PC_2017-2_EP04_Transformacoes em Graficos_GABARITO

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EP 04 – 2017-2 – Transformações em Gráficos – Gabarito Pré-Cálculo 
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CEDERJ 
Gabarito EP 04 
Pré-Cálculo 
 
Exercício 1: Nos itens a), b) e c) a seguir, esboce o gráfico das funções quadráticas num mesmo 
sistema de coordenadas: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) =
1
2
𝑥2; ℎ(𝑥) = 2𝑥2 . O que acontece com o gráfico da função 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 , quando multiplicamos 𝑥2 por uma constante positiva? 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2 ; ℎ(𝑥) = (𝑥 + 1)2. O que acontece com o gráfico da função 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 , quando à variável 𝑥 , somamos ou subtraímos uma constante positiva? 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2 ; ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 2. O que acontece com o gráfico da função 
𝑓(𝑥) = 𝑥2, quando à variável 𝑦 , somamos ou subtraímos uma constante positiva? Note que 
realmente, a constante foi somada ou subtraída da variável 𝑦 . 
d) Levando em consideração as informações obtidas nos itens acima, esboce o gráfico das 
funções abaixo, a partir do gráfico da função elementar 𝑦 = 𝑥2,. Explique as transformações que 
ocorreram 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 2 e ℎ(𝑥) = −(𝑥 + 2)2 − 1 
Identifique o vértice e o eixo de simetria de cada uma dessas parábolas. 
Resolução: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) =
1
2
𝑥2 ; ℎ(𝑥) = 2𝑥2 . 
Quando multiplicamos 𝑥2 por uma constante positiva, 
modificamos a "abertura" da parábola. Se a constante for 
maior que 1, a parábola fica "mais fechada", pois é 
esticada verticalmente, se afasta do eixo 𝑥. Se a constante 
for positiva e menor que 1, a parábola fica "mais aberta", 
pois comprime verticalmente, se aproxima do eixo 𝑥. 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2 ; ℎ(𝑥) = (𝑥 + 1)2. 
Quando somamos uma constante positiva 𝑎 a variável 𝑥, transladamos o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 , 
horizontalmente, 𝑎 unidades para a esquerda. 
Quando subtraímos uma constante positiva 𝑎 da variável 𝑥, transladamos o gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 
horizontalmente, 𝑎 unidades para a direita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2 ; ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 2 . 
Observe que 
𝑔(𝑥)⏟
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 
𝑑𝑎 𝑛𝑜𝑣𝑎
𝑓𝑢𝑛çã𝑜 
𝑒𝑚 𝑥
= 𝑥2 − 2 = 𝑓(𝑥)⏟
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜
 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
𝑒𝑚 𝑥
− 2 e ℎ(𝑥)⏟
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 
𝑑𝑎 𝑛𝑜𝑣𝑎
𝑓𝑢𝑛çã𝑜 
𝑒𝑚 𝑥
= 𝑥2 + 2 = 𝑓(𝑥)⏟
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜
 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 
𝑒𝑚 𝑥
+ 2 
 
Assim, quando subtraímos uma constante positiva 𝑎 da variável 𝑦 , 
transladamos o gráfico de 𝑦 = 𝑥2, verticalmente, 𝑎 unidades para 
baixo. 
E quando somamos uma constante positiva 𝑎 a variável 𝑦 , 
transladamos o gráfico de 𝑦 = 𝑥2 , verticalmente, 
𝑎 unidades para cima. 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) Observando a função 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 2 , concluímos que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 foi 
transladada horizontalmente 1 unidade para a direita e verticalmente 2 unidades para cima. 
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O gráfico de 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 2 é uma parábola de vértice 
 𝑉(1,2) , concavidade voltada para cima e seu eixo de simetria é a 
reta vertical 𝑥 = 1. 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Observando a função e ℎ(𝑥) = −(𝑥 + 2)2 − 1 , concluímos que a 
função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 foi refletida em torno do eixo 𝑥 e depois foi 
transladada horizontalmente 2 unidade para a esquerda e 
verticalmente 1 unidade para baixo. 
O gráfico de ℎ(𝑥) = −(𝑥 + 2)2 − 1 é uma parábola de vértice 
𝑉(−2,−1), concavidade voltada para baixo e seu eixo de simetria é a 
reta vertical 𝑥 = −2. 
 
____________________________________________________________________________________ 
Exercício 2: Seja a função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 , para −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 . 
Em cada item escreva uma lei para uma função que: 
a) Estique verticalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo 3 . Dê o domínio e a 
imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico. 
b) Comprima verticalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo 
1
2
. Dê o domínio e a 
imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico. 
c) Estique horizontalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo 4 . Dê o domínio e a 
imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico. 
d) Comprima horizontalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo 
1
2
. Dê o domínio e a 
imagem dessa nova função e esboce o seu gráfico. 
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Resolução: 
O gráfico da função dada, 𝑓(𝑥) = −𝑥2 , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 é: 
]1,1[)( fDom 
 
