PC_2019-1_EP04_Transformacoes em Graficos

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EP 04 – 2019-1 – Transformações de Gráficos Pré-Cálculo 
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Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
CEDERJ 
EP 04 
Pré-Cálculo 
____________________________________________________________________________ 
Caro aluno 
Trabalhamos bastante no EP03 as funções elementares e a leitura gráfica. Esperamos que você tenha 
investido bastante energia nos exercícios propostos. Conhecer bem as funções abordadas no EP03 vai 
ajudá-lo muito a fazer os exercícios do EP04. Vamos partir das funções mais simples abordadas no EP03 e 
com as transformações nos gráficos dessas funções: translações, reflexões, alongamentos ou 
compressões, modulações, que estudaremos agora, você será capaz de construir gráficos de funções 
muito mais elaboradas, que nem imaginaria ser capaz de construir tão cedo, no nosso curso! Por exemplo, 
você poderá esboçar o gráfico de função como: 
𝑓(𝑥) = 3 − √|𝑥 + 5| − 2, 𝑔(𝑥) =
4
|𝑥−1|−2
 
O conteúdo desta semana você encontra no livro de Pré-Cálculo, Volume 2, Módulo 4, nas Aulas 24 e 25. 
Nessas aulas você encontrará também conteúdos que abordaremos nas próximas semanas, mas tenho 
certeza que você conseguirá dar conta dessa leitura. Você pode iniciar o seu estudo pelo EP04 e usar esse 
estudo como orientação para a leitura do material impresso. 
Muito importante para a compreensão das transformações nos gráficos das funções são os APPLETS que 
colocamos na Sala da Disciplina Pré-Cálculo. Acompanhem o estudo desse EP com os applets. Eles são 
dinâmicos e muitas vezes explicam melhor que as palavras do texto. 
Vamos então, às transformações em gráficos de funções. 
 
 
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Translações 
 
Operações em 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
Somar uma 
constante positiva 𝑐 
a 𝑓(𝑥) 
Subtrair uma 
constante positiva 𝑐 
de 𝑓(𝑥) 
Somar uma 
constante positiva 𝑐 
a 𝑥 
Subtrair uma 
constante positiva 𝑐 
de 𝑥 
Nova equação 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐) 
Efeito 
Geométrico 
Translada o gráfico 
de 𝑦 = 𝑓(𝑥), em 𝑐 
unidades para cima 
Translada o gráfico de 
𝑦 = 𝑓(𝑥), em 𝑐 
unidades para baixo 
Translada o gráfico 
de 𝑦 = 𝑓(𝑥), em 𝑐 
unidades para a 
esquerda 
Translada o gráfico 
de 𝑦 = 𝑓(𝑥), em 𝑐 
unidades para a 
direita 
Exemplos 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
e 𝑐 = 2 > 0 
 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 2 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
e 𝑐 = 2 > 0 
 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 2 
𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
e 𝑐 = 2 > 0 
 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2) 
𝑔(𝑥) = (𝑥 + 2)2 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
e 𝑐 = 2 > 0 
 
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 2) 
𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)2 
 
 
 
 
 
 
Observe que subtrair uma constante positiva 𝒄 de 𝒇(𝒙) equivale a somar uma 
constante negativa 𝒌 = −𝒄 a 𝒇(𝒙) . 
No exemplo ao lado, podemos considerar 𝒄 = 𝟐 > 𝟎 
ou 𝒌 = −𝟐 < 𝟎 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 
 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙) − 𝟐 
equivale a 𝒈(𝒙) = 𝒇(𝒙) + (−𝟐) 
 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐 
equivale a 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + (−𝟐) 
Dizer que a translação horizontal é de 𝑐 = 2 unidades para baixo equivale a dizer 
que a translação é de |𝑘| = |−2| = 2 unidades para baixo. 
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Antes de falarmos em “Reflexões”, vamos lembrar, que dado um 
ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) no plano cartesiano então: 
• o ponto simétrico de 𝑃(𝑥, 𝑦) em relação ao eixo 𝑥 é o ponto 
𝑃1(𝑥, −𝑦) ) ou, escrevendo de outra forma, o ponto 𝑃1(𝑥, −𝑦) é 
uma reflexão do ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) no eixo 𝑥. 
• o ponto simétrico de 𝑃(𝑥, 𝑦) em relação ao eixo 𝑦 é o ponto 
𝑃2(−𝑥, 𝑦) ou, escrevendo de outra forma, o ponto 𝑃2(−𝑥, 𝑦) é 
uma reflexão do ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) no eixo 𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
Reflexões e Simetrias 
 
