Equacoes_Diferenciais_2_-_correto

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
TURMA:B 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
1. INTRODUÇÃO 
As Equações Diferenciais são de grande interesse nas ciências exatas e nas 
engenharias, uma vez que muitas leis e relações físicas podem ser formuladas 
matematicamente por meio de uma equação diferencial. 
A razão principal para resolver muitas equações diferenciais é procurar aprender 
algo a respeito do processo físico que a equação se propõe a representar. A importância 
das equações diferenciais está no fato de que mesmo as equações mais simples 
correspondem a modelos importantes, como por exemplo, os problemas: do 
crescimento, da variação de temperatura, da queda dos corpos, do comportamento do 
sistema massa e mola e muitos outros. 
 
2. DEFINIÇÃO 
 
Chama-se equação diferencial a uma equação que estabelece uma relação entre 
uma função desconhecida e as suas derivadas. 
Ex.: 1) xeyy =−′ 2
 
 
2) 22
2
32 xy
dx
dy
dx
yd
=+−
 
 
 3) xy
y
z
x
z 53 =
∂
∂
+
∂
∂
 
 
 Existem dois tipos de equações diferenciais: 
 - Equações diferenciais ordinárias: quando a função desconhecida é dependente 
de uma única variável. 
 - Equações diferenciais parciais: quando a função desconhecida é dependente de 
duas ou mais variáveis. 
 
 
3. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
3.1 ORDEM 
 
Chama-se ordem de uma equação diferencial, a ordem mais elevada da derivada 
contida nesta equação. 
Ex.: 1)
 
xeyy =−′ 2 é uma equação diferencial de 1ª ordem 
2) 22
2
32 xy
dx
dy
dx
yd
=+−
 
é uma equação diferencial de 2ª ordem 
 
3.2 GRAU 
 
O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita como um polinômio da 
função incógnita e suas derivadas é a potência a que se encontra elevada a derivada de 
mais alta ordem. 
Ex.:1)
 
23
23
2
2
53 x
dx
dyy
dx
dyy
dx
yd
=+





+





 é uma equação diferencial de 2ª ordem e 
3º grau. 
 
2) ( ) xyy cos32 =−′
 
é uma equação diferencial de 1ª ordem e segundo grau. 
 
3.3 SOLUÇÃO 
 
 Chama-se solução de uma equação diferencial num intervalo I, a toda função 
)(xfy = que verifica identicamente esta equação, para qualquer que seja o valor da 
variável independente em I. 
O conjunto de todas as soluções de uma equação diferencial é dito sua solução 
geral. 
Qualquer solução de uma equação diferencial que se obtém atribuindo valores 
particulares às constantes arbitrárias que figuram na solução geral chama-se solução 
particular da mesma. 
Ex.: A função xsenCxCy 22cos 21 += , onde 1C e 2C são constantes, é a 
solução geral da equação diferencial: 04 =+′′ yy , pois: 
xCxsenCy 2cos222 21 +−=′ e xsenCxCy 242cos4 21 −−=′′ , 
logo 
0242cos4242cos44 2121 =++−−=′+′′ xsenCxCxsenCxCyy . 
A função xsenxy 242cos += é uma solução particular da equação diferencial 
04 =+′′ yy , que foi obtida atribuindo 11 =C e 42 =C na solução geral. 
 
 
3.4 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL E PROBLEMAS DE VALORES DE 
CONTORNO 
 
 Um problema de valor inicial consiste em uma equação diferencial, juntamente 
com as condições subsidiárias relativas à função incógnita e suas derivadas, tudo dado 
para um mesmo valor da variável independente, neste caso as condições subsidiárias são 
condições iniciais. Se as condições subsidiárias se referem a mais de um valor da 
variável independente, o problema é de valores de contorno e as condições subsidiárias 
são condições de contorno. 
 A solução de um problema de valor inicial ou de valores de contorno é uma 
função ( )xy que satisfaz não só a equação diferencial dada, mas também as condições 
subsidiárias. 
 Ex.: 1. A função ( ) xsenxy 2
2
1
= é solução do problema de valor inicial (PVI) 
04 =+′′ yy , ( ) 00 =y , ( ) 10 =′y , pois: 
( ) xxy 2cos=′ e ( ) xsenxy 22−=′′ 
a função ( )xy satisfaz às condições iniciais ( ) 00 =y , ( ) 10 =′y e também satisfaz a 
equação diferencial 04 =+′′ yy . 
 
