matematica financeira

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Universidade Anhanguera – UNIDERP
Centro de educação à distância
Ciências Contábeis
Matemática Financeira
Agnaldo Alves da Silva – RA 359070
Gilsineia Dias Pereira – RA 392154
Gracieli Aparecida Martins – RA 355692
Paloma Alves Siqueira – RA 359085
 
Matemática Financeira: Desenvolvimento do Desafio
Profª. Ivonete Melo de Carvalho,Me
Tutora presencial: Milene Aparecida dos Reis Lord
Várzea da Palma/MG, 22 de Novembro 2013.
Etapa 1
Regime de capitalização simples e composta
 Entende-se por regime de capitalização o processo de formação dos juros e a maneira pela qual estes são incorporados ao capital. Formalmente, tem-se dois regimes básicos de capitalização: o contínuo e o descontínuo. Relativo ao regime de capitalização descontínuo, conforme os juros periodicamente formados rendam também juros, ou não, distingue-se os denominados regimes de capitalização descontínua a juros compostos e a juros simples, doravante denominados capitalização composta e capitalização simples respectivamente.
Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incide, pois, sobre os juros acumulados. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples. 
A taxa de juros incide somente sobre o capital inicial.
Valor dos juros simples é obtido da expressão: J = C x i x n onde:
j   = valor dos juros
C  = valor do capital inicial ou principal
i   = taxa
n  = prazo
M = montante final
 Capitalização composta
A principal característica do regime de capitalização composta, e atualmente é o meio utilizado por todas as instituições financeiras para empréstimos e cobrança de juros e multas por atraso em pagamentos de títulos.
Os juros de cada período são calculados com base no capital inicial (C0), acrescido dos juros relativos aos períodos anteriores, sendo aquele no qual os juros formados ao final do período de capitalização a que se refere a taxa de juros composto.
A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples e para facilitar o entendimento, considerada juros altos.
M = C(1 + i)n
O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida.
"Capitalização" significa, portanto, a incorporação do juro simples no capital, obtendo-se um novo capital (maior que o inicial), o qual vai ser também ele remunerado. Enquanto o juro simples cresce proporcionalmente com o tempo, o juro composto cresce mais do que proporcionalmente com o tempo.
O mundo financeiro, muitas vezes, se apresenta de maneira complexa, por isso, é necessário apresentar o assunto com uma linguagem mais simples: O juros simples, cresce lentamente. Já o composto, acumula mais rápido; de maneira que possamos entender e se familiarizar com o tema.
Calculadora financeira HP 12c
Nossa pretensão é apresentar um estudo prático e objetivo das principais teclas e/ou funções da calculadora financeira HP-12C; desse modo, você aumentará a capacidade de resolução dos cálculos e ganhará em produtividade. 	
Lançada em 1981 pela empresa HEWLETT-PACKARD para execução de cálculos financeiros envolvendo juros composto, taxas de retorno e amortização utilizando método RPN.
Suas teclas com múltiplas funções (duas ou três): a função primária é indicada pelos caracteres impressos em branco, na face plana/principal, como por exemplo, a tecla [n]. As funções alternativas são indicadas pelos caracteres em dourado (acima da tecla, a exemplo da função [AMORT]) e em azul (abaixo da tecla, a exemplo da função [12x]).
Proporcionar maior compreensão sobre a avaliação de situações que envolvam o uso do dinheiro. 
Caso A
Na época em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dívidas impensadas foram
Contraídas. Deslumbrados pelo grande dia usaram de forma impulsiva recursos de
Amigos e créditos pré-aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham
uma conta corrente conjunta há mais de cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo foram pagos em doze vezes de R$ 256,25 sem juros no cartão de crédito. O Buffet contratado cobrou R$ 10.586,00, sendo que 25% deste valor deveriam ser pago no ato da contratação do serviço, e o valor restante deveria ser pago um mês após a contratação. Na época, o casal dispunha do valor da entrada, e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um empréstimo a juros compostos, concedido por um amigo de infância do casal. O empréstimo com condições especiais (prazo e taxa de juros) se deu da seguinte forma: pagamento total de R$ 10.000,00 após dez meses de o valor ser cedido pelo amigo. Os demais serviços que foram contratados para a realização do casamento foram pagos de uma só vez. Para tal pagamento, utilizaram parte do limite de cheque especial de que dispunham na conta corrente, totalizando um valor emprestado de R$ 6.893,17. Na época, a taxa de juros do cheque especial era de 7,81% ao mês. 
Segundo as informações apresentadas, tem-se:
I – O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de
R$ 19.968,17.
P: 12 meses
Parcelas mensal: = R$ 256,25
M = R$ 3075,00
Buffet: 
M= R$10.586,00
Entrada = 25% (25/100 = 0,25)
M= R$ 10.586,00 * 0,25 = R$ 2646,50
(Período p/ 30 dias rest)
10586,00-25%
10586,00 x (1-0,25)
10586,00x0,75= R$ 7939,50 (pagtos 30 dias)
Empréstimo do amigo= R$ 10.000,00
Juros do cheque = 7,81% (7,81% / 100 = 0,0781)
0,0781 / 30 dias = 0,0026% a.a
M= C (1 + i * n)
M =6893,17 (1 + 0,0026 * 10)
M = 6893,17 (1,026)
M = 7072,392