 
Operações em 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
Multiplicar 𝑥 por −1 
ou, equivalentemente, 
Substituir 𝑥 por −𝑥 
Multiplicar 𝑓(𝑥) por −1 
ou, equivalentemente, 
Substituir 𝑓(𝑥) por −𝑓(𝑥) 
Nova equação 𝑦 = 𝑓(−𝑥) 𝑦 = −𝑓(𝑥) 
Efeito Geométrico 
Reflete o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) em 
torno do eixo 𝑦. 
Isso significa que os gráficos de 𝑓(𝑥) e 
de 𝑓(−𝑥) são simétricos em relação ao 
eixo 𝑦. 
Reflete o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) em 
torno do eixo 𝑥. 
Isso significa que os gráficos de 𝑓(𝑥) 
e de −𝑓(𝑥) são simétricos em 
relação ao eixo 𝑥. 
Exemplos 
 
𝑓(𝑥) = √𝑥 
e 
𝑔(𝑥) = 𝑓(−𝑥) = √−𝑥 
 
𝑓(𝑥) = √𝑥 
e 
𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥) = −√𝑥 
 
 
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Modulações e Simetrias 
Operações em 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
Modular 𝑓(𝑥): 
|𝑓(𝑥)| 
Modular a variável 𝑥: 
|𝑥| 
Nova equação 𝑦 = |𝑓(𝑥)| = {
 𝑓(𝑥), 𝑠𝑒 𝑓(𝑥) ≥ 0
−𝑓(𝑥), 𝑠𝑒 𝑓(𝑥) < 0
 𝑦 = 𝑓(|𝑥|) = {
 𝑓(𝑥), 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
𝑓(−𝑥), 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
Efeito Geométrico 
Mantém o gráfico de 𝑓(𝑥) na parte do 
gráfico em que 𝑓(𝑥) ≥ 0 (parte acima 
do eixo 𝑥 ou sobre o eixo 𝑥) e faz uma 
reflexão em torno do eixo 𝑥, da parte 
do gráfico onde 𝑓(𝑥) < 0 (parte 
abaixo do eixo 𝑥) 
Isso significa que na parte do gráfico 
em que 𝑓(𝑥) ≥ 0 os gráficos de 𝑓(𝑥) e 
de |𝑓(𝑥)| são coincidentes e na parte 
do gráfico em que 𝑓(𝑥) < 0 os gráficos 
de 𝑓(𝑥) e de |𝑓(𝑥)| são simétricos em 
relação ao eixo 𝑥. 
Mantém o gráfico de 𝑓(𝑥) na parte 
do gráfico em que 𝑥 ≥ 0 (parte à 
direita do eixo 𝑦 ou sobre o eixo 𝑦) e 
reflete essa mesma parte do gráfico 
em torno do eixo 𝑦 e a parte do 
gráfico de 𝑓(𝑥) em que 𝑥 < 0 (parte 
à esquerda do eixo 𝑦) é eliminada. 
Isso significa que na parte do gráfico 
de 𝑓(𝑥) em que 𝑥 ≥ 0 os gráficos de 
𝑓(𝑥) e 𝑓(|𝑥|) são simétricos em 
relação ao eixo 𝑦. 
Exemplos 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 e 
𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥)| = |𝑥2 − 1| 
 
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 e 
𝑔(𝑥) = 𝑓(|𝑥|) = (|𝑥| − 1)2 
 
 
 
 
 
