força cortante se anula para 
3
3
3
1
0
3
12 ===Þ=úû
ù
êë
é +-
l
x
xx 
Ou llx 577.0
3
3
@×= (um pouco além do meio do vão). 
 
Conferindo, no apoio B lx = ou 1==
l
x
x 
 
 BR
lqlqlqlq
V -=-=÷
ø
ö
ç
è
æ-=úû
ù
êë
é +-=úû
ù
êë
é +-==
33
2
23
1
3
3
23
1
1
2
)1( 00020x OK 
 
4º passo: Determinação do momento fletor ( )xM pela equação indefinida de 
equilíbrio: 
 
ú
û
ù
ê
ë
é
+--==
3
1
2
)(
)(
2
2
0
l
xlq
xV
dx
xdM
 
 
Integrando os dois lados, tem-se: 
 
ò +ú
û
ù
ê
ë
é
+--= 22
2
0
3
1
2
)( C
l
xlq
xM 22
3
0
3
1
32
)( C
l
xlq
xM +ú
û
ù
ê
ë
é
+--= 
23
3
0
32
)( Cl
l
x
l
l
xlq
xM +ú
û
ù
ê
ë
é
×+×-
×
-= 2
32
0
6
)( C
l
x
l
xlq
xM +
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+÷
ø
ö
ç
è
æ--= 
 
Cálculo da constante 2C : 
 para 0=x tem-se 0
6
0)0( 22
2
0 =\+== CC
lq
M 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ-=
32
0
6
)(
l
x
l
xlq
xM ou [ ]3
2
0
6
)( xxz -=
lq
M (parábola cúbica) 
 
Conferindo: para lx = 0)( =lM . OK 
O momento máximo, maxM , ocorre para 0=V . Logo, 
3
3
=x . Substituindo na 
equação de )(xM , obtém-se: 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=
32
0
3
3
3
3
6
max
lq
M 385,0
6
2
0 ×@
lq
588,15
2
0lq= 
 
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5
5º Passo: Gráficos , com mKNq 90 = e ml 8= 
 
( )m
x
 
l
x
=x 
( )ll 
( ) úû
ù
êë
é -=úû
ù
êë
é -= 220
3
1
36
3
1
2
xxx
lq
V 
( )KN 
( ) [ ] [ ]22
2
0 1961
6
xxxxx -=-=
lq
M 
( )mKN . 
0 0 12 0 
1 0,125 11,4375 11,8125 
2 0,25 9,75 22,5 
3 0,375 6,9375 30,9375 
4 0,5 3 36 
4.62 0,5774 0 maxM 36.9504 
5 0, -2,0625 36,5625 
6 0,75 -8,25 31,5 
7 0,875 -15,5625 19,6875 
8 1 -24 0 
 
 
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6
Viga Isostática, Carga Triangular: Força Cortante
-24
-20
-16
-12
-8
-4
0
4
8
12
0 2 4 6 8
Abscissa (m)
F
o
rç
a 
C
o
rt
an
te
 V
(x
),
 [
K
N
]
V(x)
 
Viga Isostática, Carga Triangular: Momento Fletor
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 2 4 6 8
Abscissa (m)
M
o
m
en
to
 F
le
to
r 
M
(x
),
 [
K
N
m
]
M(x)
 
OBS: Os valores do momento fletor estão com sinal contrário, porque o Excel 
desenha ordenadas positivas acima do eixo das abscissas, o que é contra a 
convenção de momento fletor. 
 
 
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2º Exercício- Determinar para a viga bi-apoiada da figura as reações de apoio e 
os diagramas dos esforços solicitantes. Usar as equações indefinidas de 
equilíbrio. (Obs.: Esta carga é usada em estruturas de pontes). 
 
 
 
 
Dados 
î
í
ì
=
=
ml
mKNq
8
/90 
 
1º Passo: Determinação da função )(xq 
 
( )BlAxq sen.)( = condições de contorno: ( )î
í
ì
==Þ=
=Þ=
BlAlqlx
qx
sen.0)(
0)0(0
 
 
Como ( ) 0sen0 =Þ¹ BlA ou 
l
BBl
p
p =\= 
 
Para 
2
l
x = resulta ( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ=÷
ø
ö
ç
è
æ==
2
sen.
2
sen.2 0
pp
A
l
l
Aqlq . E como 
012
sen qA =\=÷
ø
ö
ç
è
æ p , resulta ÷
ø
ö
ç
è
æ=
l
x
qxq
.
sen.)( 0
p
 
 
2º Passo: Cálculo das reações de apoio 
 
No caso, por causa da simetria, as reações de apoio são iguais à metade da carga 
total aplicada Q , que vale: 
 
ò ò ÷ø
ö
ç
è
æ==
l l
dx
l
x
qdxxqQ
0 0
0
.
sen)(
p
 
ll
l
xlq
l
x
d
l
xlq
Q
00
00 .cos
.
.
.
sen ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ-=÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ= ò
p
p
pp
p
 
