Ad 01 Gab

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
 
1a Avaliação a Distância de Cálculo III – 2006.1 
 
 
Nome:____________________________________________________Pólo:________________ 
 
1ª Questão (3,0 pontos) - Seja 2 2( , ) 4z f x y y x= = − 
a) Determine e faça um esboço para o domínio de f. 
b) Determine e faça um esboço para a curva de nível k = 1 de f. 
c) Use a aproximação linear de f em (0,1) para determinar um valor aproximado de 
f(0,01 , 1,02) 
d) Faça um esboço para o gráfico de f. 
 
Solução: 
 y 
a) ⇒ 2 24y x− ≥ 0 2 24 2y x y≥ ⇒ ≥ x 
x 
 
 
⇒ dom (f) = ( ){ }2, ; 2 2x y R y x ou y x∈ ≥ ≤ − 
= região hachurada na figura ao lado 
 
 
-1 
1
x 
y 
b) 2 21 4 ⇒ 1 4 y x= − y x= −
y x= −
2 2
 
Logo a curva de nível é a hipérbole 1 4 2 2
indicada em azul na figura ao lado 
 
 
c) Note que: 
 
2 2 2 2
8 4( , )
2 4 4
f x xx y
x y x y x
∂ − −= =∂ − −
⇒ (0,1) 0f
x
∂ =∂ e 
2 2 2 2
2( , )
2 4 4
f y yx y
y y x y x
∂ = =∂ − −
⇒ (0,1) 1f
y
∂ =∂ 
 
⇒ ( )(0,1) (0,1) (0,1) 0 (0,01) (1)(0,02) 0,02f fdf dx dy
x y
∂ ∂= + = + =∂ ∂ 
 
⇒ f(0.01,1.02) = f(0,1) + df (0,1) = 1 + 0,02 = 1,02. 
 
 d) Note inicialmente que: 
 
• z ≥ 0 ; 
• que as curvas de níveis z = 2 4k y x= − 2 2 são hipérboles do tipo ; 2 2 4k y x= −
• que a interseção do gráfico com o plano yz (isto é, x = 0 ) é a curva z y= ; 
• que a interseção do gráfico com o plano xz (isto é, y = 0 ) é a origem (0,0,0); 
• que a interseção do gráfico com planos verticais y = k são semi-elipses 
2 2 2 2 24 4 ,z k x z x k z= − ⇒ + = ≥ 0 (figura 2); 
• que a interseção do gráfico com planos verticais x = k ≠0 são arcos de hipérboles 
2 2 2 2 24 4 ,z y k y z k z= − ⇒ − = ≥ 0 (figura 3) 
 
Logo um esboço do gráfico de 2( , ) 4z f x y y x= = − 2 é como segue (figura 1) 
 
 
 
 f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 fi
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 fig
 
igura 1 
 
gura 2 
z
x
x
z
ura 3 
 
y
y
 
2a Questão (3,0 pontos) - Calcule, caso seja possível, os seguintes limites. E quando não 
existir, justifique sua resposta. 
 
 
a) 
( ) ( )
( )
22
22( , ) (0,1)
1 1
lim
1x y
x x y
x y→
+ + −
+ − b)
2 2 2
2 2 2( , , ) (0,0,0)
lim
1 1x y z
x y z
x y z→
+ +
− + + +
 c)
3 3
3 3( , ) (0,0)
lim
x y
x y
x y→
⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠
 
 
 
 
Solução 
 
 
a) 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 22 2 2
2 22 2( , ) (0,1) ( , ) (0,1)
22 2 2
2 2 22 2 2( , ) (0,1) ( , ) (0,1) ( , ) (0,1)
1 1 1
lim lim
1 1
1
lim lim 1 lim 1 0 1
1 1 1
x y x y
x y x y x y
x x y x x x y
x y x y
x y x x x x
x y x y x y
→ →
→ → →
+ + − + + −= =+ − + −
+ −= + = + = + =+ − + − + −
 
 
 função limitada 
 
 
 
 
 b)
2 2 2
2 2 2( , , ) (0,0,0)
0lim
01 1x y z
x y z
x y z→
+ + =
− + + +
... multiplicando pelo conjugado, obtemos... 
 
