Capitulo 4 - Taxas Equivalentes de juros
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Capitulo 4 - Taxas Equivalentes de juros


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Disciplina: Matemática Financeira\u2013 Unidade 4 \u2013 Taxa equivalente 
Professora: Magda Leyser \u2013 magda.leyser@gmail.com 
 
4.Taxa de juros proporcionais e equivalentes 
Na capitalização simples podemos resolver os problemas através de taxas de juros 
proporcionais, assim se temos uma taxa anual e desejamos a taxa mensal, basta usar a 
ideia de proporção. Uma taxa de 12% ao ano na capitalização simples gera o mesmo 
montante que uma taxa de 1%ao mês. A proporcionalidade se mantém na capitalização 
simples. Entretanto, para a capitalização composta esse raciocínio não é verdadeiro, isto é 
se usarmos taxas proporcionais para a capitalização composta não teremos o mesmo 
montante. A relação entre a taxa anual e a taxa mensal está estabelecida pela potenciação. 
Nestes exercícios pretendemos identificar a relação entre taxas de capitalização 
composta para períodos diferentes que sobre o mesmo capital (valor presente) e aplicada o 
mesmo período gerem o mesmo montante (valor futuro). 
Exemplo 1 Patrícia fez uma aplicação de R$3.500,00 pelo regime de capitalização simples 
e juros proporcionais por 42 meses à taxa de 15%a.a. Determine o montante recebido. 
Para padronizar a regularidade entre a descrição do prazo e da taxa de juros temos duas 
alternativas: 
Solução 1: calcular o prazo em anos pois a taxa de juros simples é anual então usaremos o 
prazo como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 2: calcular a taxa proporcional mensal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que nas duas soluções obtemos montantes equivalentes. 
Entretanto, para a capitalização composta esse raciocínio não é verdadeiro, isto é 
se usarmos taxas proporcionais para a capitalização composta não teremos o mesmo 
montante. A relação entre a taxa anual e a taxa mensal está estabelecida pela potenciação. 
Nestes exercícios pretendemos identificar a relação entre taxas de capitalização 
composta para períodos diferentes que sobre o mesmo capital (valor presente) e aplicada o 
mesmo período gerem o mesmo montante (valor futuro). 
 
 
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1. Cálculo taxas equivalentes em juros compostos 
 
Exemplo 2 Para compreender a diferença entre taxa proporcional e taxa equivalente, 
considere o valor futuro de uma aplicação de $500,00 que rende juros compostos de 
6%a.a. . 
 
A primeira solução usando a taxa fornecida de 6%a.a. teremos: 
 
niPVFV )1( \uf02b\uf02a\uf03d 
508,595
191016,1*500
)06,1(*500 3
\uf03d
\uf03d
\uf03d
FV
FV
FV
\uf04b
 
Agora vamos analisar a mesma situação usando a taxa proporcional mensal de 
6%ao ano. 
Sabemos que 3 anos equivalem a 36 meses e a taxa de juros proporcional de 6% 
a.a, = 
..%5,0..%
12
6
mama \uf03d
Portanto o montante para esses dados é: 
 
niPVFV )1( \uf02b\uf02a\uf03d 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando os dois montantes (valor futuro) obtidos observamos que temos 
resultados diferentes: 
 
1ª solução: 3 anos a juros de 6%a.a. gerou um montante de R$595,51. 
2ª solução: 36 meses usando a taxa de juros proporcionais de 0,5%a.m. gerou um 
montante de 598,34. 
A partir desse exemplo deseja-se ilustrar que o uso de taxas proporcionais para a 
capitalização composta não é o caminho correto para obtermos o mesmo montante. Para 
descrever as taxas para um período de capitalização diferente que resulte no mesmo 
montante, usaremos a denominação de taxas equivalentes de juros. 
 