Total de gastos = 3075,00 + 2646,50 + 10.000,00 + 7072,39 = R$ 22793,89
II - A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de
Marcelo e Ana foram de 2,3342% ao mês.
M = R$ 10.000,00
N = 10 meses
I = 2,3342% = 0,023342 
M = C * (1 + i)n
10.000 = C (1 + 0,023342) 10
C = 10.000 = 7939,48
 1,259528468
III – O juro do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias, referente ao
valor emprestado de R$ 6.893,17, foi de R$ 358,91.
J = ?
C = 6893,17
N = 10 dias
i = 7,81% /30= 0,2603
J = C * i * N
J = 6893,17 * 0,002603* 10
J = 179,43
Caso B
Marcelo e Ana pagariam mais juros se, em vez de utilizar o cheque especial
disponibilizado pelo banco no pagamento de R$ 6.893,17, o casal tivesse optado por emprestar de seu amigo a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização.
C = 6893,17
i = 7,81%
N = 10 dias
M = C * (1 + i)n
M = 6893,17 * (1 + 0,0781) 1
M = 6893,17 * 1,0781
M = 7431,52
Valo real= 7431,52-6893,17 = 538,35 /30 = 17,945 * 10 dias= 179,45
Juros com o amigo R$ 179,45
Juros com o banco R$ 179,43
Para o desafio do Caso A: Associar o número 3, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: errada, certa e errada.
Para o desafio do Caso B: Associar o número 5, se a afirmação estiver certa.
Etapa 2
Pagamentos Uniformes
É a série que exibe o retorno do capital através de pagamentos iguais em intervalos de tempo constantes. É bem ilustrada nas situações de empréstimo ou aquisições de bens.
De um modo geral uma série de pagamentos é dita uniforme, quando as quantias têm o mesmo valor e estão igualmente distribuídas no tempo.  A sequencia de pagamentos uniformes pode assumir duas formas: a de pagamento postecipado e a de pagamento antecipado. Quando a série de pagamentos (ou recebimentos) se inicia um período após a data zero, o fluxo recebe o nome de POSTECIPADO. Quando o início dos pagamentos ou recebimentos ocorre na data zero, o fluxo recebe o nome de ANTECIPADO. 
Caso A
Marcelo adora assistir a bons filmes e quer comprar uma TV HD 3D, para ver seus
títulos prediletos em casa como se estivesse numa sala de cinema. Ele sabe exatamente as características doaparelho que deseja comprar, porque já pesquisou na internet e em algumas lojas de sua cidade. Na maior parte das lojas, a TV cobiçada está anunciada por R$ 4.800,00. No passado, Marcelo compraria a TV em doze parcelas “sem juros” de R$ 400,00, no cartão de crédito, por impulso e sem o cuidado de um planejamento financeiro necessário antes de qualquer compra. Hoje, com sua consciência financeira evoluída, traçou um plano de investimento: durante 12 meses, aplicará R$ 350,00 mensais na caderneta de poupança. Como a aplicação renderá juros de R$ 120,00 acumulados nesses dozes meses, ao fim de um ano, Marcelo terá juntado R$ 4.320,00. Passado o período de 12 meses e fazendo uma nova pesquisa em diversas lojas, ele encontra o aparelho que deseja, última peça (mas na caixa e com nota fiscal), com desconto de 10% para pagamento à vista em relação ao valor orçado inicialmente. Com o planejamento financeiro, Marcelo conseguiu multiplicar seu dinheiro. Com o valor exato desse dinheiro extra que Marcelo salvou no orçamento, ele conseguiu comprar também um novo aparelho de DVD/Blu-ray juntamente com a TV, para complementar seu “cinema em casa”.
De acordo com a compra de Marcelo, têm-se as seguintes informações:
I – O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$ 600,00
TV = 12 x 400,00 = 4800,00
Poupança = 12 x 350,00= 4200,00 ( juros acumulados 120,00) = 4320,00
Montante = 4320,00
Desconto = 10% a vista (4800,00 - 10% = 4320,00)
Opinião da equipe;
Marcelo não dispunha de nenhum capital, por isso a princípio comprar a TV no cartão sem juros seria a melhor opção. Porém esperar um ano traria o benefício do desconto de 10% à vista. Ao invés de pagar R$ 4800,00 na TV ele pagou R$ 4320,00, que ele acumulou na caderneta de poupança. Isso não significa que o dinheiro que ele tinha na poupança deu pra comprar o DVD, pois foi a conta de comprar a TV. Na verdade ele teve uma economia de R$ 480,00, caso tivesse comprado no cartão, seria o valor que teria pago a mais.
II – A taxa média da poupança nestes 12 meses em que Marcelo aplicou seu
dinheiro foi de 0,5107% ao mês.
M = C * (1 + i)n
4320 = 350 (1 + i) 12
(1 + i) 12 = 4320
 350
1 + i = 12 4320
 350
 i = 124320 - 1
 350
i = 0,2329
O valor de 0,2329 corresponde ao valor da taxa de juros na sua forma decimal. Para transformá-lo em porcentagem, temos que multiplicá-lo por cem. 
Caso B
A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana à sua irmã Clara, para ser
liquidada em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe-se que a taxa de juros compostos que ambas combinaram é de 2,8% ao mês.
A respeito deste empréstimo, tem-se:
I – Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mês da
concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de
R$ 2.977,99.
PMT = ?
VP= 30.000,00
i = 2,8% ao mês / 100 = 0,028
n= 12 meses
30.000 = PMT.[ (1+0,028) 12 -1 ]
		 (1+0,028) 12 * 0,028
30.000 = PMT* 7,897935811
PMT = 30.000 / 7,897935811
PMT = 3798,46
Resposta: O valor da 1º prestação seria 3798,46 e não 2977,99 resposta errada
II - Clara, optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia
em que se der a concessão do crédito, o valor de cada prestação devida
por ela será de R$ 2.896,88
30.000 = PMT(1+0,028) .[ (1+0,028) 12 -1 ]
		 (1+0,028) 12 * 0,028
30.000 = PMT(1+0,028)*( 7,897935811)
 PMT	= 30.000 / 8,119078014 
PMT= 3695,00
	
III – Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após quatro
meses da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela
será de R$ 3.253,21.					
 
30000 = PMT [ (1 + 0,028) 4 - 1]
	 0,028
30000 = PMT [1,116792423 -1]
	 0,028
PMT = 30000/4,171157952
PMT = 7192,25
Associar o número 2, se as afirmações I e II estiverem respectivamente: errada e errada.
Associar o número 1, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: errada, errada e errada.
 Etapa 3 
Taxa a Juros compostos
Juros compostos são os juros de um determinado período somados ao capital para o cálculo de novos juros nos períodos seguintes. É o que chamamos de juros sobre juros. O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. A fórmula de juros compostos pode ser escrita através da remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro, e, o valor da dívida é sempre corrigida e a taxa de juros é calculada sobre esse valor. Juros simples é usado em casos de operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. Juros compostos são usados na maioria das operações quando envolve dinheiro, como: Compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa. 
 A taxa de juros é o instrumento utilizado pelo BC (Banco Central) para manter a inflação sob controle ou para estimular a economia. Se os juros caem muito, a população tem maior acesso ao crédito e consome mais. Este aumento da demanda pode pressionar os preços caso a indústria não esteja preparada para atender um consumo maior. Por outro lado, se os juros sobem, a autoridade monetária inibe consumo e investimento, que ficam mais caros, a economia desacelera e evita-se que os preços subam, ou seja, que haja inflação.
Com a redução da taxa básica de juros (Selic), o BC também diminui a atratividade das aplicações em títulos da dívida pública. Assim, começa a "sobrar" um pouco mais de dinheiro no mercado financeiro para viabilizar investimentos que tenham retorno maior que o pago pelo governo. Quando o juro sobe, acontece o inverso. O investimento em dívida suga absorve o dinheiro que serviria para financiar o setor produtivo.
SELIC
Selic é a sigla para Sistema Especial de Liquidação e Custódia, criado em 1979 pelo Banco Central e pela Anbima (Associação Brasileira das Entidades dos Mercados Financeiros e de Capitais) para tornar mais transparente e segura a negociação de títulos públicos. A Selic é um sistema eletrônico que permite a atualização diária das posições das instituições financeiras, assegurando maior controle sobre as reservas bancárias.
COPOM
O Copom foi instituído em junho de 1996 para estabelecer as diretrizes da política monetária e definir a taxa de juros. O colegiado é composto pelo presidente do Banco Central, e os diretores de Política Monetária, Política Econômica, Estudos Especiais, Assuntos Internacionais, Normas e Organização do Sistema Financeiro, Fiscalização, Liquidações e Desestatização, e Administração.
Caso A
Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em um fundo de investimento.
A aplicação de R$ 4.280,87 proporcionou um rendimento de R$ 2.200,89 no final de 1.389 dias.
A respeito desta aplicação tem-se:
I – A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%.
i =?
M = 6481,77
C = 4280,87
n = 1389
M = C * (1 + i)n 	= 
6481,76 = 4280,87*(1+i) 1389
(1+i) 1389 = 6481,76 