 
a) A função 𝑓1 cujo gráfico estica verticalmente o gráfico de 𝑓 
por um fator multiplicativo 3 é: 
 𝑓1(𝑥) = 3𝑓(𝑥) = −3𝑥
2 
O domínio de 𝑓1 é o mesmo domínio de 𝑓, 𝐷𝑜𝑚(𝑓1) = [−1 , 1]. 
Mas, se −1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 0, então, multiplicando a desigualdade por 3 , 
obtemos −3 ≤ 3 ∙ 𝑓(𝑥) ≤ 0 e Im(𝑓1) = [−3 , 0]. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) A função 𝑓2 cujo gráfico comprime verticalmente o gráfico de 𝑓 por um fator 
multiplicativo 
1
2
 é: 
 𝑓2(𝑥) =
1
2
𝑓(𝑥) = −
1
2
𝑥2 
O domínio de 2f é o mesmo domínio de 𝑓, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓2) = [−1 , 1]. Mas, se −1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 0, então, 
multiplicando a desigualdade por 
1
2
 , obtemos 
1
2
∙ (−1) ≤
1
2
∙
𝑓(𝑥) ≤
1
2
∙ 0 ⟹ −
1
2
≤ 
1
2
𝑓(𝑥) ≤ 0 e portanto, Im(𝑓2) = [−
1
2
 , 0]
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
]0,1[)(Im f
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c) A função 𝑓3 cujo gráfico estica horizontalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo 4 
é: 
 𝑓3(𝑥) = 𝑓 (
1
4
 𝑥) = −(
1
4
𝑥)
2
= −
1
16
𝑥2 
Assim, 
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚( 𝑓3) ⟹ 
1
4
 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟹ −1 ≤
1
4
 𝑥 ≤ 1 ⟹ −4 ≤ 𝑥 ≤ 4 ⟹ 
𝐷𝑜𝑚(𝑓3) = [−4, 4] 
Essa transformação não mexe com a imagem da função, pois o esticamento (alongamento) é 
horizontal. Assim, Im(𝑓3) = Im(𝑓) = [−1 , 0]
 
 𝐷𝑜𝑚(𝑓3) = [−4, 4] Im(𝑓3) = [−1 , 0] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) A função 4f cujo gráfico comprime horizontalmente o gráfico de 𝑓 por um fator 
multiplicativo 
1
2
 é: 
 𝑓4(𝑥) = 𝑓(2 𝑥) = −(2𝑥)
2 = −4𝑥2 
Assim, 
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚( 𝑓4) ⟹ 2 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ⟹ −1 ≤ 2 𝑥 ≤ 1 ⟹ −
1
2
≤ 𝑥 ≤
1
2
 ⟹ 
𝐷𝑜𝑚(𝑓4) = [−
1
2
 , 
1
2
]. 
Essa transformação não mexe com a imagem da 
função, pois a compressão é horizontal. Assim, 
𝐷𝑜𝑚( 𝑓4) = [−
1
2
 , 
1
2
] e Im( 𝑓4) = Im(𝑓) = [−1 , 0] 
 
 
 
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Exercício 3: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico da 
função 𝑓(𝑥) = |𝑥| por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões 
em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas. 
a) 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 4| b) ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2| c) 𝑗(𝑥) = |𝑥| + 2 
d) 𝑚(𝑥) = −|𝑥 + 2| e) 𝑛(𝑥) = 5 − |𝑥 + 2| 
f) 𝑢(𝑥) = |𝑥 − 4| − 3 g) 𝑣(𝑥) = ||𝑥 − 4| − 3|. 
Resolução:a) O gráfico da função 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 4| é uma translação horizontal para direita de 4 unidades 
do gráfico da função "elementar" 𝑓(𝑥) = |𝑥|: 
 
 
ATENÇÃO: é interessante observar que 
podemos obter pontos do novo gráfico, neste caso o gráfico transladado horizontalmente para 
direita, fazendo a mesma translação em pontos do gráfico original. 
Transladar um ponto horizontalmente para direita 𝒌 unidades (𝒌 > 0) significa acrescentar 𝒌 
unidades a sua abscissa e não modificar a sua ordenada. 
 
 
 
(𝑥1 , 𝑦1) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎𝑑𝑜 
𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
(𝑘>0) 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ (𝑥1 + 𝑘 , 𝑦1) 
 
 
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Observe que os pontos (−1, 1), (0, 0) (1, 1) do gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥| quando 
transladados 4 unidades horizontalmente para direita se transformam nos seguintes pontos: 
(−1 + 4 , 1) = (𝟑 , 𝟏) , (0 + 4 , 0) = (𝟒 , 𝟎) , (1 + 4 , 1) = (𝟓 , 𝟏). 
Vamos confirmar que os pontos (𝟑 , 𝟏) , (𝟒 , 𝟎) , (𝟓 , 𝟏) são pontos do gráfico da função 
𝑔(𝑥) = |𝑥 − 4|: 
𝑔(3) = |3 − 4| = |−1| = 1 𝑔(4) = |4 − 4| = |0| = 0 𝑔(5) = |5 − 4| = |1| = 1. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) O gráfico da função ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2| é uma translação 
horizontal para esquerda de 2 unidades do gráfico da função 
"elementar" 𝑓(𝑥) = |𝑥| . 
ATENÇÃO: é interessante observar que podemos obter 
pontos do novo gráfico, neste caso o gráfico transladado 
horizontalmente para esquerda, fazendo a mesma translação 
em pontos do gráfico original. 
Transladar um ponto horizontalmente para esquerda 𝒌 unidades (𝒌 > 0) significa subtrair 𝒌 
unidades da sua abscissa e não modificar a sua ordenada. 
 