 2. A função xxseny 2cos22 += é solução do problema de valores de contorno 
(PVC) ( ) 2
4
,10,04 =





==+′′
piyyyy , pois: 
xsenxy 222cos4 −=′ e xxseny 2cos428 −−=′′ 
a função ( )xy satisfaz às condições de contorno, ( ) 10 =y , 2
4
=




piy e também satisfaz a 
equação diferencial 04 =+′′ yy . 
 
3.5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) 
 
3.5.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM 
 
 É fundamental não apenas saber resolver a EDO, mas, sobretudo, formular 
matematicamente o fenômeno que dá origem à equação diferencial. Como motivação, 
vamos considerar alguns exemplos-modelos para ilustrar as etapas que vão da situação 
física à formulação matemática. 
 
 Ex.: 1. Problema do Crescimento: Vamos denotar por ( )tN a quantidade de 
substância (ou população) em processo de crescimento ou decrescimento, onde a 
variável t está representando o tempo. Admitindo que a taxa de variação é proporcional 
à quantidade de substância presente, formulamos o seguinte modelo matemático para 
esta situação: 
kN
dt
dN
= ou kNN =′ 
 
 2. Problema da Variação de Temperatura: A lei de variação de 
temperatura de Newton estabelece que: “a taxa de variação de temperatura de um 
corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente”. 
 Denotando por T a temperatura do corpo e por τ a temperatura do meio 
ambiente, a lei de Newton é formulada matematicamente pela seguinte equação 
diferencial: 
( ) 0, >−−= kTk
dt
dT
τ ou 0, >=+′ kkkTT τ 
 O sinal negativo na primeira equação indica um processo de resfriamento. 
Nesse caso, τ>T e, portanto, 0<
dt
dT
. 
 
 3. Problema da Queda de Corpos: Consideremos um corpo de massa m 
em queda vertical, influenciada pela ação da gravidade g e pela resistência do ar. De 
acordo com a Segunda Lei de Newton: 
maF =
 onde F é a resultante das forças que atuam sobre o corpo, m é a massa do corpo e a é a 
aceleração na direção de F, então temos:
 
dt
dv
mF =
 
onde v representa a velocidade do corpo. As forças que atuam no corpo são de duas 
naturezas: o peso mgF =1 e a resistência do ar 0,2 >−= kkvF . 
 
 Então obtemos: 
dt
dv
mkvmg =−
 
ou 
 
gv
m
k
dt
dv
=+
 
 
 Nos exemplos anteriores descrevemos alguns fenômenos por equações 
diferenciais ordinárias de primeira ordem, a seguir veremos os métodos elementares 
para encontrar a solução de uma equação diferencial de 1ª ordem. 
 As EDOs de 1ª ordem se apresentam sob duas formas equivalentes: 
 (I) Forma Normal: A forma normal de uma EDO de 1ª ordem é 
( )yxfy ,=′ . 
 (II) Forma Diferencial: A função ( )yxf , pode ser sempre escrita como o 
quociente de duas funções ( )yxM , e ( )yxN ,− , então podemos escrever: 
( )
( )yxN
yxM
dx
dy
,
,
−= , 
de onde se obtém a EDO de 1ª ordem na forma diferencial: 
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM . 
 
 Ex.: Considere a EDO de 1ª ordem na forma normal 2
2 1
y
xy +=′ , então 
podemos escrever: 
2
2 1
y
x
dx
dy +
= , 
e obtemos a EDO dada na forma diferencial como: 
( ) 01 22 =−+ dyydxx 
 
 DEFINIÇÃO 1: Chama-se solução geral de uma EDO de 1ª ordem a uma 
função ( )CxFy ,= que depende de uma constante arbitrária C e que satisfaz a equação 
diferencial, para qualquer que seja o valor da constante arbitrária C. 
 
