Lista 2 - Sequências

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UFRJ - Instituto de Matema´tica
Licenciatura em Matema´tica
Ana´lise Real (MAW475)
Prof. Victor Giraldo (victor.giraldo@ufrj.br)
Lista de Exerc´ıcio Extra - Sequeˆncais
1. Em cada um dos ı´tens abaixo, deˆ um exemplo, se poss´ıvel, de uma sequeˆncia (xn) satisfazendo as
condic¸o˜es dadas:
(a) (xn) convergente e na˜o limitada.
(b) (xn) divergente e limitada.
(c) (xn) divergente e com uma subsequeˆncia convergente.
(d) (xn) convergente e com uma subsequeˆncia divergente.
(e) (xn) divergente e com subsequeˆncia limitada.
(f) (xn) divergente a ∞ e com subsequeˆncia convergente.
(g) (xn) divergente a ∞ e com subsequeˆncia limitada.
(h) (xn) limitada e mono´tona.
(i) (xn) mono´tona e divergente.
(j) (xn) limitada, mono´tona e divergente.
(k) (xn) mono´tona e com uma subsequeˆncia na˜o mono´tona.
(l) (xn) na˜o mono´tona e com uma subsequeˆncia mono´tona.
(m) (xn) divergente e com uma subsequeˆncia mono´tona convergente.
(n) (xn) convergente, na˜o mono´tona e com uma subsequeˆncia mono´tona.
(o) (xn) limitada e sem subsequeˆncia convergente.
2. Em cada um dos intens abaixo, encontre n0 ∈ N tal que a distaˆncia entre xn e limxn seja menor
que ε para todo n ≥ n0.
(a) xn =
1
n
ε = 10−3
(b) xn =
(−1)n
n
ε = 10−4
(c) xn =
n− 1
n+ 1
ε = 10−4
(d) xn =
3n2 + 1
1− 2n2
ε = 10−1
(e) xn =
1
2n
ε = 10−5
(f)
xn =
{
1/n para n par
1/n2 para n impar
ε = 10−3
3. Mostre, usando a definic¸a˜o de limite, que lim
n→+∞
1
n
= 0.
4. Mostre, usando a definic¸a˜o de limite, que xn =
{
1/n para n par
1/n2 para n impar
converge a 0.
5. Mostre, usando a definic¸a˜o de limite infinito, que xn =
{
n para n par
n2 para n impar
diverge a +∞.
6. Considere a sequeˆncia: xn =
{
1/n para n par
n para n impar
(a) A sequeˆncia (xn) e´ converge?
(b) Mostre que, para a sequeˆncia (xn), vale a seguinte propriedade:
∀ ε > 0, ∃n0 tal que |xn0 − 0| ≤ ε para uma quantidade infinita de ı´ndices n > n0
(c) A propriedade do item anterior e´ equivalente a` definic¸a˜o formal de limite de sequeˆncias? Jus-
tifique sua resposta.
(d) Demonstre, utilizando corretamente a definic¸a˜o de limite, que xn na˜o converge para 0.