Prova com gabarito 3EE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
TERCEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR. PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015
01 de Julho de 2015
Nome:
1a Questa˜o: Seja f : [0, pi]→ R dada por f(x) = pi − x.
(a) Encontre uma se´rie de Fourier desta func¸a˜o com per´ıodo pi; (2,5 pt.)
(b) Esboce o gra´fico da se´rie de Fourier no intervalo [−pi, 2pi]. (0,5 pt.)
Resposta: Tomando a se´rie da forma
∞∑
n=−∞
cn e
2piinx/L com cn =
1
L
∫ L
0
f(x) e−2piinx/Ldx.
cn =
1
pi
∫ pi
0
(pi − x) e−2inx dx = 1
pi
∫ pi
0
(pi − x) d(e
−2inx)
−2i n
=
pi − x
pi
e−2inx
−2i n
∣∣∣∣pi
0
− 1
pi
∫ pi
0
e−2inx
−2i n (−dx) =
pi − x
pi
e−2inx
−2i n
∣∣∣∣pi
0
− 1
pi
e−2inx
4(−1)n2
∣∣∣∣pi
0
=
pi − pi
pi
e−2inpi
−2i n −
pi − 0
pi
e−2in0
−2i n −
1
pi
e−2inpi
4(−1)n2 +
1
pi
e−2in0
4(−1)n2 =
1
2i n
, (n 6= 0).
Veja que: e−2inpi = e−2in0 = 1. Por outro lado para n = 0 temos
c0 =
1
pi
∫ pi
0
(pi − x) dx = 1
pi
(
pix− x
2
2
)∣∣∣∣pi
0
=
1
pi
(
pi2 − pi
2
2
)
− 1
pi
(
pi0− 0
2
2
)
=
pi
2
.
f(x)︸︷︷︸
x∈(0,pi)
=
pi
2
+
∞∑
n=−∞(n 6=0)
e2inx
2in
=
pi
2
+
∞∑
n=1
e2inx − e−2inx
2in
=
pi
2
+
∞∑
n=1
sin(2nx)
n
Quem usar a se´rie de Fourier trigonome´trica obteˆm os mesmos resultados.
2a Questa˜o: Seja dado o problema de conduc¸a˜o do calor de uma barra meta´lica,{
3uxx = ut, 0 ≤ x ≤ 1, t > 0
ux(0, t) = 0, u(1, t) = 0, 0 < t
(a) Encontre as soluc¸o˜es do problema de valores de contorno associado, Problema de
Sturm-Liouville. Justifique. (1,0 pts)
(b) Encontre um conjunto de soluc¸o˜es do problema dado e formule a soluc¸a˜o geral. (2,0 pts)
(c) Qual sera´ a temperatura em cada ponto da barra se tiver uma distribuic¸a˜o iniciar de
calor dada por (1,0 pts)
u(x, 0) = 3 cos(7pix/2) + 2 cos(3pix/2).
Resposta:
(a) Encontremos soluc¸o˜es da forma, u(x, t) = X(x) · T (t),
X(x)·Tt(t) = 3 Xxx(x)·T (t) ⇒ Tt(t)
3T (t)
=
Xxx(x)
X(x)
= −λ ⇒
{
Xxx(x) + λX(x) = 0,
Tt(t) + 3λT (t) = 0.
Aqui λ = cte, o que no´s leva a duas EDO, uma para X(x) e outra para T (t).
X(x) herda as condic¸o˜es nula na fronteira, de aqui temos o Problema de Sturm Liouville
ux(0, t) = Xx(0) · T (t) = 0 ⇒ Xx(0) = 0,
u(1, t) = X(1) · T (t) = 0 ⇒ X(1) = 0. ⇒
[
Xxx(x) + λX(x) = 0,
Xx(0) = 0, X(1) = 0.
]
Veja que na˜o estamos interessados em soluc¸o˜es nulas para X(x). Como λ e´ real e desco-
nhecida, temos treˆs poss´ıveis tipos de soluc¸o˜es para X(x)
se λ < 0, X(x) = c1 e
√−λx + c2 e
−√−λx
Xx(0) =
√
−λ c1 e
√−λ 0 −
√
−λ c2 e−
√−λ 0 = −
√
−λ (c1 − c2) = 0 ⇒ c1 = c2
X(1) = c1
(
e
√−λ 1 + e−
√−λ 1) = 0 ⇒ c1 = 0, X(x) ≡ 0,
se λ = 0, X(x) = c1 + c2 x
Xx(0) = c2 = 0, ⇒ X(x) = c1
X(1) = c1 = 0, ⇒ X(x) ≡ 0,
se λ > 0, X(x) = c1 cos(
√
λ x) + c2 sin(
√
λ x)
Xx(0) = −
√
λ c1 sin(
√
λ 0) +
√
λ c2 cos(
√
λ 0) =
√
λ c2 = 0, ⇒ c2 = 0,
X(1) = c1 cos(
√
λ 1) = 0, ⇒ c1 = 0 ou
√
λ = (2n− 1)pi/2.
λn = (2n− 1)2 pi2/4, (n = 1, 2, . . . )
Xn(x) = c1 cos
[
(2n− 1) pi/2x].
Neste u´ltimo caso, se admitimos que c1 = 0 na˜o encontramos soluc¸o˜es na˜o nulas.
(b) Conhecidos os valores de λn procedemos a encontrar as T(t),
Tt(t) +
3 (2n− 1)2 pi2
4
T (t) = 0 ⇒ Tn(t) = c3n e−3(2n−1)2 pi2 t/4.