 DEFINIÇÃO 2: Chama-se solução particular de uma EDO de 1ª ordem 
a toda função ( )0,CxFy = , deduzida da solução geral ( )CxFy ,= colocando nesta 
solução 0CC = . 
 
 OBS.: Resolver uma equação diferencial consiste em: 
1. Procurar sua solução geral (se as condições iniciais não forem dadas) 
2. Procurar sua solução particular que satisfaça as condições iniciaisou 
de contorno (se houverem). 
 
3.5.1.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 
 
 Seja uma EDO de 1ª ordem na forma diferencial 
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM . Quando ( )yxM , se reduz a uma função somente de “x” e 
( )yxN , se reduz a uma função somente de “y”, então a EDO de 1ª ordem 
( ) ( ) 0=+ dyyNdxxM é uma equação diferencial de variáveis separáveis. 
 Ex.: Considere a EDO de 1ª ordem na forma normal 23yxy =′ , então 
podemos escrever: 
012
33
2
23
=−⇒=⇒= dy
y
dxxdxx
y
dyyx
dx
dy
 
Logo temos que ( ) 3xxM = e ( ) 21yyN −= portanto, a EDO de 1ª ordem dada é uma 
equação diferencial de variáveis separáveis. 
 
 Determinação da solução geral: Seja ( ) ( ) 0=+ dyyNdxxM uma equação 
diferencial de variáveis separáveis, então: 
( ) ( ) CdyyNdxxM =+ ∫∫ , 
onde C é uma constante arbitrária é a sua solução geral. 
 Ex.: 1. Para a EDO 23yxy =′ , temos que a sua forma diferencial é: 
012
3
=− dy
y
dxx
 
Portanto a sua solução geral é dada por: 
Cdy
y
dxx =− ∫∫ 2
3 1
 
de onde obtemos: 
4
14
4
4
14 xC
yCyx
−
=⇒=
−
−
−
 
Então consideramos KC =4 e obtemos a solução geral na forma: 
4
4
xK
y
−
= 
 
 Ex.: 2. Resolva o PVI: ( ) 13,
1
2
=
+
−
=′ y
y
yyxy . 
 A EDO de 1ª ordem dada pode ser escrita na forma diferencial como: 
( ) 01112 =





+−− dy
y
dxx 
Integrando, obtemos: 
( ) Cdy
y
dxx =





+−− ∫∫
1112 
Portanto, a solução geral da EDO é dada por: 
Cyyxx =−−− ln
3
3
 
A partir da condição inicial ( ) 13 =y , ou seja, para 3=x temos que 1=y , então 
substituindo na solução geral, obtemos: 
{ 51ln133
3
0
3
=⇒=−−− CC 
Logo a solução do PVI é dada por: 
5ln
3
3
=−−− yyxx 
3.5.1.2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM HOMOGÊNEAS 
 
 DEFINIÇÃO 1: Diz-se que a função ( )yxf , é uma função homogênea de 
grau “n” em relação às variáveis “x” e “y” se tivermos ( ) ( )yxfttytxf n ,, = , para todo 
IRt ∈ . 
 Ex.: A função ( ) 2, yxyyxf −= é homogênea do 2º grau, pois: 
( ) ( ) ( )yxftyxytyttxtytytxf ,, 22222 =−=−= 
 
 DEFINIÇÃO 2: A EDO de 1ª ordem ( )yxfy ,=′ diz-se homogênea em 
relação às variáveis “x” e “y ” se a função ( )yxf , é uma função homogênea de grau 
zero em relação às variáveis “x” e “y”, ou seja, se ( ) ( ) ( )yxfyxfttytxf ,,, 0 == para 
todo IRt ∈ . 
 Ex.: Consideremos a EDO de 1ª ordem: 22 yx
xyy
−
=′ , temos que 
( ) 22, yx
xyyxf
−
= , portanto: 
( ) ( ) ( )yxfyx
xy
yxt
xyt
ytxt
txty
tytxf ,, 22222
2
2222 =
−
=
−
=
−
= 
Logo ( )yxf , é homogênea de grau zero em relação às variáveis “x” e “y” e a EDO de 
1ª ordem é homogênea. 
 
