PO2 Apresentação 07 AnálisedaDecisão DecisõescomExperimentação

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ANÁLISE DA DECISÃO
DEP-CTG-UFPE
Probabilidade Condicional
– Probabilidade
� Estado da Informação disponível
– Quando o estado da informação é modificado 
por outro acontecimento
– Notação: 
� P(A|B) - Probabilidade de A dado que B ocorreu 
Probabilidade Condicional
– Definição
– Regra do Produto
P(A ∩ B) = P(A).P(B|A) = P(B).P(A|B)
– Regra do Produto Generalizada
P(A1 ∩A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1).P(A2|A1) ...P(An|A1∩A3....∩An-1)
0)(,)(
)()|( ≠∩= BP
BP
BAPBAP 0)(,)(
)()|( ≠∩= AP
AP
BAPABP
Eventos Independentes
– Se dois eventos são independentes, então a probabilidade 
condicionada é igual à probabilidade não condicionada.
� P(A|B)=P(A). Assim, P(A ∩ B) = P(A).P(B), o que não implica em A ∩ B = φ
– A independência é função do estado da informação. Alterando 
o estado da informação os eventos poderão deixar de ser 
independentes. 
� Se P(A|B)=P(A) não se conclui que P(A| B∩C) e P(A|C) também sejam 
iguais a P(A)
– Eventos são independentes se tanto a ocorrência de um evento 
como sua não ocorrência não altera a probabilidade do outro 
evento
� Se A e B são independentes, então A e Bc, Ac e B, Ac e Bc também o são
Exemplo
– Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Três peças são retiradas 
uma após a outra, ao acaso. Encontre a probabilidade (p) de todas 
essas três peças serem perfeitas.
– Solução: 
� Eventos: D - Defeituosa ou P - Perfeita
� A prob. da 1ª ser P é 8/12. Se a 1ª é P, a prob. da 2ª ser P é 
7/11. Se as duas primeiras são P, a prob. da 3ª ser P é 6/10.
� Pela regra do produto: 
P(A1∩A2∩A3)=P(A1).P(A2|A1) P(A3|A1∩A2) 
� Encontrando a probabilidade desejada
p = (8/12).(7/11).(6/10)=(14/55) ≅ 25%
Lei da Probabilidade Total
A1
A2
A4 An
A
3
.............
B
U
⇒∩=
=
 )(
1
U
n
i
i BAB ∑
=
∩=
n
i
i BAPBP
1
)()(
∑
=
⋅=
n
i
ii ABPAPBP
1
)|()()(
2
Teorema de Bayes
– Seja P(A1), P(A2),..., P(An) uma distribuição de 
probabilidade sobre {Ak}, k=1,2,...,n.
– Se B ocorrer então P(A1|B), P(A2|B),..., P(An|B) é 
uma distribuição de probabilidade dos Ak
condicionada à ocorrência de B
 
)|()(
)|()(
)(
)()|(
1
∑
=
⋅
⋅
=
∩
=
n
i
ii
kkk
k
ABPAP
ABPAP
BP
BAPBAP
Exemplo
– Suponha que a colheita de uma safra de milho durante o
mês maio poderá ser afetada pelo clima durante este
período. A partir de registros históricos na empresa, tem-se
que em 0,3% das vezes a colheita foi danificada pelo
clima. Mesmo assim, um centro de meteorologia, que
fornece previsões com uma confiabilidade de acerto de
95%, foi consultado. O relatório para o mês em questão
indicou a ocorrência de fortes chuvas neste ano, que
certamente prejudicariam significativamente a plantação.
Exemplo
– Qual a probabilidade da colheita ser afetada pelo clima 
neste ano?
