Solução Lista 1

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Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
1. Podemos permutar a posição das letras da palavra BRASIL, de modo a formar anagramas, 
tais 
como SILBRA, BARSIL, etc. Com base nessa informação, analise as afirmativas a seguir, em 
relação a palavra BRASIL: 
I. O total de anagramas é 720. 
II. O número de anagramas que começam com a letra B é 120. 
III. O número de anagramas que começam e terminam com consoantes é 288. 
São corretas as afirmativas: 
a) I, apenas. 
b) III, apenas. 
c) I e II, apenas. 
d) Nenhuma é correta. 
e) Todas são corretas. 
 
I – tem repetição, não; a ordem importa, sim; então é arranjo. 
B R A S I L 
A=66
6= 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 6.5.4.3.2.1=720 (observe que fatorial de 0!=1) 
II- Primeira letra fixa, tem repetição, não; a ordem importa, sim; então é arranjo. 
B R A S I L 
 Sobra 5 letras 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
III- Primeira e última letra consoante, sem repetição, ordem importa,sim; então é arranjo. 
B R A S I L 
Temos 2 Arranjos: 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
A1.A2= 12.24= 288 
 
2 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
2. Em uma associação, foram eleitos quatro sócios para compor a diretoria, formada por: 
presidente, vice-presidente, secretário, segundo secretário, tesoureiro e segundo tesoureiro. 
Juvenal, Armando, Maria e Genivalda foram os associados eleitos. Cada sócio eleito pode 
ocupar ou nenhum ou mais de um cargo. Porém, não pode ser presidente e vice-presidente, 
secretário e segundo secretário ou tesoureiro e segundo tesoureiro ao mesmo tempo. Sendo 
assim, qual número total de diretorias possíveis? Assinale a alternativa que contém a resposta 
correta: 
a) 1728 
b) 1224 
c) 1012 
d) 2060 
e) 1120 
pres v.pres secre seg secre tesour seg teso 
 
 
A ordem importa em cada par de cargos, sim, então é arranjo. 
Temos 3 arranjos. 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
A= A1.A2.A3= 12.12.12= 1728 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
3. Se , indica a quantidade de arranjos simples de n elementos, tomados p a p, assinale a 
alternativa que contém o conjunto solução para a equação ,2 + = 64: 
a) {6} 
b) {10} 
c) {8} 
d) {12} 
e) {7} 
( ,2) + = 64  o exercício deveria vir assim para sabermos que este +n não faz parte do 
arranjo. 
n=n 
p=2 
Primeiro resolvemos o arranjo: 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 ( ) ( ) 
( ) 
 ( ) 
Agora inserimos o + n=64 
 
 
 
( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
4. Considere os códigos formados pelos objetos: *, ∆ e ©. O total de códigos possíveis com 
quatro objetos, de modo que não haja objetos adjacentes é: 
a) 12 
b) 24 
c) 31 
d) 24 
e) 81 
1 2 3 4 
 
 
Podemos resolver pelo princípio fundamental da contagem. 
- na casa 1 teremos possibilidade de usar 3 objetos 
- na casa 2 teremos possibilidade de usar 2 objetos, porque não pode repetir o que foi usado 
na casa 1 
- na casa 3 teremos possibilidade de usar 2 objetos, porque não pode repetir o que foi usado 
na casa 2 
- na casa 4 teremos possibilidade de usar 2 objetos, porque não pode repetir o que foi usado 
na casa 3 
Solução= total da casa 1 x total da casa 2 x total da casa 3 x total da casa 4 
R= 3.2.2.2 = 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
5. Considerando que 𝐶 , é a quantidade de combinações simples de n elementos distintos 
tomados p a p, leia as assertivas a seguir, assinalando V para as verdadeiras e F para as falsas: 
I. ( ) A solução da equação 𝐶 ,2 = 15 é n = 6. 
II. ( ) O número de comissões constituídas por 3 pessoas que podem ser formadas com 6 
pessoas é 20. 
III. ( ) São marcados 7 pontos sobre uma reta e, sobre uma outra reta, paralela à primeira, são 
marcados 6 pontos. O número de triângulos que são obtidos, unindo 3 quaisquer desses 
pontos, é 231. 
Agora, marque a alternativa que contém a sequência correta: 
a) V, V, F 
b) F, V, V 
c) V, V, V 
d) F, F, V 
e) F, V, F 
I) 𝐶 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )
 ( ) 
( ) 
( ) 
 ( ) 
 como só consideramos números 
naturais n=6. 
II) A ordem das pessoas na comissão importa? Não, então é combinação. 
n=6 , p=3 𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
 
