GeometriaBasica Aula8 Volume1

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Teorema de Tales
MO´DULO 1 - AULA 8
Aula 8 – Teorema de Tales
Objetivos
• Apresentar o Teorema de Tales.
• Preparar o estudo de semelhanc¸a de triaˆngulos.
Introduc¸a˜o
O objetivo central desta Aula 8 e´ provar o Teorema de Tales. Pela
primeira vez neste curso aparece uma ide´ia nova envolvida nos argumentos
te´cnicos que usaremos para a prova desse Teorema. E´ a ide´ia de limite ou
convergeˆncia de nu´meros reais. Pela sua importaˆncia na matema´tica, e pelo
papel fundamental que representam, estas ide´ias deveriam ser estudadas e
maturadas desde o jardim de infaˆncia. Pode-se dizer que grande parte da
Matema´tica trata de conjuntos, estruturas nos conjuntos e func¸o˜es entre
conjuntos que preservam estas estruturas. A abordagem que expressa estes
assuntos e´ a convergeˆncia e o limite.
Mas voltemos ao nosso cha˜o de fa´brica, nossa pedreira, apo´s estas di-
vagac¸o˜es.
Nota:
No texto, desta aula,
estamos usando notac¸o˜es do
tipo AB = 2 para significar
que a medida do segmento
AB e´ 2. Isto e´ estamos
substituindo a notac¸a˜o mais
pesada m(AB) = 2. Do
mesmo modo escrevemos
DM = MN para expressar
que os segmentos tem a
mesma medida.
Como tudo em matema´tica, para chegar ao nosso objetivo temos toda
uma sequ¨eˆncia de tijolinhos ou cap´ıtulos a serem preenchidos, preparados,
ate´ o ato final, que e´ a prova do Teorema. Por isso, Matema´tica na˜o e´
como novelas de televisa˜o: se voceˆ perde um cap´ıtulo, possivelmente perde a
conexa˜o com a trama e pode correr o risco de torcer pelo vila˜o!
Vamos ao nosso primeiro tijolinho. Nesta proposic¸a˜o e nas seguintes, as
propriedades que conhecemos sobre paralelogramos sera˜o muito utilizadas.
Proposic¸a˜o 16
Sejam treˆs retas paralelas m,n e r cortadas por retas transversais s e t. Sejam
A, B, C e E, F, G os pontos de intersec¸a˜o de s e t, respectivamente, com as
retas m,n e r. Se AB = BC enta˜o EF = FG (veja figura 141).
ts
A
B
C
E
F
G
m
n
r
Fig. 141:
95 CEDERJ
Teorema de Tales
Prova:
Se t e´ paralela a s na˜o precisamos provar nada, porque nesta situac¸a˜o
ABFE e BCGF seriam paralelogramos (lados opostos paralelos). Isto ga-
rantiria que AB = EF e BC = FG. Como AB = BC, todos os segmentos
seriam iguais. Em particular BC = FG.
Vamos supor enta˜o que t na˜o e´ paralela a s. Construimos pelos pontos
E e F as retas t1 e t2, respectivamente, ambas paralelas a s. Veja a figura
142.
ts
A
B
C
E
F
G
m
n
r
H
I
L
t1 t2
Fig. 142:
H, I e F,L sa˜o os pontos de intersec¸a˜o de t1 e t2 com n e r, respectiva-
mente.
A conclusa˜o agora e´ consequ¨eˆncia direta da seguinte congrueˆncia de
triaˆngulos:
EHF ≡ FLG
Antes de continuar, interrompa a leitura, examine a figura 142 com
suas propriedades, pegue um papel para rascunho e tente antecipadamente
responder a duas questo˜es:
- Qual caso de congrueˆncia garante EHF ≡ FLG?
- Por que a congrueˆncia encerra a prova da proposic¸a˜o?
Insista numa resposta sua... encontrou alguma pista... use propriedades
de paralelas e transversais... releia os argumentos ate´ aqui desenvolvidos...
lute um pouco com as duas questo˜es propostas... se passaram 15 minutos e
voceˆ na˜o avanc¸ou venha conosco no caminho da resposta!
