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Cálculo IIIA. Prova 2. 21 março 2016.
1. Seja S a porção do paraboloide z = x2 + y2 que fica entre os planos
z = 0 e z = 9, orientada com vetor normal ~n direcionado para dentro do
paraboloide. Seja C = ∂S a fronteira de S, com sua orientação induzida.
Seja o campo vetorial ~F = (y, 0, 0). Verifique o teorema de Stokes por:
(a) [1 pt] calcular a integral de superfície∫∫
S
rot(~F ) · ~n dS,
(b) [1 pt] calcular a integral de linha∫
C
~F · d~r.
2. [2 pt] Seja S a esfera x2 + y2 + z2 = 1, orientada com vetor normal ~n
direcionado para fora. Seja o campo vetorial
~F = (x3 + z3, 3yz2 + y3, xy).
Usando o teorema de Gauss, encontre∫∫
S
~F · ~n dS.
3. [3 pt] Seja S a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 limitada inferiormente
pelo plano z = 0, superiormente pelo cone z =
√
x2 + y2, e lateralmente
pelo plano y = 0, tal que vale y ≥ 0 em S. Sendo a densidade constante
com valor k, calcule a massa total da superfície S.
4. [3 pt] Seja C a curva em R2 que começa à origem (0, 0), termina ao ponto
(2, 0), e que atravessa a parte do círculo (x− 1)2 + y2 = 1 acima do eixo
x. Seja um campo vetorial ~F = (x, x+ ey
2
). Usando o teorema de Green,
calcule a integral de linha ∫
C
~F · d~r.
Para S a esfera x2 + y2 + z2 = a2, em coordenares esfericas (φ, θ), sabe-se
~n = (senφ cos θ, senφ sen θ, cosφ) e dS = a2 senφdφ dθ.
Sabe-se ∫
sen2 t dt =
t
2
− sen 2t
4
+ (const.)
1