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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo III – EP9 – Tutor
Exerc´ıcio 1: Seja f(u, v) = (u2 + v2, 2u− v) onde f e´ uma func¸a˜o de classe C2. Calcule Fv(1, 1),
Fuv(1, 1) sabendo que fx(2, 1) = 3, fy(2, 1) = 2, fxx(2, 1) = 1, fxy(2, 1) = −1 e fyy(2, 1) = −2.
Soluc¸a˜o: Usando a regra da cadeia temos:
Fv(u, v) = fx (u
2 + v2, 2u− v) (u2 + v2)
v
+ fy (u
2 + v2, 2u− v) (2u− v)v
= fx (u
2 + v2, 2u− v) (2v) + fy (u
2 + v2, 2u− v) (−1) .
Logo:
Fv(1, 1) = fx(2, 1)(2) + fy(2, 1)(−1) = 3(2) + 2(−1) = 4 .
Tambe´m:
Fuv(u, v) =
[
fxx (u
2 + v2, 2u− v) (u2 + v2)
u
+ fyx (u
2 + v2, 2u− v) (2u− v)u
]
(2v)+
+
[
fx (u
2 + v2, 2u− v)
]
(2v)u+
+
[
fxy (u
2 + v2, 2u− v) (u2 + v2)
u
+ fyy (u
2 + v2, 2u− v) (2u− v)u
]
(−1) =
=
[
fxx (u
2 + v2, 2u− v) (2u) + fyx (u
2 + v2, 2u− v) (−2)
]
(2v)+
+
[
fxy (u
2 + v2, 2u− v) (2u) + fyy (u
2 + v2, 2u− v) (−2)
]
(−1) .
Assim:
Fuv(1, 1) =
[
fxx(2, 1)(2) + fyx(2, 1)(−2)
]
(2) +
[
fxy(2, 1)(2) + fyy(2, 1)(−2)
]
=
[
1(2) + (−1)(−2)
]
(2) +
[
(−1)(2) + (−2)(−2)
]
(−1)
= 6 .
Ca´lculo III EP9 – Tutor 2
Exerc´ıcio 2: Seja f(x, y) = 2x3 − 3x2 + y3− 12y + 2. Ache os extremos locais e os pontos de sela
de f .
Soluc¸a˜o: Calculando
∂f
∂x
e
∂f
∂y
e igualando a zero para achar os pontos cr´ıticos temos:
∂f
∂x
(x, y) = 6x2 − 6x = 0 ⇒ 6x(x− 1) = 0 ⇒ x = 0 e x = 1
∂f
∂y
(x, y) = 3y2 − 12 = 0 ⇒ 3 (y2 − 4) = 0 ⇒ y = 2 e y = −2 .
Logo, os pontos cr´ıticos sa˜o (0, 2), (0,−2), (1, 2) e (1,−2). Tambe´m, calculando a Hessiana temos:
H(x, y) =
∂2f
∂x2
(x, y)
∂2f
∂y2
(x, y)−
(
∂2f
∂x∂y
(x, y)
)2
= (12x− 6)(6y)− (0)2
= 36(2x− 1)y
e
∂2f
∂x2
(x, y) = 12x− 6.
Assim, para o ponto cr´ıtico (0, 2) temos:
H(0, 2) = 36(−1)(2) = −72 < 0 .
Logo (pelo teorema 16.2, mo´dulo 1, pa´g 191), o ponto (0, 2) e´ um ponto de sela.
Analisando o ponto cr´ıtico (0,−2) temos:
H(0,−2) = 36(−1)(−2) = 72 > 0
e
∂2f
∂x2
(0,−2) = −6 < 0 .
Logo (pelo teorema 16.2, mo´dulo 1, pa´g 191), o ponto (0,−2) e´ um ponto de ma´ximo local.
Analisando o ponto cr´ıtico (1, 2) temos:
H(1, 2) = 36(1)(2) = 72 > 0
e
∂2f
∂x2
(1, 2) = 12− 6 = 6 > 0 .
Logo (pelo teorema 16.2, mo´dulo 1, pa´g 191), o ponto (1, 2) e´ um ponto de m´ınimo local.
Analisando o ponto cr´ıtico (1,−2) temos:
H(1,−2) = 36(1)(−2) = −72 < 0 .
Logo (pelo teorema 16.2, mo´dulo 1, pa´g 191), o ponto (1,−2) e´ um ponto de sela.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo III EP9 – Tutor 3
Exerc´ıcio 3: Ache os pontos da esfera x2 + y2 + z2 = 4x que maximiza a func¸a˜o
f(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2.
Soluc¸a˜o: Como x2 + y2 + z2 = 4x enta˜o z2 = 4x− (x2 + y2). Assim:
f = x2 + 2y2 + 3
(
4x−
(
x2 + y2
))
= 12x− 2x2 − y2
de onde:
∂f
∂x
= 12− 4x = 0 ⇒ x = 3
∂f
∂y
= −2y = 0 ⇒ y = 0 .
Tambe´m
∂2f
∂x2
(x, y) = −4,
∂2f
∂y2
(x, y) = −2 e
∂2f
∂x∂y
(x, y) = 0. Assim:
H(x, y) =
∂2f
∂x2
(x, y)
∂2f
∂y2
(x, y)−
(
∂2f
∂x∂y
(x, y)
)2
= (−4)(−2)− 0 = 8 .
Como H(3, 0) = 8 > 0 e
∂2f
∂x2
(3, 0) = −4 < 0 logo, (3, 0) e´ um ponto de ma´ximo local.
Exerc´ıcio 4: Seja f(x, y) = ex
2
−y
2
cos(2xy). Verifique que f satisfaz a equac¸a˜o de Laplace
∂2f
∂x2
(x, y) +
∂2f
∂y2
(x, y) = 0.
Soluc¸a˜o: Observemos que:
∂f
∂x
=
(
ex
2
−y
2
(2x)
)
cos(2xy) + ex
2
−y
2
(− sen(2xy))(2y)
= 2xex
2
−y
2
cos(2xy)− 2yex
2
−y
2
sen(2xy) .
Enta˜o:
∂2f
∂x2
(x, y) =
=
(
2ex
2
−y
2
+ 4x2ex
2
−y
2
)
(cos(2xy)) + 2xex
2
−y
2
(−2y sen(2xy)) + (−4xy)ex
2
−y
2
(sen(2xy))−
−2yex
2
−y
2
(2y cos(2xy)) =
= (2 + 4x2 − 4y2) ex
2
−y
2
(cos(2xy))−
(
8xyex
2
−y
2
)
(sen(2xy)).
Tambe´m, temos:
∂f
∂y
(x, y) = −2yex
2
−y
2
cos(2xy) + ex
2
−y
2
(−2x sen(2xy))
= −2yex
2
−y
2
cos(2xy)− 2xex
2
−y
2
sen(2xy)
e
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo III EP9 – Tutor 4
∂2f
∂y2
(x, y) =
=
(
−2ex
2
−y
2
+ 4y2ex
2
−y
2
)
(cos(2xy))− 2yex
2
−y
2
(−2x sen(2xy)) + 4xyex
2
−y
2
sen(2xy)−
−2xex
2
−y
2
(2x cos(2xy)) =
= (−2− 4x2 + 4y2) ex
2
−y
2
(cos(2xy)) + (8xy)ex
2
−y
2
sen(2xy).
Assim
∂2f
∂x2
(x, y) +
∂2f
∂y2
(x, y) = 0.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