11. transformacao de funcoes

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11. Transformação de funções 
 
Ao aplicar certas transformações aos gráficos de uma função pode-se obter o gráfico de 
funções relacionadas, o que nos capacita a fazer o esboço de muitas funções à mão. 
 
1. Translações 
 
 Seja c um número positivo, então o gráfico de y=f(x)+c é tão-somente o gráfico de 
y=f(x) deslocado para cima em c unidades (uma vez que cada coordenada y fica 
acrescida pelo mesmo número c). 
 Se fizemos g(x)=f(x-c), onde c>0, então o valor de g em x é igual ao valor de f em 
x-c (c unidades a esquerda). Portanto, o gráfico de y=f(x-c) é precisamente o gráfico 
de y=f(x) deslocado c unidades para direita. 
 
11.1 Deslocamentos verticais e horizontais 
 
Suponha que c>0. Para o obter o gráfico de 
 
y= f(x) +c, desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para cima 
y= f(x) – c , desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para baixo 
y= f(x - c), desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para a direita 
y= f(x+ c) , desloque o gráfico de y=f(x) em c unidades para a esquerda 
 
 
Translações do gráfico de f 
 
 
 
 
 
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11.2 Expansão e reflexão 
 
 Se c>1, então o gráfico de y=cf(x) é o gráfico de y=f(x) expandido por um 
fator c na direção vertical (pois cada coordenada y fica multiplicada pelo 
mesmo número c). O gráfico de y=-f(x) é o gráfico de y=f(x) refletido em 
torno do eixo x, pois o ponto (x,y) será substituído pelo ponto (x,-y). Sendo 
c>1, no caso de y=
c
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f(x), teremos uma compressão (pois cada coordenada y 
fica multiplicada pelo mesmo número 1/c <1). 
 
Reflexões e expansões horizontais e verticais 
 
Suponha que c>1. Para obter o gráfico de 
 
y=cf(x), expanda o gráfico de y=f(x) verticalmente por um fator de c 
y= (1/c) f(x), comprima o gráfico de y=f(x) verticalmente por um fator de c 
y= f(cx), comprima o gráfico de y=f(x) horizontalmente por um fator de c 
y=f(x/c), expanda o gráfico de y=f(x) horizontalmente por um fator de c 
y=- f(x), reflita o gráfico de y=f(x) em torno do eixo x 
y=f(-x), reflita o gráfico de y=f(x) em torno do eixo y 
 
Expansões e reflexões do gráfico de f 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: Dado o gráfico de y=
x
, use transformações para obter os gráficos de 
xyexyxyxyxy  2,,2,2
 
 
 
 
 
 
Exercício proposto 
 
Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma 
das funções básicas estudadas e então aplicando as transformações apropriadas. 
 
a) y= x +1 
 
b) y= 2x 
 
c) y=x2+1 
 
d) y=-x3 
 
e) y=(x+1)2 
 
f) y=
3x
 
 
g) y = 1 
 x+1 
 
h) y = 1 
 x – 4 
 
i) y= 1- x2 
 
j) y= x2 - 4x+3 
 
k) (x+2)4 + 3 
 
l) 1+ 
 
m) y = 2 
 x+1