AP3 CIII 2017 2 gabarito

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AP3 - Ca´lculo III - Gabarito - 2017-2
ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais
(1) Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um Caderno com a Folha de Questo˜es e as Folhas de Res-
postas personalizadas para o registro das suas respostas.
(2) Confira se a Folha de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova e se nas
Folhas de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula. Caso contra´rio,
verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.
(3) Voceˆ recebera´ o total de Folhas de Respostas de acordo com o indicado no canto superior
direito.
(4) Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine todas as Folhas de Respostas no local indicado
para este fim.
(5) E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular dentro da sala de aplicac¸a˜o de prova.
(6) Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas devidamente assinadas
e a Folha de Questo˜es.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas
(1) Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es
das questo˜es nas Folhas de Respostas.
(2) Apresente a resoluc¸a˜o de cada questa˜o no espac¸o previsto para ela nas Folhas de Respostas.
(3) As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Portanto,
quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas.
(4) As respostas devem vir acompanhadas de justificativas.
(5) E´ proibido o uso de corretivo nas respostas.
(6) NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a
digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina:
(1) E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo assim como de
qualquer material que sirva de consulta.
ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua
avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade.
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Ca´lculo III – Gabarito – 2017-2
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando nome e matr´ıcula. • Sua prova sera´ corrigida online. Siga as
• Resoluc¸o˜es feitas nesta folha ou no rascunho na˜o sera˜o corrigidas. instruc¸o˜es na capa deste caderno.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador.
Questa˜o 1
Considere a func¸a˜o F : R3 −→ R, definida por F (x, y, z) = x2y + z cosxycos 1 + z
5.
(a) (1,0 ponto) Prove que a equac¸a˜o F (x, y, z) = 1 define implicitamente uma func¸a˜o z = f(x, y)
em uma vizinhanc¸a V do ponto (−1, 1) ∈ R2;
(b) (1,0 ponto) Calcule fx(x, y) e fy(x, y) para cada (x, y) ∈ V .
Soluc¸a˜o:
(a) Observemos que
1 = F (−1, 1, z) = 1 + z cos(−1)cos 1 + z
5 =⇒ z(1 + z4) = 0 =⇒ z = 0.
Assim, para ver que a equac¸a˜o F (x, y, z) = 1 define implicitamente uma func¸a˜o z = f(x, y)
em uma vizinhanc¸a V do ponto (−1, 1) ∈ R2, basta verificar que Fz(−1, 1, 0) 6= 0 (teorema
da func¸a˜o impl´ıcita). Com efeito, como Fz(x, y, z) = cosxycos 1 +5z
4, temos Fz(−1, 1, 0) = 1 6= 0,
seguindo o desejado.
(b) Pelo teorema da func¸a˜o impl´ıcita, para cada (x, y) ∈ V , temos
fx(x, y) =
−Fx(x, y, z)
Fz(x, y, z)
= −
[
2xy − yz(cos 1)−1sen xy
(cos 1)−1 cosxy + 5z4
]
e
fy(x, y) =
−Fy(x, y, z)
Fz(x, y, z)
= −
[
x2 − xz(cos 1)−1sen xy
(cos 1)−1 cosxy + 5z4
]
.
Questa˜o 2
Seja f : R2 −→ R uma func¸a˜o diferencia´vel, e considere tambe´m a func¸a˜o g : R2 −→ R, definida
por
g(u, v) = f(u3 + v4, uv)
para cada (u, v) ∈ R2. Sabendo que
fx(−7,−2) = 112 , fx(73, 6) = −
1
108 , fy(−7,−2) = −1 e fy(73, 6) =
1
2 ,
Ca´lculo III AP3 3
(a) (1,0 ponto) Calcule gu(−2, 1);
(b) (1,0 ponto) Calcule gv(−2,−3).
Soluc¸a˜o:
(a) Para cada (u, v) ∈ R2, ponhamos x = x(u, v) = u3 + v4 e y = y(u, v) = uv. Nesse caso,
aplicando a Regra da Cadeia, obtemos
gu(u, v) = fx(u3 + v4, uv)xu(u, v) + fy(u3 + v4, uv)yu(u, v)
= fx(u3 + v4, uv) · (3u2) + fy(u3 + v4, uv) · v
para todo (u, v) ∈ R2. Em particular,
gu(−2, 1) = fx(−7,−2) · 12 + fy(−7,−2) · 1 =
( 1
12
)
· 12 + (−1) · 1 = 0.
