Gabarito Aula 16

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Geom. Anal´ıtica I Respostas do Mo´dulo I - Aula 16 1
Geometria Anal´ıtica I
28/03/2011
Respostas dos Exerc´ıcios do Mo´dulo I - Aula 16
Aula 16
1. Este exerc´ıcio se resume a escrever a equac¸a˜o em uma das formas y2 = 4px,
y2 = −4px, (y− k)2 = 4p(x− h) ou (y− k)2 = −4p(x− h) para podermos,
enta˜o, analisar os elementos da para´bola.
a.
x = 6y2 ⇔ y2 = 1
6
x⇔ y2 = 4 · 1
24
x.
Assim, p = 1/24 e, como a equac¸a˜o e´ da forma y2 = 4px, temos como
foco o ponto F = (p, 0) = (1/24, 0) e como diretriz a reta x = −p ⇔
x = −1/24 (veja a pa´gina pa´gina 226). Como a diretriz e´ vertical, o
eixo de simetria sera´ a reta horizontal que passa pelo foco, y = 0.
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b. Como no item anterior,
√
2x = 2y2 ⇔ y2 = 4 ·
√
2
8
x.
Assim, o foco e´ o ponto F = (p, 0) = (
√
2/8, 0) e a diretriz e´ a reta
x = −p⇔ x = −√2/8. O eixo de simetria e´ y = 0.
c. x = y2−2y+1⇔ x = (y−1)2 ⇔ (y−1)2 = 4(1/4)x, logo, a para´bola
e´ da forma (y− y0)2 = 4p(x−x0), onde (x0, y0) = (0, 1) e´ o ve´rtice. O
foco sera´ F = (0 + p, 1) = (1/4, 1), a diretriz x = 0− p⇔ x = −1/4 e
o eixo de simetria y = 1.
d. x = y2 − 3y + 4 ⇔ x − 7/4 = (y − 3/2)2 ⇔ (y − 3/2)2 = 4(1/4)(x −
7/4), logo o ve´rtice e´ (7/4, 3/2), e, como p = 1/4, temos F = (7/4 +
1/4, 3/2) = (2, 3/2) e a diretriz e´ x = 7/4 − 1/4 ⇔ x = 3/2. O eixo
de simetria e´ a reta y = 3/2.
e. x = y2 + 2y+ 5⇔ (y+ 1)2 = 4(1/4)(x− 4). Ve´rtice V = (4,−1), foco
F = (17/4,−1), diretriz x = 15/4, eixo de simetria y = −1.
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f. x = −y2 − 4y + 7⇔ x− 11 = −(y + 2)2 ⇔ (y + 2)2 = 4(1/4)(x− 11).
Como a para´bola e´ da forma (y − k)2 = −4p(x − h), o ve´rtice e´
V = (11,−2) e como foco F = (11 − p,−2) = (43/4,−2) e como
diretriz x = 11 + p⇔ x = 45/4. O eixo de simetria e´ y = −2.
g. x = −2y2 +4y−5⇔ x+3 = −2(y−1)2 ⇔ (y−1)2 = −4(1/8)(x+3).
Ve´rtice V = (−3, 1), F = (−25/8, 1), diretriz x = −23/8 e eixo de
simetria y = 1.
h. (y − 2)2 = −4 · 2 · (x− 3). Ve´rtice V = (3, 2), foco F = (1, 2), diretriz
x = 5. Eixo de simetria y = 2.
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2. Fazendo y = 0 nos itens anteriores, encontraremos o y do ponto de in-
tersec¸a˜o com o eixo x, assim
a. y = 0⇒ x = 0, assim a intersec¸a˜o e´ (0, 0).
b. (0, 0)
c. (1, 0)
d. (4, 0)
e. (5, 0)
f. (7, 0)
g. (−5, 0)
h. (5/2, 0)
3. a. Neste item, voceˆ pode seguir como na deduc¸a˜o da equac¸a˜o da para´bola,
feita nas pa´ginas 226 a 229, ou aplicar diretamente as concluso˜es obti-
das nestas pa´ginas.