 
III) 
 
Para formarmos triângulos podemos pegar 2 pontos na primeira reta e 1 ponto na segunda 
reta, e vice versa. Pergunta, a ordem importa? Não, então é combinação. 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
logo, 105 + 121=231 triângulos 
 
 
 
 
 
6 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
6. 
a)Quantos anagramas podemos fazer com a palavra PROBLEMA? 
A ordem importa. Sim, então é arranjo. 
P R O B L E M A 
n=8 e p=8 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
b) Quantos deles começam com uma consoante e terminam com uma vogal? 
P R O B L E M A 
 
Primeira é consoante 5 possibilidades 
Meio é arranjo: n=6 e p=6 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
Fim temos vogal 3 possibilidades 
Resultado 5 .720 .3 = 10800 
 
c) E quantos anagramas dessa palavra terão as letras P, R, O, juntas e nessa ordem? 
Temos que considerar as palavras PRO como uma única palavra: 
PRO B L E M A 
A ordem importa. Sim, então é arranjo. n=6 e p=6 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
7. Anagramas são formados com o rearranjo das letras em uma palavra dada e podem formar 
palavras sem significado na linguagem comum. Sendo assim, considere as afirmações a seguir, 
com relação ao número de anagramas da palavra ZELIR: 
I. Há 48 anagramas que começam com vogais 
II. Há 24 anagramas nos quais as letras Z e I aparecem juntas e nessa ordem. 
III. Há 18 anagramas que começam com consoantes e terminam com vogais. 
Agora, marque a alternativa que contém as afirmações corretas: 
a) III, apenas. 
b) I, II e III. 
c) II e III, apenas. 
d) I e III, apenas. 
e) I e II, apenas. 
I) 
Z E L I R 
Fixa a primeira letra como vogal, logo, temos 2 possibilidades para esta primeira letra. 
E Z L I R 
Sobram 4 casas para as demais. Pergunta se a ordem importa, sim, então é arranjo. 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 Resultado: 2 . 24 = 48 
II) 
ZI E L R 
ZI será considerada uma única letra. Então agora pergunta, se a ordem importa, sim,então é 
arranjo, com n= 4 e p=4. 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
III) 
Z E L R I 
- Primeira letra consoante, temos 3 possibilidades. 
- no meio temos 3 letras, pergunta se mudar a ordem importa, sim, então é arranjo, com n=3 e 
p=3. 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
- no final letra vogal, temos 2 possibilidades. 
Resposta: 3 . 6. 2= 36 
8 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
 
8. Um professor de matemática elaborou 4 questões de geometria plana, 6 questões de 
geometria espacial e 5 de análise combinatória para montar uma prova de recuperação com 
10 questões. 
Qual é o número de provas que ele pode montar com 3 questões de geometria plana, 5 
questões de geometria espacial e 2 de análise combinatória, de modo que a ordem das 
questões seja irrelevante? Analise as alternativas a seguir e assinale a que contém a resposta 
correta: 
a) 288 
b) 144 
c) 240 
d) 120 
e) 60 
 
 
Em todos os casos a ordem importa. Não, então é combinação. 
Primeiro grupo: geometria plana, n=4 e p=3-> 𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segundo grupo: geometria espacial, n=6 e p=5-> 𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Terceiro grupo: análise combinatória, n=5 e p=2.-> 𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Resultado será C1.C2.C3 = 4.6.10=240 
 
 
 
 
 