(b) Continuemos com as notac¸o˜es do item anterior. Aplicando novamente a Regra da Cadeia,
obtemos
gv(u, v) = fx(u3 + v4, uv)xv(u, v) + fy(u3 + v4, uv)yv(u, v)
= fx(u2 + v3, uv) · (3v2) + fy(u− 2v, v + 2u) · u
para todo (u, v) ∈ R2. Em particular,
gu(8,−4) = fx(0,−32) · 48 + fy(0,−32) · 6 =
(
− 1108
)
· (−108) + 12 · (−2) = 0.
Questa˜o 3
Considere a func¸a˜o f : R2 −→ R, definida por
f(x, y) =
{ √
x2 + y2, se x2 + y2 ≤ 1
1
x2+y2 , se x
2 + y2 > 1.
(a) (1,5 ponto) Se existir, calcule fx(1, 0) e, em seguida, decida se f e´ diferencia´vel em (1, 0);
(b) (1,5 ponto) Encontre os valores ma´ximo e m´ınimo assumidos por f em
S = {(x, y) ∈ R2;x2 + (y − 3)2 = 1};
(c) (1,5 ponto) Utilizando o conceito de Aproximac¸a˜o Linear, calcule f
(
1
1000 ; 3, 0001
)
;
(d) (1,5 ponto) Calcule a derivada direcional de f , no ponto P = (0, 3), segundo a direc¸a˜o de
maior crescimento de f .
Soluc¸a˜o:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo III AP3 4
(a) Observemos que
lim
h→0+
f(1 + h, 0)− f(1, 0)
h
= lim
h→0+
1
(1+h)2 − 1
h
= lim
h→0+
−2(1 + h)−3
1 = −2
e
lim
h→0−
f(1 + h, 0)− f(1, 0)
h
= lim
h→0−
|1 + h| − 1
h
= lim
h→0−
h
h
= 1,
donde na˜o existe fx(1, 0). Consequentemente, f na˜o e´ diferencia´vel em (1, 0), pois, se fosse,
existiriam as derivadas parciais em tal ponto.
(b) Devemos otimizar a func¸a˜o f , sujeita a` restric¸a˜o
x2 + (y − 3)2 − 1︸ ︷︷ ︸
h(x,y)
= 0,
lembrando que, nesse caso, f ≡ 1
x2+y2 . Seja (x0, y0) ∈ S1 um ponto no qual f assume um
valor extremo em C. Pelo teorema dos Multiplicadores de Lagrange, existe λ ∈ R tal que( −2x0
(x20 + y20)2
,
−2y0
(x20 + y20)2
)
= ∇f(x0, y0) = λ∇h(x0, y0) = λ (2x0, 2(y0 − 3)) .
Da´ı, temos −2x0
(x20 + y20)2
= 2λx0
e −2y0
(x20 + y20)2
= 2λ(y0 − 3).
Afirmamos que x0 = 0. Com efeito, se ocorresse x0 6= 0, ter´ıamos
−2x0
(x20 + y20)2
= 2λx0 =⇒ −1(x20 + y20)2
= λ
e, consequentemente, seguiria
−2y0
(x20 + y20)2
= 2λ(y0 − 3) = 2
( −1
(x20 + y20)2
)
(y0 − 3) =⇒ 6(x20 + y20)2
= 0.
Da´ı, temos realmente x0 = 0, e tambe´m
h(x0, y0) = 0 =⇒ 02(y0 − 3)2 = 1 =⇒ y0 = 2 ou y0 = 4.
Nesse caso, conclu´ımos que
f(0, 2) = 14
e
f(0, 4) = 116
sa˜o os valores ma´ximo e m´ınimo de f em S, respectivamente.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo III AP3 5
(c) Sabemos que
fx(x, y) =
−2x
(x2 + y2)2 e fy(x, y) =
−2y
(x2 + y2)2 ,
para todo (x, y) ∈ R2 satisfazendo x2 + y2 > 1. Pondo = 11000 e ∆y = 110000 , temos
f(0 + ∆x, 3 + ∆y) ∼= f(0, 3) + fx(0, 3)∆x+ fy(0, 3)∆y,
isto e´,
f
( 1
1000; 3, 0001
)
∼= 19 + 0 ·
( 1
1000
)
+
(−2
27
)
·
( 1
1000
)
= 29998270000
∼= 0, 1111.
(d) Pela definic¸a˜o de f , sabemos que tal func¸a˜o e´ diferencia´vel em
{(x, y) ∈ R2;x2 + y2 > 1}.
Nesse caso, a direc¸a˜o de maior crescimento de f , a partir do ponto P = (0, 3), e´ a do vetor
~u = ∇f(0, 3) =
(
0,− 227
)
. Sendo ~v = ~u‖~u‖ , obtemos
∂f
∂~u
(0, 3) = ∇f(0, 3) · ~v = ‖∇f(0, 3)‖ = 227 .
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
RASCUNHO
Nome: Matr´ıcula:
Atenc¸a˜o!
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