Fac¸amos, primeiramente, a partir da deduc¸a˜o da fo´rmula. O pe´ da
perpendicular a` diretriz r : x = 3/4 que passa por um ponto P = (x, y)
da para´bola e´ P ′ = (3/4, y), logo
d(P, F ) = d(P, r)⇔ d(P, F ) = d(P, P ′)⇔
⇔
√
(x + 3/4)2 + (y − 0)2 =
√
(x− 3/4)2 + (y − y)2 ⇔
⇔ (x + 3/4)2 + y2 = (x− 3/4)2 ⇔ y2 = −3x
Outra forma de chegar a` mesma conclusa˜o, e´ observar que temos como
foco e diretriz F = (−p, 0) e x = p, onde p = 3/4. Assim, o caso com
que estamos lidando e´ o estudado na pa´gina 228 (e final da 227), que
tera´ como equac¸a˜o
y2 = −4px⇒ y2 = −4(3/4)x⇒ y2 = −3x.
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b. Como o foco e´ F = (1, 0) e o ve´rtice e´ a origem, temos o caso da
pa´gina 226, isto e´, para´bola com eixo na origem e foco (p, 0), com
p = 1 (naturalmente, teremos neste caso a diretriz dada por x = −1).
Assim, a equac¸a˜o sera´
y2 = 4 · 1 · x⇔ y2 = 4x.
c. Como a diretriz e´ x = 3/2 e o ve´rtice e´ a origem, temos o caso da pa´gina
228, isto e´, para´bola com eixo na origem e diretriz x = p, com p = 3/2
(naturalmente, teremos neste caso o foco dado por F = (−3/2, 0)).
Assim, a equac¸a˜o sera´
y2 = −4 · 3
2
x⇔ y2 = −6x.
d. Este caso e´ um pouco mais complicado que os anteriores. Aqui,
na˜o podemos aplicar imediatamente as concluso˜es que nos levam a`s
equac¸o˜es y2 = ±4px, pois na˜o temos o ve´rtice na origem. O paraˆmetro
p e´ a distaˆncia entre o ve´rtice e a diretriz r : x = −3 (que e´ igual a`
distaˆncia entre o ve´rtice e o foco). Assim,
p = d(V, r) = d((−1,−3), x = −3) = 2.
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Note ainda que o ve´rtice a` direita da diretriz, portanto temos uma
para´bola com a concavidade voltada para a direita. Assim, segundo o
estudo da translac¸a˜o, feito na pa´gina 228, temos como equac¸a˜o
(y−k)2 = 4p(x−h)⇔ (y−(−3))2 = 4·2·(x−(−1))⇔ (y+3)2 = 8(x+1)
e. Como o ve´rtice e´ (0, 1) e o eixo de simetria horizontal, a para´bola tera´
equac¸a˜o (y − 1)2 = ±4p(x − 0). Logo, precisamos apenas determinar
o valor de p, e o sinal da equac¸a˜o. Substituindo o ponto (−2, 2), que
pertence a` para´bola, temos
(2− 1)2 = ±4p(−2)⇔ 1 = ±(−8)p⇔ −p = ±1
8
.
Sabemos que p > 0, logo, no ± acima, devemos considerar apenas o
−, assim, temos
(y − 1)2 = −4 · 1
8
x⇔ (y − 1)2 = −1
2
x
f. Como o ve´rtice e´ (0, 0) e o eixo de simetria horizontal, a para´bola tera´
equac¸a˜o y2 = ±4px. Substituindo o ponto (2,−3), que pertence a`
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para´bola, temos
(−3)2 = ±4p · 2⇔ 9 = ±8p⇔ p = ±9
8
.
Logo, no ± acima, devemos considerar apenas o +, assim, temos
y2 = 4 · 9
8
x⇔ y2 = 9
2
x
g. (y + 5)2 = 4(3/2)(x− 5/2)
h. (y − 1)2 = 4 · 7(x− 4)
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4. a.
b.
c.
d.
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