 
 
9 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
9. Sobre uma reta r são marcados 7 pontos e, sobre uma outra reta s, paralela a r, são 
marcados 4 pontos. Qual é o número de triângulos que podemos obter, unindo quaisquer 
desses 3 pontos? 
Analise as alternativas a seguir e assinale a correta: 
a) 304 
b) 152 
c) 165 
d) 330 
e) 126 
 
 
Para formarmos triângulos podemos pegar 2 pontos na primeira reta e 1 ponto na segunda 
reta, e vice versa. Pergunta, a ordem importa? Não, então é combinação. 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
logo, 84 + 42=126 triângulos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
10. O mapa abaixo representa a divisão do Brasil em suas regiões. O mapa deve ser colorido de 
maneira que regiões com uma fronteira em comum sejam coloridas com cores distintas. 
Determine o número (n) de maneiras de se colorir o mapa, usando-se 5 cores. 
 
Cada um com uma cor: 
SUL, CENTRO OESTE, SUDESDE, NORTE, NORDESTE 
Pelo método da contagem: 
Comentário: Se começarmos pela região Sul, temos 5 cores disponíveis. Para 
região Sudeste, temos 4 (menos a cor do Sul) e 3 para o Centro-oeste (menos 
as cores do Sul e Sudeste). São 3 cores para a região Nordeste e 3 para a 
região Norte. Total: 5.4.3.3.3= 540 maneiras diferentes de colorir o mapa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
11. Considere as seguintes afirmações: 
I. A figura a seguir representa uma bandeira com 4 listras. Temos 4 cores distintas para colorir 
a bandeira. Deseja-se pintar todas as listras, de forma que listras vizinhas tenham cores 
diferentes. 
 
 
 
 
 
 
Sendo assim, há 108 maneiras distintas de pintarmos a bandeira. 
II. O total de números formados com algarismos distintos maiores do que 50.000 e menores 
do que 90.000 e que são divisíveis por 5 é 2.352. 
III. 3 rapazes e 3 moças devem posar para uma fotografia, ocupando 3 degraus de uma 
escadaria. Em cada degrau, deve haver um rapaz e uma moça. Portanto, o número de 
maneiras diferentes que podemos arrumar esse grupo é 288. 
Agora, assinale a alternativa que contém as afirmativas corretas: 
a) Todas estão corretas. 
b) Nenhuma é correta. 
c) I, apenas. 
d) II, apenas, 
e) I e III, apenas. 
 
I) Pelo método da contagem: 
 
Para a primeira faixa temos 4 opções, 
Na segunda faixa teremos 3 opções, 
Na terceira faixa teremos 3 opções, 
Na quarta faixa teremos 3 opções. Total 4.3.3.3= 108 maneiras distintas. 
II) 
5,6,7,8 0 a 9 0-9 0,9 0,5 
Para os números terminandos em 0: temos -> n=8 p=3 no meio 
4. 
 .1 = 4. 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 -> 4.336=1.344 
12 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
6,7,8 0 a 9 0-9 0,9 0,5 
Para os números terminados em 5: temos -> n= 8 e p=3 no meio 
No início não tem o 5. 
3. 
 .1= 3. 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 -> 3.336=1.008 
Total= 1.344+1.008= 2.352 
III) 
Degrau 1 2 3 
 
Pelo princípio da contagem: 
Em cada degrau, podemos ter moça e rapaz ou rapaz e moça. No primeiro 
degrau, temos 3.3.2 (3 rapazes e 3 moças ou o contrário (vezes 2)). No 
segundo degrau, 2.2.2 e, no terceiro, 1.1.2. O total de maneiras diferentes é: 
(3.3.2).(2.2.2).(1.1.2) = 18.8.2=288. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
12. 
a) Em um grupo de 6 homens e 5 mulheres, em quantas comissões de 5 pessoas serão 
incluídas, pelo menos, 2 mulheres? 
M M H ou M H ou M H ou M 
A ordem importa: não, então é combinação. 
Combinação total: 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Combinação com nenhuma mulher: 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
Combinação com uma mulher: 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
Total= 462-6-75= 381 
VAMOS FAZER DE OUTRA MANEIRA: SOMANDO QUANTIDADES COM 2 OU MAIS MULHERES. 
Combinação com 2 mulheres: 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Combinação com 3 mulheres: 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Combinação com 4 mulheres: 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
Combinação com 5 mulheres: 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Combinação com 0 mulheres: 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
Se somarmos com 2,3,4,5 mulheres dá: 200+150+30+1=381 
 