 
 
(𝑥1 − 𝑘 , 𝑦1) 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎𝑑𝑜 
𝑘 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
(𝑘>0)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
← (𝑥1 , 𝑦1) 
 
Observe que os pontos (−1, 1), (0, 0) (1, 1) do gráfico da função 𝑓(𝑥) = |𝑥| quando 
transladados horizontalmente 2 unidades para esquerda se transformam nos seguintes pontos: 
(−1 − 2 , 1) = (−𝟑 , 𝟏) , (0 − 2 , 0) = (−𝟐 , 𝟎) , (1 − 2 , 1) = (−𝟏 , 𝟏). 
Vamos confirmar que os pontos (−𝟑 , 𝟏) , (−𝟐 , 𝟎) , (−𝟏 , 𝟏) são pontos do gráfico da função 
ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2|: 
ℎ(3) = |−3 + 2| = |−1| = 1 ℎ(−2) = |−2 + 2| = |0| = 0 ℎ(−1) = |−1 + 2| = |1| = 1 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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c) O gráfico da função 𝑗(𝑥) = |𝑥| + 2 é uma translação vertical para cima de 2 unidades do 
gráfico da função "elementar" 𝑓(𝑥) = |𝑥| . 
ATENÇÃO: Transladar um ponto verticalmente para cima 
 𝒌 unidades (𝒌 > 0) significa acrescentar 𝒌 unidades a 
sua ordenada e não modificar a sua abscissa. 
Observe que os pontos 
(−1, 1) , (0, 0) , (1, 1) quando transladados 2 
unidades verticalmente para cima são transformados nos 
pontos: 
(−1 , 1 + 2) = (−𝟏 , 𝟑) , (0 , 0 + 2) = (𝟎 , 𝟐) , (1 , 1 + 2) = (𝟏 , 𝟑), 
que são pontos do gráfico da função 𝑗(𝑥) = |𝑥| + 2 , pois 
𝑗(−1) = |−1| + 2 = 1 + 2 = 3 𝑗(0) = |0| + 2 = 0 + 2 = 2 𝑗(1) = |1| + 2 = 1 + 2 = 3 . 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) O gráfico da função 𝑚(𝑥) = −|𝑥 + 2| é uma reflexão em torno do eixo 𝑥 do gráfico da função 
 ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2| do item b). 
ATENÇÃO: ao refletir um ponto (𝒙, 𝒚) em torno do 
eixo 𝒙 , obtemos o ponto (𝒙, −𝒚). 
Observe que os pontos 
(−3 , 1) , (−2 , 0) , (−1 , 1) do gráfico da função 
ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2| do item b), quando refletidos em torno 
do eixo 𝒙 , são transformados respectivamente nos 
pontos: 
(−𝟑 ,−𝟏) , (−𝟐 , 𝟎) , (−𝟏 ,−𝟏), que são pontos do gráfico da função 𝑚(𝑥) = −|𝑥 + 2|, pois 
𝑚(−3) = −|−3 + 2| = −|−1| = −1 𝑚(−2) = −|−2 + 2| = −|0| = 0 
𝑚(−1) = −|−1 + 2| = −|1| = −1 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e) O gráfico da função 𝑛(𝑥) = 5 − |𝑥 + 2| é uma translação vertical para cima de 5 unidades 
do gráfico da função 𝑚(𝑥) = −|𝑥 + 2| apresentado no item d) acima. 
Observe que os pontos (−3 ,−1) , (−2 , 0) , (−1 , −1) do gráfico da função 𝑚(𝑥) = −|𝑥 + 2| 
são transladados 5 unidades verticalmente para cima para os pontos: 
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(−3 , −1 + 5) = (−𝟑 , 𝟒) , 
 (−2 , 0 + 5) = (−𝟐 , 𝟓) , (−1 ,−1 + 5) =
(−𝟏 , 𝟒), que são pontos do gráfico 
 𝑛(𝑥) = 5 − |𝑥 + 2| , pois 
𝑛(−3) = 5 − |−3 + 2| = 5 − |−1| = 5 − 1 = 4 
𝑛(−2) = 5 − |−2 + 2| = 5 − |0| = 5 − 0 = 5 
𝑛(−1) = 5 − |−1 + 2| = 5 − |1| = 5 − 1 = 4 . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
f) O gráfico da função 𝑢(𝑥) = |𝑥 − 4| − 3 é uma translação vertical para baixo de 3 
unidades do gráfico de 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 4| apresentado no item a) acima. 
ATENÇÃO: Transladar um ponto 
verticalmente para baixo 𝒌 unidades 
(𝒌 > 0) significa subtrair 𝒌 unidades da sua 
ordenada e não modificar a sua abscissa. 
Observe que os pontos 
(−3 , 1) , (4 , 0) , (5 , 1) do gráfico da 
função 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 4| 
são transladados 3 unidades verticalmente para baixo, respectivamente, para os pontos 
(3 , 1 − 3) = (𝟑 ,−𝟐) , (4 , 0 − 3) = (𝟒 ,−𝟑) , (5 , 1 − 3) = (𝟓 ,−𝟐), que são pontos do 
gráfico da função gráfico 𝑢(𝑥) = |𝑥 − 4| − 3, pois 
𝑢(3) = |3 − 4| − 3 = |−1| − 3 = 1 − 3 = −2 
𝑢(4) = |4 − 4| − 3 = |0| − 3 = 0 − 3 = −3 
𝑢(5) = |5 − 4| − 3 = |1| − 3 = 1 − 3 = −2 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
g) O gráfico da função 𝑣(𝑥) = ||𝑥 − 4| − 3| é a "modulação" do gráfico da função 𝑢(𝑥) =
|𝑥 − 4| − 3 do item f) acima. Isto significa que foi feito um rebatimento para cima do eixo 𝑥 , da 
parte negativa da função (a parte do gráfico que estava abaixo do eixo 𝑥 ) e foi mantida a parte 
positiva ou nula da função (a parte do gráfico que estava acima do eixo 𝑥 ou sobre ele). 
ATENÇÃO: Quando modulamos o gráfico de uma função, os pontos desse gráfico têm as suas 
ordenadas moduladas, assim um ponto (𝒙, 𝒚) do gráfico de uma função 𝒇 , é transformado no 
ponto (𝒙, |𝑦|) do gráfico da função |𝑓| . 
 