A congrueˆncia EHF ≡ FLG e´ garantida pelo caso A.L.A.
De fato, ABHE e´ paralelogramo (lados paralelos) e enta˜o AB = HE.
Tambe´m BCIH e HILF sa˜o paralelogramos e enta˜o BC = HI = FL.
Conclusa˜o: O lado L que aparece no caso A.L.A. esta´ garantido, pois
EH = FL
CEDERJ 96
Teorema de Tales
MO´DULO 1 - AULA 8
Tambe´m, usando n e r como paralelas e t como transversal encontramos que
ˆFGL = ˆEFH (aˆngulos correspondentes)
Tambe´m, usando t1 e t2 como paralelas e t como transversal encontramos
que
ˆLFG = ˆHEF (aˆngulos correspondentes).
Ora, a soma dos aˆngulos internos de um triaˆngulo e´ 180◦. Com dois aˆngulos
coincidindo em medidas, o terceiro tambe´m coincidira´. Isto e´,
EHˆF = FLˆG.
Portanto a congrueˆncia vale pelo caso A.L.A.
Esta´ respondida a primeira questa˜o.
Vamos a` segunda questa˜o: por que a congrueˆncia EHF ≡ FLG encerra
a prova? Pedimos que voceˆ leia o enunciado da proposic¸a˜o de novo para ver
que a conclusa˜o salta aos olhos!
Ora EHF ≡ FLG⇒ EF = FG, onde quer´ıamos chegar.
�
Vamos agora explorar o resultado que acabamos de provar para tirarmos
uma importante consequeˆncia.
- Voceˆ sabe o que e´ um feixe de paralelas no plano?
Um feixe de paralelas e´ um conjunto de retas do plano onde quaisquer
duas delas sa˜o paralelas. O conjunto de retas formando o feixe deve possuir
no mı´nimo duas retas, podendo ter um nu´mero finito ou mesmo infinito de
retas.
Na figura 143 abaixo representamos um feixe de paralelas com 5 retas.
Fig. 143: .
Estamos em condic¸a˜o de enunciar um resultado que e´ consequ¨eˆncia
direta da Proposic¸a˜o 16.
97 CEDERJ
Teorema de Tales
Corola´rio 1
Considere um feixe de paralelas no plano, contendo um nu´mero finito de
retas e duas retas transversais s e t intersectando o feixe. Se a transversal s
determina segmentos consecutivos de mesmo comprimento, o mesmo ocorrera´
com os segmentos consecutivos determinados no feixe pela reta transversal t.
Corola´rio: E´ uma proposic¸a˜o
obtida como consequ¨eˆncia
direta de outra proposic¸a˜o
Prova:
Na figura 144, representamos um feixe com 4 retas. Vamos provar o
resultado neste caso.
ts
E
F
G
m
n
rA
B
C
pD H
Fig. 144: .
O enunciado garante que AB = BC = CD e pede para provar que
EF = FG = GH.
E´ evidente que o resultado e´ verdadeiro, basta usar a proposic¸a˜o 16
duas vezes. Primeiro, considerando as retas r,m e n para concluir que
AB = BC ⇒ EF = FG;
e em seguida usar as retas m,n e p, para concluir que e´ verdadeira a seguinte
implicac¸a˜o:
BC = CD ⇒ FG = GH.
- Voceˆ ja´ percebeu que chegamos, na˜o?
A partir de agora talvez estejamos malhando em ferro frio, tudo esta´
dito e mais nada se acrescenta. Mas vamos la´!
As duas concluso˜es acima reunidas mostram que
AB = BC = CD ⇒ EF = FG = GH.
Apesar da prova ter sido feita para um feixe com 4 retas, e´ evidente
que vale para 52 ou 52 milho˜es de retas, ou um nu´mero qualquer n ∈ N de
retas.
CEDERJ 98
Teorema de Tales
MO´DULO 1 - AULA 8
Mais uma vez, recordamos que nosso objetivo central nesta aula e´ pro-
var o Teorema de Tales (se tiver curiosidade leia o enunciado no texto adi-
ante). E´ um resultado muito importante, ferramenta de primeira linha, que
abre muita portas. No entanto quero convidar voceˆ a refletir sobre um argu-
mento crucial que aparecera´ na prova do Teorema de Tales.