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Outro exemplo dessa tabela de modulações: 
Dado ao lado o gráfico de 𝑓(𝑥) = {
 𝑥 − 1 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
 
construir o gráfico de: 
a) 𝒈(𝒙) = |𝒇(𝒙)| b) ℎ(𝑥) = 𝑓(|𝑥|) c) 𝑘(𝑥) = |𝑓(|𝑥|)| 
 
 
 
 
 
 
 
________________________________________________________________ 
Alongamentos (ou esticamentos ou ampliações) 
Compressões (ou reduções) 
Horizontais e Verticais 
 
Operações em 
𝑦 = 𝑓(𝑥) 
Multiplicar 𝑓(𝑥) por 
uma constante 
𝑘, 𝑘 > 1 
Ex. 𝑘 = 2,4 
Multiplicar 𝑓(𝑥) por 
uma constante 
𝑘, 0 < 𝑘 < 1 
Ex. 𝑘 =
2
3
 
Multiplicar 𝑥 por uma 
constante 
𝑘, 𝑘 > 1 
Ex. 𝑘 = 2,4 
Multiplicar 𝑥 por 
uma constante 
𝑘, 0 < 𝑘 < 1 
Ex. 𝑘 =
2
3
 
Nova equação 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥) 𝑦 = 𝑓(𝑘𝑥) 
Efeito 
Geométrico 
Esticar (ou ampliar) o 
gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), 
verticalmente por um 
fator multiplicativo de 
𝑘 unidades. 
Obs. 𝑘 > 1 
Comprimir (ou reduzir) 
o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), 
verticalmente por um 
fator multiplicativo de 
𝑘 unidades. 
Obs. 0 < 𝑘 < 1 
Comprimir o gráfico 
de 𝑦 = 𝑓(𝑥), 
horizontalmente por 
um fator 
multiplicativo de 
 
1
𝑘
 unidades. 
Obs. 0 <
1
𝑘
< 1 
Esticar o gráfico de 
 𝑦 = 𝑓(𝑥), 
horizontalmente por 
um fator 
multiplicativo de 
 
1
𝑘
 unidades. 
Obs. 
1
𝑘
> 1 
 
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Exemplos dessa tabela: 
 
1- Dado o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), 
construir o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥), com 𝑐 > 1. 
Por exemplo: 
𝑓(𝑥) = 3 − 𝑥2 Já sabemos fazer o gráfico dessa função, é uma 
reflexão no eixo 𝑥 da função elementar 𝑦 = 𝑥2, seguida de 
translaçãovertical de 3 unidades para cima. 
𝑔(𝑥) = 2𝑓(𝑥) = 2(3 − 𝑥)2 
(esticado verticalmente, com fator multiplicativo 2). 
Observe que o gráfico se afasta do eixo 𝑥. 
Observe também que as raízes dessa função não se alteram. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2- Dado o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), 
construir o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑓(𝑥), com 0 < 𝑐 < 1. 
Por exemplo: 
 
𝑓(𝑥) = 3 − 𝑥2 Já sabemos fazer o gráfico dessa função, é 
uma reflexão no eixo 𝑥 da função elementar 𝑦 = 𝑥2, 
seguida de translação vertical de 3 unidades para cima. 
𝑔(𝑥) =
1
2
𝑓(𝑥) =
1
2
(3 − 𝑥)2 
(comprimido verticalmente, com fator multiplicativo 
1
2
). 
Observe que o gráfico se aproxima do eixo 𝑥. 
Observe também que as raízes dessa função não se 
alteram. 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
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3- Dado o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), construir o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑥), com 𝑐 > 1. 
 
