AP3 GAI 1.2012 gabarito NOVO

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3– GEOMETRIA ANAL´ITICA I – 1/2012
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativas.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 [2,5 pontos]
Represente, por meio de um sistema de inequac¸o˜es, a regia˜o abaixo representada:
Soluc¸a˜o.
A regia˜o representada e´ a intersec¸a˜o das regio˜es
• R1: interior ao c´ırculo de centro A = (−1, 3) e passando pelo ponto B = (−5, 6), contendo
os pontos deste c´ırculo e
• R2: abaixo da reta que passa pelos pontos A = (−1, 3) e B = (−5, 6).
O c´ırculo que limita R1 possui centro (−1, 3) e raio
r = d(A,B) = d((−1, 3), (−5, 6)) =
√
(−1− (−5))2 + (3− 6)2 = 5.
Assim, o c´ırculo e´ dado por (x+1)2+(y−3)2 = 25. Como queremos os pontos do interior ou sobre
o c´ırculo, temos
R1 : (x+ 1)
2 + (y − 3)2 ≤ 25
GEOMETRIA ANAL´ITICA I AP3 2
A reta que limita a regia˜o R2 passa por (−1, 3) e (−5, 6), logo, denotando por m seu coeficiente
angular, temos
m =
6− 3
−5− (−1) = −
3
4
.
A reta sera´ dada enta˜o por
y − y0 = m(x− x0)⇔ y − 3 = −3
4
(x− (−1))⇔ y − 3 = −3
4
(x+ 1)⇔
⇔ y = −3
4
x− 3
4
+ 3⇔ y = −3
4
x+
9
4
.
Como queremos os pontos abaixo desta reta, temos
R2 : y < −3
4
x+
9
4
.
Assim, a regia˜o e´ dada por {
(x+ 1)2 + (y − 3)2 ≤ 25
y < −3
4
x+
9
4
Questa˜o 2 [2,5 pontos]
Determine as (duas) retas paralelas a r : x+2y = 0 e as (duas) retas paralelas a s : 2x− y = 0 que
conteˆm os lados de um quadrado de lado 2
√
5 cujo centro e´ (1, 1).
Soluc¸a˜o.
As retas paralelas a r podem ser escritas
x+ 2y + c = 0.
Como a distaˆncia entre estas retas e o centro (1, 1) e´
√
5 (veja figura), teremos
√
5 = d(x+ 2y + c = 0, (1, 1)) =
|1 + 2 · 1 + c|√
12 + 22
=
|3 + c|√
5
∴
∴ |3 + c| = 5 ∴ 3 + c = ±5 ∴ c = −8 ou c = 2.
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GEOMETRIA ANAL´ITICA I AP3 3
Assim, as retas paralelas a r que conteˆm lados do quadrado sera˜o
x+ 2y − 8 = 0 e x+ 2y + 2 = 0.
Analogamente, as retas paralelas a s podem ser escritas
2x− y + c′ = 0.
Como a distaˆncia entre estas retas e o centro (1, 1) e´
√
5, teremos
√
5 = d(2x− y + c′ = 0, (1, 1)) = |2 · 1− 1 + c
′|√
12 + 22
=
|1 + c′|√
5
∴
∴ |1 + c′| = 5 ∴ 1 + c′ = ±5 ∴ c′ = −6 ou c′ = 4.
Assim, as retas paralelas a s que conteˆm lados do quadrado sera˜o
2x− y − 6 = 0 e 2x− y + 4 = 0.
Questa˜o 3 [2,5 pontos]
Determine a equac¸a˜o que descreve o lugar geome´trico dos pontos P = (x, y) que sejam centro de
um c´ırculo que conte´m o ponto (0, 1) e e´ tangente a` reta y = −1.
Soluc¸a˜o.
Seja P = (x, y) um ponto satisfazendo as condic¸o˜es desejadas. Como o c´ırculo de centro (x, y) e´
tangente a` reta y = −1, a distaˆncia de (x, y) a esta reta e´ igual ao raio r do c´ırculo. Por outro
lado, como o c´ırculo conte´m o ponto (0, 1), a distaˆncia entre (x, y) e (0, 1) tambe´m e´ igual ao raio
r. Assim,
d ((x, y), y = −1) = d ((x, y), (0, 1)) ,
o que mostra que o conjunto procurado e´ a para´bola de foco (0, 1) e diretriz y = −1.
Assim, o ponto da diretriz mais pro´ximo ao foco e´ (0,−1) (projec¸a˜o ortogonal do foco sobre a
diretriz), log, o ve´rtice e´ o ponto (0, 0) (ponto me´dio de (0, 1) e (0,−1)). Assim, p = 1. Como a
para´bola possui concavidade para cima, sua equac¸a˜o sera´ da forma
(x− x0)2 = 4p(y − y0),
logo, teremos
x2 = 4 · 1 · y ∴ x2 = 4y.
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GEOMETRIA ANAL´ITICA I AP3 4
Questa˜o 4 [2,5 pontos]
Determine as equac¸o˜es de pelo menos duas retas que passem pelo ponto P = (−1, 5) e sejam
tangentes a` curva descrita pela equac¸a˜o
9x2 + 25y2 − 72x− 100y + 19 = 0.
Soluc¸a˜o.
Analisando a equac¸a˜o, temos
9x2 + 25y2 − 72x− 100y + 19 = 0⇔ 9(x2 − 8x) + 25(y2 − 4y) + 19 = 0⇔
⇔ 9(x2 − 8x+ 16) + 25(y2 − 4y + 4) + 19− 144− 100 = 0⇔
⇔ 9(x− 4)2 + 25(y − 2)2 = 225⇔ (x− 4)
2
25
+
(y − 2)2
9
= 1.
Assim, trata-se da elipse de centro (4, 2), eixo focal horizontal, a = 5 e b = 9. Os extremos desta
elipse sera˜o enta˜o os pontos
(4, 2 + b) = (4, 5), (4, 2− b) = (4,−1), (4 + a, 2) = (9, 2), (4− a, 2) = (−1, 2).
Observe enta˜o que as reta vertical x = −1 e horizontal y = 5 passando por P = (−1, 5) sa˜o
tangentes a` elipse. Na realidade, estas sa˜o as u´nicas tangentes a` elipse que passam por P .
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