Duas taxas são equivalentes quando aplicadas sobre o mesmo capital (valor 
presente) durante o mesmo tempo produzem a mesma quantia de juros pela capitalização 
composta. Isto significa que as expressões dos juros dos dois períodos devem ser iguais. 
Essa afirmação nos fornece a seguinte igualdade no caso de desejarmos determinar qual a 
equivalência entre a taxa de juros compostos mensal 
mi
 e anual 
ai
 sobre um valor 
presente PV qualquer. 
 
anualçãocapitalizanaFVmensalçãocapitalizanaFV \uf03d 
112 )1()1( am iPViPV \uf02b\uf0b4\uf03d\uf02b\uf0b4
 
340262,598
196681,1*500
)005,1(*500
)005,01(500
36
36
\uf03d
\uf03d
\uf03d
\uf02b\uf02a\uf03d
FV
FV
FV
FV
3 
 
Podemos simplificar essa equação eliminando o fator PV em ambos os lados da equação e 
afirmar que para obtermos o mesmo montante com taxas de capitalização com períodos 
diferentes: 
 
112 )1()1( am ii \uf02b\uf03d\uf02b
 
Assim, no exemplo acima em que temos a taxa anual de 6%a.a significa que a taxa 
equivalente mensal é calculada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retomando o cálculo do valor futuro com essa taxa equivalente, termos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora temos o mesmo valor de montante quando usamos a capitalização anual com taxa 
de 6%a.a. Assim a taxa equivalente da capitalização composta que fornece o mesmo 
montante é de 0,49%a.m. 
 
Podemos expressar que a taxa de juros compostos anual 
ai
em relação a taxa de 
juros compostos mensal 
mi
: 
12)1()1( ma ii \uf02b\uf03d\uf02b
 
1)1( 12 \uf02d\uf02b\uf03d ma ii
 
Também podemos expressar que a taxa de juros compostos mensal 
mi
 em relação 
a taxa de juros compostos anual 
ai
: 
)1()1( 12 am ii \uf02b\uf03d\uf02b
 
12 )1()1( am ii \uf02b\uf03d\uf02b 
 
1)1(1)1( 12
1
12 \uf02d\uf02b\uf03d\uf02d\uf02b\uf03d aam iii
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Podemos generalizar a equação expressando a mesma ideia em relação a outros períodos 
de tempo, quando tomamos como referência 1 ano. 
 
 Equivalência em relação 
a um ano 
Notação para taxa do 
período 
Ano 1 ano 
ai
é a taxa anual 
Semestre 2 semestres 
si
taxa semestral 
Quadrimestral 3 quadrimestres 
qi
taxa quadrimestral 
Trimestre 4 trimestres 
ti
taxa trimestral 
Bimestre 6 bimestres 
bi
taxa bimestral 
Mensal 12 meses 
mi
taxa mensal 
Diária 360 dias 
 di taxa diária 
 
Vamos generalizar a relação entre as taxas descritas em unidades de tempo 
identificadas acima através das expressões, abaixo: 
 
1)1( ai\uf02b
= 
2)1( si\uf02b
=
3)1( qi\uf02b
=
4)1( ti\uf02b
=
\uf03d\uf02b 6)1( bi
12)1( mi\uf02b
=
360)1( di\uf02b
 
Ainda podemos relacionar as taxas vinculando, por exemplo, que: 1 mês = 30 dias, na 
convenção comercial, portanto: 
 
 
 
 
1 trimestre = 3 meses=90 dias, na convenção comercial, portanto: 
 
 
 
 
 
Observe que a o período (quantidade) de capitalização está associado ao tempo de 
identificação da taxa, assim, um valor presente capitalizado com taxa anual por um ano o 
expoente é um. Esse montante é equivalente ao mesmo valor presente capitalizado em 2 
semestres pela taxa semestral, daí o expoente é 2, porque temos duas capitalizações 
semestrais em um ano. De forma semelhante na taxa trimestral teremos em uma no 4 
capitalizações trimestrais, pois um ano tem 4 trimestres. Já na capitalização diária, onde a 
taxa é mensal teremos 360 capitalizações em um ano, pois um ano tem 360 dias. 
 
 
Exemplo 3 Calcule a taxa anual equivalente em juros compostos a 1% ao mês.
 
126825030,01126825030,11)01,01(
1)1(
12
12
\uf03d\uf02d\uf03d\uf02d\uf02b\uf03d
\uf02d\uf02b\uf03d
a
ma
i
ii 
Considerando o arredondamento de duas casas decimais após a vírgula depois de 
representarmos a taxa como taxa percentual, teremos que a taxa equivalente a 1%a.m. é 
12,68%a.a.. Essa taxa é diferente da taxa proporcional de 12%a.a. 
 
5 
 
Exemplo 4 Calcule a taxa mensal, trimestral e anual equivalente a 15% a.s .(ao semestre) 
a juros compostos. 
a) equivalência entre juros semestral e mensal, sabemos que 2 semestres = 12 meses, 
assim: 
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