Por exemplo: 
 
𝑓(𝑥) = 5 − 𝑥2 Já sabemos fazer o gráfico dessa 
função, é uma reflexão no eixo 𝑥 da função 
elementar 𝑦 = 𝑥2, seguida de translação 
vertical de 5 unidades para cima. 
𝑔(𝑥) = 𝑓(2𝑥) = 5 − (2𝑥)2 
(comprimido horizontalmente, com fator multiplicativo 
1
2
). 
Observe que o gráfico se aproxima do eixo 𝑦. 
Observe, que neste caso, as raízes dessa função se alteram. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
4- Dado o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), construir o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑐𝑥), com 0 < 𝑐 < 1. 
Por exemplo: 
 
𝑓(𝑥) = 5 − 𝑥2 Já sabemos fazer o gráfico 
dessa função, é uma reflexão no eixo 𝑥 da 
função elementar 𝑦 = 𝑥2, seguida de 
translação vertical de 5 unidades para cima. 
𝑔(𝑥) = 𝑓 (
𝑥
2
) = 5 − (
𝑥
2
)
2
 
(comprimido horizontalmente, com fator multiplicativo 
1
1
2
= 2 ). 
Observe que o gráfico se afasta do eixo 𝑦. 
Observe, que neste caso, as raízes dessa função se alteram. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
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5- Dado o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥), construir o gráfico de 𝑦 = 𝑑𝑓(𝑐𝑥), com 0 < 𝑐 < 1, 0 < 𝑑 < 1 . 
 
Por exemplo: 
𝑓(𝑥) = 5 − 𝑥2 Já sabemos fazer o gráfico 
dessa função, é uma reflexão no eixo 𝑥 
da função elementar 𝑦 = 𝑥2, seguida de 
translação vertical de 5 unidades para 
cima. 
𝑔(𝑥) =
1
2
𝑓 (
𝑥
2
) =
1
2
(5 − (
𝑥
2
)
2
) 
 
(esticado horizontalmente, com fator multiplicativo 2
1
2
1
= ). 
(comprimido verticalmente, com fator multiplicativo 
2
1
) 
Observe que o gráfico se afasta do eixo 𝑦 e em seguida se aproxima do eixo 𝑦. 
Observe também que se tivéssemos feito primeiro a compressão vertical e depois o esticamento 
horizontal, o gráfico final seria o mesmo obtido pela outra ordem. 
Observe, que neste caso, as raízes dessa função se alteram. 
_____________________________________________________________________________________ 
E agora, aos exercícios: 
Exercício1: Nos itens a), b) e c) a seguir, esboce o gráfico das funções quadráticas num mesmo sistema de 
coordenadas: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) =
1
2
𝑥2; ℎ(𝑥) = 2𝑥2 . O que acontece com o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 , quando 
multiplicamos 𝑥2 por uma constante positiva? 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2 ; ℎ(𝑥) = (𝑥 + 1)2. O que acontece com o gráfico da função 𝑓(𝑥) =
𝑥2 , quando à variável 𝑥 , somamos ou subtraímos uma constante positiva? 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2 ; ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 2. O que acontece com o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2, 
quando à variável 𝑦 , somamos ou subtraímos uma constante positiva? Note que realmente, a constante 
foi somada ou subtraída da variável 𝑦 . 
d) Levando em consideração as informações obtidas nos itens acima, esboce o gráfico das funções 
abaixo, a partir do gráfico da função elementar 𝑦 = 𝑥2. Explique as transformações que ocorreram
 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 2 e ℎ(𝑥) = −(𝑥 + 2)2 − 1 
Identifique o vértice e o eixo de simetria de cada uma dessas parábolas. 
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Exercício 2: Seja a função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 , para −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 . 
Em cada item escreva uma lei para uma função que: 
a) Estique verticalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo 3 . Dê o domínio e a imagem dessa 
nova função e esboce o seu gráfico. 
b) Comprima verticalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo 
1
2
. Dê o domínio e a imagem dessa 
nova função e esboce o seu gráfico. 
c) Estique horizontalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo 4 . Dê o domínio e a imagem dessa 
nova função e esboce o seu gráfico. 
d) Comprima horizontalmente o gráfico de 𝑓 por um fator multiplicativo 
1
2
. Dê o domínio e a imagem 
dessa nova função e esboce o seu gráfico. 
Exercício 3: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico da 
função 𝑓(𝑥) = |𝑥| por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em torno 
dos eixos coordenados e/ou modulações. Explique as transformações ocorridas. 
a) 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 4| b) ℎ(𝑥) = |𝑥 + 2| c) 𝑗(𝑥) = |𝑥| + 2 
d) 𝑚(𝑥) = −|𝑥 + 2| e) 𝑛(𝑥) = 5 − |𝑥 + 2| 
f) 𝑢(𝑥) = |𝑥 − 4| − 3 g) 𝑣(𝑥) = ||𝑥 − 4| − 3|. 
 