 Resolução da EDO de 1ª ordem homogênea: Seja
 
( )yxfy ,=′ , onde 
( ) ( ) IRtyxftytxf ∈∀= ,,, , então fazemos a substituição: xvy = , onde ( )xvv = , 
portanto: 
dx
dv
xv
dx
dyy +==′ 
Então substituindo na EDO
 
( )yxfy ,=′ , obtemos: 
( )vxxf
dx
dv
xv ,=+ 
E simplificando esta última EDO de 1ª ordem, a EDO resultante se apresenta como uma 
equação diferencial de variáveis separáveis em relação às variáveis “x” e “v”. 
 
 OBS.: Se ( )yxf
dy
dx
,= , fazemos a substituição: yux = , onde ( )yuu = e 
portanto: 
dy
duyu
dy
dx
+= 
 
 Ex.: Vimos que a EDO de 1ª ordem 22 yx
xyy
−
=′ é homogênea, então 
fazendo
 
xvy = , onde ( )xvv = , 
dx
dv
xv
dx
dyy +==′ e substituindo na EDO dada, 
obtemos: 
222
2
vxx
vx
dx
dv
xv
−
=+ 
Simplificando esta última equação, obtemos: 
2
3
1 v
v
dx
dv
x
−
= 
e portanto obtemos a seguinte equação diferencial de variáveis separáveis: 
x
dxdv
v
v
=




 −
3
21
 
Logo integrando-se ambos os membros desta equação temos: 
( )Cxv
v
Cxv
vx
dxdv
vv
ln
2
1lnlnln
2
111
223 =−⇒+=−−⇒=





− ∫∫ 
Como 
x
y
vxvy =⇒= , então substituindo na solução obtida temos: 
( ) ( ) 2
2
2
2
2
22
2
2
1
2
lnln2ln
2
1 y
x
e
C
y
y
xCyCyyx
x
yCx
x
y
−
=⇒−=⇒−=⇒





=− 
Portanto a solução geral da EDO dada é 
2
2
2 y
x
Key
−
= , onde 
C
K 1= 
 
3.5.1.3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM EXATAS 
 
 DEFINIÇÃO 1: Uma equação diferencial ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM é 
exata, se existe uma função ( )yxf , tal que ( ) ( ) ( )dyyxNdxyxMyxdf ,,, += . 
 
 TESTE: Se ( )yxM , e ( )yxN , são funções contínuas com derivadas 
parciais de 1ª ordem contínuas em um retângulo do plano xoy, então a equação 
diferencial ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM é exata, se e somente se ( ) ( )yx
x
Nyx
y
M
,,
∂
∂
=
∂
∂
. 
 Com efeito, se ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM é uma EDO exata, então existe 
( )yxf ,
 tal que ( ) ( ) ( )dyyxNdxyxMyxdf ,,, += , mas por outro lado temos 
( ) ( ) ( )dyyx
y
fdxyx
x
fyxdf ,,,
∂
∂
+
∂
∂
= , logo podemos escrever: ( ) ( )yx
x
fyxM ,,
∂
∂
= e 
( ) ( )yx
y
fyxN ,,
∂
∂
= , portanto se ( )yxM , e ( )yxN , são funções contínuas com 
derivadas parciais de 1ª ordem contínuas, então: 
x
N
yx
f
xy
f
y
M
∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂∂
∂
=
∂
∂ 22
. 
 Ex.: A EDO ( ) 012 2 =++ dyxxydx é exata, pois: 
( ) ( )yx
x
N
xyx
y
M
,2,
∂
∂
==
∂
∂
. 
 
 OBS.: Toda a EDO de variáveis separáveis ( ) ( ) 0=+ dyyNdxxM é uma 
EDO exata, pois 0=∂
∂
=
∂
∂
x
N
y
M
. 
 