Em primeiro lugar considere on nu´meros naturais N = {0, 1, 2, ...}, os
quais podem ser representados sobre a parte positiva da reta real R. A reta
R e´ onde representamos todos os nu´meros reais. veja figura 145 .
0 1 2 n n+1
x
R
Fig. 145:
Na parte positiva da reta real R, esta˜o localizados todos os nu´meros
reais positivos.
Temos a seguinte propriedade: “dado um nu´mero real x > 0, existe um
nu´mero natural n, tal que n > x ”.
Esta propriedade e´ chamada de “Princ´ıpio Arquimediano” em home-
nagem ao grande matema´tico e engenheiro grego Arquimedes (se´c IV a.C.)
Usando o Princ´ıpio Arquimediano como base, pec¸o para voceˆ pensar
sobre a seguinte pergunta.
Considere um nu´mero real B que possui duas propriedades:
• B ≥ 0
• B < 1
n
, para todo nu´mero natural n > 0.
- Quem e´ o nu´mero B?
Reflita um pouco sobre as propriedades de B. Sa˜o duas camisas de
forc¸a obrigando B a revelar sua identidade, seu lugar na reta real R, figura
145. Releia a pergunta e insista numa resposta sua...
Voceˆ respondeu corretamente se cravou B = 0.
De fato, e´ a u´nicaalternativa para o DNA de B. Por que?
Em primeiro lugar B ≥ 0. Vamos provar que a suposic¸a˜o B > 0
e´ absurda e nos leva a contradic¸o˜es, deixando-nos como u´nica alternativa
B = 0.
De fato, se B > 0 enta˜o
1
B
> 0 e pelo Princ´ıpio Arquimediano existe um
nu´mero natural n > 0, tal que n >
1
B
. Como tratamos com nu´meros positi-
vos, podemos inverter as posic¸o˜es dos nu´meros para concluir que
B >
1
n
.
99 CEDERJ
Teorema de Tales
Este resultado diz que existe um nu´mero natural n, para o qual a se-
gunda propriedade de B na˜o e´ satisfeita. Esta contradic¸a˜o mostra que B > 0
na˜o e´ poss´ıvel. Logo B = 0.
Vamos, sem mais delongas ao nu´mero principal de nosso espeta´culo,
aquele pelo qual pagamos o ingresso:
Teorema de Tales
Sejam treˆs retas paralelas r,m e n cortadas pelas retas transversais s
e t. Suponha que A,B,C e E,F,G sejam os pontos de intersec¸a˜o das
retas s e t com r,m e n, respectivamente (veja figura 146). Nestas
condic¸o˜es
AB
BC
=
EF
FG
.
Voceˆ sabia que...
O nome de Tales esta´
associado com um nu´mero
de teoremas em Geometria:
1. Um c´ırculo e´ bissectado
por um diaˆmetro
2. Os aˆngulos da base de um
triaˆngulo iso´sceles sa˜o iguais
3. Aˆngulos opostos pelo
ve´rtice sa˜o iguais
4. Caso L.A.A. de
congrueˆncia
5. Dado um triaˆngulo ABC,
inscrito em um semic´ırculo,
o aˆngulo oposto ao lado que
esta´ sobre o diaˆmetro e´ reto.
6. A soma dos aˆngulos
internos de um triaˆngulo e´
180o.
Todos esses teoremas eram
conhecidos pelos eg´ıpcios e
babiloˆnios. A raza˜o pela
qual eles esta˜o associados a
Tales e´ porque ele foi o
primeiro a oferecer provas
para esses teoremas.
ts
A
B
C
E
F
G
m
n
r
Fig. 146:
Prova:
Vamos provar uma forma equivalente da igualdade enunciada. Note
que
AB
BC
=
EF
FG
⇔ BC
AB
=
FG
EF
⇔ BC
AB
+ 1 =
FG
EF
+ 1
⇔ BC + AB
AB
=
FG+ EF
EF
⇔ AC
AB
=
EG
EF
.
Enta˜o para efeito da prova do teorema e´ suficiente mostrar que
AC
AB
=
EG
EF
.