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Observe que os pontos 
(−3 , −2) , (4 , −3) , (5 , −2) do gráfico da função 𝑢(𝑥) = |𝑥 − 4| − 3 são rebatidos 
respectivamente para os pontos (3 , |−2|) = (𝟑 , 𝟐) , (4 , |−3|) = (𝟒 , 𝟑) , (5 , |−2|) = (𝟓 , 𝟐), 
que são pontos do gráfico da função gráfico 𝜈(𝑥) = ||𝑥 − 4| − 3| , pois 
𝜈(3) = ||3 − 4| − 3| = ||−1| − 3| = |1 − 3| = |−2| = 2 
𝜈(4) = ||4 − 4| − 3| = ||0| − 3| = |0 − 3| = |−3| = 3 
𝜈(5) = ||5 − 4| − 3| = ||1| − 3| = |1 − 3| = |−2| = 2 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 4: Considere as parábolas de equações 𝑥 = 𝑦2 e 𝑥 = −𝑦2 desenhadas abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Considere o gráfico da função elementar 𝑓(𝑥) = √𝑥 , que é parte da parábola 𝑥 = 𝑦2. 
Para cada função: 
𝑓1(𝑥) = −√𝑥 𝑓2(𝑥) = √−𝑥 𝑓3(𝑥) = −√−𝑥 𝑓4(𝑥) = √|𝑥| 𝑓5(𝑥) = −√|𝑥|, 
faça o que se pedeem cada item. 
a) Determine o domínio da função. 
b) Esboce o seu gráfico usando reflexões e/ou modulações a partir do gráfico da função 
𝑓(𝑥) = √𝑥. 
c) Observe o gráfico e dê a imagem da função. 
d) O gráfico obtido no item (b) é parte ou união de partes das parábolas de equações 𝑥 = 𝑦2 
e/ou 𝑥 = −𝑦2. Relacione o gráfico ou cada parte do gráfico obtido no item (b), com uma das 
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duas equações, citando em quais intervalos do eixo 𝑥 e do eixo 𝑦 a equação é identificada. Para 
relacionar será preciso substituir o nome da função ( 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 ou 𝑓5) por 𝑦 para obter 
uma equação nas variáveis 𝑥 e 𝑦, depois elevar essa equação ao quadrado. 
Resolução: 
a) Como só é possível calcular a raiz quadrada de números positivos ou nulo, então 
𝐷𝑜𝑚 (𝑓1) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 0} = [0,∞) 
𝐷𝑜𝑚 (𝑓2) = 𝐷𝑜𝑚 (𝑓3) = {𝑥 ∈ ℝ;−𝑥 ≥ 0} = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≤ 0} = (−∞, 0] 
𝐷𝑜𝑚 (𝑓4) = 𝐷𝑜𝑚 (𝑓5) = {𝑥 ∈ ℝ; |𝑥| ≥ 0} = ℝ = (−∞,∞) , pois |𝑥| ≥ 0 para qualquer 𝑥 ∈ ℝ. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Para auxiliar, esboçamos primeiro o 
gráfico de 𝑓(𝑥) = √𝑥. 
Gráfico de 𝒇𝟏(𝒙) = −√𝒙 : 
Para esboçarmos o gráfico de 𝑦 = −𝑓(𝑥) 
devemos refletir no eixo 𝑥 o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥). Portanto, o 
gráfico de 𝑓1(𝑥) = −√𝑥 é obtido quando refletimos o gráfico de 
𝑓(𝑥) = √𝑥 no eixo 𝑥. 
Gráfico de 𝒇𝟐(𝒙) = √−𝒙 : 
Para esboçarmos o gráfico de 𝑦 = 𝑓(−𝑥) devemos refletir o 
gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) no eixo 𝑦. Portanto, o gráfico de 
 𝑓2(𝑥) = √−𝑥 é obtido quando refletimos o gráfico de 
 𝑓(𝑥) = √𝑥 no eixo 𝑦. 
 