O conjunto de soluc¸o˜es e´: un(x, t) = cos
[
(2n− 1) pi/2x] e−3(2n−1)2 pi2t/4, (n = 1, 2, . . . ).
E a soluc¸a˜o geral e´ uma combinac¸a˜o linear de todas estas:
u(x, t) =
∞∑
n=1
an cos
[2n− 1
2
pi x
]
e−3(2n−1)
2pi2t/4.
c) A condic¸a˜o iniciar determina as constantes an, veja
u(x, 0) =
∞∑
n=1
an cos
[2n− 1
2
pi x
]
e−3(2n−1)
2pi20/4 = 3 cos
[
7
2
pi x
]
+ 2 cos
[
3
2
pi x
]
=
∞∑
n=1
an cos
[2n− 1
2
pi x
]
= 3 cos
[2 · 4− 1
2
pi x
]
+ 2 cos
[2 · 2− 1
2
pi x
]
.
Com a vista aguc¸ada observamos que a igualdade e´ satisfeita se a4 = 3, a2 = 2 e an = 0
para todos os outros n. Logo
u(x, t) = 2 cos
[
3
2
pi x
]
e−3·3
2pi2t/4 + 3 cos
[
7
2
pi x
]
e−3·7
2pi2t/4.
Veja que o mesmo resultado e´ obtido quem calculou os coeficientes pela formula de Fourier,
neste caso sa˜o uties as formulas de ortogonalidade dadas no final da prova.
3a Questa˜o: Dado o seguinte problema de oscilac¸a˜o numa corda infinita
16uxx = utt, −∞ ≤ x ≤ ∞, t > 0
u(x, 0) =
2
1 + x2
, ut(x, 0) =
−8x
(1 + x2)2
.
Qual e´ a forma da corda e sua velocidade de deformac¸a˜o quando t = 1? Qual e´ a
velocidade para a qual se deslocam as deformac¸o˜es da corda? (2,0 pts)
Resposta: A soluc¸a˜o deste probelma e´ dado por D’Lambert. Sa˜o duas ondas (perturbac¸a˜o
do estado de equilibrio) uma viajando a` esquerda e outra a direita ambas com velocidade de
deslocamento de 4 unidades; isto e´, u(x, t) = F (x+4 t)+G(x−4 t). Das condic¸o˜es iniciais
u(x, 0) =
2
1 + x2
F (x) +G(x) =
2
1 + x2
ut(x, 0) =
−8x
(1 + x2)2
4F ′(x)− 4G ′(x) = −8x
(1 + x2)2
Simplificando e integrando a u´ltima equac¸a˜o:
∫ −2x dx
(1 + x2)2
=
1
1 + x2
F (x) +G(x) =
2
1 + x2
,
F (x)−G(x) = 1
1 + x2
⇒
F (x) =
3
2
1
1 + x2
,
G(x) =
1
2
1
1 + x2
De aqui a soluc¸a˜o do problema e´: u(x, t) =
3
2
1
1 + (x+ 4 t)2
+
1
2
1
1 + (x− 4 t)2 .
A forma da corda e sua velocidade de deformac¸a˜o vem dadas por
u(x, 1) =
3
2
1
1 + (x+ 4)2
+
1
2
1
1 + (x− 4)2
ut(x, 1) =
3
2
−8x
[1 + (x+ 4)2]2
+
1
2
8x
[1 + (x− 4)2]2
4a Questa˜o: Descreva como voceˆ aplica o esquema de separac¸a˜o de varia´veis no seguinte problema
uxx + ux = t ut, 0 ≤ x ≤ pi, t > 0
u(x, 0) = 0, ux(pi, t) = u(pi, t), u(x, 0) = f(x).
Formule o problema de valores iniciais, sem resolver. Considere que a soluc¸a˜o vem dada
por Xn(x) e λn com n = 1, 2, . . . A seguir formule a forma da soluc¸a˜o geral. (2,0 pts)
Resposta: Como indicado o me´todo, procuramos soluc¸o˜es da forma u(x, t) = X(x) ·T (t)
(a) Xxx(x)·T (t)+Xx(x)·T (t) = tX(x)·Tt(t) ⇒ Xxx(x) +Xx(x)
X(x)
=
t Ttt(t)
T (t)
= −λ.
De aqui
{
Xxx(x) + (1 + λ)X(x) = 0,
X(0) = 0, Xx(pi) = X(pi).
t Tt(t) + λT (t) = 0
Pois X(x) herda as condic¸o˜es na fronteira. No curso na˜o foi estudado como resolver este
problema de Sturm-Liouville, e como indicado na prova, e´ para considerar a soluc¸a˜o dada por
Xn(x) e λn com (n = 1, 2, . . . ) Ja´ o problema para T (t) tem soluc¸a˜o dada por
dT
T
= −λn dt
t
⇒ ln |T | = −λn ln |t| ⇒ T (t) = t−λn .
E a soluc¸a˜o geral apresenta a forma
u(x, t) =
∞∑
n=1
cnXn(x) t
−λn .
∫
x cos(ax)dx =
1
a2
cos(at) +
t
a
sin(at);
∫
x sin(ax)dx =
−1
a2
sin(at)− t
a
cos(at)∫
xeax dx =
eax
a2
(at− 1);
∫ L
0
e2pinx/Le2pimx/L dx =
{
0 se n 6= m
L se n = m.
;
∫ L
0
cos
(
2pinx
L
)
cos
(
2pimx
L
)
dx =
∫ L
0
sin
(
2pinx
L
)
sin
(
2pimx
L
)
dx =
{
0 se n 6= m
L/2 se n = m.