 Método de Resolução: 
 
 Se a EDO ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM é exata, então existe uma função 
( )yxf ,
 tal que ( ) ( ) ( )dyyxNdxyxMyxdf ,,, += . 
 Como ( ) ( ) ( )dyyxNdxyxMyxdf ,,, += , temos: ( )yxM
x
f
,=
∂
∂
 e 
( )yxN
y
f
,=
∂
∂
. Fazemos: 
 1º) ( ) ( )∫ +∂
∂
= yhdx
x
fyxf , 
 2º) ( ) ( )∫ +∂
∂
= xgdy
y
fyxf , 
 A solução da EDO ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM é dada implicitamente por: 
( ) Cyxf =, . 
 Ex.: Considere a EDO ( ) ( ) 02cos =−++ dyyyxdxsenyx , temos que: 
( ) senyxyxM +=,
 e ( ) yyxyxN 2cos, −= 
Então y
x
N
y
M
cos=
∂
∂
=
∂
∂
, logo temos uma EDO exata, portanto: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yhxsenyxyhdxsenyxyhdx
x
fyxf ++=++=+
∂
∂
= ∫∫ 2
,
2
 
 
Daí, derivando-se ( )yxf , em relação à variável y, obtemos: 
 
( ) ( ) yyxyxN
dy
dhyxyx
y
f 2cos,cos, −==+=
∂
∂
 
Portanto 
∫ ∫ +−=⇒−=⇒−= Cyhydydhydy
dh 222 
Logo 
( ) 22
2
, yxsenyxyxf −+= 
 e a solução geral a EDO exata é : 
Cyxsenyx =−+ 2
2
2
 
 
 Outra maneira de resolver o exemplo anterior: 
 
 Considerando a EDO ( ) ( ) 02cos =−++ dyyyxdxsenyx , temos que: 
1º) ( ) ⇒+=+∫ xsenyxdxsenyx 2
2
 
( ) ydyxdxsenyxxsenyxd cos
2
2
++=





+
 
2º) ( ) ( ) ( )dyyyxsenydxyxsenydyxsenydyyyx 2cos2cos 22 −+=−⇒−=−∫ 
Logo devemos ter: ( ) 2
2
2
, yxsenyxyxf −+=
 e a solução geral da EDO é dada por: 
Cyxsenyx =−+ 2
2
2
 
 
 OBS.: Em geral a EDO ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM não é exata, 
entretanto, as vezes é possível transformá-la em uma equação diferencial exata, 
mediante a multiplicação por um fator integrante. 
 
 DEFINIÇÃO 2: Uma função ( )yxI , é um fator integrante da EDO 
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM
 se a equação ( ) ( ) ( )[ ] 0,,, =+ dyyxNdxyxMyxI é exata. 
 
 Resolução de uma Equação Diferencial de 1ª ordem com o uso de um 
fator integrante: 
 
 Se ( )yxI ,
 
é fator integrante da equação diferencial 
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM , então ( ) ( ) ( )[ ] 0,,, =+ dyyxNdxyxMyxI é exata e pode ser 
resolvida pelo método de resolução de uma equação diferencial de 1ª ordem exata. 
 
 Determinação de um fator integrante:1º) Por vezes, um reagrupamento dos termos da equação diferencial 
( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM
 facilita a visualização do fator integrante. 
 
Grupo de Termos Fator Integrante ( )yxI , 
dyxdxy −
 
2222
1
,
1
,
1
,
1
yxxyyx +
−−−
 
dyxdxy +
 
( ) K,3,2,1,
1
=n
xy n
 
dyydxx +
 
( ) K,3,2,1,
1
22
=
+
n
yx
n
 
,dybxaydx + onde ba, são 
constantes 
11 −− ba yx
 
 
 2º) Conhecem-se os fatores integrantes quando ( )yxM , e ( )yxN , na 
equação diferencial ( ) ( ) 0,, =+ dyyxNdxyxM satisfazem a certas condições: 
a) Se ( )xg
x
N
y
M
N
=





∂
∂
−
∂
∂1
, função que depende somente da variável “x”, 
então: 
( ) ( )∫= dxxgeyxI ,
 
 
b) Se ( )yh
x
N
y
M
M
=





∂
∂
−
∂
∂1
, função que depende somente da variável “y”, 
então: 
( ) ( )∫= − dyyheyxI ,
 
 
c) Se ( )xyyfM = e ( )xyxgN = , onde ( ) ( )xygxyf ≠ , então: 
 