Para prosseguir fixe um nu´mero natural n > 0 qualquer (n pode ser
5 trilho˜es por exemplo). Posicione, consecutivamente, pontos igualmente
espac¸ados no interior do segmento AB, de modo a dividi-lo em n partes
iguais. Seja U o comprimento de cada um desses segmentos. Com esta
medida U e a partir do ponto B, continuamos a marcar pontos consecutivos
agora sobre o segmento BC, de modo que o comprimento de cada segmento
formado por pontos consecutivos tenham comprimento U . (Veja a figura
147).
CEDERJ 100
Teorema de Tales
MO´DULO 1 - AULA 8
Agora vamos soltar uma frase que merece atenc¸a˜o:
“Suponha que este processo permitiu que coloca´ssemos n pontos sobre
AB e ate´ m pontos sobre AC, com m > n”.
Eˆpa, a frase acima guarda miste´rios! O que queremos dizer? Vamos
com calma.
Voceˆ sabia que...
Por volta do ano 600 a.C., o
sa´bio grego Tales de Mileto
fez uma viagem ao Egito. O
farao´ ja´ conhecia sua fama
de grande matema´tico.
Ouvira dizer ate´ que Tales
era capaz de uma incr´ıvel
fac¸anha: podia calcular a
altura de uma construc¸a˜o,
por maior que fosse, sem
precisar subir nela.
Por ordem do monarca,
alguns matema´ticos eg´ıpcios
foram ao encontro do
visitante e pediram-lhe que
calculasse a altura de uma
das piraˆmides. Tales
ouviu-os com atenc¸a˜o e se
dispoˆs a atendeˆ-los
imediatamente. Ja´ no
deserto, pro´ximo a` piraˆmide,
o sa´bio fincou no cha˜o uma
vara, na vertical.
Observando a posic¸a˜o da
sombra, Tales deitou a vara
no cha˜o, a partir do ponto
em que foi fincada,
marcando na areia o
tamanho do seu
comprimento. Depois, voltou
a vara a` posic¸a˜o vertical. -
Vamos esperar alguns
instantes, disse ele. Daqui a
pouco poderei dar a
resposta. Ficaram todos ali,
observando a sombra que a
vara projetava. Num
determinado momento, a
sombra ficou exatamente do
comprimento da vara. Tales
disse enta˜o aos eg´ıpcios: -
Va˜o depressa ate´ a piraˆmide,
mec¸am sua sombra e
acrescentem ao resultado a
medida da metade do lado
da base. Essa soma e´ a
altura exata da piraˆmide.
Como Tales descobriu isso?
Tales usou semelhanc¸a de
triaˆngulos. Esse assunto
estudaremos mais tarde.
Primeiro a frase quer dizer que se damos nome aos pontos consecuti-
vos, por exemplo P1, P2, ..., Pn sobre AB, quer dizer que AP1 e´ o primeiro
segmento de AB e Pn−1Pn e´ o u´ltimo segmento de AB. Neste caso Pn = B.
A coisa foi constru´ıda para se ajustar perfeitamente sobre AB. No en-
tanto, prosseguindo com os pontos agora Pn+1, Pn+2, ... em BC, ocorre um
fenoˆmeno. Ou o u´ltimo ponto, que estamos chamando Pm, coincide com C,
ou ele esta´ antes de C. Qualquer que seja o caso o pro´ximo ponto Pm+1
estaria fora de AC (veja a figura 147).
Trac¸amos agora retas paralelas a r,m e n e passando pelos pontos que
definimos sobre o segmento AC. Estas retas formam com r,m e n um feixe
de paralelas e determinam sobre EF e EG segmentos de reta de mesmo
comprimento.
Denomine por U˜ o comprimento de cada um desses segmentos.
