Aula_2__Tensao

Prévia do material em texto

Professor Humberto Ritt 
Engenheiro Civil, M.Sc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
TENSÃO 
• Resistência dos materiais: 
 - Ramo da mecânica que estuda: 
 . relações entre cargas externas aplicadas a um corpo 
 deformável e a intensidade das forças internas que 
 atuam no interior do corpo. 
 . cálculo das deformações 
 . estabilidade do corpo sujeito a forças externas. 
P 
q 
R1 
R2 
R3 
R4 
R5 
S 
V 
M 
N 
X 
Y 
Z 
ESTRUTURA EM EQUILÍBIRO 
A B 
Equilíbrio de um corpo deformável 
Cargas externas 
1. Forças de superfície: 
 Causadas pelo contato direto de um 
corpo com a superfície de outro. 
2. Força de corpo: 
Desenvolvida quando um corpo 
exerce uma força sobre outro, sem 
contato físico direto entre eles 
a gravitação da terra. 
 
Reações 
• Forças de superfície desenvolvidas nos apoios ou pontos de contato entre corpos. 
Equações de equilíbrio 
 
• Equilíbrio de um corpo : equilíbrio de forças e equilíbrio de 
 momentos. 
 
 
 
 
• Sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto O, 
 
 
 
 
 
• A melhor maneira de levar em conta essas forças é desenhar o 
diagrama de corpo livre do corpo (DCL). 
0M 0F   O
0 , 0 , 0
0 , 0 , 0




zyx
zyx
MMM
FFF
Cargas resultantes internas: 
 
• Diagrama de Corpo Livre (DCL) : determinar a força e o momento 
 resultantes que agem no interior de um corpo. 
 
. Em geral, há quatro tipos diferentes de cargas resultantes: 
 a) Força normal, N 
 b) Força de cisalhamento, V 
 c) Momento de torção ou torque, T 
 d) Momento fletor, M 
• A distribuição de carga interna é importante na resistência dos materiais. 
• Consideração : material contínuo e coeso. 
• Tensão : intensidade da força interna sobre um plano específico (área) 
 ou força por unidade de área 
Tensão 
- A força (Fr) e o momento (Mro) representam os efeitos resultantes 
da distribuição de forças que agem sobre a área selecionada. 
- À medida que a área A tende a zero, o mesmo ocorre com a 
 força F e suas componentes. 
 
- O quociente entre a força e a área tenderá a um limite finito. 
 
- Este limite é denominado tensão que descreve a intensidade da 
força interna sobre um plano específico (área) que passa por um 
ponto. 
Tensões: normal e cisalhamento 


Tensão normal: 
 
A intensidade da força, ou força por unidade de área, que 
age perpendicularmente à A , é definida como tensão 
normal, (sigma): 
 
 
 
Tensão de cisalhamento: 
 
A intensidade da força, ou força por unidade de área, que 
age tangente à A, é definida como tensão de 
cisalhamento, (tau): 
 
 
 
 
A
F
A
z




lim
0

A
Fx
A
zx




lim
0

A
Fy
A
zy




lim
0





UNIDADES: 
 
No Sistema Internacional de unidades: 
 
 - Tensão = Força / Área: N/m2 (pascal  Pa) 
 
 - Múltiplos dessa unidade: 
 
1 kPa = 103 Pa = 1000 N/m2 (quilopascal) 
1 MPa = 106 Pa = 1.000.000 N/m2 (megapascal) 
1 GPa = 109 Pa = 1000.000.000 N/m2 (gigapascal) 
 
OBS: 
 
força em N e área em mm2  tensão em N/mm2 = 1 MPa. 
Tensão normal média em uma barra sujeita à carga axial 
Premissas: 
 
- barra prismática : reta e tem a mesma seção ao longo de todo o seu 
comprimento; 
 
- barra permanece reta após a carga ser aplicada e as seções 
transversais permanecem planas durante a deformação; 
 
- não são consideradas as regiões próximas às extremidades, onde as 
forças externas provocam distorções. Portanto, a distribuição da 
tensão é uniforme; 
 
- a carga é aplicada ao longo do eixo que passa pelo centróide da 
seção transversal; 
 
- o material é homogêneo, isto é, possui as mesmas propriedades 
físicas e mecânicas em todo o seu volume; 
 
- o material é isotrópico, isto é, possui essas mesmas propriedades em 
todas as direções. 
 
 zRz FF
 
A
dAdF .
AP .
A
P

Onde P é a carga axial e A é a área da seção transversal. 
Exemplo: 
 - cabos, tirantes, pilares, colunas, escoras e treliças. 
 Convenção de sinais: 
 
- tensão é positiva em barras tracionadas e negativa em barras 
comprimidas. 
+ - 
Tensão de cisalhamento 
É a tensão que ocorre quando as forças são aplicadas 
transversalmente à barra, como por exemplo, em ligações 
coladas, parafusadas ou soldadas. 
Considerando uma seção transversal entre os pontos de 
aplicação das forças: 
 
 - força cortante V = F/2, 
 
 - dividida pela área, fornece a tensão média de 
cisalhamento, representada pela letra grega  (tau). 
A
V

 Cisalhamento simples 
 Cisalhamento duplo 
Cisalhamento 
Simples (single shear) 
A
F
A
P
ave
Duplo (double shear) 
A
F
A
P
2
ave 
Tensão de esmagamento 
- Tipo especial de tensão normal 
 
- Ocorrência em ligações com parafusos, pinos ou rebites 
 
- Superfície de contato destes com as barras 
 
- Atingido valores elevados : esmagamento da barra em 
torno do parafuso, causando o colapso da ligação. 
É expressa por: 
td
P
esmag
.