( )
yNxM
yxI
−
=
1
,
 
 
 Ex.: 1) Na equação diferencial ( ) ( ) 0222 =++− dyyxxdxxyy , temos: 
( ) ( ) 222 ,,, yxxyxNxyyyxM +=−=
 
Então 
22121 xy
x
N
xy
y
M
+=
∂
∂
≠−=
∂
∂
 
Logo a equação diferencial não é exata, mas podemos agrupar os termos desta equação 
da seguinte forma: 
( ) ( ) 0222 =+−++ dyyxdxxyxdyydx
 
Multiplicamos ambos os membros da equação diferencial pelo fator integrante 
( ) ( )2
1
,
xy
yxI =
 e obtemos: 
( ) ( ) ( )[ ] 0
1 222
2 =+−++ dyyxdxxyxdyydx
xy
 
Ou seja 
( ) 0
1
1
2 =+−




 +






−
dydx
xxy
xdyydx
yx
d
43421
 
Então integrando ambos os membros desta equação diferencial, obtemos: 
Cdydx
xxy
d =+−





−∫ ∫ ∫
11
 
Logo a solução geral desta equação é dada na forma implícita por: 
Cyx
xy
=+−− ln1 
 OBS.: A equação diferencial do exemplo anterior, após a multiplicação 
pelo fator integrante se transformou em uma equação diferencial de 1ª ordem exata, 
logo também pode ser resolvida pelo método de resolução de equações diferenciais 
exatas. 
 
 2) Considere a equação diferencial: 43
2
2
3
yx
yxy
+
=′ , então podemos 
escrever: 
( ) 023 432 =+− dyyxydxx
 
onde 
( ) yxyxM 23, =
 e ( ) 43 2, yxyxN −−= 
Portanto temos: 
22 33 x
x
N
x
y
M
−=
∂
∂
≠=
∂
∂
 
Logo esta equação diferencial não é exata, mas ( )yg
yx
N
y
M
M
==





∂
∂
−
∂
∂ 21
, então: 
( ) 2
1ln
ln2
2 1
,
2
y
eeeyxI yy
dy
y
===
∫
=








−
−
 
Multiplicando ambos os membros da equação diferencial por ( ) 21, yyxI = , obtemos: 
 
( )[ ] 0231 4322 =+− dyyxydxxy 
ou seja: 
023 2
432
=




 +
− dy
y
yxdx
y
x
 
onde 
2
432 2
,
3
y
yxN
y
xM +−==
 e 
x
N
y
x
y
M
∂
∂
=−=
∂
∂
2
23
 
 
Portanto temos agora uma equação diferencial de 1ª ordem exata, então vamos resolvê-
la encontrando a função ( )yxf , tal que 
( ) dy
y
yxdx
y
xyxdf 




 +
−= 2
432 23
, , 
 então consideramos: 
( ) ( )xgy
y
xdy
y
yxyxf +−=




 +
−= ∫
3
3
2
43
3
22
,
 
Daí, obtemos: 
Cg
dx
dg
y
xM
dx
dg
y
x
dx
dg
y
x
x
f
=⇒=⇒==+⇒+=
∂
∂ 0333
222
 
Logo 
( ) 33
3
2
, y
y
xyxf −=
 
e a solução geral da equação diferencial dada é: 
Cy
y
x
=−
3
3
3
2
 
 
 
3.5.1.4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM LINEARES 
 
 Seja uma equação diferencial na forma ( )yxfy ,=′ . Se ( )yxf , pode ser 
escrita como: 
( ) ( ) ( )xqyxpyxf +−=, , 
então a equação diferencial é uma equação linear. 
 As equações diferenciais de 1ª ordem lineares podem sempre expressar-se 
na forma: 
( ) ( )xqyxpy =+′ , 
e ( ) ( )∫= dxxpeyxI , é um fator integrante desta equação. 
 Método de Resolução: Multiplicamos os dois membros da equação 
diferencial ( ) ( )xqyxpy =+′ por ( ) ( )∫= dxxpeyxI , . O membro esquerdo da equação 
diferencial resultante será: 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]yxIy
dx
dyxpeye dxxpdxxp ,⋅=⋅∫+′⋅∫
 
 A integração direta desta nova equação dá a solução da equação 
( ) ( )xqyxpy =+′ . 
 