O fato que o comprimento dos segmentos determinados pelas paralelas
sobre o segmento EG sa˜o de mesmo comprimento U˜ decorre do corola´rio da
Proposic¸a˜o 16.
s
Pn=B
Pm
Pm+1
C
G
n
m
t
r
EA
F=Qn
Fig. 147:
101 CEDERJ
Teorema de Tales
Enta˜o podemos escrever que
• AB = nU, EF = nU˜
• mU ≤ AC < (m+ 1)U, mU˜ ≤ EG < (m+ 1)U˜
Dividindo e cancelando os termos U e U˜ , encontramos que,
m
n
≤ AC
AB
<
m+ 1
n
e
m
n
≤ EG
EF
<
m+ 1
n
(1)
Represente na reta real R, os nu´meros
m
n
e
m+ 1
n
. e os nu´meros
AC
AB
e
EG
EF
.
m
n
m+1
n
AB
AC
EF
EG
R
Fig. 148:
A figura 148 e tambe´m as desigualdades mostram que
AC
AB
e
EG
EF
sa˜o
nu´meros que pertencem ao intervalo
[
m
n
,
m+ 1
n
)
⊂ R. Isto significa que a
distaˆncia entre
AC
AB
e
EG
EF
e´ menor que a amplitude do intervalo.
Em outras palavras∣∣∣∣ACAB − EGEF
∣∣∣∣ < m+ 1n − mn = 1n.
Note que a desigualdade acima poderia ter sido deduzida diretamente
de (1).
Preferimos a explicac¸a˜o acima de natureza mais geome´trica.
Ora a desigualdade acima diz
AC
AB
− EG
EF
= 0
Logo
AC
AB
=
EG
EF
, como almejamos provar.
�
Vamos provar mais dois resultados, muito u´teis para resolver problemas.
CEDERJ 102
Teorema de Tales
MO´DULO 1 - AULA 8
Proposic¸a˜o 17
O segmento que une os pontos me´dios de dois lados de um triaˆngulo e´ paralelo
ao terceiro lado e tem medade de seu comprimento.
Prova:
Seja ABC um triaˆngulo e sejam M e N os pontos me´dios dos lados AB
e AC respectivamente. Trace o segmento MN , como na figura 149.
N
CB
A
M
Fig. 149: Proposic¸a˜o 17.
Queremos provar que as retas
←−→
MN e
←→
BC sa˜o paralelas, e que m(MN) =
m(BC)
2
. Para isso, vamos construir um quadrila´tero da seguinte forma: na reta←−→
MN marcamos um ponto D tal que M esteja entre D e N , e DM ≡ MN ,
e ligamos D a B (veja figura 150). Vamos mostrar que DNCB e´ um para-
lelogramo.
A
M
 N
B
 C
D
Fig. 150: Prova da proposic¸a˜o 17.
Como os aˆngulos DM̂B e NM̂A sa˜o congruentes (por serem opostos
pelo ve´rtice), segue de L.A.L. que AMN ≡ BMD. Como consequ¨eˆncia,
temos AN̂M ≡ BD̂M e AN ≡ BD, como indicado na figura 151.
A
M
 N
B
 C
D
Fig. 151: A bNM ≡ B bDM e AN ≡ BD.
103 CEDERJ
Teorema de Tales
A reta
←→
DN e´ transversal a`s retas
←→
DB e
←→
NC, formando um par de
aˆngulos alternos internos congruentes, que sa˜o AN̂D e BD̂N . Segue da
proposic¸a˜o 9, da aula 5, que as retas
←→
DB e
←→
NC sa˜oparalelas. O qua-
drila´tero DNCB possui assim um par de lados opostos paralelos e congru-
entes: DB e NC.
Pela proposic¸a˜o 12, da aula 6, podemos concluir que DNCB e´ um
paralelogramo. Por esse fato, DN e BC tambe´m sa˜o paralelos e, segundo
a proposic¸a˜o 11, da aula 6, congruentes. Finalmente, podemos concluir da´ı
que MN e´ paralelo a BC e tem metade de seu comprimento.
Q.E.D.
Resumo
Nesta aula voceˆ aprendeu...
• A proporc¸a˜o entre segmentos determinados por transversais cortando
feixes de paralelas, so´ depende do feixe de paralelas e na˜o da posic¸a˜o
da transversal.
• Que o segmento que une os pontos me´dios de dois lados de um triaˆngulo
e´ paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento.
