Desconto Racional ou “por dentro”

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Desconto racional ou “por dentro”
Simone Motyczka Ott Telles
Introdução
Quando realizamos o pagamento de um produto à vista, entendemos o abatimento no valor 
como desconto, assim como quando antecipamos um pagamento cujo vencimento ocorreria em 
uma data futura. A forma de desconto que iremos abordar nesta aula segue a mesma lógica. Tra-
ta-se de um abatimento que é concedido no valor de um título de crédito, quando este é resgatado 
antes de seu vencimento (SAMANEZ, 2010). 
O desconto de um título de crédito é uma operação muito tradicional no mercado financeiro, 
tanto em operações de crédito bancárias como em operações comerciais.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • compreender o conceito de descontos e suas estruturas básicas;
 • entender o cálculo do desconto racional.
1 Desconto racional (por dentro) simples e composto
Entenda que desconto é a diferença entre o valor que seria pago no futuro e o valor pago no 
momento atual, representando um valor em dinheiro (moeda). No mercado financeiro, o desconto 
tem por objetivo antecipar valores que só seriam recebidos pela empresa em uma data futura, 
buscando assim atender suas eventuais necessidades de caixa. Você deve estar se perguntando: 
“Como ocorrem as operações de desconto?”. Confira a seguir. 
Ao contrair uma dívida, um indivíduo passa a ter um credor (empresa) que emite um compro-
vante da operação financeira, o que chamamos de título de crédito. Estando a empresa de posse do 
título de crédito, tem o direito de receber o valor descrito nele (valor nominal). Se, por algum motivo, 
a empresa necessitar de capital antes da data de vencimento do título, ela poderá procurar uma ins-
tituição financeira para negociá-lo. Assim, ela receberá no ato da negociação (no momento presente 
ou à vista) o valor correspondente ao título mediante o desconto de encargos financeiros (taxa de 
desconto). A instituição procurada passará a possuir o título de crédito e receberá seu valor integral 
no vencimento. Esta operação é caracterizada como um produto bancário chamado desconto. 
FIQUE ATENTO!
Podemos afirmar que desconto é a diferença entre o valor nominal do título de 
crédito e o valor pago por ele em uma data anterior ao vencimento.
Figura 1 – Desconto corresponde à diferença entre valor nominal e atual.
Fonte: Syda Productions/Shutterstock.com
Assim, listamos abaixo os principais elementos que compõem uma operação de desconto. 
 • Data de vencimento – data prefixada no documento de crédito (título cheque etc.).
 • Taxa de desconto (i) – é a taxa de juros aplicada por período unitário de tempo.
 • Valor nominal ou valor futuro (FV) – é o valor a ser pago na data do vencimento.
 • Valor atual ou valor líquido (PV) – é o valor descontado da taxa de juros, o valor a ser 
recebido antes da data de vencimento.
 • Prazo ou tempo (n) – tempo da antecipação, tempo decorrente entre a data em que 
ocorre a operação de desconto e a data de vencimento do título.
 • Desconto (D) – é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
Passamos agora aos títulos de crédito!
2 Títulos de crédito
Os títulos de crédito são comprovantes de um compromisso assumido com vencimento 
futuro. Trata-se de uma garantia de quem empresta um capital ou cede um bem (CASTANHEIRA, 
2010). Os títulos mais conhecidos são nota promissória e duplicata. 
 • Nota promissória – é um documento que comprova a aplicação de um capital com 
vencimento predeterminado, em que obrigatoriamente uma das partes é pessoa física.
 • Duplicata – é um documento emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pes-
soa física ou jurídica), em que obrigatoriamente uma das partes é pessoa jurídica. 
Figura 2 – Duplicata.
Fonte: Andrey_Popov/Shutterstock.com
SAIBA MAIS!
Confira a contribuição das operações de desconto na formação de um fluxo financeiro 
saudável de uma empresa, bem como os controles (planilhas) que tais operações exigem. 
Disponível em: “Teoria e prática em finanças: estudo de caso para a implementação 
de fluxo de caixa previsto versus realizado, na empresa Truck LTDA.” Disponível em: 
<http://eventosacademicos.ufmt.br/index.php/CONASUM/2015/paper/viewFile/12/7 >.