 
 
( )( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2( , , ) (0,0,0) ( , , ) (0,0,0)
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2( , , ) (0,0,0) ( , , ) (0,0,0)
1 1
lim lim
1 1 1 1 1
1 1
lim lim 1 1 2
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y zx y z
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z
x y z
→ →
→ →
+ + + + + ++ + = =
− + + + − + + + + + + +
+ + + + + +
= = − +− + +
1
+ + + = −
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
3 3
3 3( , ) (0,0)
lim
x y
x y
x y→
⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠
 
 
Note que: 
 
• o “limite” de f na origem ao longo do eixo x é dado por 
3 3 3
3 3 3( , ) (0,0) 0
0
lim lim 1
x y x
y
x y x
x y x→ →=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
• o “limite”de f na origem ao longo do eixo y é dado por 
3 3 3
3 3 3( , ) (0,0) 0
0
lim lim 1
x y y
x
x y y
x y y→ →=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− 
 
Logo não existe limite de f na origem. 
 
 
 
3a Questão (1,5 ponto) - Dado que 2 2 ln
y
zz xw y sen z x e
x y
⎛ ⎞⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 , verifique que 
w
z
wz
y
wy
x
wx 2=∂
∂+∂
∂+∂
∂ 
 
Solução: 
 
2
2 2 2
2
1cos 2 cos 2
y y
z zw z z y y z z 2x x y z xe z x e
x x x y x xx
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + = − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
 
2 2
2 2
22 2
y y
z zw z y x x z yxy y ysen z e y sen z e
y x x z x zy
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
2 
 
2 2
2 2 2
2
1 cos 2 .ln cos 2 .ln
y y
z zw z x y y z z x yz z y z x e z e
z x x y x x y zz
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
x
 
Assim, 
 
=∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
wz
y
wy
x
wx 
2
2 2cos 2
y
zy z z z x e
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + +
2
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠
2 22 + 
y
zz yxy sen z e
x z
⎛ ⎞⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
 + 
2 2
2cos 2 .ln
y
zy z z x yxz e
x x y z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 = 2 2 2ln 2
y
zz xy sen z x e
x y
⎛ ⎞⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2 = 2 w, como queríamos demonstrar. 
 
4a Questão (2,5 pontos) - Seja 
4
2 2 ( , ) (0,0)( , )
0 ( , ) (
x se x y
f x y x y
se x y
⎧ ≠⎪= +⎨⎪ =⎩ 0,0)
. 
a) Calcule, caso existam, ( , )f x y
x
∂
∂ e ( , )
f x y
y
∂
∂ , ( , ) (0,0)x y∀ ≠ . 
b) Calcule, caso existam, (0,0)f
x
∂
∂ e (0,0)
f
y
∂
∂ . 
c) Verifique se f é diferenciável em (x,y) = (0,0). Justifique sua resposta. 
 
 
 
Solução: 
 
a) Suponha (x,y) ≠ (0,0) 
 
 ( )( ) ( )
( ) ( )
2 2 3 4 5 3
2 22 2 2 2
4 2 2 4( , )
x y x x x 2f x x yx y
x x y x y
+ −∂ += =∂ + +
 
 
 ( )( ) ( )
( ) ( )
2 2 4 4
2 22 2 2 2
0 2 2( , )
x y x yf x yx y
y x y x y
+ −∂ −= =∂ + +
 
 
 
 
b) Para calcular )0,0(
x
f
∂
∂ e )0,0(
y
f
∂
∂ , usaremos a definição 
 
 
4
2
0 0
0( ,0) (0,0)(0,0) lim lim 0
x x
x
f f x f x
x x→ →
−∂ −= =∂ x = 
 
 
0 0
(0, ) (0,0) 0 0(0,0) lim lim 0
y y
f f y f
y y→ →
∂ −= =∂ y
− = 
 
 
 
c) Verifique se f é diferenciável em (x,y) = (0,0). Justifique sua resposta. 
 
 
De fato, como e f(0,0)=0, temos que a expressão do erro num ponto 
(x,y) próximo à origem é dada por: 
(0,0) 0 (0,0)x yf f= =
 
4
2 2( , ) ( , ) (0,0) (0,0) (0,0) ( , )
f fE x y f x y f x y f x y
x y
x
x y
∂ ∂= − − − = =∂ ∂ + 
Assim, 
( )
4
42 2
32 2 2 2( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 2 2 2
( , )lim lim lim
x y x y x y
x
E x y xx y
x y x y x y
→ → →
+= =
+ + +
 
 
Usando coordenadas polares, temos que 
 
⇒ ( ) ( )
4 4 4 4 4
4
3 3 3( , ) (0,0) 0 0 02 2 22 2
cos coslim lim lim lim cos 0
x y r r r
x r r r
rx y r
θ θ θ→ → → →= = =+
= 
 
Logo f é diferenciável na origem. 
 
 
.