Exercícios de Análise de Séries Temporais

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Disciplina: Ana´lise de Se´ries Temporais (2018/1)
Prof.: Joa˜o Batista M. Pereira
e-mail: joao@dme.ufrj.br
Entrega: 23/04/2018
1a Lista de Exerc´ıcios de Ana´lise de Se´ries Temporais
1. Considere um processo passeio aleato´rio definido como
yt = yt−1 + εt
= ε1 + · · ·+ εt,
em que εt, para t = 1, 2, 3, . . . , e´ um processo ru´ıdo branco com variaˆncia σ
2.
(a) Encontre as func¸o˜es de me´dia e variaˆncia do processo e mostre que ele e´ na˜o
estaciona´rio1
(b) Mostre que a func¸a˜o de autocovariaˆncia do processo e´ γ(t, s) = Cov(yt, ys) =
σ2min(t, s).
2. O movimento browniano padra˜o e´ um processo estoca´stico cont´ınuo {W (t), t ≥ 0}
que satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
(i) W(0) = 0;
(ii) para quaisquer instantes de tempo t1 < t2 < t3 < · · · < tk, W (t1), W (t2) −
W (t1), W (t3)−W (t2), . . . , W (tk)−W (tk−1) sa˜o independentes;
(iii) W (t)−W (s) ∼ N(0, t− s), para t > s.
Justifique por que o movimento browniano na˜o e´ estaciona´rio; mostre que sua func¸a˜o
de covariaˆncia e´ γ(t, s) = Cov(W (t),W (s)) = min(t, s) e que sua func¸a˜o de autocor-
relac¸a˜o e´ ρ(t, s) =
min(t, s)√
ts
.
3. Considere o modelo de tendeˆncia linear definido como
yt = β0 + β1t+ εt,
em que εt ∼ N(0, σ2), para t = 1, 2, 3, . . . , e Cov(yt, ys) = 0 para t 6= s.
(a) O processo e´ estaciona´rio? Calcule suas func¸o˜es de me´dia, de variaˆncia e de
autocorrelac¸a˜o.
(b) Encontre os estimadores de mı´nimos quadrados para β0 e β1.
4. Considere um processo estoca´stico definido como
yt = u cos(2piwt) + v sen(2piwt),
para t = 1, 2, 3, . . . , em que w = 1/p, com p indicando o per´ıodo sazonal, e u e v sa˜o
duas varia´veis aleato´rias independentes com me´dia 0 e variaˆncia 1.
1No curso, o termo estacionariedade refere-se a estacionariedade fraca.
1
(a) Mostre que este processo e´ estaciona´rio e encontre suas funco˜es de me´dia, de
variaˆncia e de autocorrelac¸a˜o.
(b) Esboce a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o para h = 0, 1, 2, . . . considerando p = 12 e
explique seu comportamento.
Dica: Lembre-se que cos(a− b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b).
5. Considere o processo autorregressivo de ordem 1, AR(1), definido como
yt = φyt−1 + εt,
em que εt, para t ∈ Z, e´ um ru´ıdo branco com variaˆncia σ2 e |φ| < 1.
(a) Encontre as func¸o˜es de me´dia, de variaˆncia e de autocorrelac¸a˜o do processo para
h = 0, 1, 2, . . . e esboce seu gra´fico para φ = 0, 5.
(b) Como ficaria a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o se, em vez de 0, 5, o coeficiente autore-
gressivo fosse −0, 5? Esboce seu gra´fico.
6. Considere um modelo me´dia mo´vel de ordem 2, MA(2), definido como
yt = εt + θ1εt−1 + θ2εt−2,
em que εt, para t ∈ Z, e´ um ru´ıdo branco com variaˆncia σ2.
(a) Encontre as func¸o˜es de me´dia, de variaˆncia e de autocorrelac¸a˜o do processo para
h = 0, 1, 2, . . . e esboce seu gra´fico para θ1 = θ2 = 0, 5.
(b) O processo e´ estaciona´rio?
7. [0,5 extra na nota da P1] Considere os dados dos totais mensais de passageiros
em linhas ae´reas internacionais nos EUA entre 1949 e 1960: AirPassengers. Analise
a se´rie temporal observando os to´picos abaixo.
• Descreva o comportamento da se´rie temporal.
• Sugira uma transformac¸a˜o adequada para obter uma se´rie temporal com sazo-
nalidade aditiva.
• Analisando os gra´ficos da se´rie temporal e da func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o, propo-
nha um modelo de regressa˜o adequado.
• Analise os res´ıduos. Eles teˆm comportamento estaciona´rio? Sena˜o, proponha
um novo modelo e analise novamente os res´ıduos. Eles teˆm estrutura temporal?
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