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Gráfico de 𝒇𝟑(𝒙) = −√−𝒙 : 
Para esboçarmos o gráfico de 𝒚 = −𝒇(−𝒙) devemos refletir o gráfico 
de 𝑦 = 𝑓(𝑥) no eixo 𝑥 para obter o gráfico de 𝑦 = −𝑓(𝑥) e depois 
devemos refletir o gráfico de 𝑦 = −𝑓(𝑥) no eixo 𝑦, para obter o 
gráfico de 𝑦 = −𝑓(−𝑥). Portanto, o gráfico de 𝑓3(𝑥) = −√−𝑥 é 
obtido quando refletimos o gráfico de 𝑓(𝑥) = √𝑥 no eixo 𝑥 para 
obter o gráfico de 𝑓1(𝑥) = −√𝑥 e depois, devemos refletir no eixo 𝑦 o gráfico de 𝑓1(𝑥) = −√𝑥 , 
para obter o gráfico de 𝑓3(𝑥) = −√−𝑥 . 
Gráfico de 𝒇𝟒(𝒙) = √|𝒙| : 
Para esboçarmos o gráfico de 𝒚 = 𝒇(|𝒙|) , devemos manter o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) para 𝑥 ≥ 0 e 
devemos refletir essa mesma parte, onde 𝑥 ≥ 0 , em relação ao eixo 𝑦 , pois 
𝑦 = 𝑓(|𝑥|) = {
𝑓(𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
𝑓(−𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
 
Portanto, 
𝑓4(𝑥) = √|𝑥| = {
√𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
√−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
 
Gráfico de 𝒇𝟓(𝒙) = −√|𝒙| : 
Para esboçarmos o gráfico de 𝒇𝟓(𝒙) =
−√|𝒙| devemos refletir o gráfico de 
 𝑓4(𝑥) = √|𝑥| no eixo 𝑥 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Observando cada gráfico, 
𝐼𝑚 (𝑓1) = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≤ 0} = (−∞, 0] 𝐼𝑚 (𝑓2) = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≥ 0} = [0,∞) 
𝐼𝑚 (𝑓3) = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≤ 0} = (−∞, 0] 𝐼𝑚 (𝑓4) = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≥ 0} = [0,∞) 
𝐼𝑚 (𝑓5) = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 ≤ 0} = (−∞, 0] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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d) Observe que 𝑉 = (0 ,0) é o vértice das parábolas de 
equações 𝑥 = 𝑦2 e 𝑥 = −𝑦2. 
Função 𝒇𝟏(𝒙) = −√𝒙 : 
𝑓1(𝑥) = −√𝑥 ⟹ 𝑦 = −√𝑥, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≤ 0 ⟹ 
𝑦2 = (−√𝑥)
2
= 𝑥, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≤ 0 ⟹ 𝑥 = 𝑦2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≤ 0 
Portanto o gráfico de 𝑓1(𝑥) = −√𝑥 é a parte da parábola de equação 𝑥 = 𝑦
2 situada no 4º. 
quadrante (𝑥 > 0, 𝑦 < 0) ou no eixo 𝑥 (𝑥 = 0, 𝑦 = 0). 
Função 𝒇𝟐(𝒙) = √−𝒙 : 
𝑓2(𝑥) = √−𝑥 ⟹ 𝑦 = √−𝑥, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≥ 0 ⟹ 
𝑦2 = (√−𝑥)
2
= −𝑥, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≥ 0 ⟹ 
 𝑥 = −𝑦2, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≥ 0 
Portanto o gráfico de 𝑓2(𝑥) = √−𝑥 é a parte da parábola de equação 𝑥 = −𝑦
2 situada no 2º. 
quadrante (𝑥 < 0, 𝑦 > 0) ou no eixo 𝑥 (𝑥 = 0, 𝑦 = 0). 
Função 𝒇𝟑(𝒙) = −√−𝒙 : 
𝑓3(𝑥) = −√−𝑥 ⟹ 𝑦 = −√−𝑥, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≤ 0 ⟹ 𝑦
2 =
(−√−𝑥)
2
= −𝑥, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≤ 0 ⟹ 
𝑥 = −𝑦2, 𝑥 ≤ 0, 𝑦 ≤ 0 . 
Portanto o gráfico de 𝑓3(𝑥) = −√−𝑥 é a parte da parábola de equação 𝑥 = −𝑦
2 situada no 3º. 
quadrante (𝑥 < 0, 𝑦 < 0) ou no eixo 𝑥 (𝑥 = 0, 𝑦 = 0). 
Função 𝒇𝟒(𝒙) = √|𝒙| : 
𝑓4(𝑥) = √|𝑥| ⟹ 𝑦 = √|𝑥| , − ∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 ≥ 0 ⟹ 
𝑦2 = (√|𝑥|)
2
= |𝑥| , − ∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 ≥ 0 ⟹ 
{𝑥 = 𝑦2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} 𝑜𝑢 {−𝑥 = 𝑦2, 𝑥 < 0, 𝑦 > 0} ⟹ 
{𝑥 = 𝑦2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0} 𝑜𝑢 {𝑥 = −𝑦2, 𝑥 < 0, 𝑦 > 0} 
 