– A: O clima a ser observado (fato)
A: chove, AC: não chove
– B: Resultado do relatório (informação)
B: indica que vai chover, BC: indica que não vai chover
– P(B/A)=P(BC/AC)=0,95 � Probabilidade de acerto
– P(BC/A)=P(B/AC)=0,05 � Probabilidade de erro
Exemplo
05,0)997,0()05,0()003,0()95,0(
)003,0()95,0()|( ≈
⋅+⋅
⋅
=BAP
A AC
P(A) 0,003 0,997
Exemplo
68,0)9,0()05,0()1,0()95,0(
)1,0()95,0()|( ≈
⋅+⋅
⋅
=BAP
A AC
P(A) 0,1 0,9
Tipos de problemas de decisão
� Sem experimentação (Sem dados)
– Não é possível obter alguma informação que permita 
aprimorar o conhecimento sobre o estado da natureza
� Com experimentação (Com dados)
– Antes de se tomar uma ação, é possível coletar uma 
observação que permita conhecer melhor o estado da 
natureza
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Observações: x
� Observações = Dados = Informações
� Guardam uma relação (probabilística) com os 
estados da natureza
� A importância das observações deve-se à 
impossibilidade de se conhecer o estado da 
natureza diretamente
Função de verossimilhança: P(x|θ)
� Verossimilhança = Parece com a Verdade
� Função de distribuição de probabilidade 
condicional
� Representa o “canal de comunicação” com a 
natureza
� Observações como consequência probabilística 
do verdadeiro estado da natureza
Regras de decisão
� Procedimento para a tomada de decisão quando 
há disponibilidade de dados sobre os estados da 
natureza
� Indicam como as observações conduzem à 
escolha das respectivas alternativas de ação
� Ação adotada de acordo com a observação
Mudança de paradigma
� Escolha
Ação � Regra de decisão
(sem dados) (com dados)
Abordagem Bayesiana
� Argumentação a partir dos eventos observados e 
das probabilidades das causas
� Permite atualizar o conhecimento que se dispõe 
sobre os estados da natureza, denominado de 
conhecimento a priori, para um conhecimento 
que considere as novas evidências, denominado 
de conhecimento a posteriori, a partir de novas 
informações (experimentações)
Distribuições de Probabilidade
� Probabilidades prévias: π(θ)
– Representam o conhecimento a priori, ou seja, antes da 
realização da experimentação
� Probabilidades posteriores: π(θ|x)
– Representam o conhecimento a posteriori, ou seja, após 
a realização da experimentação 
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Teorema de Bayes
∑
Θ
⋅
⋅
= )|()(
)|()()|(
θθpi
θθpiθpi
xP
xP
x
Conhecimento à posteriori
Conhecimento à priori
Instrumento de Medida
Abordagem Bayesiana
� Em problemas com experimentação, deve-se usar 
a distribuição posterior atualizada a partir da 
distribuição prévia e dos dados disponíveis
� Limitações
– Inútil quando há conflito de informações
– Muito sensível à informação a priori
Valor da Experimentação
� Valor da Experimentação
– Antes de realizar qualquer experimentação, deve-se 
determinar o valor potencial desta informação
� Métodos usuais
– Valor Esperado da Informação Perfeita (EVPI)
� Fornece um valor superior do valor potencial do 
experimento
– Valor Esperado da Experimentação (EVE)
� Fornece o acréscimo esperado no prêmio, excluindo o 
custo do experimento
Valor da Experimentação
EVPI = prêmio esperado com informação perfeita –
prêmio esperado sem experimentação
EVE = prêmio esperado com experimentação –
prêmio esperado sem experimentação
Valor da Experimentação
� Observações
– O EVPI pode ser determinado para problemas de 
decisão sem experimentação, enquanto o EVE, apenas 
para problemas de decisão com experimentação
– O valor do EVE é sempre menor ou igual ao do EVPI
Exemplo
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
� Uma organização financeira pode optar pelas seguintes 
alternativas: vender suas ações ou continuar com as ações 
esperando uma elevação nos preços para a venda posterior. 
Como as ações estão em baixa um comprador propôs um 
pagamento de $150.000 para a venda imediata mais um adicional 
de $1.000.000 se as ações num prazo de um ano atingirem o 
aumento esperado. Se a empresa resolver não vender as ações o 
prejuízo será de $400.000 se as ações não subirem em um ano, 
mas se elas atingirem o aumento esperado ela terá um lucro de 
$1.500.000 vendendo-as posteriormente. Supondo-se que os 
estados naturais as ações não subirem e as ações subirem tem 
probabilidade respectiva de 70% e 30%. 
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Exemplo
� Decisor: organização financeira
� Natureza: ações da organização
� Estados da Natureza: valor futuro das ações
– θ1: Ações estarão em baixa
– θ2: Ações estarão em alta
� Alternativas de ação: comercialização das ações 
– a1: vender as ações ao comprador
– a2: não vender as ações ao comprador
� Prêmio: lucro com as ações
� Tabela de Prêmios
Cenários
Ações
em Baixa
Ações
em Alta
Alternativas
Vender as ações 150.000 1.150.000
Não vender as ações -400.000 1.500.000
Exemplo
� Árvore de Decisão Ações
em alta 1.150.000
150.000
1.500.000
-400.000
Não vender
as ações
Vender
as ações Ações
em baixaAções
em alta
Ações
em baixa
Exemplo
� Probabilidades Prévias
Cenários
Ações
em baixa
Ações
em alta
Probabilidades 0,70 0,30
Exemplo
� Regra da Máxima Probabilidade
Alternativa Escolhida: Vender as ações
Exemplo
Cenário mais 
provável
Ações
em Baixa
Alternativas
Vender as ações 150.000
Não vender as ações -400.000
� Regra do Máximo Prêmio Esperado (Bayes)
Alternativa Escolhida: Vender as ações
Exemplo
Cenário
esperado
Alternativas
Vender as ações 450.000
Não vender as ações 170.000
450000
*
=aVE
6
� Análise de Sensibilidade
Exemplo
Cenários
Ações
em baixa
Ações
em alta
Probabilidades p 1-p
)'()'(
21
pVEpVE aa =
� Ponto de Cruzamento
Exemplo
)'1(1500000'400000)'1(1150000'150000 pppp −+−=−+
389,0
18
7
' ≅=p
� Ponto de Cruzamento
Exemplo
1a
2a
'p
000.500.1
000.150.1
000.150
000.400−
0 p
)( pVEa
1
� Informação Perfeita
Cenários
Ações
em Baixa
Ações
em Alta
Regra Ótima 150.000 1.500.000
Exemplo
� Informação Perfeita
Exemplo
55000030,0.150000070,0.150000* =+=
IPa
VE
100000450000550000
**
=−=−= aa
VEVEVEIP
IP
Exemplo
� Considere agora que a organização financeira tem a disposição
a possibilidade de contratar um consultor no mercado de ações
para uma avaliação da tendência futura de suas ações antes de
fechar uma possível venda. Este consultor poderá ao final
indicar se as ações permanecerão em baixa ou se apresentação
um crescimento no período. Por trabalhos realizados
anteriormente, a organização sabe que o consultor possui um
índice de acerto de 90% em suas previsões. O valor cobrado
pelo consultor é de $50.000. Avalie se vale a pena a
organização contratar este consultor.
