Calculo2 Lista5

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE MATEMA´TICAS
CA´LCULO II
LISTA 5
1. Uma reta passa pelo ponto P = (1, 1, 1) e e´ paralela ao vetor A = (1, 2, 3) e outra reta
passa pelo ponto Q = (2, 1, 0) e e´ paralela ao vetor B = (3, 8, 13). Mostre que as retas
se interseptam e determine o ponto de intersec¸a˜o.
2. Sejam Q = (3, 3, 1) e f(t) = P + tA onde P = (1, 2, 3) e A = (1,−2, 2).
a. Calcule ||Q− f(t)||2, o quadrado de distancia entre Q e f(t).
b. Mostre que existe exatamente um ponto f(t0) tal que a distancia ||Q− f(t)|| e´ a
mı´nima e calcule a distancia mı´nima.
c. Mostre que ||Q− f(t0)|| e´ ortogonal a A.
3. Sejam L1 e L2 retas. Mostre que ou L1 = L2 ou L1
⋂
L2 = ∅.
4. Um plano pi teˆm por equac¸a˜o parame´trica escalar x = 1 + s − 2t, y = 2 + s + 4t e
z = 2s+ 1.
a. Determine qual dos seguentes pontos esta em pi: (0, 0, 0), (1, 2, 0), (2,−3,−3).
b. Encontre os vetores ~p, ~a e ~b tal que pi = {~p+ s~a+ t~b = 0 : s, t ∈ R}.
5. Seja pi o plano gerado pelo pontos P , Q e R; os quaeis sa˜o na˜o colineares.
a. Se p, q, r ∈ R tal que p+ q + r = 1, mostre que pP + qQ+ rR ∈ pi.
b. Mostre que todo ponto em pi teˆm a forma pP + qQ+ rR onde p+ q + r = 1.
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