EP 04 – 2017-2 – Transformações em Gráficos – Gabarito Pré-Cálculo 
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Portanto uma parte do gráfico de 𝑓4(𝑥) = √|𝑥| é a parte da parábola de equação 𝑥 = 𝑦
2 
situada no 1º. quadrante (𝑥 > 0, 𝑦 > 0) ou no eixo 𝑥 (𝑥 = 0, 𝑦 = 0) e outra parte do gráfico de 
 𝑓4(𝑥) = √|𝑥| é a parte da parábola de 
equação 𝑥 = −𝑦2 situada no 2º. 
quadrante (𝑥 < 0, 𝑦 > 0). 
 
 
Função 𝒇𝟓(𝒙) = −√|𝒙| : 
𝑓5(𝑥) = −√|𝑥| ⟹ 𝑦 = −√|𝑥|, −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 ≤ 0 
⟹ 𝑦2 = (√|𝑥|)
2
= |𝑥|, −∞ < 𝑥 < ∞, 𝑦 ≤ 0 
⟹ {𝑥 = 𝑦2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≤ 0} 𝑜𝑢 {−𝑥 = 𝑦2, 𝑥 < 0, 𝑦 < 0} 
⟹ {𝑥 = 𝑦2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≤ 0} 𝑜𝑢 {𝑥 = −𝑦2, 𝑥 < 0, 𝑦 < 0} 
Portanto uma parte do gráfico de 𝑓5(𝑥) = −√|𝑥| é a parte da parábola de equação 𝑥 = 𝑦
2 
situada no 4º. quadrante (𝑥 > 0, 𝑦 < 0) 
ou no eixo 𝑥 (𝑥 = 0, 𝑦 = 0) e a outra 
parte do gráfico de 𝑓5(𝑥) = −√|𝑥| é a 
parte da parábola de equação 𝑥 = −𝑦2 
situada no 3º. quadrante (𝑥 < 0, 𝑦 < 0). 
 
 
 
Exercício 5: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de 
uma função "elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou 
reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função "elementar" 
e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. 
a) 𝐹(𝑥) = √𝑥 − 3 − 2 b) 𝐺(𝑥) = 1 − √𝑥 + 4 
c) 𝐻(𝑥) = √9 − 𝑥 − 2 d) 𝐽(𝑥) = 3 − √4 − 𝑥 
e) 𝐾(𝑥) = √|𝑥 − 4| − 3 f) 𝐿(𝑥) = |√|𝑥 − 4| − 3| 
 
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Resolução: 
a) O gráfico da função 𝐹(𝑥) = √𝑥 − 3 − 2 é uma translação horizontal para direita de 3 
unidades seguida de uma translação vertical para baixo de 2 unidades do gráfico de 𝑦 = √𝑥 . 
 
 
 
 
 
 
 
 𝐷𝑜𝑚(𝐹) = [3 , +∞) e Im(𝐹) = [−2 , +∞) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) O gráfico da função 𝐺(𝑥) = 1 − √𝑥 + 4 é uma translação horizontal para esquerda 
de 4 unidades seguida de uma 
translação vertical para cima de 1 
unidade do gráfico de 𝑦 = −√𝑥 . 
 
 
 𝐷𝑜𝑚(𝐺) = [−4 , +∞) e Im(𝐺) = (−∞ , 1] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) O gráfico da função 𝐻(𝑥) = √9 − 𝑥 − 2 é uma translação horizontal para direita de 9 
unidades seguida de uma translação vertical 
para baixo de 2 unidades do gráfico de 
𝑦 = √−𝑥 . 
 
 
 𝐷𝑜𝑚(𝐻) = (−∞ ,9] e Im(𝐻) = [−2 , +∞) 
 
EP 04 – 2017-2 – Transformações em Gráficos – GabaritoPré-Cálculo 
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ATENÇÃO: para ver exatamente a translação horizontal que está ocorrendo, é preciso colocar o 
coeficiente da variável 𝒙 em evidência. Caso contrário podemos nos equivocar. 
Fazendo isso nesse exemplo, 
𝐻(𝑥) = √9 − 𝑥 − 2 = √−(𝑥 − 9) − 2 , vemos que a translação horizontal será para a direita 
e não para a esquerda como poderia parecer inicialmente. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) O gráfico de 𝐽(𝑥) = 3 − √4 − 𝑥 = 3 − √−(𝑥 − 4) 
é uma translação horizontal para direita de 4 
unidades seguida de uma translação vertical 
para cima de 3 unidades do gráfico de 
𝑦 = −√−𝑥 . 
 