b) E quantas comissões podemos formar com 2 mulheres e 3 homens? 
Combinação com 2 mulheres e 3 homens: 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )13. Quantos números naturais de 4 algarismos distintos, menores do que 3.000 e divisíveis por 
2, podem ser formados usando-se apenas os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 
1 2 
A ordem importa? Sim, então é arranjo. 
Para os números terminandos em 2: temos -> n=3 p=2 no meio 
4. 
 .1 = 1. 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 -> 1.6=6 
1,2 4 
 
Para os números terminandos em 4: temos -> n=3 p=2 no meio 
4. 
 .2 = 2. 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 -> 2.6=12 
A1+A2=18 
 
 
 
 
15 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
 
 
14. Considere o conjunto {1000,1001,1002,…,9999}, formado por todos os números naturais 
com 4 algarismos. A partir dessa informação, analise as seguintes afirmações sobre esse 
conjunto: 
I. O conjunto tem 4.536 números com algarismos distintos. 
II. O conjunto tem 1.800 números divisíveis por 5. 
III. O conjunto tem 9.000 elementos. 
São corretas as afirmações: 
a) I, apenas. 
b) II, apenas. 
c) Nenhuma é correta. 
d) Todas são corretas. 
e) III, apenas. 
I) a ordem importa? Sim, então é arranjo. n=10 e p=4 
Saberemos todos números de 0 a 9999 ( cuidado a milhar zero não interessa) 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
Agora precisamos diminuir os números que começam com zero. 
0 
 n=9 e p=3 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
Então: 5040-504= 4.536 
II) 
A ordem importa? sim. Então é arranjo. (números são arranjos) 
Detalhe agora pode repetir os números. 
1,2,3,4,5,6,7,8,9 0 
16 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
Arranjo com repetição: 
 -> (9). 100=900 
O nove é da primeira casa. 
Para os números terminandos em 0: temos -> n=10 p=2 no meio. 
1,2,3,4,5,6,7,8,9 5 
 
Arranjo com repetição: 
 -> (9). 100=900 
Total 900+900=1800 números terminados em 0 e 5. 
 
III) O conjunto tem 9000 elementos 
1,2,3,4,5,6,7,8,9 
Arranjo com repetição: 
 -> (9). 1000=9000 
 
 
15. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros, 4 alemães e 3 franceses. De quantos 
modos podemos formar uma diretoria de 7 sócios, sendo 4 brasileiros, 2 alemães e 1 francês? 
BR BR BR BR AL AL FR 
A ordem importa? Não, então é combinação. 
n=7 
Combinação com 4 BR, 2 AL e 1FR: 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 𝐶 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
Silvio Silva – Lista 1 Uninter 2017 – Análise Combinatória 
16. Uma pessoa que joga na MEGA-SENA não escolhe, para seu jogo, números múltiplos de 3. 
Então, qual é o número de cartões diferentes que esta pessoa pode preencher, escolhendo 
seis números de 01 a 60? 
PA= 60 r=3 
60=3+(n-1).3 
60=3+3n-3 
n=20 
60 números – 20 números = 40 números 
A ordem importa, não. Então é combinação. 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17. Em um jogo da MEGA-SENA, se escolhermos seis números de 01 a 60, qual é o número de 
apostas formadas por 2 números pares e 4 ímpares?- 
Par Par Impar Impar Impar impar 
A ordem importa. Não, então é combinação. 
𝐶 
 
 
 ( ) 
 𝐶 
 𝐶 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( )