	4280,87
1+i = 1389( 6481,76/ 4280,87) 
i = 1389( 6481,76/ 4280,87) -1
i = 2,987025 *100 = 0,029870025 %
 
II – A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%.
6481,76 = 4280,87*(1+i) 30
(1+i) 30 = 6481,76 
	4280,87
1+i = 30( 6481,76/ 4280,87) 
i = 30( 6481,76/ 4280,87) -1
i = 0,013923907 x 100 
i = 1,392390768 %
III – A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano,
capitalizada mensalmente, é de 11,3509%.
 
Tx efetiva = 10,8% / 12 meses = 0,90% a.m
Caso B
Nos últimos dez anos, o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação,
nesse mesmo período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do
salário de Ana foi de –43,0937%.
Taxa nominal = 25,78% = (1+In)
taxa de juros real = ?    = (1+ Ir)
taxa inflação = 121,03% = (1+Ij)
fórmula => (1+In) = (1+ir).(1+Ij) logo:
(1+25,78/100) = (1+Ir).(1+121,03/100)
(1+0,2578) = (1+Ir).(1+1,2103)(1+Ir) = 1,2578 / 2,2103
(1+Ir) = 0,569063023
Ir = 0,569063023 - 1
Ir= - 0,430936977 logo Ir= - 0,430936977 .100 = - 43,0937%.
Associar o número 3, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, errada e errada.
Associar o número 0, se a afirmação estiver certa
Etapa 4
Amortização de empréstimos
De forma geral, os planos de amortização se diferenciam na forma de restituição do principal (valor do empréstimo) e no pagamento dos juros. Primeiro pagar juros mensais e valor do principal no final da ultima parcela ou pagar juros mensais e o valor do principal também em parcela mensais. Cada prestação de um plano de empréstimo será formado pela soma da amortização mais juros. Segundo, o valor dos juros em cada prestação, obtido a partir de uma determinada taxa, é calculado sobre o saldo devedor do empréstimo no início do período que se está pagando. 
Nos sistemas de amortização de empréstimos a longo prazo, regra geral, os juros são sempre cobrados sobre o saldo devedor, o que significa considerar apenas o regime de juro composto. Desse modo, o não-pagamento de uma prestação, isto é, o não-pagamento do juro em um dado período redunda em um saldo devedor maior, já que está sendo calculado juro sobre juro.
Caso A
Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se
daria pelo SAC (Sistema de Amortização Constante), o valor da 10ª prestação seria de R$ 2.780,00, e o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$5.000,00.
Empréstimo: 30.000,00
Taxas juros: 0,028
Quant Prest: 12
Amortização: 30.000 / 12 = 2.500,00
	Tabela Sistema de Amortização Constante 
	n
	 Saldo devedor 
	 Prestação
	 Juros 
	 Amortização. 
	0
	 R$ 30.000,00 
	 *** 
	 *** 
	 *** 
	1
	 R$ 27.500,00 
	 R$ 3.340,00 
	 R$ 840,00 
	 R$ 2.500,00 
	2
	 R$ 25.000,00 
	 R$ 3.270,00 
	 R$ 770,00 
	 R$ 2.500,00 
	3
	 R$ 22.500,00 
	 R$ 3.200,00 
	 R$ 700,00 
	 R$ 2.500,00 
	4
	 R$ 20.000,00 
	 R$ 3.130,00 
	 R$ 630,00 
	 R$ 2.500,00 
	5
	 R$ 17.500,00 
	 R$ 3.060,00 
	 R$ 560,00 
	 R$ 2.500,00 
	6
	 R$ 15.000,00 
	 R$ 2.990,00 
	 R$ 490,00 
	 R$ 2.500,00 
	7
	 R$ 12.500,00 
	 R$ 2.920,00 
	 R$ 420,00 
	 R$ 2.500,00 
	8
	 R$ 10.000,00 
	 R$ 2.850,00 
	 R$ 350,00 
	 R$ 2.500,00 
	9
	 R$ 7.500,00 
	 R$ 2.780,00 
	 R$ 280,00 
	 R$ 2.500,00 
	10
	 R$ 5.000,00 
	 R$ 2.710,00 
	 R$ 210,00 
	 R$ 2.500,00 
	11
	 R$ 2.500,00 
	 R$ 2.640,00 
	 R$ 140,00 
	 R$ 2.500,00 
	12
	 R$ - 
	 R$ 2.570,00 
	 R$ 70,00 
	 R$ 2.500,00 
	