 
 𝐷𝑜𝑚(𝐽) = (−∞ ,4] e Im(𝐽) = [−∞ , 3) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e) O gráfico de 𝐾(𝑥) = √|𝑥 − 4| − 3 é uma translação horizontal para direita de 4 unidades 
seguida de uma translação vertical para baixo de 3 unidades do gráfico de 𝑦 = √|𝑥|. 
O gráfico de 𝑦 = √|𝑥| = {
√𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 
√−𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0 
 
𝑦 = √|𝑥| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
⇒ 𝑦 = √|𝑥 − 4 | 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
⇒ 𝐾(𝑥) = √|𝑥 − 4| − 3
 
 
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 ,𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
→ 
 
 
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𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
→ 
 
 
 𝐷𝑜𝑚(𝐾) = ℝ e Im(𝐾) = [−3 , +∞) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
f) O gráfico de 𝐿(𝑥) = |√|𝑥 − 4| − 3| é a "modulação" do gráfico da função 
 𝐾(𝑥) = √|𝑥 − 4| − 3 do item e) acima. Isto significa que será feito um rebatimento para cima 
do eixo 𝑥 , da parte negativa da função (a parte do gráfico que estava abaixo do eixo 𝑥) e será 
mantida a parte positiva ou nula da função (a parte do gráfico que estava acima do eixo 𝑥 ou 
sobre ele). 
Para isso, vamos encontrar os pontos onde o gráfico de 𝐾(𝑥) = √|𝑥 − 4| − 3 intercepta o eixo 
 𝑥 : 
Esses pontos têm ordenada 𝑦 = 0, portanto temos: 
√|𝑥 − 4| − 3 = 0 ⟹ √|𝑥 − 4| = 3 
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜
 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 
𝑎𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
⇒ ( √|𝑥 − 4|)
2
= 32 ⟹ 
|𝑥 − 4| = 9 ⟹ 𝑥 − 4 = −9 𝑜𝑢 𝑥 − 4 = 9 ⟹ 𝑥 = −5 𝑜𝑢 𝑥 = 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝐷𝑜𝑚(𝐿) = ℝ e Im(𝐿) = [0 , +∞) 
_______________________________________________________________________________ 
 
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Exercício 6: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de 
uma função "elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou 
reflexões em torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função "elementar" 
e as transformações ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. 
a) 𝐹(𝑥) = √|𝑥| − 1 − 2 b) 𝐺(𝑥) = |(𝑥 + 1)3 − 1| c) 𝐻(𝑥) =
1
𝑥+2
 + 3 
d) Esboce os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 . Além de 
identificar as funções "elementares" e as transformações ocorridas, esboce os gráficos 
intermediários. Esboce num mesmo par de eixos os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 
𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 e 𝑦 = 𝑥. Observe a relação que existe entre esses gráficos. 
Resolução: 
a) 
Consideremos a função 𝑓(𝑥) = √|𝑥| − 1 . O seu domínio é { 𝑥 ∈ ℝ ∶ |𝑥| − 1 ≥ 0 }. 
Mas, |𝑥| − 1 ≥ 0 ⟺ |𝑥| ≥ 1 ⟺ 𝑥 ≤ −1 ou 𝑥 ≥ 1 . Portanto, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ |𝑥| − 1 ≥ 0 } = (−∞ ,−1] ∪ [1 , +∞) 
𝑓(𝑥) = √|𝑥| − 1 = {
√𝑥 − 1 , 𝑠𝑒 𝑥 − 1 ≥ 0 (𝑥 ≥ 1) 
√−𝑥 − 1 , 𝑠𝑒 − 𝑥 − 1 ≥ 0 (𝑥 ≤ −1) 
 
O gráfico dessa função é: 
 
 
 
Para obtermos o gráfico de 𝐹(𝑥) = √|𝑥| − 1 − 2: 
𝑓(𝑥) = √|𝑥| − 1 
 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
⇒ 𝐹(𝑥) = √|𝑥| − 1 − 2 
 
 
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 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
⇒ 
 
 𝐷𝑜𝑚(𝐹) = (−∞ ,−1] ∪ [1 , +∞) e Im(𝐹) = [−2 , +∞) 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Construímos o gráfico de 1)1()(
3  xxG fazendo as seguintes transformações em 
gráficos: 
𝑦 = 𝑥3 
 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
⇒ 𝑦 = (𝑥 + 1)3 
 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
⇒ 𝑦 = (𝑥 + 1)3 − 1 
Modulando
a função
𝑦=(𝑥+1)3−1 
 
 
⇒ 𝐺(𝑥) = |(𝑥 + 1)3 − 1| 
 
 
 
 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
⇒ 
 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
⇒ 
 
 
 
Modulando
a função
𝑦=(𝑥+1)3−1 
 
⇒ 
 
 
 
𝐷𝑜𝑚(𝐺) = ℝ e Im(𝐺) = [0 , +∞) 
 
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ATENÇÃO: Modulando a função significa que a parte do gráfico dessa função em que 𝑦 < 0 , ou 
seja, a parte do gráfico que está abaixo do eixo 𝑥 , deve ser refletida em torno d eixo 𝑥. E a parte 
do gráfico em que 𝑦 ≥ 0 , ou seja, a parte do gráfico que está cima do eixo 𝑥 ou sobre ele, deve 
ser mantida. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Construímos o gráfico de 𝐻(𝑥) =
1
𝑥+2
 + 3 fazendo as seguintes em gráficos: 
ℎ(𝑥) =
1
𝑥
 , 𝑥 ≠ 0 
 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
⇒ 𝑦 =
1
𝑥 + 2
 , 𝑥 ≠ −2 
 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 
⇒ 𝐻(𝑥) =
1
𝑥 + 2
 + 3 
 
