Capitulo 4 - Taxas Equivalentes de juros

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Disciplina: Matemática Financeira– Unidade 4 – Taxa equivalente 
Professora: Magda Leyser – magda.leyser@gmail.com 
 
4.Taxa de juros proporcionais e equivalentes 
Na capitalização simples podemos resolver os problemas através de taxas de juros 
proporcionais, assim se temos uma taxa anual e desejamos a taxa mensal, basta usar a 
ideia de proporção. Uma taxa de 12% ao ano na capitalização simples gera o mesmo 
montante que uma taxa de 1%ao mês. A proporcionalidade se mantém na capitalização 
simples. Entretanto, para a capitalização composta esse raciocínio não é verdadeiro, isto é 
se usarmos taxas proporcionais para a capitalização composta não teremos o mesmo 
montante. A relação entre a taxa anual e a taxa mensal está estabelecida pela potenciação. 
Nestes exercícios pretendemos identificar a relação entre taxas de capitalização 
composta para períodos diferentes que sobre o mesmo capital (valor presente) e aplicada o 
mesmo período gerem o mesmo montante (valor futuro). 
Exemplo 1 Patrícia fez uma aplicação de R$3.500,00 pelo regime de capitalização simples 
e juros proporcionais por 42 meses à taxa de 15%a.a. Determine o montante recebido. 
Para padronizar a regularidade entre a descrição do prazo e da taxa de juros temos duas 
alternativas: 
Solução 1: calcular o prazo em anos pois a taxa de juros simples é anual então usaremos o 
prazo como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 2: calcular a taxa proporcional mensal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que nas duas soluções obtemos montantes equivalentes. 
Entretanto, para a capitalização composta esse raciocínio não é verdadeiro, isto é 
se usarmos taxas proporcionais para a capitalização composta não teremos o mesmo 
montante. A relação entre a taxa anual e a taxa mensal está estabelecida pela potenciação. 
Nestes exercícios pretendemos identificar a relação entre taxas de capitalização 
composta para períodos diferentes que sobre o mesmo capital (valor presente) e aplicada o 
mesmo período gerem o mesmo montante (valor futuro). 
 
 
2 
 
1. Cálculo taxas equivalentes em juros compostos 
 
Exemplo 2 Para compreender a diferença entre taxa proporcional e taxa equivalente, 
considere o valor futuro de uma aplicação de $500,00 que rende juros compostos de 
6%a.a. . 
 
A primeira solução usando a taxa fornecida de 6%a.a. teremos: 
 
niPVFV )1(  
508,595
191016,1*500
)06,1(*500 3



FV
FV
FV

 
Agora vamos analisar a mesma situação usando a taxa proporcional mensal de 
6%ao ano. 
Sabemos que 3 anos equivalem a 36 meses e a taxa de juros proporcional de 6% 
a.a, = 
..%5,0..%
12
6
mama 
Portanto o montante para esses dados é: 
 
niPVFV )1(  
 
 
 
 
 
 
 
Comparando os dois montantes (valor futuro) obtidos observamos que temos 
resultados diferentes: 
 
1ª solução: 3 anos a juros de 6%a.a. gerou um montante de R$595,51. 
2ª solução: 36 meses usando a taxa de juros proporcionais de 0,5%a.m. gerou um 
montante de 598,34. 
A partir desse exemplo deseja-se ilustrar que o uso de taxas proporcionais para a 
capitalização composta não é o caminho correto para obtermos o mesmo montante. Para 
descrever as taxas para um período de capitalização diferente que resulte no mesmo 
montante, usaremos a denominação de taxas equivalentes de juros. 
 
