(1) Determine uma representação paramétrica para cada uma das superf́ıcies descritas abaixo. (a) Parte do plano z = x+ 3 que está dentro do cil...

(a) A equação do plano é z = x + 3 e a equação do cilindro é x² + y² = 1. Para encontrar a parte do plano que está dentro do cilindro, podemos substituir x² por 1 - y² na equação do plano, ficando z = 1 + y². Portanto, uma representação paramétrica para essa superfície é: x = rcos(t), y = rsen(t), z = 1 + r²sen²(t), onde 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ t ≤ 2π. (b) A equação do cilindro é y² + z² = 16 e os planos são x = 0 e x = 5. Para encontrar a parte do cilindro que está entre esses planos, podemos usar a equação do cilindro para isolar y² e z², ficando y² = 16 - z² e z² = 16 - y². Substituindo x por 0 e 5, temos as seguintes equações para os planos: y² + z² = 16 e y² + z² = 9. Portanto, uma representação paramétrica para essa superfície é: x = t, y = 4cos(r), z = 4sen(r), onde 0 ≤ t ≤ 5, 0 ≤ r ≤ π/2 e 0 ≤ θ ≤ 2π. (c) Um plano é determinado por um ponto e dois vetores diretores. O ponto é (1, 2, -3) e os vetores são (1, 1, -1) e (1, -1, 1). Podemos usar o produto vetorial desses vetores para encontrar um terceiro vetor que seja perpendicular ao plano, e depois usar o produto misto para encontrar a equação do plano. Portanto, uma representação paramétrica para essa superfície é: x = 1 + t, y = 2 + t, z = -3 + t, onde t é um parâmetro livre. (d) A equação do parabolóide é x = y² + z² e a equação do cilindro é y² + z² = 9. Para encontrar a parte do parabolóide que está dentro do cilindro, podemos substituir y² + z² por 9 na equação do parabolóide, ficando x = 9. Portanto, uma representação paramétrica para essa superfície é: x = 9, y = rcos(t), z = rsen(t), onde 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ t ≤ 2π. (e) A região D é delimitada pela reta 2x + y = 3 e pelos eixos coordenados. Podemos parametrizar essa região usando as coordenadas polares, ficando x = rcos(t), y = rsen(t) e 0 ≤ r ≤ 3sen(t) + 2cos(t). Portanto, uma representação paramétrica para essa superfície é: x = rcos(t), y = rsen(t), z = y³ + ln(x² + y²), onde 0 ≤ r ≤ 3sen(t) + 2cos(t) e 0 ≤ t ≤ π/2. (f) A curva y = 2 + cos(x) pode ser parametrizada como x = t e y = 2 + cos(t), onde -π ≤ t ≤ π. Para rotacionar essa curva ao redor do eixo-x, podemos usar as coordenadas cilíndricas, ficando x = t, y = 2 + cos(t), z = rsen(t). Portanto, uma representação paramétrica para essa superfície é: x = t, y = 2 + cos(t), z = rsen(t), onde -π ≤ t ≤ π e 0 ≤ r ≤ 2 + cos(t). (g) A região E é definida por 0 ≤ y, y ≤ z ≤ √3y. Podemos parametrizar essa região usando as coordenadas cilíndricas, ficando x = rcos(t), y = rsen(t), z = r√3sen(t), onde 0 ≤ r ≤ 2 e 0 ≤ t ≤ π/2. Portanto, uma representação paramétrica para essa superfície é: x = rcos(t), y = 2 + cos(t), z = rsen(t)√3, onde -π ≤ t ≤ π e 0 ≤ r ≤ 2.