Lista de exercicios analise real

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Instituto de Matemática - UFRJ
Análise 1 - MAA 240 - Paulo Amorim - 2018-2
Lista 2
1. Sejam (xn), (yn) sequências convergentes, com xn ≤ yn, ∀n. Mostre que se tem limxn ≤ lim yn.
2. Diga se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes:
(a) “Sejam (xn), (yn) sequências convergentes, com xn < yn, ∀n. Então, limxn < lim yn.”
(b) “Sejam (xn), (yn) sequências tais que limxn · yn = 0. Então, ou xn → 0, ou yn → 0.”
3. Utilize o método das sequências enquadradas para determinar o limite das seguintes sequências:
(a)
n!
nn
(b)
2n
n!
(c)
(a
n
)n
, a ∈ R
(d)
an
n!
, a ∈ R
(e)
(n− p)!
n!
, p ∈ N
(f)
1
n2
+
1
(n+ 1)2
+ · · ·+ 1
(2n)2
.
4. Determine o limite de xn =
anbn
an + bn
, com a, b > 0.
5. Dê exemplos de sequências (xn), (yn) com:
(a) xn → +∞, yn → −∞, lim(xn + yn) = +∞.
(b) xn → +∞, yn → −∞, lim(xn + yn) = −∞.
(c) xn → +∞, yn → −∞, lim(xn + yn) = 0.
(d) xn → +∞, yn → −∞, lim(xn + yn) = 17.
6. Dê exemplos de sequências (xn), (yn) com:
(a) xn, yn → +∞, lim xnyn = 0.
(b) xn, yn → +∞, lim xnyn = +∞.
(c) xn, yn → +∞, lim xnyn = 74.
(d) xn, yn → +∞, lim xnyn não existe, nem é +∞.
7.
(a) Seja xn = n3 + 2. Mostre que limxn = +∞ usando a definição.
(b) Tente “mostrar” que 1n2 → +∞ e entenda porque não dá.
(c) Seja xn = n2 + (−1)nn. Mostre que limxn = +∞ usando a definição.
8. Mostre que a sequência xn =
senn
2n
é de Cauchy. (Sugestão: uma sequência é de Cauchy se, ∀ε > 0,∃n0
tal que se n > n0, então |xn+p − xn| < ε para todo p ∈ N.)
9. Considere a sequência definida por
an = 1 +
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
n!
.
1 de 3
Análise 1 - MAA 240 - Paulo Amorim - 2018-2
Lista 2 (continuação)
(a) Mostre que se tem an < 3, para todo n ≥ 1.
(b) Conclua que an possui um limite. Chamamos a esse limite a constante de Euler que é designada
por e e tem o valor aproximado 2.7182818284 . . .
10. Considere a sequência xn definida pela fórmula de recorrência
x1 = 1,
xn+1 = 1 +
1
xn
.
(a) Mostre que se tem |xn+2 − xn+1| ≤ 12 |xn+1 − xn|.
(b) Mostre que (xn) é de Cauchy e que limxn = 1+
√
5
2 .
11. (Um pouco trabalhoso, pode ignorar numa primeira passagem) Considere as sequências (xn) e (yn)
definidas pela fórmula de recorrência:
x1 = a > 0, y1 = b > 0,
xn+1 =
1
2
(xn + yn),
yn+1 =
2xnyn
xn + yn
.
(a) Mostre que se tem xn, yn > 0, ∀n ≥ 1, e que
xn+1yn+1 = xnyn,
yn+1
yn
=
xn
xn+1
.
(b) Mostre que se tem yn+1 ≤ xn+1, ∀n > 1.
(c) Mostre que (xn) é decrescente e que (yn) é crescente.
(d) Mostre que (xn) e (yn) convergem, respetivamente, para alguns números x, y com y ≤ x.
(e) Mostre que se tem xy = ab, depois que x = y, e finalmente conclua que
lim
n
xn = lim
n
yn =
√
ab.
12. Vamos mostrar que a série
∑ 1
n2
converge.
(a) Observe que se tem 1n2 ≤ 1(n−1)n , para n ≥ 2.
(b) Use o critério de Leibniz para séries alternadas para concluir que a série com termo geral 1(n−1)n
converge.
(c) Use o critério da comparação para mostrar que
∑ 1
n2
converge.
13. Mostre que as séries convergem:
(a)
∞∑
n=1
1
n2 + 1
(b)
∞∑
n=2
1
(n− 1)2
2 de 3
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Lista 2 (continuação)
(c)
∞∑
n=1
1
n2 − 1
(d)
∞∑
n=1
1
n2 − n
14. Calcule
∞∑
n=1
n
n!
(Sugestão: exercício 9.)
15. Mostre que, sendo a série
∑
u2n convergente, se tem
∑ un
n
convergente.
16. Mostre que a série
∞∑
n=1
nan converge, desde que |a| < 1.
17. Mostre que a série
∞∑
n=1
x
n!
converge, para todo x ∈ R.
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