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre o mesmo capital (valor 
presente) durante o mesmo tempo produzem a mesma quantia de juros pela capitalização 
composta. Isto significa que as expressões dos juros dos dois períodos devem ser iguais. 
Essa afirmação nos fornece a seguinte igualdade no caso de desejarmos determinar qual a 
equivalência entre a taxa de juros compostos mensal 
mi
 e anual 
ai
 sobre um valor 
presente PV qualquer. 
 
anualçãocapitalizanaFVmensalçãocapitalizanaFV  
112 )1()1( am iPViPV 
 
340262,598
196681,1*500
)005,1(*500
)005,01(500
36
36




FV
FV
FV
FV
3 
 
Podemos simplificar essa equação eliminando o fator PV em ambos os lados da equação e 
afirmar que para obtermos o mesmo montante com taxas de capitalização com períodos 
diferentes: 
 
112 )1()1( am ii 
 
Assim, no exemplo acima em que temos a taxa anual de 6%a.a significa que a taxa 
equivalente mensal é calculada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retomando o cálculo do valor futuro com essa taxa equivalente, termos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora temos o mesmo valor de montante quando usamos a capitalização anual com taxa 
de 6%a.a. Assim a taxa equivalente da capitalização composta que fornece o mesmo 
montante é de 0,49%a.m. 
 
Podemos expressar que a taxa de juros compostos anual 
ai
em relação a taxa de 
juros compostos mensal 
mi
: 
12)1()1( ma ii 
 
1)1( 12  ma ii
 
Também podemos expressar que a taxa de juros compostos mensal 
mi
 em relação 
a taxa de juros compostos anual 
ai
: 
)1()1( 12 am ii 
 
12 )1()1( am ii  
 
1)1(1)1( 12
1
12  aam iii
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Podemos generalizar a equação expressando a mesma ideia em relação a outros períodos 
de tempo, quando tomamos como referência 1 ano. 
 
 Equivalência em relação 
a um ano 
Notação para taxa do 
período 
Ano 1 ano 
ai
é a taxa anual 
Semestre 2 semestres 
si
taxa semestral 
Quadrimestral 3 quadrimestres 
qi
taxa quadrimestral 
Trimestre 4 trimestres 
ti
taxa trimestral 
Bimestre 6 bimestres 
bi
taxa bimestral 
Mensal 12 meses 
mi
taxa mensal 
Diária 360 dias 
 di taxa diária 
 
Vamos generalizar a relação entre as taxas descritas em unidades de tempo 
identificadas acima através das expressões, abaixo: 
 
1)1( ai
= 
2)1( si
=
3)1( qi
=
4)1( ti
=
 6)1( bi
12)1( mi
=
360)1( di
 
Ainda podemos relacionar as taxas vinculando, por exemplo, que: 1 mês = 30 dias, na 
convenção comercial, portanto: 
 
 
 
 
1 trimestre = 3 meses=90 dias, na convenção comercial, portanto: 
 
 
 
 
 
Observe que a o período (quantidade) de capitalização está associado ao tempo de 
identificação da taxa, assim, um valor presente capitalizado com taxa anual por um ano o 
expoente é um. Esse montante é equivalente ao mesmo valor presente capitalizado em 2 
semestres pela taxa semestral, daí o expoente é 2, porque temos duas capitalizações 
semestrais em um ano. De forma semelhante na taxa trimestral teremos em uma no 4 
capitalizações trimestrais, pois um ano tem 4 trimestres. Já na capitalização diária, onde a 
taxa é mensal teremos 360 capitalizações em um ano, pois um ano tem 360 dias. 
 
 
Exemplo 3 Calcule a taxa anual equivalente em juros compostos a 1% ao mês.
 
126825030,01126825030,11)01,01(
1)1(
12
12


a
ma
i
ii 
Considerando o arredondamento de duas casas decimais após a vírgula depois de 
representarmos a taxa como taxa percentual, teremos que a taxa equivalente a 1%a.m. é 
12,68%a.a.. Essa taxa é diferente da taxa proporcional de 12%a.a. 
 
