Aula Satélite 6 Estatística

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ESTATÍSTICA
Prof.	Ademar Ramos
OBJETIVOS
FENÔMENOS ALEATÓRIOS ;
ESPAÇO AMOSTRAL;
EVENTOS;
PROBABILIDADE;
PROPRIEDADES;
EXERCÍCIOS.
Os fenômenos podem ser determinísticos ou 
aleatórios.
 i) fenômenos determinísticos são aqueles que sempre conduzem a um mesmo resultado, quando as condições iniciais são as mesmas.
 Exemplos :
 ii) fenômenos aleatórios ( ou casuais ) são aqueles , que embora sejam repetidos muitas vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. 
 Por exemplo:
 a) O lançamento de um dado perfeito ;
 b) número de peças defeituosas fabricadas por uma máquina;
 c) resultado de um jogo da loteria;
 
 d) número de pessoas que ganharão na loto;
 e) número de chamadas telefônicas que serão efetuadas numa cidade, no dia das mães.
 
 Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis, as chances, as probabilidades de um determinado resultado ocorrer.
 
 
A teoria das probabilidades é um ramo da Matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
 
Em um experimento ( ou fenômeno ) aleatório, o conjunto 
 formado por todos os resultados possíveis é chamado espaço 
 amostral ( S ).
 Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento.
 
 
 Vamos analisar a seguir alguns exemplos de fenômenos 
 ( ou experimentos ) aleatórios:
 
1º) Lançamento de um dado e registro do resultado.
 Conjunto de todos os resultados possíveis: 
 S = {1,2,3,4,5,6} é o espaço amostral
 
 evento A: “ocorrer número ímpar no lançamento de um dado” 
 A = {1,3,5}
 
 2º) Lançamento de uma moeda e registro do resultado. 
 Conjunto de todos os resultados possíveis { k , c }
  
 k – cara e c – coroa
 
 espaço amostral E = { c , k }
 evento A: “ocorrer cara no lançamento” A = { k }
 
 3º) Lançamento de duas moedas e registro do resultado.
 
 Conjunto de todos os resultados possíveis: { ( k, k ), ( k, c),( c , k ), ( c, c ) }
 espaço amostral S = { ( K, K ), ( K, C), ( C, K), ( K, K ) }
 C : “ocorrer pelo menos uma coroa no lançamento” .
 
 
 evento C: “ocorrer pelo menos uma coroa no lançamento”
 C = { ( k, c), ( c, k), ( c, c ) }
 
 
 
EVENTO CERTO, IMPOSSÍVEL 
 
 No experimento aleatório ”lançar um dado e registrar o resultado”, temos:
 
 espaço amostral : S = {1,2,3,4,5,6}
 evento A: “ocorrência de um número menor que 7 e 
 
 maior que 0” 
 A= {1,2,3,4,5,6} = S
 
 Portanto A é o evento certo
 evento B: “ocorrência de um número maior que 6” não existe número
 maior que 6 no dado
 
 Portanto, B = { } .
 
 
 Quando um evento é vazio, ele é chamado evento impossível.
 
 
União de eventos, intersecção de eventos e complementares de um evento
 Operações com Eventos
 Como eventos são conjuntos, podemos usar as operações de conjuntos para os eventos.
 Assim:
 i)
 ii)
 iii)
 iv) 
 
União de eventos ( ) 
  Consideremos, no exemplo do lançamento de um 
 dado , os eventos:
 
 A: “ocorrência de número par A”
 A = { 2, 4, 6 }
 B : “ocorrência de número maior que 2” 
 B = { 3, 4, 5, 6 }
 C : “ocorrência de número par ou número múltiplo de 3”
 C = A B = {2,4,6} {3,4,5,6} = {2,3,4,5,6 } ( união de eventos)
Intersecção de eventos ( ) 
 
 F : “ocorrência de face par e maior que dois”
 A: “ocorrência de número par A” , A = { 2, 4, 6 }
 B : “ocorrência de número maior que 2” , B = { 3, 4, 5, 6 }
 
 F = A B ={ 2,4,6 } {3,4,5,6 }= {4,6 }( intersecção de eventos )
 Obs.:
 Os elementos 4 e 6 estão simultaneamente nos dois eventos.
 