onde “d” é o diâmetro do parafuso e “t” 
a espessura da barra. 
F F 
Tensões admissíveis: 
A resistência dos materiais é fundamental para o desenvolvimento 
de projetos que envolvem estruturas, como pontes, torres, 
coberturas, lajes, vigas, pilares, etc. 
- seleção de uma configuração 
 viável para a estrutura; 
 
- especificação do material; 
 
- dimensões dos elementos 
garantir que não 
ocorram falhas 
sob as diversas 
condições de 
carregamento 
- Projetista - levar em consideração incertezas: 
 . Suposições 
 . Aproximações feitas em relação às cargas externas 
 atuantes, dimensões, processo de fabricação e execução 
- assegurar  carga de ruptura Pu (que causa a falha de um 
elemento) esteja acima do carregamento admissível Padm. 
 
 
Assim: 
 Padm = Pu / CS 
 
Onde: CS é o Coeficiente de Segurança ou Fator de Segurança (FS) 
 
- Coeficiente de segurança  relacionado à: 
 
 . natureza da falha, 
 . importância do elemento, 
 . tipo de carregamento, 
 . custo 
 . etc. 
 
- Especificado em normas relativas a cada material. 
Se existir uma relação linear entre as cargas aplicadas e as 
tensões devidas, pode-se usar: 
 
 adm = u / CS 
 
 
 adm = u / CS 
 
 
- u e u  tensões últimas 
 
 
- adm e adm  tensões normal e de cisalhamento 
 admissíveis, respectivamente. 
Situação real 
Esquema distribuição das tensões 
Esquema da solicitação da peça 
Determinação da área necessária 
Esquema da 
solicitação 
da peça 
Determinação da área necessária 
EXEMPLO: Determine a carga máxima P que pode ser 
aplicada à montagem ilustrada, sabendo-se que o material da 
barra (1) apresenta uma tensão normal última de 480 MPa e a 
tensão de cisalhamento última nos parafusos é de 360 MPa, e 
desejando-se atender a um coeficiente de segurança igual a 3,0. 
. Diâmetro dos parafusos: 25 
mm 
 
. Dimensõesda chapa(1): 200 
X 200 X 10 mm 
Exemplo 
O braço de controle está submetido ao carregamento mostrado na 
figura abaixo. Determine, com aproximação de 5 mm, o diâmetro 
exigido para o pino de aço em C se a tensão de cisalhamento 
admissível para o aço for . Note na figura que o pino 
está sujeito a cisalhamento duplo. 
MPa 55adm 
Solução: 
Para equilíbrio, temos: 
      
 
  kN 3002515 ;0
kN 502515 ;0
kN 150125,025075,0152,0 ;0 
5
3
5
4
5
3






yyy
xxx
ABABC
CCF
CCF
FFM
O pino em C resiste à força resultante em C. Portanto, 
    kN 41,30305 22 CF
mm 8,18 
mm 45,246
2
 
m 1045,276
1055
205,15
2
26
3
adm
2









 
d
d
V
A


O pino está sujeito a cisalhamento duplo, uma força de cisalhamento 
de 15,205 kN age sobre sua área da seção transversal entre o braço 
e cada orelha de apoio do pino. 
A área exigida é 
Use um pino com um diâmetro d = 20 mm. 
Exemplo 
A barra rígida AB é sustentada por uma haste de aço AC com 20 
mm de diâmetro e um bloco de alumínio com área de seção 
transversal de 1.800 mm2. Os pinos de 18 mm de diâmetro em A e 
C estão submetidos a cisalhamento simples. Se a tensão de 
ruptura do aço e do alumínio forem e 
respectivamente, e a tensão falha para cada pino for de 
determine a maior carga P que pode ser aplicada à barra. Aplique 
um fator de segurança FS = 2. 
  MPa 680
rupaço
   MPa 70
rupal

MPa 900rup 
Solução: 
As tensões admissíveis são:  
 
 
 
MPa 450
2
900
FS
MPa 35
2
70
FS
MPa 340
2
680
FS
rup
adm
rupal
admal
rupaço
admaço









Há três incógnitas e nós aplicaremos as equações de equilíbrio 
   
    (2) 075,02 ;0
(1) 0225,1 ;0




PFM
FPM
BA
ACB
Agora, determinaremos cada valor de P que crie a tensão admissível 
na haste, no bloco e nos pinos, respectivamente. 
A haste AC exige: 
         kN 8,10601,010340 26
admaço
  ACAC AF
Usando a Equação 1, 
  
kN 171
25,1
28,106
P
Para bloco B, 
       kN 0,6310800.11035 66
admal
 BB AF 
Usando a Equação 2, 
  
kN 168
75,0
20,63
P
Para o pino A ou C, 
     kN 5,114009,010450 26adm   AFV AC
Usando a Equação 1, 
  
kN 183
25,1
25,114
P
(Resposta) kN 168P
Determine a tensão de cisalhamento atuante nos pinos A e C, a tensão 
normal atuante na barra AB e BC (área líquida e bruta) e a tensão de 
esmagamento nos pontos A e C. 
Na estrutura 
mostrada, um pino de 
6 mm de diâmetro é 
usado em C e de 10 
mm em B e D. A 
tensão normal última 
é de 400 MPa e a de 
cisalhamento última 
de 150 MPa. 
Determine a carga 
máxima P que pode 
ser aplicada em A, 
desejando-se atender 
a um coeficiente de 
segurança igual a 3.