5 
 
Exemplo 4 Calcule a taxa mensal, trimestral e anual equivalente a 15% a.s .(ao semestre) 
a juros compostos. 
a) equivalência entre juros semestral e mensal, sabemos que 2 semestres = 12 meses, 
assim: 
122)1()1( ms ii 
 
212 )15,01()1(  mi 
212 15.1)1(  mi 
3225,1)1( 12  mi
 
023567,1)3225,1(3225,11 12
1
12  mi
 
023567,01023567,1 mi
 
Portanto 0,023567 que arredondando para 2 casas após a vírgula e representando 
em percentual é 2,36%a.m. é equivalente a taxa semestral de 15%. 
 
b) equivalência entre juros semestral e trimensal, sabemos que 2 semestres = 4 trimestres, 
assim: 
42 )1()1( ts ii 
 
Isolando nesta igualdade 
ti
 teremos 
)1()1(4 2 ts ii  
ts ii  1)1(
4 2 
1)1(1)1( 2
1
2
4
 sst iii
 
1)15,01( 2
1
ti 
1)15,1( 2
1
ti 
1...072380,1 ti 
...072380,0ti
 
Portanto 0,072380... arredondado para 2 casas decimais após a vírgula e 
representando em percentual é a taxa trimestral de 7,24% equivalente a taxa semestral de 
15%. 
 
c) equivalência entre juros semestral e anual, sabemos que 2 semestres = 1 ano, assim: 
12 )1()1( as ii 
 
)1()15,01( 2 ai 
)1()15,1( 2 ai 
)1()3225,1( ai 
ai13225,1 
ai3225,0
 
 
Portanto a taxa unitária anual de 0,3235 representado em percentual é a taxa 
anual de 32,25%a.a equivalente a taxa semestral de 15%. 
 
6 
 
Exemplo 5 Determine o rendimento de um capital de R$80.000,00 aplicado durante 28 
dias a taxa de juros compostos de 26% a.m.. 
 
Desenvolveremos a solução calculando a taxa diária equivalente sabendo que 30 
dias são o mesmo que 1 mês. 
130 )1()1( md ii  
130 )26,01()1(  di
 
)26,1()1( 30  di 
...03333333,030
1
30 26,126,126,1)1(  di
 
..007733,1)1(  di 
1...00773347,1 di
 
...00773347,di
 
Agora passaremos a determinação do montante (valor futuro) do problema para o prazo de 
28 dias. 
n
diPVFV )1(  
28...)00773347,01(00,000.80 FV 
28...)00773347,1(00,000.80 FV 
...24073,100,000.80 FV 
83,258.99FV
 
Assim, o montante gerado pela aplicação de capitalização composta de 26%a.m. 
ou 0,77%a.d. durante 28 dias é de R$99.258,83. 
É importante ressaltar que a solução acima não é a única alternativa. Poderíamos 
determinar o prazo proporcional mensal ao período de aplicação. Daí teria: 
Elementos do problema 
 
PV=R$80.000,00 
FV=? 
i= 26%a.m = 
 
 
 
 
n= 28 dias =
 
 
 0,933333333... mes 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6 O preço à vista de determinado produto é R$ 590,00. A compra pode ser realizada com uma 
entrada de 40% e um cheque pré-datado com vencimento em 45 dias. Se a taxa de juros compostos utilizada 
é de 36% ao ano, determine o valor do cheque. 
7 
 
Elementos do problema 
 
PV= 60% de R$590,00=354,00 
Valor do cheque = FV=? 
ai
= 36%a.a 
1360 )1()1( ad ii  
 
)36,01()1( 360  di 
)36,1()1( 360  di 
360
1
360 36,136,1)1(  di 
360
1
360 36,136,1)1(  di 
1000854489,1 di 
30008544890,0di 
 
n= 45 dias 
 
 
 
000854489,0
 
 
 
 
000854489,1
 
 
 
 
 
 
 
Portanto o valor do cheque para ser pago em 45 dias é de R$367,87. Sugere-se 
que calcule o valor do cheque usando a taxa anual e o prazo anual proporcional a 45 dias, 
ou seja 0,125ano. Obteremos a seguinte expressão que resulta 
no mesmo valor obtido acima para o cheque. 
 
 Exemplo 7 As regras para remuneração da caderneta de poupança sofreram alteração a 
partir de 04 de maio de 2012. Considerando a imagem abaixo de uma reportagem de 
jornal:
 
Justifique porque o rendimento da poupança para os depósitos realizados até 3 de maio é 
de 0,5%ao mês é equivalente a 6,17%ao ano?