 
 
 
 
 
Complementares de um evento ( ) 
 G = { 1,3,5} ( Esse evento é o complementar de A em relação ao espaço amostral S)
  
 Portanto, o evento A = { 2,4, 6} e o evento G = { 1 , 3 , 5 }
 são chamados eventos complementares. 
 Observe que A G= { }.
 Então, podemos representar o complementar de A com = { 1,3,5 }
 
 Quando a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio, eles são chamados eventos mutuamente exclusivos.
 Observe que A G = { } , portanto eles são mutuamente 
exclusivos. 
 Agora, A = { 2, 4, 6 } e B = { 3,4,5,6 } , não são mutuamente 
 exclusivos, pois A B = { 4, 6} , portanto diferente de vazio.
 
 
 
Diferença entre conjuntos ( A – B )
 A : “ocorrência de número par A” , A = { 2, 4, 6 }
 B : “ocorrência de número maior que 2” , B = { 3, 4, 5, 6 }
 Podemos representar a ocorrência do evento A mas não B :
 
 A – B = { 2 }
 Podemos representar a ocorrência do evento B mas não A:
 B – A = { 3 , 5 }
PROBABILIDADE
Quando num dado fenômeno ( ou experimento ) aleatórios, com espaço amostral finito, consideramos que todo evento elementar tem a mesma “chance” de ocorrer ( o espaço é equiprovável), a probabilidade de ocorrer um evento A, indicada por p( A ), é um número que mede essa chance e é dado por:
 
 
Isso significa que a probabilidade pode assumir valores de 0 a 1.
 Quando P(A) = 0, o evento A é o evento impossível; não há 
 possibilidade de que ele venha a ocorrer.
 Quando P(A) = 1 , o evento A é o evento certo, e há certeza de 
 que ele ocorrerá.
PROPRIEDADES
 1ª) propriedade: impossibilidade ou p ( { } ) = 0 ;
 
 
 2ª) propriedade: Probabilidade do evento complementar;
 
  P ( ) = 1 - P ( A )
 3ª) propriedade: Probabilidade da união de dois eventos;
 
 
EXERCÍCIOS
Considere o espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10} e 
 os seguintes eventos :
 A = { 2,3,4 } , B = {1,3,5,7,9} , C = { 5 } , D = {1,2,3} , E = { 2,4,6}
Determine:
 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)
 Solução:
a) 
b) 
EXERCÍCIOS
 
 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,10} e 
 
A = { 2,3,4 } , B = {1,3,5,7,9} , C = { 5 } , D = {1,2,3} , E = { 2,4,6}
 Solução: 
c) = {1 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 } 
d) = { 2 , 4, 6 , 8 , 10} 
e) = {6,8,10} 
 
 f) { 1,2,4,5,6,7,8,9} 
 
 
Exercícios
 2) Qual a probabilidade de obter o número 2 na face superior do 
 dado?
 evento favorável A = { 2 }
 número de elementos favoráveis do evento favoráveis:
 n ( A ) = 1
 espaço amostral S = { 1, 2 , 3 , 4, 5 , 6 }
 número de elementos do espaço amostral : n ( S ) = 6
 
 3) Qual a probabilidade de obter o número 8 na face superior do dado?
 Solução:
 
 espaço amostral: S = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 } ;
 evento favorável : A = { } ;
 número de elementos do evento favorável : n( A ) = 0 ;
 
 número de elementos do espaço amostral : n ( S ) = 6 ;
 
4) No lançamento de dois dados perfeitos, qual é a probabilidade 
de se obter :
 a) soma 8 ou números iguais nas faces superiores. 
 b) a soma das faces ser maior que dez.
 
Solução:
 Vamos determinar o espaço amostral :
 Como são dois dados, vamos chamar o primeiro dado de 
 e o segundo dee o seu espaço amostral : S = { (1,1) , (1, 2) , (1, 3) , ... , ( 6,6) }
 
Ou então :
a) Soma 8 : A = { (2,6) , (3,5 ), ( 4,4 ), ( 5,3) , (6,2)} 
Nºs iguais nas faces: B = { ( 1,1) , (2,2) , (3,3), (4,4), (5,5) , (6,6) }
A B = {(1,1) ,(2,2), (2,6), (3,3) ,(3,5), (4,4) ,(5,3), (5,5) ,(6,2), (6,6) }
 O número de elementos do evento favorável :
e o número de elementos do espaço amostral:
 
 
 b) a soma das faces ser maior que dez.
 Vamos chamar esse evento de evento B, logo ;
 B = { (5,6) , ( 6,5 ) , ( 6, 6 ) }
 então : 
 
