Problemas de Matemática - Exame de Qualificação 2012

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COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
PROFESSORES: MARIA HELENA / WALTER TADEU
1º Exame de Qualificação - 2012
	
MATEMÁTICA - GABARITO
Questão 24. A meia-vida é o parâmetro que indica o tempo necessário para que a massa de uma certa quantidade de radioisótopos se reduza à metade de seu valor.
Considere uma amostra de 53I133, produzido no acidente nuclear, com massa igual a 2 g e meia-vida de 20h. Após 100 horas, a massa dessa amostra, em miligramas, será cerca de:
a) 62,5 b) 125 c) 250 d) 500
Solução. A cada 20 horas, a massa se reduz a metade. Como 100 horas correspondem a 5 intervalos de 20 horas, temos: 
.
Obs: Como a meia-vida é de 20h, a massa se reduz à metade sempre em 
h.
Logo: 
. Assim, diretamente: 
. 
Comentário final: De uma maneira geral: 
, em que 
é a meia-vida.
Questão 27. Um soldado fez n séries de flexões de braço, cada uma delas com 20 repetições. No entanto, como conseqüência das alterações da contração muscular devidas ao acúmulo de ácido lático, o tempo de duração de cada série, a partir da segunda, foi sempre 28% maior do que o tempo gasto para fazer a série imediatamente anterior. A primeira série foi realizada em 25 segundos e a última em 1 minuto e 40 segundos. Considerando log 2 = 0,3, a soma do número de repetições realizadas nas n séries é igual a:
(A) 100 (B) 120 (C) 140 (D) 160
Solução. De acordo com os dados, temos: 
. Como o tempo de duração de cada série, a partir da segunda, é sempre 28% maior do que o tempo gasto para fazer a série imediatamente anterior, temos uma PG de razão 1,28.
. 
Temos a PG: 
, em que 
. Sabemos que 
.
Logo: 
. (*)
Como, log2= 0,3, temos:
i) 
.
ii) 
.
Substituindo em (*), vem: 
.
Como cada série tem 20 repetições, o total será 7 x 20 = 140. 
Questão 31. Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o custo total de R$ 65,00. Veja na tabela os preços da água por embalagem:
Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do número de embalagens de 20 L, e a quantidade de embalagens de 2 L corresponde a n.
O valor de n é um divisor de:
(A) 32 (B) 65 (C) 77 (D) 81
Solução. Suponha “x” embalagens de 20 litros, “y” embalagens de 10 litros e “n” embalagens de 2 litros. Analisando os dados do problema, temos: 
. 
Substituindo (III) em (I) e (II), temos:
. 
Questão 34. Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em 37.
Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética. Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, o número máximo de pessoas que pode ter permanecido na fila é:
(A) 6 (B) 7 (C) 9 (D) 12
Solução. A Progressão Aritmética inicial era: (37; 38; 39; 40;...; 49). Sequência dos naturais consecutivos começando em 37 e terminando em 49. Como mais de 4 pessoas desistiram e os clientes das senhas 37 e 49 não saíram do Banco, temos uma PA em que, com certeza, 37 é o primeiro termo e 49 é o último: (37; .......; 49). 
Como o termo geral da PA é 
 temos 
.
Daí, temos: 
. Como “n” é um número inteiro (o número de termos é um número inteiro positivo), “r” é divisor de 12. Logo o número máximo de pessoas implica que r deva ser mínimo. 
Como r = 1 é a razão da PA inicial (dos naturais consecutivos), logo r só pode ser dois. Daí:
. 
Questão 42. Três modelos de aparelhos de ar-condicionado, I, II e III, de diferentes potências, são produzidos por um determinado fabricante. Uma consulta sobre intenção de troca de modelo foi realizada com 1000 usuários desses produtos. Observe a matriz A, na qual cada elemento aij representa o número daqueles que pretendem trocar do modelo i para o modelo j. Escolhendo-se aleatoriamente um dos usuários consultados, a probabilidade de que ele não pretenda trocar seu modelo de ar-condicionado é igual a:
(A) 20% (B) 35% (C) 40% (D) 65%
Solução. O elemento 
 representa mo número daqueles que pretendem trocar o modelo 
 para o modelo 
. Logo, os elementos que não querem trocar de modelo estão da diagonal principal. Assim, por exemplo, 
 significa trocar o modelo 1 pelo modelo 1, ou seja, não trocar. Então: 
; não querem trocar. Logo, escolhendo aleatoriamente um dos usuários, a probabilidade de que ele não queira trocar é: 
.
 Questão 43. A figura abaixo representa um círculo de centro O e uma régua retangular, graduada em milímetros. Os pontos A, E e O pertencem à régua e os pontos B, C e D pertencem, simultaneamente, à régua e à circunferência. 
Considere os seguintes dados:
O diâmetro do círculo é, em centímetros, igual a:
(A) 3,1
(B) 3,3
(C) 3,5
(D) 3,6
Solução 1. É imediato, pela figura que, projetando ortogonalmente, DC sobre o diâmetro, temos:
Diâmetro = 
.
Solução 2. De acordo com as informações, temos:
.
_1369510514.unknown
_1369511547.unknown
_1369511741.unknown
_1369513935.unknown
_1400877238.unknown
_1549113627.unknown
_1369515516.unknown
_1369512775.unknown
_1369511618.unknown
_1369510780.unknown
_1369511463.unknown
_1369510682.unknown
_1369464740.unknown
_1369465386.unknown
_1369509572.unknown
_1369509819.unknown
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_1369465618.unknown
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_1369465409.unknown
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_1369453891.unknown
_1369453750.unknown
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_1369453632.unknown