AP3-GAI-Gabarito-2012-2

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – GEOMETRIA ANAL´ITICA I – 2/2012
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadasde justufucativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 [2,5 pontos]
Determine a equac¸a˜o de uma reta vertical tangente a` curva de equac¸a˜o
y2 − 8x− 4y = 4,
dizendo se a reta encontrada e´ u´nica (justificando, e´ claro!).
Soluc¸a˜o.
Primeira soluc¸a˜o:
Simplificando a equac¸a˜o, temos
y2 − 8x− 4y = 4⇔ y2 − 4y = 8x+ 4⇔ y2 − 4y = 8x+ 4⇔
⇔ y2 − 4y + 4 = 8x+ 8⇔ (y − 2)2 = 4 · 2(x+ 1).
Assim, a curva e´ a para´bola com concavidade para a direita e ve´rtice (−1, 2). Pelas propriedades
conhecidas, e reta vertical x = −1 sera´ enta˜o a u´nica reta vertical tangente a` para´bola.
Segunda soluc¸a˜o:
Considerando a reta vertical x = x0, sua intersec¸a˜o com a curva e´ dado pelo sistema{
x = x0
(y − 2)2 = 4 · 2(x+ 1)
Assim, temos
(y − 2)2 = 4 · 2(x0 + 1).
Para x0 > −1, temos x0 + 1 > 0, logo,
y = ±
√
8(x0 + 1) + 2.
Assim, temos dois pontos distintos
(x0,
√
8(x0 + 1) + 2) e (x0,−
√
8(x0 + 1) + 2),
GEOMETRIA ANAL´ITICA I AP3 2
logo a reta x = x0 sera´ secante a` curva.
Para x0 = −1, temos y = ±
√
8(−1 + 1) = 0, logo a u´nica soluc¸a˜o do sistema sera´ (−1, 0), logo, a
reta x = x0 sera´ tangente a` curva.
Para x0 < −1, temos
(y − 2)2 = 4 · 2(x0 + 1) < 0,
logo, na˜o ha´ soluc¸a˜o poss´ıvel. Assim, a reta x = x0 na˜o intersectara´ a curva.
Questa˜o 2 [2,5 pontos]
Prove que a curva de equac¸a˜o
b2x2 − a2y2 − 2b2hx+ 2a2ky + b2h2 − a2k2 − a2b2 = 0,
com a 6= 0, b 6= 0 e´ uma hipe´rbole e determine, em func¸a˜o de a, b, h e k, o centro e os focos.
Soluc¸a˜o.
Observe que
b2x2 − a2y2 − 2b2hx+ 2a2ky + b2h2 − a2k2 − a2b2 = 0⇔
⇔ b2(x2 − 2hx+ h2)− a2(y2 − 2ky + k2) = a2b2 ⇔
⇔ b2(x− h)2 − a2(y − k)2 = a2b2 ⇔
⇔ (x− h)
2
a2
− (y − k)
2
b2
= 1
(Na u´ltima passagem acima, dividimos a equac¸a˜o por a2b2, o que e´ poss´ıvel pois a 6= 0, b 6= 0).
Assim, temos a equac¸a˜o de uma hipe´rbole com eixo focal horizontal, centro (h, k). Sendo 2c a
distaˆncia focal, Os focos sera˜o enta˜o dados por
F1 = (h− c, k), F2 = (h+ c, k),
onde c2 = a2 + b2, assim
F1 =
(
h−
√
a2 + b2, k
)
, F2 =
(
h+
√
a2 + b2, k
)
.
Questa˜o 3 [2,5 pontos]
Determine as equac¸o˜es das retas que conteˆm o ponto (−4, 1) e sa˜o tangentes ao c´ırculo de equac¸a˜o
x2 + y2 − 6x− 4y = 12.
Soluc¸a˜o.
Primeiramente, vamos estudar o c´ırculo dado. Como
x2 + y2 − 6x− 4y = 12⇔ x2 − 6x+ 9 + y2 − 4y + 4 = 12 + 4 + 9⇔ (x− 3)2 + (y − 2)2 = 52,
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GEOMETRIA ANAL´ITICA I AP3 3
temos o c´ırculo de centro (3, 2) e raio 5.
Denotemos, genericamente, por r : y = mx + n as retas procuradas. Observe que, se uma das
retas for vertical, na˜o conseguiremos determina´-la assim, pois ela sera´ da forma x = x0. Assim, caso
obtenhamos apenas um valor para m, saberemos que ha´ uma reta vertical.
Como o ponto (−4, 1) pertence a` reta, temos
1 = m(−4) + n ∴ n = 1 + 4m.
Assim, as retas sa˜o dadas por
y = mx+ (1 + 4m)⇔ mx− y + (1 + 4m) = 0.
Como elas sa˜o tangentes ao c´ırculo, a a distaˆncia entre as retas e o centro (3, 2) sera´ o raio 5, assim,
|m(3)− 2 + (1 + 4m)|√
m2 + (−1)2 = 5
∴ |7m− 1| = 5
√
m2 + 1
∴ (7m− 1)2 = 25(m2 + 1)
∴ 49m2 − 14m+ 1 = 25m2 + 25
∴ 24m2 − 14m− 24 = 0
∴ m2 − 7
12
m− 1 = 0.
Resolvendo a equac¸a˜o acima, temos m = 4
3
e m = −3
4
.
Para m = 4
3
, temos a reta
r : y =
4
3
x+
(
1 + 4 · 4
3
)
⇔ r : y = 4
3
x+
19
3
.
Para m = −3
4
, temos a reta
r : y = −3
4
x+
(
1 + 4 ·
(
−3
4
))
⇔ r : y = −3
4
x− 2.
Questa˜o 4 [2,5 pontos]
Dados A = (0, 0) e B = (8, 4) determine a equac¸a˜o satisfeita pelas coordenadas x e y dos pontos
do conjunto
P = {X = (x, y) ∈ R2|d(X,A) = d(X,B)}
e esboce o conjunto obtido.
Soluc¸a˜o.
Partindo da definic¸a˜o de P, se (x, y) ∈ P , temos
d((x, y), (0, 0)) = d((x, y), (8, 4))⇔
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GEOMETRIA ANAL´ITICA I AP3 4
⇔
√
x2 + y2 =
√
(x− 8)2 + (y − 4)2 ⇔
⇔ x2 + y2 = (x− 8)2 + (y − 4)2 ⇔
⇔ x2 + y2 = x2 − 16x+ 64 + y2 − 8y + 16⇔
⇔ 0 = −16x− 8y + 80⇔
⇔ 2x+ y − 10 = 0.
Este conjunto e´ uma reta, a mediatriz do segmento AB.
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