É muito comum ocorrerem também operações de desconto com cheques (na modalidade 
pré-datado), boletos de cobrança e recebíveis, que são frutos de operações com cartão de crédito.
SAIBA MAIS!
Aprofunde seus conhecimentos sobre o desconto de recebíveis, leia: “Quais os 
perigos e vantagens de antecipar os recebíveis?”. Disponível em: <http://exame.abril.
com.br/pme/noticias/quais-os-perigos-e-vantagens-de-antecipar-os-recebiveis>.
Existem dois tipos básicos de descontos nas operações financeiras: o desconto comercial e 
o desconto racional. A seguir, iremos conhecer o desconto racional. 
3 Características do desconto racional ou “por dentro”
O desconto racional ou “por dentro”, é aquele obtido quando a taxa de juros incide sobre o 
valor atual do título. Baseado no modo de capitalização dos juros, pode ser simples ou composto.
3.1 Desconto racional (por dentro) simples (Drs)
Conforme Müller (2010), o desconto racional (por dentro) simples é aplicado sobre o valor 
atual utilizando-se uma taxa efetiva, e o seu cálculo é realizado de forma semelhante aos juros 
simples. Para a realização dos cálculos do desconto racional simples, temos algumas fórmulas 
(PUCCINI, 2009). Observe. 
Valor presente (VP) pode ser obtido da fórmula: VF = VP (1 + i × n)
Assim: 
( )
VFVP = 
1 + i × n
.
Por sua vez, o desconto Drs pode obtido por: Drs = VP × i × n).
Teremos: 
( )rs
VF × i × nD = rsD = rs 1 + i × n
 ou ( )rsD 1 + i × n(D 1 + i × n(rsD 1 + i × nrsVF = 
i × n
. 
EXEMPLO
A empresa AB necessita de capital de giro para honrar um compromisso fi scal. Ela 
realizou uma venda e acordou com seu cliente, João Pedro, que o pagamento ocorria 
somente após 90 dias. Assim, emitiu uma duplicata. Tendo a duplicata em mãos, a 
empresa buscou uma instituição fi nanceira para realizar a antecipação do recebimen-
to deste crédito, que ocorreu por meio do desconto racional simples do título, cujo 
valor nominal era de R$ 3.000,00. A instituição aplicou uma taxa de juros de 3% a.m.
Resumo de dados: VF = R$ 3.000,00, n = 3 meses, i = 3% a.m. 
Calculando o valor desconto:
( ) ( )rs
VF × i × n 3.000,00 × 0,03 × 3 270,00D = = = = 247,70
(
D = = = = 247,70
( )
D = = = = 247,70
)
D = = = = 247,70
(
D = = = = 247,70
( )
D = = = = 247,70
)
D = = = = 247,70D = = = = 247,70rsD = = = = 247,70rs
VF × i × n 3.000,00 × 0,03 × 3 270,00D = = = = 247,70VF × i × n 3.000,00 × 0,03 × 3 270,00
1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09)1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09) (1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09( )1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09)
D = = = = 247,70
1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09
D = = = = 247,70
)
D = = = = 247,70
)1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09)
D = = = = 247,70
) (
D = = = = 247,70
(1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09(
D = = = = 247,70
( )
D = = = = 247,70
)1 + i × n 1 + 0,03 × 3 1,09)
D = = = = 247,70
)
Calculando o valor que o portador do título receberá:
PV = FV – Drs = 3.000,00 – 247,70
PV = R$ 2.752,30
A empresa irá receber somente R$ 2.752,30 na operação, ou seja, R$ 247,70 a menos 
que o valor nominal do título. Já a instituição fi nanceira fi cará com a duplicata e, pas-
sados 90 dias, receberá o valor nominal (integral) R$ 3.000,00.
Entenda que a instituição fi nanceira que compra o título não assume a responsabilidade 
plena por ele, pois a empresa que o resgatou antes do prazo é devedora solidária. Em caso de 
inadimplência por parte do contratante do valor, ela deverá arcar com a dívida.
FIQUE ATENTO!
Para obtermos resultados corretos, tanto no uso das fórmulas quanto no uso de 
calculadoras fi nanceiras, o Prazo (n) e o tempo da Taxa(i) devem ser os mesmos. 
Figura 3 – A instituição fi nanceira que compra o título não é responsável por ele.
