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	Engenharias
Estudos Lógico-Matemáticos IV(notas de aula)
Professor: Manuel Ferreira S.N.
	Semestre/Ano 1/2015
Equações Diferenciais
Introdução
As equações diferenciais são usadas para construir modelos matemáticos de fenômenos físicos tais como na dinâmica de fluidos em mecânica . Deste modo, o estudo de equações diferenciais é um campo extenso na matemática pura e na matemática aplicada.
Equações diferenciais têm propriedades intrinsicamente interessantes tais como:
solução pode existir ou não. 
caso exista, a solução é única ou não. 
As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos.Em nossos estudos, trataremos de equações diferenciais ordinárias.
Exemplo
Equações diferenciais são extremamente importantes para as ciências, pois nos informam como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. A lei mais importante da Física Clássica, a segunda lei de Newton:
é na verdade uma equação diferencial de segunda ordem:
Equações diferenciais fazem parte de nosso dia a dia, mesmo que não nos demos conta disto.
No entanto as equações diferenciais são mais difíceis de resolver do que as equações algébricas comuns. À exceção das equações separáveis, a resolução de cada tipo diferente de equação sem que se conheça a técnica é uma obra homérica. Por isso cada avanço no campo das EDs em geral é creditado a um matemático diferente (a exceção de Leonhard Euler...)
Conceito:
Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n)   é chamada uma equação diferencial de ordem n.
CLASSIFICAÇÃO
EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.
EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.
ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
Exemplos:
	y' = 2x
	tem ordem 1 e grau 1
	y"+x2(y')3 - 40y = 0 
	tem ordem 2 e grau 3
	y"'+x2y3 = x.tanx
	tem ordem 3 e grau 3 
Implícita ou explícita
Quando uma equação diferencial de ordem n tem a forma
é designada equação diferencial implícita, enquanto que a forma
é designada equação diferencial explícita.
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).
Exercício 1:
 Equação diferencial ordinária: = 3x2 - 4x + 1
Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3 (condição inicial). Desenvolva o exercício.
Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.
As soluções se classificam em:
Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC . . .
Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).
Exercício 2: 
Resolva a equação diferencial ordinária, Y’ = 6x + 2 , para C = 5 .
Exercício 3:
Ache a solução geral da equação Y’ = 9x² + 2x e também a solução particular que satisfaz a condição y = 3 se x=0.
Exercício 4 :
Mostre que a equação diferencial y” – 25 y = 0 tem a solução 
Y = C1e5x + C2e-5x para todos os números reais C1 e C2.
Soluções de equações diferenciais expressas implicitamente
Ex 5 :
Mostre que x³ + x²y-2y³ = C é uma solução implícita de (x²-6y²)y’ +3x²+ 2xy = 0
Equações Diferenciais Separáveis (EDO)de Primeira Ordem
Um dos tipos mais simples de equação diferêncial é 
onde M(x) e N(x) são funções contínuas. 
Se f’(x) é contínua , a integração indefinida conduz a 
A última equação é uma solução (implícita) da equação diferencial. A equação diferencialM(x)+N(y)y’ = 0 é separável, pois as varáveis x e y podem ser separadas conforme indicado.
Uma forma fácil de lembrar o método de separação das variáveis consiste em escrever a equação
na forma diferencial 	 e integrar cada termo.
Exercício. 6
Resolva a equação diferencial: 
Exercício 7:
Resolva a equação diferencial 	x ≠ 0.
Exercício 08:
Resolva a equação diferencial
Trajetória Ortogonal
Uma trajetória ortogonal de uma família de curvas é uma curva que intercepta ortogonalmente cada curva da família.
 Para a família y = 2x+b de todas as retas de coeficientes 2, toda reta de coeficiente angular é uma trajetória ortogonal.
Duas famílias de tais curvas, dizem-se mutuamente ortogonais.
A família y = mx de todas as retas pela origem e a família x² + y² = a² de todos os círculos concêntricos do centro na origem são mutuamente ortogonais.
Exercício 9:
Ache as trajetórias ortogonais da família de elipses x² + 3y² = c .
Referencial para o estudo:
Swokowski, Earl w., Cálculo : com geometria analítica 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1995
Sterwart, James, Cálculo / .2v. 5 ed..581 p. :.São Paulo (SP) ; Pioneira Thomson Learning, 2006
Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis,Stephen /Cálculo, 8 ed.-Porto Alegre: Bookman, 2007.2v(680;672 p.):il;