Exerc´ıcios
1. (Construc¸a˜o da paralela.) Sejam r uma reta e P um ponto na˜o
pertencente a r. Sabemos que existe uma u´nica reta s passando por
P e que e´ paralela a r. O objetivo deste exerc´ıcio e´ provar como se
pode obter a reta s usando-se apenas re´gua (sem marcac¸a˜o de medida)
e compasso. Para isso, trace treˆs c´ırculos, sempre com o mesmo raio:
o primeiro com centro em P , determinando um ponto A na reta r; o
segundo com centro em A, determinando um ponto B na mesma reta, e
o terceiro com centro em B, determinando um ponto C sobre o primeiro
c´ırculo (veja figura 152).
r
s
P
A
 B
C
Fig. 152: Exerc´ıcio 1.
CEDERJ 104
Teorema de Tales
MO´DULO 1 - AULA 8
2. Divisa˜o de segmentos em partes iguais. O objetivo deste exerc´ıcio e´
indicar um me´todo para que voceˆ possa permite dividir, usando apenas
re´gua (sem marcac¸a˜o) e compasso, um dado segmento em um nu´mero
qualquer de segmentos congruentes.
Construc¸a˜o:
Suponha que desejemos dividir o segmento AB da figura 153 em sete
partes iguais.
A B
Fig. 153: Segmento AB.
Para isso, vamos trac¸ar uma semi-reta
−→
AC de forma que o aˆngulo CÂB
seja agudo (essa condic¸a˜o na˜o e´ decisiva, mas torna o desenho mais
fa´cil). Sobre a semi-reta
−→
AC, trac¸amos os pontos D1, D2, . . ., D7 de
modo que AD1 ≡ D1D2 ≡ . . . ≡ D6D7. Isso pode ser feito marcando-se
um ponto D1 e usando o compasso para transportar o segmento AD1
para a semi-reta
←−→
D1C, e assim sucessivamente, como na figura 154. O
tamanho de AD1 na˜o e´ importante.
A E1 2E E3 E5E4 E B6
D1
D
D
2
3
D4
D5
D
D C
6
7
Fig. 154: Divisa˜o de AB em 7 partes iguais.
3. Prove que os pontos me´dios dos lados de um quadrila´tero qualquer
formam um paralelogramo.
4. Na figura 155 temos: m(AB) = 4 cm, m(BC) = 6 cm, m(AC) = 8 cm,
m(DC) = 3 cm, FD//BC e DE//AB. Determine as medidas dos
lados de FDEB.
A
D
C
F
B
E
Fig. 155: Exerc´ıcio 4.
105 CEDERJ
Teorema de Tales
5. Na figura 156, ABC e´ iso´sceles de base BC, M e´ o ponto me´dio de BC,
MP//AC e MQ//AB. Prove que APMQ e´ um losango.
A
QP
B CM
Fig. 156: Exerc´ıcio 5.
6. Na figura 157, BM ≡ MC, AF ≡ FB e FD//BC. Prove que E e´ o
ponto me´dio de FD.
A
B
 C
D
E
F
M
Fig. 157: Exerc´ıcio 6.
7. Determine x e y na figura 158, sabendo que r, s, t e u sa˜o paralelas.
2
3
3
x
r
s
y
u
t
7
Fig. 158: Exerc´ıcio 7.
CEDERJ 106
Teorema de Tales
MO´DULO 1 - AULA 8
8. Na figura 159, EAˆD ≡ DAˆC.
A
B
C
 D
2
3
4
 x
E
Fig. 159: Exerc´ıcio 8.
Usando apenas o teorema de Tales, determine x.
9. (ITA-1989) Considere um quadrila´tero ABCD cujas diagonais AC e
BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U sa˜o os
pontos me´dios dos lados do quadrila´tero dado, determine o per´ımetro
do quadrila´tero RSTU .
10. (U.C. Salvador, 1992)
Sejam
P : o conjunto dos retaˆngulos
Q: o conjunto dos quadrados
L: o conjunto dos losangos
A figura que melhor representa as relac¸o˜es existentes entre eles e´:
L
 P
Q
(a)
L
 P
Q
(b)
L
 P
Q
(c)
L
P
 Q
(d)
L
 Q
P
(e)
Fig. 160: Exerc´ıcio 9. 107 CEDERJ