Exercício 4: Considere as parábolas de equações 𝑥 = 𝑦2 e 𝑥 = −𝑦2 desenhadas abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Considere o gráfico da função elementar 𝑓(𝑥) = √𝑥 , que é parte da parábola 𝑥 = 𝑦2. 
Para cada função: 
𝑓1(𝑥) = −√𝑥 𝑓2(𝑥) = √−𝑥 𝑓3(𝑥) = −√−𝑥 𝑓4(𝑥) = √|𝑥| 𝑓5(𝑥) = −√|𝑥|, faça o que se pede 
em cada item. 
(a) Determine o domínio da função. 
(b) Esboce o seu gráfico usando reflexões e/ou modulações a partir do gráfico da função 𝑓(𝑥) = √𝑥. 
(c) Observe o gráfico e dê a imagem da função. 
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(d) O gráfico obtido no item (b) é parte ou união de partes das parábolas de equações 𝑥 = 𝑦2 e/ou 
𝑥 = −𝑦2. Relacione o gráfico ou cada parte do gráfico obtido no item (b), com uma das duas equações, 
citando em quais intervalos do eixo 𝑥 e do eixo 𝑦 a equação é identificada. Para relacionar será preciso 
substituir o nome da função ( 𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 ou 𝑓5) por 𝑦 para obter uma equação nas variáveis 𝑥 
e 𝑦, depois elevar essa equação ao quadrado. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 5: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma 
função "elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em 
torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função "elementar" e as transformações 
ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. 
a) 𝐹(𝑥) = √𝑥 − 3 − 2 b) 𝐺(𝑥) = 1 − √𝑥 + 4 
c) 𝐻(𝑥) = √9 − 𝑥 − 2 d) 𝐽(𝑥) = 3 − √4 − 𝑥 
e) 𝐾(𝑥) = √|𝑥 − 4| − 3 f) 𝐿(𝑥) = |√|𝑥 − 4| − 3| 
Exercício 6: Esboce os gráficos das funções listadas abaixo. Eles podem ser obtidos do gráfico de uma 
função "elementar" por meio de translações horizontais e/ou translações verticais e/ou reflexões em 
torno dos eixos coordenados e/ou modulações. Identifique essa função "elementar" e as transformações 
ocorridas. Determine o domínio e a imagem de cada uma delas. 
a) 𝐹(𝑥)= √|𝑥| − 1 − 2 b) 𝐺(𝑥) = |(𝑥 + 1)3 − 1| c) 𝐻(𝑥) =
1
𝑥+2
 + 3 
d) Esboce os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 . Além de identificar as 
funções "elementares" e as transformações ocorridas, esboce os gráficos intermediários. Esboce num 
mesmo par de eixos os gráficos das funções 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1
3
+ 1 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)3 + 1 e 𝑦 = 𝑥. 
Observe a relação que existe entre esses gráficos. 
____________________________________________________________________________________ 
Exercício 7: Faça o gráfico de cada função começando com o gráfico de uma função elementar e então 
aplicando as transformações apropriadas: translações horizontais, translações verticais, alongamentos, 
compressões, reflexões, modulações. Explique quais são essas transformações. 
a) 𝑓(𝑥) =
1
2
√𝑥 + 2 b) 𝑔(𝑥) = √
1
2
𝑥 + 2 c) ℎ(𝑥) =
1
2
√
1
2
𝑥 + 2
 
d) 𝑗(𝑥) = 2√
1
2
𝑥 + 2 e) 𝑟(𝑥) =
1
2
√2𝑥 + 2 f) 𝑠(𝑥) = 2√2𝑥 + 2 
____________________________________________________________________________________ 
Bom trabalho!