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Exemplo
� Observação: Recomendação do consultor
– x1: Indica que as ações estarão em baixa
– x2: Indica que as ações estarão em alta
� Decisão associada: Contratação do consultor
– b1: contratar os serviços do consultor
– b2: não contratar os serviços do consultor
Exemplo
� Função de Verossimilhança
– Probabilidades de acerto
– Probabilidades de erro (calculadas)
� Probabilidades das Observações
67,010,0.30,090,0.70,0)|()()|()()( 2121111 ≅+=+= θθpiθθpi xPxPxP
33,067,01)(1)( 12 ≅−=−= xPxP
90,0)|()|( 2211 == θθ xPxP
10,0)|(1)|( 2221 =−= θθ xPxP
10,0)|(1)|( 1112 =−= θθ xPxP
Exemplo
� Probabilidades Posteriores
– Se x=x1
95,0
10,0.30,090,0.70,0
90,0.70,0
)|()()|()(
)|()()|(
212111
111
11 ≅
+
=
+
=
θθpiθθpi
θθpiθpi
xPxP
xP
x
05,0)|(1)|( 1112 ≅−= xx θpiθpi
Cenários
Ações
em baixa
Ações
em alta
Probabilidades 0,95 0,05
Exemplo
� Regra de Decisão
– Se x=x1
Alternativa Escolhida: Vender as ações (a*=a1)
Cenário
esperado
Alternativas
Vender as ações 200.000
Não vender as ações -305.000
200000)*( 1 =xaVE
Exemplo
� Probabilidades Posteriores
– Se x=x2
21,0
90,0.30,010,0.70,0
10,0.70,0
)|()()|()(
)|()()|(
222121
121
21 ≅
+
=
+
=
θθpiθθpi
θθpiθpi
xPxP
xP
x
79,021,01)|(1)|( 2122 ≅−=−= xx θpiθpi
Cenários
Ações
em baixa
Ações
em alta
Probabilidades 0,21 0,79
Exemplo
� Regra de Decisão
– Se x=x2
Alternativa Escolhida: Não vender as ações (a*=a2)
Cenário
esperado
Alternativas
Vender as ações 940.000
Não vender as ações 1.101.000
1101000)*( 2 =xaVE
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� Informação Imperfeita
Exemplo
)*(2)*(1)*( 21 ).().( xaxaxa VExPVExPVE +=
47330450000497330
*)*( =−=−= axa VEVEEVE
4973301101000.33,0200000.67,0)*( =+=xaVE
� Conclusão
– Como na regra ótima, observações diferentes
conduzem a ações distintas, esta informação
permite discriminar as ações
– O EVPI=100000 é o máximo valor que a
organização estaria disposta a pagar pelos
serviços de um consultor.
– Como o EVE<50000, este consultor específico
não deverá ser contratado, pois o valor adicionado
pela informação não supera o custo do serviço
Exemplo
� Árvore de Decisão
100.000
θ2 (0,05)
Exemplo
a1
a2
θ1 (0,95)
θ2 (0,05)
θ1 (0,95)
1.100.000
-450.000
1.450.000
100.000
θ2 (0,79)
a1
a2
θ1 (0,21)
θ2 (0,79)
θ1 (0,21)
1.100.000
-450.000
1.450.000
x2 (0,33)
x1 (0,67)
150.000
a1
a2
θ1 (0,70)
θ2 (0,30)
θ1 (0,70)
1.150.000
-400.000
1.500.000
b1
b2
θ2 (0,30)
150.000
-355.000
890.000
1.051.000
450.000
170.000
450.000
1.051.000
150.000
447.330
450.000