	
	
	
	
Caso B
Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se
daria pelo sistema PRICE (Sistema Frances de Amortização), o valor da amortização para o 7º período seria de R$ 2.780,00, o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$ 2.322,66, e o valor do juro correspondente ao próximo período seria de R$ 718,60.
	Sistema Frances de Amortização
	Valor principal
	30.000,00
	
	N° parcelas
	12
	Taxa de juros
	2,80%
	
	IOF
	1%
	
	
	
	
	
	
	N
	 Prestação 
	 Juros 
	IOF 
	Amortização 
	 Sald. Devedor 
	0
	R$ 357,36
	
	 R$ 357,36 
	
	R$ 30.000,00
	1
	R$ 2.977,99
	R$ 840,00
	 
	R$ 2.137,99
	R$ 27.862,01
	2
	R$ 2.977,99
	R$ 780,14
	 
	R$ 2.197,86
	R$ 25.664,15
	3
	R$ 2.977,99
	R$ 718,60
	 
	R$ 2.259,40
	R$ 23.404,75
	4
	R$ 2.977,99
	R$ 655,33
	 
	R$ 2.322,66
	R$ 21.082,09
	5
	R$ 2.977,99
	R$ 590,30
	 
	R$ 2.387,69
	R$ 18.694,40
	6
	R$ 2.977,99
	R$ 523,44
	 
	R$ 2.454,55
	R$ 16.239,85
	7
	R$ 2.977,99
	R$ 454,72
	 
	R$ 2.523,28
	R$ 13.716,57
	8
	R$ 2.977,99
	R$ 384,06
	 
	R$ 2.593,93
	R$ 11.122,64
	9
	R$ 2.977,99
	R$ 311,43
	 
	R$ 2.666,56
	R$ 8.456,08
	10
	R$ 2.977,99
	R$ 236,77
	 
	R$ 2.741,22
	R$ 5.714,86
	11
	R$ 2.977,99
	R$ 160,02
	 
	R$ 2.817,98
	R$ 2.896,88
	12
	R$ 2.977,99
	R$ 81,11
	 
	R$ 2.896,88
	-R$ 0,00
	
	SOMATORIO
	R$ 5.735,92
	
	
	
Associar o número 3, se a afirmação estiver errada.
Associar o número 1, se a afirmação estiver errada.
O valor encontrado proposto pelo desafio é 352.130.31, valor aproximado que será gasto por Marcelo e Ana para que a vida de seu filho seja bem assistida.
Referencias Bibliográficas:
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education, 2009.
http://www.youtube.com/watch?v=1-TJxYaB5gg
http://www.youtube.com/watch?v=nZ6g5ELEzOk
http://www.youtube.com/watch?v=_Xa9jFhA1o0