 
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8
 A variável x está no intervalo [ ]l,0 . Mudando a variável para 
l
x.p
, esta nova 
variável estará no intervalo [ ]ppp ,0.,0. =úû
ù
êë
é
l
l
l
, donde 
 
( ) ( )[ ]0coscos0 --= p
p
lq
Q [ ]
pp
lqlq
Q 00 211 =---= lq
lq
lqQ 0
0
0 6366,057,1
2
. =@÷
ø
ö
ç
è
æ=
p
 
 
Logo 
p
lqQ
RR BA
0
2
=== 
 
3º passo: Determinação da força cortante ( )xV pela equação indefinidade 
equilíbrio: 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ-=-=
l
x
qxq
dx
xdV .
sen)(
)(
0
p
 
 
Integrando os dois lados tem-se: 
 
ò +÷ø
ö
ç
è
æ-= 10
.
sen)( Cdx
l
x
qxV
p
 ò +÷ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ-= 1
0 .sen)( C
l
x
d
l
xlq
xV
pp
p
 
1
0 .cos)( C
l
xlq
xV +ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ--=
p
p
 1
0 .cos)( C
l
xlq
xV +ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ=
p
p
 
 
Cálculo do valor da constante 1C : para 0=x tem-se p
lq
RV A
0)0( == 
 
( ) ( ) 00cos0 11
1
00 =\+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
== CC
lqlq
V
876
pp
 Logo ( ) ÷ø
ö
ç
è
æ=
l
xlq
xV
.
cos0
p
p
 
 
Conferindo para 
( ) ( )
( )ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=÷
ø
ö
ç
è
æ=÷
ø
ö
ç
è
æ=Þ=
-==-=Þ=
-
0
2
cos
2
cos22
cos
00
0
1
0
p
p
p
p
p
p
p
lql
l
lq
lVlx
lqlq
RBlVlx
876
 
 
4º passo: Determinação do momento fletor ( )xM pela equação indefinida de 
equilíbrio: 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ==
l
xlq
xV
dx
xdM .
cos)(
)( 0 p
p
 
 
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9
Integrando os dois lados tem-se: 
 
ò +÷ø
ö
ç
è
æ= 2
0 .cos)( Cdx
l
xlq
xM
p
p
 ò +÷ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ= 2
0 ..cos)( C
l
x
d
l
xllq
xM
pp
pp
 
22
2
0 .sen)( Cdx
l
xlq
xM +÷
ø
ö
ç
è
æ=
p
p
 
 
Cálculo do valor da constante 2C : para 0=x tem-se 
( ) 00sen0)0( 22
0
2
2
0 =\+== CC
lq
M
48476
p
 
 
Logo: ( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ=
l
xlq
xM
.
sen
2
2
0 p
p
 
 
O máximo momento fletor, maxM , ocorre para 0=V , o que se dá na abscissa 
2
l
x = . Substituindo na equação de )(xM , vem: 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ=
2
senmax
2
2
0 l
l
lq
M
p
p 2
2
0
p
lq
=
87,9
2
0lq@ 
 
5º Passo: Gráficos , com mKNq 90 = e ml 8= 
 
( )m
x 8
.. x
l
x pp
= 
( )rad (*) 
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ=÷
ø
ö
ç
è
æ=
8
.
cos
72.
cos0
x
l
xlq
xV
p
p
p
p
( )KN 
( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ=÷
ø
ö
ç
è
æ=
8
.
sen361,58
.
sen
2
2
0 x
l
xlq
xM
pp
p
( )mKN . 
0 0 22,9183 0 
0,5 0,1963 22,4779 11,3857 
1 0,3927 21,1738 22,3338 
1,5 0,5890 19,0559 32,4236 
2 0,7854 16,2057 41,2675 
2,5 0,9817 12,7237 48,5254 
3 1,1781 8,7705 53,9185 
3,5 1,3744 4,4711 57,2396 
4 1,5708 0 maxM 58,361 
5 1,9635 -8,7705 53,9185 
6 2,3562 -16,2057 41,2675 
7 2,7489 -21,1738 22,3338 
8 3,1416 -22,9183 0 
 
(*): Notar que o ângulo, na calculadora, deve ser posto em radianos. 
 
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10
Viga Isostática, Carga Senoidal: Força 
Cortante
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8
Abscissa (m)
F
o
rç
a 
C
o
rt
an
te
 V
(x
),
 [
K
N
]
V(x)
 
Viga Isostática, Carga Senoidal: Momento 
Fletor
-60
-55
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 2 4 6 8
Abscissa (m)
M
o
m
en
to
 F
le
to
r 
M
(x
),
 
[K
N
m
]
M(x)
 
OBS: O momento fletor está indicado com sinal contrário, pois o Excel desenha 
ordenadas positivas para cima, contrariando a convenção adotada de desenhá-lo 
no lado em que as fibras são tracionadas.