Fonte: uelder/Shutterstock.com 
Cabe aqui realizar um destaque importante: o desconto racional simples não é utilizado na 
prática (ASSAF, 2010). A seguir, entenda o desconta racional (por dentro) composto.
3.2 Desconto racional (por dentro) composto (Drc) 
Trata-se do desconto aplicado sobre o valor atual utilizando-se uma taxa efetiva. Seu cálculo 
é realizado de forma semelhante aos juros compostos, com a utilização de algumas fórmulas 
(MÜLLER, 2012). 
Valor presente (VP) é obtido por meio da fórmula: VF = VP (1 + i)n ( )nVF = VP 1+i(VF = VP 1+i(
Logo:
n
VFVP = 
(1 + i)
 ou ainda VP = VF (1 + i)–n.
Sendo o desconto descrito pela fórmula: D = VF – VP .
Então: Drc = VF – VF (1 + i)
–n ou Drc = VF [1 – (1 + i)
–n] .
EXEMPLO
A empresa BC necessita de capital de giro para honrar um compromisso fiscal. Ela 
realizou uma venda e acordou com seu cliente, Carlos, que o pagamento ocorreria 
após 90 dias. Assim, emitiu uma duplicata. Desta forma, a empresa buscou uma 
instituição financeira para realizar a antecipação do recebimento do crédito por 
meio do desconto racional composto. O valor nominal do título era de R$ 3.000,00, 
e foi aplicada uma taxa de juros de 3% a.m. 
Resumo de dados: VF = R$ 3.000,00, n = 3 meses, i = 3% a.m. 
Calculando o valor desconto:
Drc=VF [1 – (1 + i)
–n ] = 3.000,00 [1 – (1 + 0,03)-3 = 254,56
Calculando o valor que o portador do título receberá:
PV = FV – Drs = 3.000,00 – 254,26
PV = R$ 2.745,42
A empresa BC, portanto, em vez de receber R$ 3.000,00, irá receber somente 
R$2.745,42; R$ 254,26 a menos que o valor nominal.
Saiba que a diferença entre os valores do desconto racional simples para o composto ocorre 
exclusivamente pela característica de cada método, que é a forma de incidências dos juros (juros 
simples ou composto).
Figura 4 – Desconto racional.
Fonte: Lisa S./Shutterstock.com 
FIQUE ATENTO!
Em todas as fórmulas, a taxa precisa obrigatoriamente ser utilizada na forma de-
cimal. Para passar da forma percentual para a forma decimal, é necessário dividir 
por 100%. Assim:
3%i = = 0,03i = = 0,033%i = = 0,033%
100%
i = = 0,03
100%
i = = 0,03
Diferente do desconto racional simples (Drs), o composto (Drc) é amplamente utilizado no 
Brasil (MÜLLER, 2012). 
Fechamento
Chegamos ao fi nal desta aula. Aqui, vimos o conceito de desconto, bem como suas ramifi ca-
ções em desconto racional simples e composto.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
 • conhecer o que são títulos de crédito;
 • entender o conceito de desconto;
 • entender as estruturas básicas do desconto com a taxa de capitalização simples ou composta;
 • entender o cálculo do desconto racional.
Referências
ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Fundamentos de Administração Financeira. São 
Paulo: Atlas, 2010.
CASTANHEIRA, Nelson Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática fi nanceira aplicada. 
3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
FANTI, Leonardo Donizete; DIAS, Thatiany da Silva. Teoria e prática em fi nanças: estudo de caso 
para a implementação de fl uxo de caixa previsto versus realizado, na empresa Truck LTDA., 
2015. Trabalho apresentado no curso de Administração do ICHS – CUR – UFMT – Universidade 
Federal do Mato Grosso, Rondonópolis, 2015.
MULLER, Aderbal Nicolas; ANTONIK, Luis Roberto. Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2012.
PUCCINI, Abelardo. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 8. ed. São Paula: Saraiva, 2009.
SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson, 2010.
ZUINI, Priscila. Quais os perigos e vantagens de antecipar os recebíveis? Exame.com, 16 jul. 2012. 
Disponível em: <http://exame.abril.com.br/pme/noticias/quais-os-perigos-e-vantagens-de-anteci-
par-os-recebiveis>. Acesso em: 07 out. 2016.