5) Se A e B , são eventos de um mesmo espaço amostral e p(A) = 0,25 e p(B) = 0,5, e p( A B ) = 0,1 ; 
determine:
p ( ) = ? ; b) p( ) = ? ; c ) p( ) = ? ;
d) p ( ) = ? ; P ( A – B ) = ? . 
Solução :
a) 0,25 + 0,5 – 0,1= 0,65 
p(A) = 0,25 ; p(B) = 0,5 ; p( A B ) = 0,1 ; 
p ( ) = 0,65 
b) p( ) = ? , sabemos que para qualquer evento, temos:
 p( ) + p ( ) = 1 então:
 
 p( ) + 0,65 = 1 , logo p ( ) = 1 – 0,65
 p ( ) = 0,35
 
 
 
 p(A) = 0,25 e p(B) = 0,5, e p( A B ) = 0,1 ; 
 c ) p( ) = ? ; p ( ) + p ( ) = 1
 p ( ) + 0,25 = 1
 
 p ( ) = 1 – 0,25 = 0,75 
 
d) p ( ) = ? ; p ( ) + p ( B ) = 1
 p ( ) + 0,5 = 1 
 p ( ) = 1 – 0,5 = 0,5
 
p(A) = 0,25 e p(B) = 0,5, e p( A B ) = 0,1 ; 
p ( A – B ) = ?
p( A – B ) = p ( A ) – p ( A B ) 
p ( A – B ) = 0,25 – 0,1 = 0,15. 
 
6) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos e p(A) = 0,4 e 
p(B) = 0,2 ; determine:
p ( ) = ? ; b) p ( ) = ? ; c) p ( ) = ? 
 d) p ( ) = ? p ( A – B ) = ?
Solução: 
a)
 
p(A) = 0,4 ; p(B) = 0,2 ; p( A B ) = 0 ; 
p ( ) = 0,6 
b) p( ) = ? , sabemos que para qualquer evento, temos:
 p( ) + p ( ) = 1 então:
 
 p( ) + 0,6 = 1 , logo p ( ) = 1 – 0,6
 p ( ) = 0,4
 
 
 
 p(A) = 0,4 e p(B) = 0,2 , e p( A B ) = 0 ; 
 c ) p( ) = ? ; p ( ) + p ( ) = 1
 p ( ) + 0,4 = 1
 
 p ( ) = 1 – 0,4 = 0,6 
 
d) p ( ) = ? ; p ( ) + p ( B ) = 1
 p ( ) + 0,2 = 1 
 p ( ) = 1 – 0,2 = 0,8
 
p(A) = 0,4 e p(B) = 0,2, e p( A B ) = 0 ; 
p ( A – B ) = ?
p( A – B ) = p ( A ) – p ( A B ) 
p ( A – B ) = 0,4 – 0 = 0,4. 
 
7) Uma caixa contém 30 peças defeituosas em um total de 50 peças. Qual é a probabilidade de se selecionar ao acaso uma peça não defeituosa desta caixa?
 Solução :
 , n( A ) = 30
 , n ( ) = 20
 
 
 
 
8) Numa classe há 16 homens e 20 mulheres, sendo que metade dos homens e metade das mulheres têm cabelos castanhos. Ao escolher um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de que seja homem ou tenha cabelos castanhos?
 Solução:
 homem H ; mulher M ; cabelos castanhos C
 n( H ) = 16 ; n( M) = 20 ; n ( C ) = 18 ; p( A B ) = ?
P ( A B ) = 
 
8) Numa enquete foram entrevistados 100 estudantes. Setenta deles responderam que frequentavam um curso de microcomputadores, 28 respoderam que frequentavam um curso de inglês e 10 responderam que frequentavam ambos, microcomputadores e inglês.
 Qual é a probabilidade de um desses estudantes, selecionado ao acaso:
 a) estar frequentando somente o curso de microcomputadores ?
 b) não está frequentando nenhum desses cursos?
 
 Solução:
 inglês I ; microcompudadores M 
 n(M)= 70 ; n(I) = 28 ; n ( M I) = 10
a) A : “estar frequentando somente o curso de microcomputadores”
 p ( A ) = 
b) B : “não estar frequentando nenhum desses cursos”
P ( B ) = 
 
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