1ª lista de exercícios de EDO

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Pontif´ıcia Universidade Cato´lica de Minas Gerais
1a Lista de Exerc´ıcios de Equac¸o˜es Diferenciais
Professor Vitor Luiz de Almeida
Assunto: Nu´meros Complexos.
1a Questa˜o: Escreva cada nu´mero complexo na forma alge´brica:
1. (1 + 2i)2 − (3 + 4i)
2. (2− 3i) · (2− 5i)
3. (6 + 7i)− (4 + 2i) + (1 + 10i)
4. (1 + i)3
5. (1− i)96 + (1− i)97
6. (5 + 4i) · (1− i) + (2 + i)i
7.
1 + 2i
3 + i
8.
1 + i
1− i
9.
1
1− 7i
2a Questa˜o: Determine todos os nu´meros complexos z tais que z · z + (z − z) = 13 + 6i.
3a Questa˜o: Seja z um nu´mero complexo conhecido. Dizemos que o nu´mero complexo w e´ uma raiz
quadrada do nu´mero complexo z se w2 = z. Determine todas as ra´ızes quadradas de z = 1 + i
√
3.
4a Questa˜o: Determine o mo´dulo, um argumento e uma forma polar de cada nu´mero complexo
dado a seguir.
1. z = 1 + i
√
3
2. z = 2− 2i
3. z = 3i
4. z = −5
5. z = −√2 + i√2
6. z = −5− 5i
5a Questa˜o: Escreva na forma polar cada nu´mero complexo dado a seguir.
1. O nu´mero complexo z =
1
1− i −
1
i
. 2. O inverso multiplicativo de z = 1 + i
√
3.
6a Questa˜o: Represente, geometricamente, no plano de Argand - Gauss os seguintes subconjuntos
de C:
1. A =
{
z ∈ C ∣∣ Re(z) ≥ 1 e Im(z) ≥ 2}. 2. B = {z ∈ C ∣∣ |z − (1 + i)| ≤ 1}.
7a Questa˜o: Usando a primeira fo´rmula de Moivre, resolva cada problema apresentado a seguir:
(a) Calcule
(
−1
2
+ i
√
3
2
)100
.
(b) Determine o menor valor de n, n ∈ N, tal que (√3 + i)n seja
1. real e negativo;
2. imagina´rio puro.
8a Questa˜o: Usando a segunda fo´rmula de Moivre, resolva em C cada problema apresentado a
seguir:
1. 4
√
1
2. 3
√
1 + i
3.
√−16i
4.
√
−1
2
+ i
√
3
2
9a Questa˜o: Sejam A(−2, 4) e B(3,−1) dois ve´rtices consecutivos de um quadrado. Determine as
coordenadas dos outros dois ve´rtices.
10a Questa˜o: Dois piratas decidem enterrar um tesouro em uma ilha. Escolhem, como pontos
de refereˆncia, uma a´rvore e duas pedras. Comec¸ando na a´rvore, medem o nu´mero de passos ate´ a
primeira pedra. Em seguida, dobram a` direita, segundo um aˆngulo de 90◦, e caminham o mesmo
nu´mero de passos ate´ alcanc¸ar um ponto, onde fazem uma marca. Voltam a` a´rvore, medem o nu´mero
de passos da a´rvore ate´ a segunda pedra, dobram a` esquerda, segundo um aˆngulo de 90◦, e caminham
o mesmo nu´mero de passos ate´ alcanc¸ar um ponto, onde fazem outra marca. Finalmente, enterram o
tesouro exatamente no ponto me´dio entre as duas marcas. Anos mais tarde, os dois piratas voltam a`
ilha e decidem desenterrar o tesouro, mas, para decepc¸a˜o dos dois, constatam que a a´rvore na˜o existe
mais (o vento, a chuva e os depredadores a haviam arrancado). Enta˜o um dos piratas resolve arriscar.
Escolhe ao acaso um ponto da ilha e diz : “Vamos imaginar que a a´rvore estivesse aqui”. Repete os
mesmos procedimentos de quando havia enterrado o tesouro: conta os passos ate´ a primeira pedra,
dobra a` direita, etc., e encontra o tesouro. A pergunta e´: esse pirata era sortudo ou um matema´tico?
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