 Ex.: 1) Considere xxyy =−′ 2 , então ( ) xxp 2−= , logo: 
( ) 22, xxdx eeyxI −− =∫=
 
Portanto, multiplicando ambos os membros da equação diferencial dada por ( )yxI , , 
obtemos: 
( ) ( ) dxxeyedxeye
dx
d
xeyxeye xxxxx
ye
dx
d
xx
x
22222
2
22
2 −−−−−






−−
=⇒=⇒=−′
−
44 344 21 
Então integrando ambos os membros desta última equação, temos: 
( ) Ceyedxxeyed xxxx +−=⇒= −−−− ∫∫ 2222 21 
Logo a solução geral da equação diferencial xxyy =−′ 2 é dada por: 
2
2
1 xCey −+−=
 
 
 2) Considere o PVI: ( ) 1, ==+′ piysenxyy . Para resolver este PVI, 
vamos inicialmente determinar a soluço geral da equação diferencial de 1ª ordem linear. 
Nesta equação temos ( ) 1=xp , logo ( ) xdx eeyxI =∫=, , então multiplicando ambos os 
membros da equação diferencial senxyy =+′ por ( ) xeyxI =, , obtemos: 
( )
( ) ( ) senxdxeyedsenxeye
dx
d
senxeyeye xxxxx
ye
dx
d
xx
x
=⇒=⇒=+′
43421 
Agora integrando ambos os membros desta última equação, obtemos: 
( ) ( ) Cxsenxeyesenxdxeyed xxxx +−=⇒= ∫∫ cos2
1
 
Portanto, a solução geral da equação diferencial dada é: 
( ) xCexsenxy −+−= cos
2
1
 
 Considerando agora a condição inicial ( ) 1=piy e substituindo esta 
condição na solução geral encontrada, temos: 
( ) { pipipipipipi eCCeCeseny 2
11
2
11cos
2
1
10
=⇒=+⇒=+





−=
−−
−
321 
Logo a solução do PVI é dada por: 
( ) xexsenxy −+−= pi
2
1
cos
2
1
 
 
 
3.5.1.5 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE BERNOULLI 
 
 A equação diferencial de Bernoulli tem a forma: 
( ) ( ) nyxqyxpy =+′ 
sendo n um número real qualquer. 
 Para resolver a equação diferencial de Bernoulli, fazemos a substituição: 
nyz −= 1 , então a equação diferencial resultante será linear, logo a sua solução é obtida 
através do método visto anteriormente. 
 Ex.: Considere a equação diferencial: yxxyy 6=+′ , então podemos 
escrevê-la na forma da equação diferencial de Bernoulli como: 
2
1
6xyxyy =+′ 
Fazendo a troca de variáveis: 2
1
2
11
yyz ==
−
, obtemos 2zy = , zzy ′=′ 2 e substituindo 
na equação diferencial dada, obtemos: 
xz
x
z 3
2
=+′ 
que é uma equação diferencial linear de 1ª ordem, cuja solução geral é dada por: 
4
2
6
x
Cez
−
+= 
Então substituindo 2
1
yz = nesta solução, obtemos a solução geral da equação 
diferencial dada por: 
2
442
1 22
66








+=⇔+=
−−
xx
CeyCey 
 
3.5.1.6 REDUÇÃO DE ORDEM 
 
 Algumas equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, isto é, 
aquelas que envolvem derivadas de segunda ordem de uma função desconhecida, 
podem ser resolvidas por redução da ordem e aplicação dos métodos já estudados nas 
seções anteriores. 
 
 Ex.: Consideremos a EDO linear de segunda ordem: 
.0,2 >−=′+′′ xxyyx 
Fazendo a substituição yz ′= , obtemos a EDO linear de 1ª ordem: 
2−=+′ xzzx 
cuja solução geral é dada por: 
( ) 2
2
−+=
x
x
C
xz 
e portanto 
( ) 2
2
−+==′
x
x
C
xzy 
logo 
( ) ( )∫ ++−== 1
2
ln2
4
CxCxxdxxzxy .