 
 
 
 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
⇒ 
 
 
 
 
 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎 
⇒ 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑜𝑚(𝐻) = ℝ − {2} e Im(𝐻) = ℝ − {3} 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
EP 04 – 2017-2 – Transformações em Gráficos – Gabarito Pré-Cálculo 
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d) Esboce os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 . Além de 
identificar as funções "elementares" e as transformações ocorridas, esboce os gráficos 
intermediários. Esboce num mesmo par de eixos os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 
 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1e 𝑦 = 𝑥. Observe a relação que existe entre esses gráficos. 
Gráfico da função 𝒇(𝒙) = √𝒙 − 𝟏
𝟑
+ 𝟏 
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 é a seguinte sequência de 
transformações em gráficos de funções: 
𝑦 = √𝑥
3
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑦 = √𝑥 − 1
3
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Gráfico da função 𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟑 + 𝟏 
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 é a seguinte sequência 
de transformações em gráficos de funções: 
 
EP 04 – 2017-2 – Transformações em Gráficos – Gabarito Pré-Cálculo 
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𝑦 = 𝑥3 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑦 = (𝑥 − 1)3 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 
 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 
 
 
 
 
 
 
Observando a relação que existe entre os gráficos de 
𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 e de 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 
 
 
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Os gráficos das 𝒇(𝒙) = √𝒙 − 𝟏
𝟑
+ 𝟏 e 𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)𝟑 + 𝟏 são simétricos com relação à reta 
𝒚 = 𝒙 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 7: Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e 
então aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, 
alongamentos, compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. 
a) 𝑓(𝑥) =
1
2
√𝑥 + 2 b) 𝑔(𝑥) = √
1
2
𝑥 + 2 c) ℎ(𝑥) =
1
2
√
1
2
𝑥 + 2
 
d) 𝑗(𝑥) = 2√
1
2
𝑥 + 2 e) 𝑟(𝑥) =
1
2
√2𝑥 + 2 f) 𝑠(𝑥) = 2√2𝑥 + 2 
 
EP 04 – 2017-2 – Transformações em Gráficos – Gabarito Pré-Cálculo 
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Resolução: 
a) 𝑓(𝑥) =
1
2
√𝑥 + 2 
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑓(𝑥) =
1
2
√𝑥 + 2 é a seguinte sequência de 
transformações em gráficos de funções: 
𝑦 = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = √𝑥 + 2 
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
 𝑘=
1
2
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑓(𝑥) =
1
2
√𝑥 + 2 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 𝑔(𝑥) = √
1
2
𝑥 + 2 
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑔(𝑥) = √
1
2
𝑥 + 2 é a seguinte sequência de 
transformações em gráficos de funções: 
𝑦 = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = √𝑥 + 2 
𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
1
𝑘
=
1
1
2
=2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑔(𝑥) = √
1
2
𝑥 + 2 
 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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c) ℎ(𝑥) =
1
2
√
1
2
𝑥 + 2 
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função ℎ(𝑥) =
1
2
√
1
2
𝑥 + 2 é a seguinte sequência 
de transformações em gráficos de funções: 
𝑦 = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = √𝑥 + 2 
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
 𝑘=
1
2
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑦 =
1
2
√𝑥 + 2 
𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
1
𝑘
=
1
1
2
=2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ ℎ(𝑥) =
1
2
√
1
2
𝑥 + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
d) 𝑗(𝑥) = 2√
1
2
𝑥 + 2 
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função ℎ(𝑥) =
1
2
√
1
2
𝑥 + 2 é a seguinte sequência 
de transformações em gráficos de funções: 
 
EP 04 – 2017-2 – Transformações em Gráficos – Gabarito Pré-Cálculo 
 26 de 28 
 
𝑦 = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = √𝑥 + 2 
𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
 𝑘=2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑦 = 2√𝑥 + 2 
𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
1
𝑘
=
1
1
2
=2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑗(𝑥) = 2√
1
2
𝑥 + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
e) 𝑟(𝑥) =
1
2
√2𝑥 + 2 
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑟(𝑥) =
1
2
√2𝑥 + 2 é a seguinte sequência 
de transformações em gráficos de funções: 
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𝑦 = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = √𝑥 + 2 
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
 𝑘=
1
2
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑦 =
1
2
√𝑥 + 2 
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
1
𝑘
=
1
2
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑟(𝑥) =
1
2
√2𝑥 + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
f) 𝑠(𝑥) = 2√2𝑥 + 2 
Uma possibilidade para explicar o gráfico da função 𝑠(𝑥) = 2√2𝑥 + 2 é a seguinte sequência de 
transformações em gráficos de funções: 
𝑦 = √𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜
ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = √𝑥 + 2 
𝑎𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
 𝑘=2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
→ 𝑦 = 2√𝑥 + 2 
𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
1
𝑘
=
1
2
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑠(𝑥) = 2√2𝑥 + 2 
 
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